2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第六章 計數(shù)原理 排列數(shù)的綜合應(yīng)用（習(xí)題課）（教師用書）教案 新人教A版選擇性必修第三冊

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章計數(shù)原理排列數(shù)的綜合應(yīng)用（習(xí)題課）（教師用書）教案新人教A版選擇性必修第三冊授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間課程基本信息1.課程名稱：排列數(shù)的綜合應(yīng)用

2.教學(xué)年級和班級：高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊

3.授課時間：2024-2025學(xué)年第二學(xué)期第14周星期三第2節(jié)

4.教學(xué)時數(shù)：1課時（45分鐘）

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能：使學(xué)生掌握排列數(shù)的定義及其計算方法，能夠運用排列數(shù)解決實際問題。

2.過程與方法：通過實例分析，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力。

3.情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、積極思考的科學(xué)精神。

三、教學(xué)內(nèi)容

1.教材：《2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章計數(shù)原理排列數(shù)的綜合應(yīng)用》

2.教學(xué)重點：排列數(shù)的定義、計算方法及其應(yīng)用。

3.教學(xué)難點：排列數(shù)在實際問題中的應(yīng)用。

四、教學(xué)過程

1.導(dǎo)入：回顧上一節(jié)課的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)排列數(shù)的定義和計算方法。

2.新課講解：通過實例分析，講解排列數(shù)在實際問題中的應(yīng)用。

3.課堂練習(xí)：讓學(xué)生獨立完成教材中的練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識。

4.課后拓展：布置一道涉及排列數(shù)應(yīng)用的實際問題，鼓勵學(xué)生課后思考和探索。

五、教學(xué)評價

1.課堂表現(xiàn)：觀察學(xué)生在課堂上的參與程度、提問回答等情況，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

2.課后作業(yè)：檢查學(xué)生完成的練習(xí)題和課后拓展題目，評估學(xué)生的掌握程度。

3.學(xué)生互評：鼓勵學(xué)生相互評價，共同提高。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.邏輯推理：通過排列數(shù)的應(yīng)用實例，培養(yǎng)學(xué)生運用邏輯推理解決實際問題的能力，使其能夠理解和運用排列數(shù)的相關(guān)概念和公式。

2.數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)建模思想，將實際問題抽象為排列數(shù)問題，并通過排列數(shù)的計算方法求解。

3.直觀想象：通過排列數(shù)的圖形表示和實際應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，使其能夠形象地理解排列數(shù)的概念和應(yīng)用。

4.數(shù)學(xué)運算：培養(yǎng)學(xué)生熟練運用排列數(shù)的計算方法，解決實際問題中的運算能力。

5.數(shù)據(jù)分析：培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)據(jù)分析的方法，對實際問題中的數(shù)據(jù)進行處理和分析，從而解決問題。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：學(xué)生在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了排列、組合的基本概念，對簡單的排列數(shù)問題有一定的理解和計算能力。他們熟悉基本的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理方法，能夠理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)公式。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：學(xué)生對數(shù)學(xué)有著不同程度的學(xué)習(xí)興趣，其中一部分學(xué)生對數(shù)學(xué)問題充滿好奇心，喜歡探索和解決實際問題；另一部分學(xué)生可能對數(shù)學(xué)感到困惑，需要更多的鼓勵和引導(dǎo)。學(xué)生在學(xué)習(xí)能力上存在差異，有的學(xué)生邏輯思維能力強，能夠快速理解和應(yīng)用新知識；有的學(xué)生可能在理解和應(yīng)用新知識上有一定的困難。學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格也各不相同，有的喜歡通過實例和實際應(yīng)用來學(xué)習(xí)，有的則更喜歡通過理論和公式來學(xué)習(xí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學(xué)習(xí)排列數(shù)的綜合應(yīng)用時，學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：對排列數(shù)概念的理解不夠深入，難以將排列數(shù)應(yīng)用到實際問題中；對排列數(shù)的計算方法不熟悉，難以解決復(fù)雜的排列數(shù)問題；在解決實際問題時，難以將問題抽象為排列數(shù)問題，并運用排列數(shù)的計算方法求解。教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體投影儀、計算機、白板、黑板、粉筆、練習(xí)題紙張。

