特訓(xùn)02 相交線 平行線 壓軸題（八大題型歸納）（解析版）

特訓(xùn)02相交線平行線壓軸題（八大題型歸納）目錄：題型1：添加輔助線構(gòu)造平行題型2：角平分線在平行線中的應(yīng)用題型3：動(dòng)直線、動(dòng)射線、動(dòng)三角形的旋轉(zhuǎn)問題及其應(yīng)用題型4：動(dòng)點(diǎn)問題題型5：一副三角板及其在平行線中的應(yīng)用題型6：?jiǎn)蝹€(gè)三角板在平行線中的應(yīng)用題型7：折疊問題題型8：定值問題題型1：添加輔助線構(gòu)造平行1．【閱讀探究】（1）如圖1，分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)在兩平行線之間，，求的度數(shù)．解：過點(diǎn)作，所以______，因?yàn)?，所以，所以______，因?yàn)?，所以．?）從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線可將和“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．進(jìn)一步研究，我們可以發(fā)現(xiàn)圖1中和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系為________．【方法應(yīng)用】（3）如圖2，分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)在兩平行線之間，，求的度數(shù)．【應(yīng)用拓展】（4）如圖3，分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)在兩平行線之間，作和的平分線，交于點(diǎn)（交點(diǎn)在兩平行線之間），若，則的度數(shù)為________（用含的式子表示）．【答案】（1），（2）（3）（4）【分析】本題考查平行公理的應(yīng)用，涉及平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題干的推理信息可得答案；（2）過點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)得到，，繼而證明；（3）過點(diǎn)作，則，由平行線的性質(zhì)得到，結(jié)合等式的性質(zhì)解答即可；（4）由角平分線的性質(zhì)解得，，過點(diǎn)作，接著由平行線的性質(zhì)得到，，再根據(jù)，整理解答即可．【解析】解：（1）過點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴．（2）過點(diǎn)作，∴，∵，∴，

∴，∴，∴；（3）過點(diǎn)作，如圖2所示：∴，∵，∴，∴，∴，即∵，，∴．（4）∵、分別是和的平分線，∴，，過點(diǎn)作，如圖3所示：∵，∴，∴，，∴，同理可得：，∴，∴，∴．2．已知，直線，點(diǎn)P為平面上一點(diǎn)，連接與．(1)如圖1，點(diǎn)P在直線，之間，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)P在直線，之間，與的角平分線相交于點(diǎn)K，寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，點(diǎn)P落在外．①直接寫出、、的數(shù)量關(guān)系為______．②與的角平分線相交于點(diǎn)K，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)①；②【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用：（1）先過P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過作，根據(jù)，可得，，進(jìn)而得到，同理可得，，再根據(jù)角平分線的定義，得出，進(jìn)而得到；（3）①過P作，根據(jù)，可得，，進(jìn)而得到；②過K作，根據(jù)，可得，，進(jìn)而得到，由①，再根據(jù)角平分線的定義，得出，進(jìn)而得到．【解析】（1）解：如圖1，過P作，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖2，過作，，，，，，過P作，同理可得，，與的角平分線相交于點(diǎn)K，，；（3）解：①如圖3，過P作，，，，，，故答案為：；②如圖3，過K作，，，，，，由①知，，與的角平分線相交于點(diǎn)K，，．3．課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖，已知點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接、，求的度數(shù)．閱讀并補(bǔ)充下面推理過程．

解：過點(diǎn)作，所以，，又因?yàn)?，所以?/p>

解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將、、“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．(2)方法運(yùn)用：如圖1，已知，求的度數(shù)；(3)深化拓展：已知直線，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接、．①如圖2，已知，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)；②如圖3，請(qǐng)判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】(1)；(2)(3)①；②，理由見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，，即可得到最后結(jié)論；（3）①的度數(shù)為，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線性質(zhì)求得，，即可求得的度數(shù)；②，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線性質(zhì)得到，，即可退出最后結(jié)論．【解析】（1）解：過點(diǎn)作，，，又因?yàn)?，所以?/p>

