經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)（第六版）（上冊）課件 顧靜相 第4章 不定積分

經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)輔導第15講4.1不定積分的概念教學要求

理解原函數(shù)與不定積分的概念.原函數(shù)

對每一個可微函數(shù)

F(x)都對應一個導函數(shù)f(x)，使得F

(x)=f(x)．那么，如果已知一個函數(shù)

f(x)，能否找到一個函數(shù)

F(x)，使它的導數(shù)為

f(x)呢？如果函數(shù)

F(x)能夠找到，我們稱它是

f(x)的一個原函數(shù)．原函數(shù)定義

定義4.1設(shè)

f(x)是定義在區(qū)間(a,b)

內(nèi)的已知函數(shù)．如果存在函數(shù)

F(x)，使對于任意的x

(a,b)，都有

F

(x)=f(x)或

dF(x)=f(x)dx

則稱

F(x)是

f(x)在(a,b)

上的一個原函數(shù)．原函數(shù)

2x

的一個原函數(shù)是

x2，這是因為(x2)

=2x．而且x2+2，x2－

等也都是2x

的原函數(shù)，甚至對任意常數(shù)

C，x2+C還是2x

的原函數(shù)，因為它們的導數(shù)都是2x．因此，我們可以說2x

的所有原函數(shù)由

x2+C給出．原函數(shù)

如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則(C

為任意常數(shù))．所以

F(x)+C也是

f(x)的原函數(shù)．原函數(shù)

另一方面，如果

F(x)和

G(x)都是

f(x)的原函數(shù)，即F

(x)

=G

(x)

=f(x)，則由中值定理的推論可知，F(xiàn)(x)和

G(x)

僅差一常數(shù)，即存在常數(shù)

C0

，使得F(x)

=G(x)

=

C0．

不定積分的定義定義4.2函數(shù)

f(x)的全部原函數(shù)，稱為

f(x)的不定積分，記作其中：“

”稱為積分號，x

稱為積分變量，f(x)稱為被積函數(shù)，

f(x)dx

稱為積分表達式．不定積分

如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則(C

為任意常數(shù))．C

稱為積分常數(shù)．

因此，求函數(shù)f(x)的不定積分，只需求出f(x)的一個原函數(shù)再加上積分常數(shù)C．不定積分例1求函數(shù)

f(x)=sinx

的不定積分．不定積分例1求函數(shù)

f(x)=sinx

的不定積分．解因為(－cosx)

=sinx，所以

(C為任意常數(shù))．

不定積分例2求函數(shù)

f(x)=xα

的不定積分，其中α

≠－1為常數(shù)．不定積分例2求函數(shù)

f(x)=xα

的不定積分，其中α

≠－1為常數(shù)．解因為

，所以

（

C為任意常數(shù)）．不定積分例3求函數(shù)

f(x)=的不定積分．不定積分例3求函數(shù)

f(x)=的不定積分．解當

x>0時，有

，所以當

x<0時，有

，所以合并以上兩式，有(x

0)．原函數(shù)的一個結(jié)論

若函數(shù)

f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，那么在此區(qū)間上

f(x)一定有原函數(shù)．

由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)必連續(xù)，所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都有原函數(shù)．不定積分的幾何意義如果F(x)是f(x)一個原函數(shù)，那么f(x)的不定積分為

．對于每一給定的常數(shù)

C，F(xiàn)(x)+C表示坐標平面上的一條確定的曲線，這條曲線稱為

f(x)的一條積分曲線．不定積分的幾何意義如果F(x)是f(x)一個原函數(shù)，那么f(x)的不定積分為

．對于每一給定的常數(shù)

C，F(xiàn)(x)+C表示坐標平面上的一條確定的曲線，這條曲線稱為

f(x)的一條積分曲線．

由于

C可以取任意值，因此不定積分

表示

f(x)的一族積分曲線．而其中任意一條積分曲線都可以由曲線

y=F(x)沿

y

軸方向上、下平移得到．不定積分的幾何意義或者說，在每一條積分曲線上橫坐標相同的點處所作曲線都是互相平行的，如下圖所示．原函數(shù)與不定積分謝謝大家！

經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)輔導第16講4.2不定積分的性質(zhì)和基本積分公式教學要求

