特訓02 相交線 平行線 壓軸題（八大題型歸納）（解析版）

特訓02相交線平行線壓軸題（八大題型歸納）目錄：題型1：添加輔助線構造平行題型2：角平分線在平行線中的應用題型3：動直線、動射線、動三角形的旋轉問題及其應用題型4：動點問題題型5：一副三角板及其在平行線中的應用題型6：單個三角板在平行線中的應用題型7：折疊問題題型8：定值問題題型1：添加輔助線構造平行1．【閱讀探究】（1）如圖1，分別是上的點，點在兩平行線之間，，求的度數(shù)．解：過點作，所以______，因為，所以，所以______，因為，所以．（2）從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線可將和“湊”在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決．進一步研究，我們可以發(fā)現(xiàn)圖1中和之間存在一定的數(shù)量關系，請直接寫出它們之間的數(shù)量關系為________．【方法應用】（3）如圖2，分別是上的點，點在兩平行線之間，，求的度數(shù)．【應用拓展】（4）如圖3，分別是上的點，點在兩平行線之間，作和的平分線，交于點（交點在兩平行線之間），若，則的度數(shù)為________（用含的式子表示）．【答案】（1），（2）（3）（4）【分析】本題考查平行公理的應用，涉及平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，是重要考點，正確作出輔助線是解題關鍵．（1）根據(jù)題干的推理信息可得答案；（2）過點作，由平行線的性質(zhì)得到，，繼而證明；（3）過點作，則，由平行線的性質(zhì)得到，結合等式的性質(zhì)解答即可；（4）由角平分線的性質(zhì)解得，，過點作，接著由平行線的性質(zhì)得到，，再根據(jù)，整理解答即可．【解析】解：（1）過點作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴．（2）過點作，∴，∵，∴，

∴，∴，∴；（3）過點作，如圖2所示：∴，∵，∴，∴，∴，即∵，，∴．（4）∵、分別是和的平分線，∴，，過點作，如圖3所示：∵，∴，∴，，∴，同理可得：，∴，∴，∴．2．已知，直線，點P為平面上一點，連接與．(1)如圖1，點P在直線，之間，當，時，求的度數(shù)．(2)如圖2，點P在直線，之間，與的角平分線相交于點K，寫出與之間的數(shù)量關系，并說明理由．(3)如圖3，點P落在外．①直接寫出、、的數(shù)量關系為______．②與的角平分線相交于點K，請直接寫出與的數(shù)量關系為______．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)①；②【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運用：（1）先過P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，，再根據(jù)進行計算即可；（2）過作，根據(jù)，可得，，進而得到，同理可得，，再根據(jù)角平分線的定義，得出，進而得到；（3）①過P作，根據(jù)，可得，，進而得到；②過K作，根據(jù)，可得，，進而得到，由①，再根據(jù)角平分線的定義，得出，進而得到．【解析】（1）解：如圖1，過P作，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖2，過作，，，，，，過P作，同理可得，，與的角平分線相交于點K，，；（3）解：①如圖3，過P作，，，，，，故答案為：；②如圖3，過K作，，，，，，由①知，，與的角平分線相交于點K，，．3．課題學習：平行線的“等角轉化”功能．(1)閱讀理解：如圖，已知點是外一點，連接、，求的度數(shù)．閱讀并補充下面推理過程．

解：過點作，所以，，又因為，所以．

解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉化”的功能，將、、“湊”在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決．(2)方法運用：如圖1，已知，求的度數(shù)；(3)深化拓展：已知直線，點為平面內(nèi)一點，連接、．①如圖2，已知，，請直接寫出的度數(shù)；②如圖3，請判斷、、之間的數(shù)量關系，并說明理由．

【答案】(1)；(2)(3)①；②，理由見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等即可得出結論；（2）過點作，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補得出，，即可得到最后結論；（3）①的度數(shù)為，過點作，根據(jù)平行線性質(zhì)求得，，即可求得的度數(shù)；②，過點作，根據(jù)平行線性質(zhì)得到，，即可退出最后結論．【解析】（1）解：過點作，，，又因為，所以；