（2）解：如圖，過點(diǎn)作，

，，，，，，；（3）解：①的度數(shù)為；

理由：過點(diǎn)作，，，，，，，；②，

理由：過點(diǎn)作，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理．4．（1）【問題解決】如圖1，已知，，，求的度數(shù)；（2）【問題遷移】如圖2，若，點(diǎn)P在的上方，則，，之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖3，在（2）的條件下，已知，的平分線和的平分線交于點(diǎn)G，求的度數(shù)（結(jié)果用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可求解；（2）過點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可得，結(jié)合可求解；（3）過點(diǎn)作．由平行線的性質(zhì)可得，，結(jié)合角平分線的定義，利用角的和差可求解．【解析】解：（1）如圖1，過點(diǎn)作，∵，∴，∵，∴．，而，∴，，（2），理由：如圖2，過點(diǎn)作，∵，，∴，，，，∵，，；（3）如圖3，過點(diǎn)作．∵，，∴，，，又的平分線和的平分線交于點(diǎn)，，，由（2）得，，∵，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行公理的推論，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，角的和差運(yùn)算靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型2：角平分線在平行線中的應(yīng)用5．如圖，已知，平分交于點(diǎn)C，點(diǎn)P、Q分別在射線、上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B、C重合），且滿足，連結(jié)．(1)與平行嗎？請(qǐng)說明理由；(2)設(shè)，．①當(dāng)點(diǎn)Q在線段上，求的度數(shù)；（用含，的代數(shù)式表示）②當(dāng)點(diǎn)Q在射線上，的平分線交射線于點(diǎn)F，連結(jié)，若，，試探索與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，理由見解析(2)①，②【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，熟練的利用平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明或求解角的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．（1）先證明，等量代換可得，從而可得結(jié)論；（2）①證明，，，表示，表示，再利用角的和差關(guān)系可得答案；②如圖，證明，，，，，表示，，可得，，從而可得答案．【解析】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）①∵，，∴，，，∵平分交于點(diǎn)C，∴，∴，∵，，∴，∴；②如圖，∵，，，，∴，，，，，∵∵平分交于點(diǎn)C，∴，，∵平分，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．6．已知：直線，點(diǎn)A和點(diǎn)B是直線a上的點(diǎn)，點(diǎn)C和點(diǎn)D是直線b上的點(diǎn)，連接，，設(shè)直線和交于點(diǎn)E．

(1)在如圖1所示的情形下，若，求的度數(shù)；(2)在如圖2所示的情形下，若平分，平分，且與交于點(diǎn)F，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，若平分，平分，且，交于點(diǎn)F，設(shè)，，用含有α，β的代數(shù)式表示的補(bǔ)角．【答案】(1)(2)(3)的補(bǔ)角為【分析】（1）過點(diǎn)E作，證明，可得，，，可得；（2）過點(diǎn)F作，證明，可得，，，求解，，從而可得答案；（3）如圖，過點(diǎn)F作，證明，可得，，可得，證明，，從而可得答案．【解析】（1）解：過點(diǎn)E作，

∵，∴，∴，，∴，∵，∴；（2）如圖，過點(diǎn)F作，

∵，∴，∴，，∴，∵平分，平分，，，∴，，∴；（3）如圖，過點(diǎn)F作，

∵，∴，∴，，∴，∵平分，平分，，，∴，，∴，∴的補(bǔ)角．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，角平分線的定義，熟練的利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．7．已知：直線，點(diǎn)A，B在直線a上，點(diǎn)C，D在直線b上，(1)連接，，平分，平分，且，所在直線交于點(diǎn)．①如圖1，若，，則的度數(shù)為；②如圖2，設(shè)，，則的度數(shù)為（用含有α，β的式子表示）．(2)如圖3，平分，平分，，則和的數(shù)量關(guān)系是．(3)如圖4，若，，且平分，平分，猜想的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；【答案】(1)①；②(2)(3)，證明見解析【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義及等式的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）①如圖1所示，過點(diǎn)作，根據(jù)，，由平行線性質(zhì)及角平分線定義即可求出的度數(shù)；②如圖2所示，過點(diǎn)作，，，由平行線性質(zhì)及角平分線定義即可求出的度數(shù)．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，再利用角平分線的定義求解；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，再利用等式的性質(zhì)求解求解．【解析】（1）解：①過點(diǎn)作，如圖1所示：