了解不定積分的性質(zhì)，掌握不定積分的基本積分公式.不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1不定積分與求導數(shù)或微分互為逆運算．

(1),或．(2)

,或．即不定積分的導數(shù)（或微分）等于被積函數(shù)（或被積表達式），一個函數(shù)的導數(shù)（或微分）的不定積分與這個函數(shù)相差一個常數(shù)．不定積分的性質(zhì)性質(zhì)2

被積表達式中的非零常數(shù)因子可以移到積分號前．

(k0，常數(shù))．性質(zhì)3

兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分，等于兩個函數(shù)積分的代數(shù)和．

．不定積分的性質(zhì)性質(zhì)3

可以推廣到任意有限多個函數(shù)的代數(shù)和的情形，即

=

．

不定積分

由于不定積分是求導（或微分）的逆運算，所以根據(jù)導數(shù)基本公式就能得到對應的積分公式．教材140頁中以列表形式給出了基本積分公式，希望大家熟記并靈活應用．

利用基本積分公式和不定積分的性質(zhì)，可以直接計算一些較簡單的不定積分，這種方法一般稱之為直接積分法．

直接定積法例1

求不定積分

．

直接定積法例1

求不定積分

．

解

．

注：在計算分項積分時，不必分別加任意常數(shù)，只要將各項常數(shù)合并成一個任意常數(shù)即可．

直接定積法例2

求不定積分

．

直接定積法例2

求不定積分

．

解

．

直接定積法例3

求不定積分

．

直接定積法例3

求不定積分

．

解本題不能直接應用基本積分公式，但我們可以先把被積函數(shù)化簡，再用基本積分公式，即

直接定積法例4

求不定積分

．

直接定積法例4

求不定積分

．

解本題不能直接應用基本積分公式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)化簡，再用基本積分公式，即

直接定積法注：當不定積分不能直接應用基本積分公式和不定積分的性質(zhì)進行計算時，需先將被積函數(shù)化簡或變形再進行計算．計算的結(jié)果是否正確，只需對結(jié)果求導，看其導數(shù)是否等于被積函數(shù)．

不定積分的性質(zhì)和基本積分公式謝謝大家！

經(jīng)濟應用數(shù)學輔導第17講4.3換元積分法教學要求

掌握計算不定積分的換元積分法．第一換元積分法

本講介紹的換元積分法是把復合函數(shù)求導法則反過來用于不定積分，通過適當?shù)淖兞刻鎿Q(換元)，將某些不定積分化為基本積分表中所列的形式，再計算出最終結(jié)果．第一換元積分法

例

因為

，所以不定積分

．在教材中的基本積分表中沒有“

”形式的公式，要計算這個積分必須另尋途徑．第一換元積分法

例

因為

，所以不定積分

．在教材中的基本積分表中沒有“

”形式的公式，要計算這個積分必須另尋途徑．

因為

，所以

．第一換元積分法

一般地，若積分

不能直接用基本積分表中的公式計算，而被積表達式

可以表示成：

則通過變換

u=

(x)

將不定積分化為

，且

容易計算．第一換元積分法不妨設(shè)

，即

(17.1)u=

(x)利用公式(17.1)來計算不定積分，就是第一換元法，亦稱為湊微分法．第一換元積分法例1求不定積分

．第一換元積分法例1求不定積分

．解被積函數(shù)可以寫成

，設(shè)

u=3-2x，則du=-2dx，即

．因此

再將u=3-2x

代入，得

．

第一換元積分法

由例1還可以看出：一般，對于不定積分

，總可以把dx湊為

，于是

，實際上，所做的變換是

u=ax+b，只是不寫出這一步而已．第一換元積分法例2求不定積分

．第一換元積分法例2求不定積分

．解方法1

第一換元積分法例2求不定積分

．解方法1

方法2

第一換元積分法

方法1和方法2所得結(jié)果一樣嗎？由倍角公式其中

C1仍是任意常數(shù)．第一換元積分法

方法1和方法2所得結(jié)果一樣嗎？由倍角公式其中

C1仍是任意常數(shù)．

在求不定積分時，有時會遇到用不同方法求出的原函數(shù)是不同的結(jié)果，大家可以通過求導來驗證所求結(jié)果是否正確．第一換元積分法例3求不定積分

．第一換元積分法例3求不定積分

．解

第一換元積分法例4求不定積分

．第一換元積分法例4求不定積分

．解

．第一換元積分法例4求不定積分

．解

類似地，有

．

．第一換元積分法例5求不定積分

．第一換元積分法例5求不定積分

．解

(利用例4的結(jié)果)