（2）解：如圖，過點作，

，，，，，，；（3）解：①的度數(shù)為；

理由：過點作，，，，，，，；②，

理由：過點作，，，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解答本題的關鍵是正確作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)進行推理．4．（1）【問題解決】如圖1，已知，，，求的度數(shù)；（2）【問題遷移】如圖2，若，點P在的上方，則，，之間有何數(shù)量關系？并說明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖3，在（2）的條件下，已知，的平分線和的平分線交于點G，求的度數(shù)（結果用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進而可求解；（2）過點作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可得，結合可求解；（3）過點作．由平行線的性質(zhì)可得，，結合角平分線的定義，利用角的和差可求解．【解析】解：（1）如圖1，過點作，∵，∴，∵，∴．，而，∴，，（2），理由：如圖2，過點作，∵，，∴，，，，∵，，；（3）如圖3，過點作．∵，，∴，，，又的平分線和的平分線交于點，，，由（2）得，，∵，，．【點睛】本題主要考查平行公理的推論，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，角的和差運算靈活運用平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．題型2：角平分線在平行線中的應用5．如圖，已知，平分交于點C，點P、Q分別在射線、上運動（點Q不與點B、C重合），且滿足，連結．(1)與平行嗎？請說明理由；(2)設，．①當點Q在線段上，求的度數(shù)；（用含，的代數(shù)式表示）②當點Q在射線上，的平分線交射線于點F，連結，若，，試探索與的數(shù)量關系．【答案】(1)，理由見解析(2)①，②【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，熟練的利用平行線的判定與性質(zhì)進行證明或求解角的度數(shù)是解本題的關鍵．（1）先證明，等量代換可得，從而可得結論；（2）①證明，，，表示，表示，再利用角的和差關系可得答案；②如圖，證明，，，，，表示，，可得，，從而可得答案．【解析】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）①∵，，∴，，，∵平分交于點C，∴，∴，∵，，∴，∴；②如圖，∵，，，，∴，，，，，∵∵平分交于點C，∴，，∵平分，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．6．已知：直線，點A和點B是直線a上的點，點C和點D是直線b上的點，連接，，設直線和交于點E．

(1)在如圖1所示的情形下，若，求的度數(shù)；(2)在如圖2所示的情形下，若平分，平分，且與交于點F，當，時，求的度數(shù)；(3)如圖3，當點B在點A的右側時，若平分，平分，且，交于點F，設，，用含有α，β的代數(shù)式表示的補角．【答案】(1)(2)(3)的補角為【分析】（1）過點E作，證明，可得，，，可得；（2）過點F作，證明，可得，，，求解，，從而可得答案；（3）如圖，過點F作，證明，可得，，可得，證明，，從而可得答案．【解析】（1）解：過點E作，

∵，∴，∴，，∴，∵，∴；（2）如圖，過點F作，

∵，∴，∴，，∴，∵平分，平分，，，∴，，∴；（3）如圖，過點F作，

∵，∴，∴，，∴，∵平分，平分，，，∴，，∴，∴的補角．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，平行公理的應用，角平分線的定義，熟練的利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)是解本題的關鍵．7．已知：直線，點A，B在直線a上，點C，D在直線b上，(1)連接，，平分，平分，且，所在直線交于點．①如圖1，若，，則的度數(shù)為；②如圖2，設，，則的度數(shù)為（用含有α，β的式子表示）．(2)如圖3，平分，平分，，則和的數(shù)量關系是．(3)如圖4，若，，且平分，平分，猜想的結果并且證明你的結論；【答案】(1)①；②(2)(3)，證明見解析【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義及等式的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關鍵．（1）①如圖1所示，過點作，根據(jù)，，由平行線性質(zhì)及角平分線定義即可求出的度數(shù)；②如圖2所示，過點作，，，由平行線性質(zhì)及角平分線定義即可求出的度數(shù)．（2）根據(jù)（1）的結論，再利用角平分線的定義求解；（3）根據(jù)（1）的結論，再利用等式的性質(zhì)求解求解．【解析】（1）解：①過點作，如圖1所示：

，，∴，，，即，平分，平分，，，，，；故答案為：；②過點作，如圖2所示：

，，，∴，，，即，平分，平分，，，，，．故答案為：；（2）解：∵平分，平分，∴，∵，∴，由（1）中的結論得：，∴，故答案為：；（3）解：∵平分，平分，∴，，由（1）的結論得：①，②，得：．題型3：動直線、動射線、動三角形的旋轉問題及其應用8．如圖，直線，直線與直線，分別交于點，，點在射線上運動（點不與點，重合），是直線上的一個定點，連接，過點作直線，在直線上取一點，使得．