，，∴，，，即，平分，平分，，，，，；故答案為：；②過點(diǎn)作，如圖2所示：

，，，∴，，，即，平分，平分，，，，，．故答案為：；（2）解：∵平分，平分，∴，∵，∴，由（1）中的結(jié)論得：，∴，故答案為：；（3）解：∵平分，平分，∴，，由（1）的結(jié)論得：①，②，得：．題型3：動(dòng)直線、動(dòng)射線、動(dòng)三角形的旋轉(zhuǎn)問題及其應(yīng)用8．如圖，直線，直線與直線，分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），是直線上的一個(gè)定點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作直線，在直線上取一點(diǎn)，使得．

(1)若直線，則的度數(shù)是______；(2)若直線l與a相交于點(diǎn)D，完成以下問題：①當(dāng)時(shí)，猜想與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；②當(dāng)時(shí)，判斷①中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)①，證明見解析；②不成立，【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答；（2）①過作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和三角形內(nèi)角和定理解答即可；②過作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和三角形內(nèi)角和定理解答即可．【解析】（1）解：直線，

，直線，，，，，，故答案為：；（2）解：①，理由如下：過作，

直線，，，，，，，，，，，，，即；②，理由如下：過作，

直線，，，，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合題，此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．9．長(zhǎng)江汛期即將來臨，江陰防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是秒，且a、b滿足．假定這一帶長(zhǎng)江兩岸河堤是平行的，即，且．

(1)求a、b的值；(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線第一次與垂直之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)之前．若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作交于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)求出其取值范圍．【答案】(1)，；(2)當(dāng)秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；(3)不變，．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程組求解即可；（2）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況：①在燈射線到達(dá)之前；②在燈射線到達(dá)之后，分別列出方程求解即可；（3）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，過點(diǎn)作，則，得出，，即可得出結(jié)果．【解析】（1），，解得：，故，；（2）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行，①在燈射線到達(dá)之前，由題意得：，解得：，②在燈射線到達(dá)之后，由題意得：，解得：，綜上所述，燈轉(zhuǎn)動(dòng)10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（3）與的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，；理由：設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，，如圖2，過點(diǎn)作，則，

，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、解二元一次方程組、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．長(zhǎng)江汛期即將來臨，為了便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈（如圖），假定這一帶長(zhǎng)江兩岸河堤是平行的，即，連結(jié)，且．燈射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，若燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度秒，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度秒．

(1)若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線第一次轉(zhuǎn)到之前，兩燈射出的光線交于點(diǎn)．①如圖，當(dāng)兩燈光線同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)秒時(shí)，求的度數(shù)．②如圖，當(dāng)兩燈光線同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)秒時(shí)，過作交于點(diǎn)，求與的比值．(2)若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)秒，燈射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線第一次轉(zhuǎn)到之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光線互相平行？【答案】(1)①；②(2)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒或秒時(shí)，兩燈的光束互相平行【分析】（1）①當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)秒時(shí)，有，即有，根據(jù)，即可得解；②過點(diǎn)作，，，，即有，，根據(jù)，可得，再根據(jù)，可得，即問題得解；（）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行，燈先轉(zhuǎn)動(dòng)秒，則轉(zhuǎn)到還需要（秒）即，①當(dāng)射線第一次垂直時(shí)，用時(shí)（秒），此時(shí)射線共計(jì)運(yùn)動(dòng)秒，即，即在燈射線到達(dá)之前，先證明，即有：，即可求解；②在燈射線到達(dá)之后，回到前，根據(jù)①中，同理有：，即有：，即可求解；③在燈射線回到后，第二次到前，由題意得：，即可求解，即問題得解．【解析】（1）兩燈速度為：燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度秒，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度秒．①當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)秒時(shí)，，∴，∴，故答案為：；②比值為：，理由如下，如圖2，過點(diǎn)作，