第一換元積分法例5求不定積分

．解

(利用例4的結(jié)果)

類似地，有

．第一換元積分法

為了熟練地掌握求積分的第一換元積分法，大家應該把教材146頁中給出的用第一換元積分法時常用的湊微分方法記熟，并通過練習熟練掌握這些方法．第二換元積分法

用第一換元積分法能夠求出許多不定積分，但如不定積分

卻不能用第一換元積分法求解．因此，我們引入另一種積分法——第二換元積分法．第二換元積分法

用第一換元積分法能夠求出許多不定積分，但如不定積分

卻不能用第一換元積分法求解．因此，我們引入另一種積分法——第二換元積分法．

第一換元積分法是用中間變量

u

替代可微函數(shù)

(x)，而第二換元積分法是引入新變量

t，并選擇代換

x

=

(t)，從而簡化計算求出不定積分．第二換元積分法例如，設(shè)

x

=2sint，則

dx

=2costdt，于是有第二換元積分法例如，設(shè)

x

=2sint，則

dx

=2costdt，于是有再將

t

還原成

x

的函數(shù)，由

，sin2t=

，得．第二換元積分法

一般地，當不定積分

不易計算時，可設(shè)

x

=

(t)，則原積分化為

第二換元積分法

一般地，當不定積分

不易計算時，可設(shè)

x

=

(t)，則原積分化為

假如

(t)，

(t)都是連續(xù)函數(shù)，且

(t)

0，x

=

(t)的反函數(shù)

t=

-1(x)

存在且可導，并且有

則

．

(17.2)這類求不定積分的方法，稱為第二換元法．第二換元積分法

被積函數(shù)含有二次根式

、

或其他根式形式的積分問題，常用第二換元積分法．第二換元積分法例6

求不定積分

(a>0)．第二換元積分法例6

求不定積分

(a>0)．解設(shè)

x=asint，則

dx

=acostdt，且

，于是有

．第二換元積分法例6

求不定積分

(a>0)．解……，

為了還原積分變量

x，由

x=asint

作直角三角形(見右圖)，可知

，代入上式，得第二換元積分法例7

求不定積分

(a>0)．第二換元積分法例7

求不定積分

(a>0)．解設(shè)

x=asect，則

，且

，第二換元積分法例7

求不定積分

(a>0)．解設(shè)

x=asect，則

，且

，于是有

．第二換元積分法例7

求不定積分

(a>0)．解……，

為了還原積分變量

x，由

x=asect

作直角三角形如右圖，可知

，代入上式，得第二換元積分法例8

求不定積分

(a>0)．第二換元積分法例8

求不定積分

(a>0)．解設(shè)

x=atant，則

，且

，第二換元積分法例8

求不定積分

(a>0)．解設(shè)

x=atant，則

，且

，于是有

(由15講例5得)

第二換元積分法例8

求不定積分

(a>0)．解……于是有

(由15講例5得)

第二換元積分法例8

求不定積分

(a>0)．解……，

為了還原積分變量

x，由x=atant

作直角三角形如右圖，可知

，

，代入上式，得第二換元積分法例9

求不定積分

．第二換元積分法例9

求不定積分

．解設(shè)

x=t6，則dx=6t5dt，且,

，于是有

第二換元積分法

用第二換元積分法求不定積分，要注意被積函數(shù)的特點，常用的變量替換見教材148-149頁．

在作三角替換時，可以利用直角三角形的邊角關(guān)系確定有關(guān)三角函數(shù)的關(guān)系，以返回原積分變量．換元積分法謝謝大家！

經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)輔導第18講4.4分部積分法教學要求

掌握計算不定積分的分部積分法．分部積分法

第17講介紹的湊微分法是對應于復合函數(shù)求導法的積分方法，本講將要講解的積分方法是對應于乘積求導公式的方法．分部積分法

設(shè)函數(shù)