(1)若直線，則的度數(shù)是______；(2)若直線l與a相交于點D，完成以下問題：①當時，猜想與之間有怎樣的數(shù)量關系，并寫出證明過程；②當時，判斷①中的結論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，直接寫出它們之間的數(shù)量關系．【答案】(1)(2)①，證明見解析；②不成立，【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進而利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答；（2）①過作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等和三角形內(nèi)角和定理解答即可；②過作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等和三角形內(nèi)角和定理解答即可．【解析】（1）解：直線，

，直線，，，，，，故答案為：；（2）解：①，理由如下：過作，

直線，，，，，，，，，，，，，即；②，理由如下：過作，

直線，，，，，，，，，，即．【點睛】本題是幾何綜合題，此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．9．長江汛期即將來臨，江陰防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自順時針旋轉至便立即回轉，燈B射線自順時針旋轉至便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉動的速度是秒，燈B轉動的速度是秒，且a、b滿足．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即，且．

(1)求a、b的值；(2)若燈B射線先轉動20秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線第一次與垂直之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)如圖，兩燈同時轉動，在燈A射線到達之前．若射出的光束交于點C，過C作交于點D，則在轉動過程中，與的數(shù)量關系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關系；若改變，請求出其取值范圍．【答案】(1)，；(2)當秒或85秒時，兩燈的光束互相平行；(3)不變，．【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程組求解即可；（2）設燈轉動秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況：①在燈射線到達之前；②在燈射線到達之后，分別列出方程求解即可；（3）設燈轉動時間為秒，則，，過點作，則，得出，，即可得出結果．【解析】（1），，解得：，故，；（2）設燈轉動秒，兩燈的光束互相平行，①在燈射線到達之前，由題意得：，解得：，②在燈射線到達之后，由題意得：，解得：，綜上所述，燈轉動10秒或85秒時，兩燈的光束互相平行；（3）與的數(shù)量關系不發(fā)生變化，；理由：設燈轉動時間為秒，則，，，如圖2，過點作，則，

，，，，，，．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)、解二元一次方程組、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．10．長江汛期即將來臨，為了便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈（如圖），假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即，連結，且．燈射線自順時針旋轉至便立即回轉，燈射線自順時針旋轉至便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視，若燈轉動的速度是度秒，燈轉動的速度是度秒．

(1)若兩燈同時轉動，在燈射線第一次轉到之前，兩燈射出的光線交于點．①如圖，當兩燈光線同時轉動秒時，求的度數(shù)．②如圖，當兩燈光線同時轉動秒時，過作交于點，求與的比值．(2)若燈射線先轉動秒，燈射線才開始轉動，在燈射線第一次轉到之前，燈轉動幾秒，兩燈的光線互相平行？【答案】(1)①；②(2)燈轉動秒或秒時，兩燈的光束互相平行【分析】（1）①當轉動秒時，有，即有，根據(jù)，即可得解；②過點作，，，，即有，，根據(jù)，可得，再根據(jù)，可得，即問題得解；（）設燈轉動秒，兩燈的光束互相平行，燈先轉動秒，則轉到還需要（秒）即，①當射線第一次垂直時，用時（秒），此時射線共計運動秒，即，即在燈射線到達之前，先證明，即有：，即可求解；②在燈射線到達之后，回到前，根據(jù)①中，同理有：，即有：，即可求解；③在燈射線回到后，第二次到前，由題意得：，即可求解，即問題得解．【解析】（1）兩燈速度為：燈轉動的速度是度秒，燈轉動的速度是度秒．①當轉動秒時，，∴，∴，故答案為：；②比值為：，理由如下，如圖2，過點作，

∵，∴，兩燈光線同時轉動秒時，則，，∴，，∴，即，又∵，即，而，∴∴．即比值為：；（2）兩燈速度為：燈轉動的速度是度秒，燈轉動的速度是度秒．設燈轉動秒，兩燈的光束互相平行，燈先轉動秒，則轉到還需要（秒）即，①當射線第一次垂直時，用時（秒），此時射線共計運動秒，即，即在燈射線到達之前，如圖所示，