∵，∴，兩燈光線同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)秒時(shí)，則，，∴，，∴，即，又∵，即，而，∴∴．即比值為：；（2）兩燈速度為：燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度秒，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度秒．設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行，燈先轉(zhuǎn)動(dòng)秒，則轉(zhuǎn)到還需要（秒）即，①當(dāng)射線第一次垂直時(shí)，用時(shí)（秒），此時(shí)射線共計(jì)運(yùn)動(dòng)秒，即，即在燈射線到達(dá)之前，如圖所示，

∵，，∴，，∴，∴，即有：，解得：（秒）；②如圖4，在燈射線到達(dá)之后，回到前，

根據(jù)①中，同理有：∵即有：，解得：．③如圖5，在燈射線回到后，第二次到前，

由題意得：，解得：（舍去）．綜上所述，燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒或秒時(shí)，兩燈的光束互相平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系，厘清角度之間的關(guān)系并注意分類討論是解答本題的關(guān)鍵．題型4：動(dòng)點(diǎn)問題11．已知，，點(diǎn)在直線上，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)．

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，求的值；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，求的值；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（）過點(diǎn)作，得到，利用平行線的性質(zhì)即可求解；（）過點(diǎn)作，得到，利用平行線的性質(zhì)即可求解；（）過點(diǎn)作，得到，利用平行線的性質(zhì)即可求解；本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，根據(jù)圖形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作，

∵，∴，∴，，∴；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作，

∵，∴，∴，，∴；（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作，

∵，∴，∴，，∵，∴，∴．12．問題情境：如圖1，，，，求度數(shù)．小明的思路是：過作，通過平行線性質(zhì)來求．

(1)按小明的思路，易求得的度數(shù)為______度；（直接寫出答案）(2)問題遷移：如圖2，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，記，，當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問與、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；(3)在（2）的條件下，如果點(diǎn)在、兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)、、三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，；當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，．【分析】（1）過點(diǎn)作，通過平行線性質(zhì)求即可；（2）過點(diǎn)作，交于，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出答案；（3）分兩種情況：在延長(zhǎng)線上時(shí)，在延長(zhǎng)線上時(shí)，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可得出答案．【解析】（1）解：過點(diǎn)作，，，，，，，，，．故答案為：；（2），理由：如圖，過點(diǎn)作，交于，

，，，，；（3）當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，

由（2）可知，，，當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，

由（2）可知，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．題型5：一副三角板及其在平行線中的應(yīng)用13．在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，小亮同學(xué)利用一副三角尺探索與研究共直角頂點(diǎn)的兩個(gè)直角三角形中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．（其中）

(1)將三角尺如圖1所示疊放在一起．①與大小關(guān)系是________；②與的數(shù)量關(guān)系是________．(2)小亮固定其中一塊三角尺不變，繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)另一塊三角尺，從圖2的與重合開始，到圖3的與在一條直線上時(shí)結(jié)束，探索的一邊與的一邊平行的情況．①求當(dāng)時(shí)，如圖4所示，的大??；②直接寫出的其余所有可能值．【答案】(1)①相等；②(2)①；②或或或【分析】（1）①利用同角的余角相等，即可得到答案；②根據(jù)，，即可得到；（2）①過點(diǎn)O作則AB∥CD∥OE，即可得到30°，45°即可得到答案；②分情況討論：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】（1）解：①與大小關(guān)系是相等；∵，，∴，故答案為：相等；②與的數(shù)量關(guān)系是：；∵，，∴；（2）解：①過點(diǎn)O作，

∵，∴，∴，，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖，則；

當(dāng)時(shí)，如圖，則；

當(dāng)時(shí)，如圖，則，∴；

當(dāng)時(shí)，則，∴；

∴綜上所述：的其余可能值為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了同角的余角相等，角的和差計(jì)算，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確分類討論．14．如圖，直線，一副三角尺（）按如圖①放置，其中點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，均在直線上，且平分．

(1)求的度數(shù)．(2)如圖②，若將三角形繞點(diǎn)以每秒度的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，），設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為（s）（）；①在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊，求的值；②若在三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角形繞點(diǎn)以每秒度的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，）請(qǐng)求出當(dāng)邊時(shí)的值．【答案】(1)；(2)①；②或．【分析】利用平行線的性質(zhì)角平分線的定義即可解決問題．首先證明，由此構(gòu)建方程即可解決問題．分兩種情形：如圖中，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于根據(jù)構(gòu)建方程即可解決問題．如圖中，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于根據(jù)構(gòu)建方程即可解決問題．【解析】（1）解：如圖中，