u=u(x)與

v=v(x)都有連續(xù)導數(shù)，由乘積求導公式

d(uv)=vdu+udv，即udv=d(uv)–vdu，兩邊積分得

，(18.1)或

，(18.2)公式(18.1)或(18.2)稱為分部積分公式．這說明，如果計算積分

較難、而積分較易，那么較難的一個積分

可以轉(zhuǎn)化為乘積函數(shù)

uv與較易的那個積分

的差．分部積分法

能利用分部積分公式求不定積分的關(guān)鍵是能將積分

的被積函數(shù)

f(x)化成兩個因子

f(x)=ku(x)v

(x)(k是常數(shù))．

一般地，當被積函數(shù)中有冪函數(shù)因子、指數(shù)函數(shù)因子、對數(shù)函數(shù)因子、三角函數(shù)因子和反三角函數(shù)因子時，可以考慮用分部積分法．分部積分法

應用分部積分法的常見積分形式及

u，dv的選取方法：

1．

(n>0，n為正整數(shù))，應利用分部積分法計算．一般設(shè)

u=

xn，被積表達式的其余部分設(shè)為

dv．分部積分法

應用分部積分法的常見積分形式及

u，dv的選取方法：

1．

(n>0，n為正整數(shù))，應利用分部積分法計算．一般設(shè)

u=

xn，被積表達式的其余部分設(shè)為

dv．

2．

(n≠1,n為正整數(shù))，應利用分部積分法計算．一般設(shè)

dv=

xndx，被積表達式的其余部分設(shè)為

u．分部積分法例1求不定積分

．分部積分法例1求不定積分

．解設(shè)

u=x，v

=sin(2x-3)，則du=dx，

．所以分部積分法例2求不定積分

．分部積分法例2求不定積分

．解設(shè)

u=lnx，v

=x2，則

．所以分部積分法

在初步掌握分步積分法后，可不必明確地設(shè)出

u和dv，而直接應用公式．從下面的例題中我們還可以看到，在一些較復雜的積分問題中，有可能多次應用分部積分法．分部積分法例3求不定積分

．分部積分法例3求不定積分

．解(再用分部積分求之)

分部積分法例4求不定積分

．分部積分法例4求不定積分

．解上式右端第三項

恰好是所求的不定積分，移項后，有

注意：移項后，等式右端已不含積分項，必須加上任意常數(shù)

，所以

分部積分法

還要注意，在第二次應用分部積分法時，u

和dv的選取要與第一次保持一致，否則將回到原積分．分部積分法

還要注意，在第二次應用分部積分法時，u

和dv的選取要與第一次保持一致，否則將回到原積分．

用換元積分法、分部積分法求積分的方法要靈活運用，切忌死套公式．有的問題往往需要這兩種方法交互使用才能求得最終結(jié)果．分部積分法例5求不定積分

．分部積分法例5求不定積分

．解先用換元法．設(shè)

，則

x=t2，

dx=dt2．所以再用分部積分法分部積分法謝謝大家！

經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)輔導第19講4.5微分方程初步教學要求

了解微分方程的概念，會解簡單的一階微分方程．基本概念

定義4.3含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程，稱為微分方程．未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程．微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導數(shù)

(或微分)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階．基本概念

一階微分方程的一般形式為

．例如

，都是一階微分方程．

定義4.3含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程，稱為微分方程．未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程．微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導數(shù)

(或微分)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階．基本概念

定義4.4如果一個函數(shù)代入微分方程后，使得方程兩端恒等，則此函數(shù)稱為該微分方程的解．基本概念

定義4.4如果一個函數(shù)代入微分方程后，使得方程兩端恒等，則此函數(shù)稱為該微分方程的解．

例如，y=x3+C，y=x3-1都是微分方程

y

=3x2的解．其中，

y=x3+C含有一個任意常數(shù)，它稱為該微分方程的通解，而

y=x3-1是

C=1時，該微分方程的解，它稱為該微分方程的特解．基本概念

為了確定通解中任意常數(shù)的值，通常需給出

x=x0

時未知函數(shù)對應的值

y=y0，記作

y(x0)