∵，，∴，，∴，∴，即有：，解得：（秒）；②如圖4，在燈射線到達之后，回到前，

根據(jù)①中，同理有：∵即有：，解得：．③如圖5，在燈射線回到后，第二次到前，

由題意得：，解得：（舍去）．綜上所述，燈轉動秒或秒時，兩燈的光束互相平行．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關系，厘清角度之間的關系并注意分類討論是解答本題的關鍵．題型4：動點問題11．已知，，點在直線上，為上一點，為上一點．

(1)如圖，當點在線段上運動時，連接，求的值；(2)如圖，當點在的延長線上運動時，連接，求的值；(3)如圖，當點在的延長線上運動時，連接，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（）過點作，得到，利用平行線的性質(zhì)即可求解；（）過點作，得到，利用平行線的性質(zhì)即可求解；（）過點作，得到，利用平行線的性質(zhì)即可求解；本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，根據(jù)圖形，正確作出輔助線是解題的關鍵．【解析】（1）解：如圖所示，過點作，

∵，∴，∴，，∴；（2）解：如圖所示，過點作，

∵，∴，∴，，∴；（3）解：如圖所示，過點作，

∵，∴，∴，，∵，∴，∴．12．問題情境：如圖1，，，，求度數(shù)．小明的思路是：過作，通過平行線性質(zhì)來求．

(1)按小明的思路，易求得的度數(shù)為______度；（直接寫出答案）(2)問題遷移：如圖2，，點在射線上運動，記，，當點在、兩點之間運動時，問與、之間有何數(shù)量關系？請說明理由；(3)在（2）的條件下，如果點在、兩點外側運動時（點與點、、三點不重合），請直接寫出與、之間的數(shù)量關系．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)當在延長線上時，；當在延長線上時，．【分析】（1）過點作，通過平行線性質(zhì)求即可；（2）過點作，交于，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出答案；（3）分兩種情況：在延長線上時，在延長線上時，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可得出答案．【解析】（1）解：過點作，，，，，，，，，．故答案為：；（2），理由：如圖，過點作，交于，

，，，，；（3）當在延長線上時，如圖所示，

由（2）可知，，，當在延長線上時，如圖所示，

由（2）可知，，，【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時注意分類思想的運用．題型5：一副三角板及其在平行線中的應用13．在數(shù)學實踐活動課上，小亮同學利用一副三角尺探索與研究共直角頂點的兩個直角三角形中的位置關系與數(shù)量關系．（其中）

(1)將三角尺如圖1所示疊放在一起．①與大小關系是________；②與的數(shù)量關系是________．(2)小亮固定其中一塊三角尺不變，繞點順時針轉動另一塊三角尺，從圖2的與重合開始，到圖3的與在一條直線上時結束，探索的一邊與的一邊平行的情況．①求當時，如圖4所示，的大??；②直接寫出的其余所有可能值．【答案】(1)①相等；②(2)①；②或或或【分析】（1）①利用同角的余角相等，即可得到答案；②根據(jù)，，即可得到；（2）①過點O作則AB∥CD∥OE，即可得到30°，45°即可得到答案；②分情況討論：當時；當時，當時，當時，分別根據(jù)平行線的性質(zhì)進行計算即可．【解析】（1）解：①與大小關系是相等；∵，，∴，故答案為：相等；②與的數(shù)量關系是：；∵，，∴；（2）解：①過點O作，

∵，∴，∴，，∴；②當時，如圖，則；

當時，如圖，則；

當時，如圖，則，∴；

當時，則，∴；

∴綜上所述：的其余可能值為或或或．【點睛】本題考查了同角的余角相等，角的和差計算，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確分類討論．14．如圖，直線，一副三角尺（）按如圖①放置，其中點在直線上，點，均在直線上，且平分．

(1)求的度數(shù)．(2)如圖②，若將三角形繞點以每秒度的速度逆時針方向旋轉（的對應點分別為，），設旋轉時間為（s）（）；①在旋轉過程中，若邊，求的值；②若在三角形繞點旋轉的同時，三角形繞點以每秒度的速度順時針方向旋轉（的對應點為，）請求出當邊時的值．【答案】(1)；(2)①；②或．【分析】利用平行線的性質(zhì)角平分線的定義即可解決問題．首先證明，由此構建方程即可解決問題．分兩種情形：如圖中，當時，延長交于根據(jù)構建方程即可解決問題．如圖中，當時，延長交于根據(jù)構建方程即可解決問題．【解析】（1）解：如圖中，