2.課程平臺：學(xué)校提供的教學(xué)管理系統(tǒng)，用于發(fā)布教學(xué)資料、布置作業(yè)和交流。

3.信息化資源：教材電子版、教學(xué)PPT、相關(guān)視頻教程、數(shù)學(xué)軟件工具。

4.教學(xué)手段：講解、示例、練習(xí)、討論、小組合作、課后拓展。教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

情境創(chuàng)設(shè)：教師通過展示一組運動員參加比賽的圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀察并提問：“如果讓你計算這群運動員的排列數(shù)，你會怎么做？”

學(xué)生回答后，教師總結(jié)并引出本節(jié)課的主題——排列數(shù)的綜合應(yīng)用。

設(shè)計意圖：通過情境創(chuàng)設(shè)和問題引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，為后續(xù)新課的講解做好鋪墊。

2.講授新課（15分鐘）

教師圍繞教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重點，講解排列數(shù)的定義、計算方法及其在實際問題中的應(yīng)用。

教學(xué)創(chuàng)新：采用多媒體投影儀展示排列數(shù)的圖形表示，幫助學(xué)生直觀地理解排列數(shù)的概念。

設(shè)計意圖：確保學(xué)生理解和掌握新知識，為后續(xù)鞏固練習(xí)打下基礎(chǔ)。

3.鞏固練習(xí)（10分鐘）

教師布置教材中的練習(xí)題，讓學(xué)生獨立完成。

師生互動：教師巡回指導(dǎo)，解答學(xué)生遇到的問題，引導(dǎo)他們運用排列數(shù)的計算方法解決問題。

設(shè)計意圖：通過練習(xí)和討論，鞏固學(xué)生對新知識的理解和掌握。

4.課堂提問（5分鐘）

教師針對本節(jié)課的內(nèi)容提問，檢查學(xué)生對排列數(shù)及其應(yīng)用的掌握情況。

學(xué)生回答后，教師給予評價和反饋。

設(shè)計意圖：了解學(xué)生對新知識的掌握程度，為后續(xù)教學(xué)提供依據(jù)。

5.課后拓展（5分鐘）

教師布置一道涉及排列數(shù)應(yīng)用的實際問題，鼓勵學(xué)生課后思考和探索。

設(shè)計意圖：激發(fā)學(xué)生的課外學(xué)習(xí)興趣，提高他們的解決問題的能力。

6.總結(jié)與反思（5分鐘）

教師對本節(jié)課的教學(xué)情況進行總結(jié)，指出學(xué)生的優(yōu)點和不足，鼓勵他們繼續(xù)努力。

學(xué)生進行自我反思，總結(jié)收獲和需要改進的地方。

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)成果，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。

總計用時：40分鐘。剩余5分鐘用于課堂總結(jié)和反思。知識點梳理本節(jié)課主要涉及的知識點有：

1.排列數(shù)的定義：排列數(shù)是指從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數(shù)，記作$A_n^m$或$P_n^m$。

2.排列數(shù)的計算方法：排列數(shù)可以用遞歸公式或直接公式進行計算。遞歸公式為$A_n^m=A_{n-1}^m+A_{n-1}^{m-1}$，直接公式為$A_n^m=n!/(n-m)!$，其中n!表示n的階乘。

3.排列數(shù)的應(yīng)用：排列數(shù)在實際問題中的應(yīng)用非常廣泛，如在排列組合問題、賽程安排、密碼學(xué)等領(lǐng)域都有涉及。

4.排列數(shù)的圖形表示：排列數(shù)可以用樹狀圖或表格的形式進行圖形表示，有助于直觀地理解排列數(shù)的概念和計算過程。

5.排列數(shù)的性質(zhì)：排列數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）$A_n^m=A_n^{n-m}$；（2）$A_n^m=A_m^n$；（3）$A_n^m$是遞增的；（4）$A_n^m$是奇數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)m為奇數(shù)。