，，平分，，，，，；（2）解：如圖中，

，，，，，，在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊，的值為；如圖中，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，

，，，，，；如圖中，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，

，，，，，綜上所述，滿足條件的的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．15．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，同學(xué)們用一副直角三角板（分別記為三角形和三角形，其中，，，，且）開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

操作發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1，將三角形沿方向移動(dòng)，得到三角形，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，推理的根據(jù)是：________；(2)將這副三角板如圖2擺放，并過點(diǎn)E作直線a平行于邊所在的直線b，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，如圖3，固定三角形，將三角形能點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷直線和直線b是否垂直，并說明理由．【答案】(1)同位角相等，兩直線平行(2)(3)垂直，見解析【分析】（1）由平行線的判定方法或平移的性質(zhì)可得答案；（2）過A作直線，交于G，而，則，可得，，再利用角的和差關(guān)系可得答案；（3）如圖所示，當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)到如下位置，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，可得，證明，而，可得，即旋轉(zhuǎn)角位，可得，從而可得結(jié)論．【解析】（1）解：同位角相等，兩直線平行或平移前后的對(duì)應(yīng)線段平行；（2）過A作直線，交于G，而，∴，

，同理，．（3）垂直，理由如下如圖所示，當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)到如下位置，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H

，而，，即旋轉(zhuǎn)角位，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是平移的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練的利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行證明是解本題的關(guān)鍵．題型6：?jiǎn)蝹€(gè)三角板在平行線中的應(yīng)用16．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們用一個(gè)含有角的直角三角板和兩條平行線展開探究．如圖，在中，，，．

(1)如圖1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上方，點(diǎn)在下方，與交于點(diǎn)，作的角平分線并反向延長(zhǎng)與的角平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)；(3)如圖3，點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線，之間（不含在，上），點(diǎn)在下方，，分別與交于點(diǎn)，．設(shè)，是否存在正整數(shù)和，使得．若存在，請(qǐng)求出和的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，；，；，【分析】（1）先求出，再利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出的度數(shù)，根據(jù)即可得出結(jié)果；（2）利用平行線性質(zhì)得到，，，平分，平分，得到，根據(jù)，即可得到最后結(jié)果；（3）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)得出關(guān)于和的關(guān)系式，根據(jù)題意得出的范圍，在范圍內(nèi)找到和都是正整數(shù)的所有可能的情況．【解析】（1）解：，，，，；（2）如圖，過點(diǎn)作，

，，，，，平分，平分，，，，，；（3），，，，，，，，，，，，，又，是正整數(shù)，存在符合要求的正整數(shù)和，分別為：當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不是整數(shù)不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、四邊形的內(nèi)角和等知識(shí)把問題解決，其中作平行線、分類討論是解決本題的關(guān)鍵．題型7：折疊問題17．

如圖1，現(xiàn)有一張紙條，，將紙條沿折疊，點(diǎn)C落在處，點(diǎn)D落在處，交于點(diǎn)G．

(1)①若，則______；②若，則______；(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將紙條沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)A落在處，點(diǎn)B落在處，已知，，求證：；(3)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上將紙條沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)落在處，點(diǎn)落在處，，設(shè)，求的度數(shù)．（用含x的式子表示）【答案】(1)①；②(2)證明見解析(3)【分析】（1）①②根據(jù)折疊的性質(zhì)和等于，根據(jù)平角的定義求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和等于，進(jìn)一步求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出，根據(jù)折疊可得，即可得到，再根據(jù)平行線的判定定理證明即可；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)和，即可得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，進(jìn)一步得到和，根據(jù)平角的定義求出，根據(jù)折疊得到，再利用角的和差可得答案．【解析】（1）解：①由折疊可得：，∴，∵，∴，故答案為：；②由折疊可得：，∴，∵，∴，故答案為：；（2）證明：由折疊可得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：由折疊可得：，∵，∴，∵，∴，∴，由折疊可得：，∴，由折疊可得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角的和差，有一定難度，解題的難點(diǎn)在于讀懂圖形，找準(zhǔn)折疊前后的對(duì)應(yīng)角．18．在直角三角形ABC中，，點(diǎn)D，E分別在上，將沿翻折，得到．(1)如圖①，若，則______；