，，平分，，，，，；（2）解：如圖中，

，，，，，，在旋轉過程中，若邊，的值為；如圖中，當時，延長交于，

，，，，，；如圖中，當時，延長交于，

，，，，，綜上所述，滿足條件的的值為或．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，旋轉變換，角平分線的定義是解題的關鍵．15．在數(shù)學活動課中，同學們用一副直角三角板（分別記為三角形和三角形，其中，，，，且）開展數(shù)學活動．

操作發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1，將三角形沿方向移動，得到三角形，我們會發(fā)現(xiàn)，推理的根據(jù)是：________；(2)將這副三角板如圖2擺放，并過點E作直線a平行于邊所在的直線b，點A與點F重合，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，如圖3，固定三角形，將三角形能點C旋轉一周，當時，請判斷直線和直線b是否垂直，并說明理由．【答案】(1)同位角相等，兩直線平行(2)(3)垂直，見解析【分析】（1）由平行線的判定方法或平移的性質(zhì)可得答案；（2）過A作直線，交于G，而，則，可得，，再利用角的和差關系可得答案；（3）如圖所示，當時，旋轉到如下位置，延長交于點H，可得，證明，而，可得，即旋轉角位，可得，從而可得結論．【解析】（1）解：同位角相等，兩直線平行或平移前后的對應線段平行；（2）過A作直線，交于G，而，∴，

，同理，．（3）垂直，理由如下如圖所示，當時，旋轉到如下位置，延長交于點H

，而，，即旋轉角位，，．【點睛】本題考查的是平移的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的應用，旋轉的性質(zhì)，熟練的利用旋轉的性質(zhì)進行證明是解本題的關鍵．題型6：單個三角板在平行線中的應用16．在一次數(shù)學活動課上，同學們用一個含有角的直角三角板和兩條平行線展開探究．如圖，在中，，，．

(1)如圖1，點在上，點在上，與交于點，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，點在上，點在上方，點在下方，與交于點，作的角平分線并反向延長與的角平分線交于點，求的度數(shù)；(3)如圖3，點在上，點在直線，之間（不含在，上），點在下方，，分別與交于點，．設，是否存在正整數(shù)和，使得．若存在，請求出和的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，；，；，【分析】（1）先求出，再利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補求出的度數(shù)，根據(jù)即可得出結果；（2）利用平行線性質(zhì)得到，，，平分，平分，得到，根據(jù)，即可得到最后結果；（3）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)得出關于和的關系式，根據(jù)題意得出的范圍，在范圍內(nèi)找到和都是正整數(shù)的所有可能的情況．【解析】（1）解：，，，，；（2）如圖，過點作，

，，，，，平分，平分，，，，，；（3），，，，，，，，，，，，，又，是正整數(shù)，存在符合要求的正整數(shù)和，分別為：當時，，不符合題意，舍去；當時，，符合題意；當時，，不是整數(shù)不符合題意，舍去；當時，，符合題意；當時，，符合題意；當時，，不符合題意，舍去．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、四邊形的內(nèi)角和等知識把問題解決，其中作平行線、分類討論是解決本題的關鍵．題型7：折疊問題17．

如圖1，現(xiàn)有一張紙條，，將紙條沿折疊，點C落在處，點D落在處，交于點G．

(1)①若，則______；②若，則______；(2)如圖2，在圖1的基礎上將紙條沿繼續(xù)折疊，點A落在處，點B落在處，已知，，求證：；(3)如圖3，在圖1的基礎上將紙條沿繼續(xù)折疊，點落在處，點落在處，，設，求的度數(shù)．（用含x的式子表示）【答案】(1)①；②(2)證明見解析(3)【分析】（1）①②根據(jù)折疊的性質(zhì)和等于，根據(jù)平角的定義求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和等于，進一步求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出，根據(jù)折疊可得，即可得到，再根據(jù)平行線的判定定理證明即可；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)和，即可得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，進一步得到和，根據(jù)平角的定義求出，根據(jù)折疊得到，再利用角的和差可得答案．【解析】（1）解：①由折疊可得：，∴，∵，∴，故答案為：；②由折疊可得：，∴，∵，∴，故答案為：；（2）證明：由折疊可得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：由折疊可得：，∵，∴，∵，∴，∴，由折疊可得：，∴，由折疊可得：，∴．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角的和差，有一定難度，解題的難點在于讀懂圖形，找準折疊前后的對應角．18．在直角三角形ABC中，，點D，E分別在上，將沿翻折，得到．(1)如圖①，若，則______；