=y0或

．這一條件稱為初始條件．可分離變量的微分方程

如果一階微分方程

F(x,y,y

)=0可以化為

g(y)dy=f

(x)dx(19.1)的形式，則

F(x,y,y

)=0稱為可分離變量微分方程．微分方程(19.1)稱為變量已分離的微分方程．可分離變量的微分方程

如果一階微分方程

F(x,y,y

)=0可以化為

g(y)dy=f

(x)dx(19.1)的形式，則

F(x,y,y

)=0稱為可分離變量微分方程．微分方程(19.1)稱為變量已分離的微分方程．

對變量已分離的微分方程(19.1)，可直接求得其通解．實際上，在(19.1)式兩邊積分，得

，(19.2)其中

C是任意常數(shù)．(19.2)就是微分方程(19.1)的通解表達式．可分離變量的微分方程注意：不定積分

，

分別表示g(y)

和

f

(x)的一個原函數(shù)，任意常數(shù)

C要單獨寫出來．例1解微分方程

．可分離變量的微分方程例1解微分方程

．解將原方程改寫為：

；分離變量，得：

；兩邊積分，得：

，即

．可分離變量的微分方程記

，則方程的通解為：

.解將原方程改寫為：

；分離變量，得：

；兩邊積分，得：

，即

．可分離變量的微分方程例2解微分方程

．可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程例2解微分方程

．解分離變量，原微分方程化為：

，兩邊積分，得：

，即

．由上式解得方程的通解：

.可分離變量的微分方程例3

求微分方程

滿足初始條件

的特解．可分離變量的微分方程例3

求微分方程

滿足初始條件

的特解．解將原方程化為：

．

分離變量，得：

，兩邊積分，得：

，

所以，原方程的通解為：

y=Csinx

．可分離變量的微分方程由初始條件

，可得

C=3．故所求特解為：

y=3sinx．解將原方程化為：

．

分離變量，得：

，兩邊積分，得：

，

所以，原方程的通解為：

y=Csinx

．一階線性微分方程

未知函數(shù)及其導數(shù)都是一次的微分方程，稱為一階線性微分方程．一階線性微分方程的一般形式為y′+p(x)y=q(x)．

(19.3)如果q(x)0，(19.3)式化為y′+p(x)y=0．

(19.4)稱為一階線性齊次微分方程．當q(x)0時，(19.3)式稱為一階線性非齊次微分方程．一階線性齊次微分方程的通解

方程

(19.4)

是可分離變量的微分方程．分離變量后，(19.4)式可化為：

，

兩邊積分，得：

．所以方程

(19.4)

的通解為：

．

(19.5)一階線性齊次微分方程例4

求下列一階線性齊次微分方程的通解：

．一階線性齊次微分方程例5

求一階線性齊次微分方程=

0

滿足初始條件

y(1)

=

1的特解．一階線性齊次微分方程例4

求下列一階線性齊次微分方程的通解：

．解

分離變量，得：

，兩邊積分，得：

，于是，得通解：

．一階線性齊次微分方程例5

求一階線性齊次微分方程=

0

滿足初始條件

y(1)

=

1的特解．解

分離變量，得：

，

兩邊積分，得：

，于是，得通解：

．一階線性齊次微分方程例5

求一階線性齊次微分方程=

0

滿足初始條件

y(1)

=

1的特解．解

分離變量，得：

，

兩邊積分，得：

，于是，得通解：

．由初始條件

y(1)

=1，可得

C=1．故所求特解為：

．一階線性非齊次微分方程的常數(shù)變易法

一階線性非齊次微分方程(19.3)的通解可以利用“常數(shù)變易法”得到．

首先求得微分方程

(19.3)

對應的一階線性齊次方程y′+p(x)y=0

的通解

(19.5)，然后將公式

(19.5)

式中的任意常數(shù)

C換為待定的函數(shù)

C=C(x)，即設(shè)方程(19.3)

的通解為：

．

(19.6)一階線性非齊次微分方程的常數(shù)變易法通過推導，得：(C是任意常數(shù))，將上式代入(19.6)式，得：