6.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系：排列數(shù)和組合數(shù)是密切相關(guān)的，它們之間有如下關(guān)系：$C_n^m=A_n^m/m!$，即組合數(shù)等于排列數(shù)除以階乘。

7.排列數(shù)在實際問題中的應(yīng)用實例：如計算一群運動員的排列數(shù)、安排賽程、設(shè)計密碼等實際問題，都可以通過排列數(shù)的計算方法進行求解。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測1.課堂小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了排列數(shù)的定義、計算方法及其在實際問題中的應(yīng)用。通過實例分析和練習(xí)，我們掌握了排列數(shù)的計算過程，了解了排列數(shù)在實際問題中的應(yīng)用。同時，我們還學(xué)習(xí)了排列數(shù)的圖形表示和性質(zhì)，以及排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系。

2.當(dāng)堂檢測

（1）填空題

①從5本不同的書中任取3本，不同的取法有_________種。

②一個6位密碼，由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成，且每位數(shù)字都不相同，則不同的密碼共有_________種。

（2）選擇題

③下列關(guān)于排列數(shù)的說法，正確的是：

A.排列數(shù)$A_n^m$是奇數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)m為奇數(shù)。

B.排列數(shù)$A_n^m$是偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)m為偶數(shù)。

C.排列數(shù)$A_n^m$與排列數(shù)$A_n^{n-m}$相等。

D.排列數(shù)$A_n^m$與組合數(shù)$C_n^m$相等。

（3）解答題

④某校舉行田徑比賽，共有10名運動員參加100米賽跑。請計算：

（1）所有可能的賽程安排方法有多少種？

（2）如果每場比賽只能有2名運動員參加，那么所有可能的賽程安排方法有多少種？

⑤設(shè)計一個4位密碼，要求滿足：任意兩位數(shù)字的差都是3的倍數(shù)。請給出至少5種可能的密碼。

設(shè)計意圖：通過課堂小結(jié)和當(dāng)堂檢測，幫助學(xué)生鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，提高他們的應(yīng)用能力。重點題型整理1.排列數(shù)的計算

題型1：計算$A_n^m$的值。

例1：計算$A_5^3$的值。

解：$A_5^3=5!/(5-3)!=(5×4×3)/(1×2×1)=60$。

題型2：計算特定條件下排列數(shù)的值。

例2：從5本不同的書中任取3本，求不同的取法種數(shù)。

解：$A_5^3=5!/(5-3)!=(5×4×3)/(1×2×1)=60$。

題型3：計算排列數(shù)的性質(zhì)。

例3：判斷$A_n^m$是否為奇數(shù)。

解：當(dāng)m為奇數(shù)時，$A_n^m$為奇數(shù)；當(dāng)m為偶數(shù)時，$A_n^m$為偶數(shù)。

2.排列數(shù)的應(yīng)用

題型4：實際問題中的排列數(shù)計算。

例4：某校舉行田徑比賽，共有10名運動員參加100米賽跑，求所有可能的賽程安排方法種數(shù)。

解：$A_{10}^5=10!/(10-5)!=(10×9×8×7×6)/(1×2×3×4×5)=30240$。

題型5：排列數(shù)的圖形表示。

例5：用樹狀圖表示$A_5^3$的所有排列。

解：樹狀圖如下：

```

A

/\

BC

/\/\

DEFG

```

表示所有$A_5^3$的排列。

3.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系

題型6：判斷排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系。

例6：判斷$A_n^m$與$C_n^m$是否相等。

解：$A_n^m=C_n^m/m!$，所以$A_n^m$與$C_n^m$不相等。

設(shè)計意圖：通過重點題型的整理和詳細解答，幫助學(xué)生鞏固排列數(shù)的相關(guān)知識，提高他們在實際問題中的應(yīng)用能力。板書設(shè)計①排列數(shù)的定義

-排列數(shù)：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數(shù)

-記作：$A_n^m$或$P_n^m$

②排列數(shù)的計算方法

-遞歸公式：$A_n^m=A_{n-1}^m+A_{n-1}^{m-1}$

-直接公式：