(2)如圖②，的平分線交線段于點(diǎn)G.若，求證．

(3)已知，的平分線交直線于點(diǎn)G.當(dāng)?shù)钠渲幸粭l邊與平行時(shí)，直接寫出的度數(shù)（可用含的式表示）．

【答案】(1)40；(2)見解析；(3)或或或【分析】（1）先求出，再利用翻折即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，設(shè)，則，根據(jù)翻折得出，再求出，即可得出結(jié)論；（3）分情況：①當(dāng)，②當(dāng)，③當(dāng)，④當(dāng)時(shí)，在的下方，⑤當(dāng)時(shí)，在的下方，分別求解即可．【解析】（1）解：∵，∴，∵翻折，∴，∴，故答案為：40；（2）解：∵的平分線交線段于點(diǎn)G，∴，∵，設(shè)，∴，∵翻折，∴，∴，∴，∵，∴；

（3）解：①當(dāng)，如圖①所示：

∴，∵，∴，∵翻折，∴，∴，∵的平分線交線段于點(diǎn)G，∴，∵，∴；②當(dāng)，如圖②所示：

∴，∴，∴，∵的平分線交線段于點(diǎn)G，∴，∵，∴；③當(dāng)，如圖③所示：

∴，∵翻折，，∴，∴，∵的平分線交線段于點(diǎn)G，∴，∵，∴；④當(dāng)時(shí)，在的下方，如圖④所示：

∴，∵的平分線交線段于點(diǎn)G，∴，∴；⑤當(dāng)時(shí)，在的下方，如圖⑤所示：

∴，∵翻折，，∴，∵的平分線交線段于點(diǎn)G，∴，∴；綜上所述，或或或．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，翻折，三角形內(nèi)角和定理，角的平分線的定義，注意分情況討論是解（3）題的關(guān)鍵．19．如圖，已知四邊形紙片的邊，是邊上任意一點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：，，則______．(2)拓展探究：如圖②，點(diǎn)落在四邊形的內(nèi)部，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)遷移應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)落在邊的上方，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)不成立，數(shù)量關(guān)系應(yīng)為：，證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合平行線的性質(zhì)，算出，再結(jié)合折疊、四邊形內(nèi)角和，算出，最后根據(jù)計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行公理的推論可得，繼而得到，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關(guān)系；（3）過點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行公理的推論可得，繼而得到得，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關(guān)系．【解析】（1）解：，沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，，，，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），，，（四邊形內(nèi)角和為），故答案為：（2）解：如下圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)

則，，，，，由折疊的性質(zhì)得，，（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）（3）解：如下圖，過點(diǎn)作，則，

，，，由折疊的性質(zhì)得，，（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），即【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行公理的推論．掌握折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型8：定值問題20．綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以“長(zhǎng)方形紙帶的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，已知長(zhǎng)方形紙帶的邊，將紙片沿折痕折疊，點(diǎn)，分別為點(diǎn)，，線段與交于點(diǎn)（說明：折疊后紙帶的邊始終成立）

操作探究：(1)如圖，若，則的度數(shù)為______°．(2)如圖，改變折痕的位置，其余條件不變，小彬發(fā)現(xiàn)圖中始終成立，請(qǐng)說明理由；(3)改變折痕的位置，使點(diǎn)恰好落在線段上，然后繼續(xù)沿折痕折疊紙帶，點(diǎn)，分別在線段和上．①如圖，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)若，直接寫出的度數(shù)．②如圖，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，點(diǎn)，均在上方，若，，當(dāng)時(shí)，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)45(2)說明理由見解析(3)①；②【分析】（1）由，證明，由折疊知，，可得，結(jié)合，從而可得答案；（2）由，可得，由，可得，從而可得答案；（3）①：由折疊得出，同理得出，即可