(2)如圖②，的平分線交線段于點G.若，求證．

(3)已知，的平分線交直線于點G.當?shù)钠渲幸粭l邊與平行時，直接寫出的度數(shù)（可用含的式表示）．

【答案】(1)40；(2)見解析；(3)或或或【分析】（1）先求出，再利用翻折即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，設，則，根據(jù)翻折得出，再求出，即可得出結論；（3）分情況：①當，②當，③當，④當時，在的下方，⑤當時，在的下方，分別求解即可．【解析】（1）解：∵，∴，∵翻折，∴，∴，故答案為：40；（2）解：∵的平分線交線段于點G，∴，∵，設，∴，∵翻折，∴，∴，∴，∵，∴；

（3）解：①當，如圖①所示：

∴，∵，∴，∵翻折，∴，∴，∵的平分線交線段于點G，∴，∵，∴；②當，如圖②所示：

∴，∴，∴，∵的平分線交線段于點G，∴，∵，∴；③當，如圖③所示：

∴，∵翻折，，∴，∴，∵的平分線交線段于點G，∴，∵，∴；④當時，在的下方，如圖④所示：

∴，∵的平分線交線段于點G，∴，∴；⑤當時，在的下方，如圖⑤所示：

∴，∵翻折，，∴，∵的平分線交線段于點G，∴，∴；綜上所述，或或或．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，翻折，三角形內(nèi)角和定理，角的平分線的定義，注意分情況討論是解（3）題的關鍵．19．如圖，已知四邊形紙片的邊，是邊上任意一點，沿折疊，點落在點的位置．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：，，則______．(2)拓展探究：如圖②，點落在四邊形的內(nèi)部，探究，，之間的數(shù)量關系，并證明；(3)遷移應用：如圖③，點落在邊的上方，則（2）中的結論是否成立？若成立，請證明：若不成立，請寫出它們的數(shù)量關系并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)不成立，數(shù)量關系應為：，證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，結合平行線的性質(zhì)，算出，再結合折疊、四邊形內(nèi)角和，算出，最后根據(jù)計算即可；（2）過點作，交于點，交于點，由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行公理的推論可得，繼而得到，再結合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關系；（3）過點作，由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行公理的推論可得，繼而得到得，再結合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關系．【解析】（1）解：，沿折疊，點落在點的位置，，，，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），，，（四邊形內(nèi)角和為），故答案為：（2）解：如下圖，過點作，交于點，交于點

則，，，，，由折疊的性質(zhì)得，，（全等三角形對應角相等）（3）解：如下圖，過點作，則，

，，，由折疊的性質(zhì)得，，（全等三角形對應角相等），即【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行公理的推論．掌握折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．題型8：定值問題20．綜合與實踐問題情境：數(shù)學課上，同學們以“長方形紙帶的折疊”為主題開展數(shù)學活動，已知長方形紙帶的邊，將紙片沿折痕折疊，點，分別為點，，線段與交于點（說明：折疊后紙帶的邊始終成立）

操作探究：(1)如圖，若，則的度數(shù)為______°．(2)如圖，改變折痕的位置，其余條件不變，小彬發(fā)現(xiàn)圖中始終成立，請說明理由；(3)改變折痕的位置，使點恰好落在線段上，然后繼續(xù)沿折痕折疊紙帶，點，分別在線段和上．①如圖，點的對應點與點重合，點的對應點為點若，直接寫出的度數(shù)．②如圖，點，的對應點分別為點，，點，均在上方，若，，當時，直接寫出與之間的數(shù)量關系．【答案】(1)45(2)說明理由見解析(3)①；②【分析】（1）由，證明，由折疊知，，可得，結合，從而可得答案；（2）由，可得，由，可得，從而可得答案；（3）①：由折疊得出，同理得出，即可