蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.18弧長(zhǎng)、扇形面積與圓錐側(cè)面積(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專題2.18弧長(zhǎng)、扇形面積與圓錐側(cè)面積（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】弧長(zhǎng)公式

【知識(shí)點(diǎn)二】扇形面積公式

1.扇形的定義

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.

2.扇形面積公式

半徑為R的圓中

360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：

n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：

【知識(shí)點(diǎn)三】圓錐的側(cè)面積和全面積

連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.

圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則

圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積:.

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】弧長(zhǎng)公式（求弧長(zhǎng)、半徑、圓心角）【例1】（2024·江西·中考真題）如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，．（1）求證：是半圓O的切線；（2）當(dāng)BC=3時(shí)，求的長(zhǎng)．【變式1】（22-23九年級(jí)上·貴州黔西·期中）小明同學(xué)在計(jì)算某扇形的面積和弧長(zhǎng)時(shí)，分別寫出如下式子：，，經(jīng)核對(duì)，兩個(gè)結(jié)果均正確，則下列說(shuō)法正確的（

）A．該扇形的圓心角為，直徑是4 B．該扇形的圓心角為，直徑是3C．該扇形的圓心角為，直徑是6 D．該扇形的圓心角為9°，直徑是4【變式2】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）(1)已知扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)等于，則該扇形的半徑是；(2)如果一個(gè)扇形的半徑是1，弧長(zhǎng)是，那么此扇形的圓心角的大小為．【題型2】扇形面積公式（求扇形面積、半徑、圓心角）【例2】（23-24九年級(jí)上·吉林四平·階段練習(xí)）如圖，為的直徑，點(diǎn)是上方上異于的點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．【變式1】（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知圓心角為的扇形面積為6π，那么扇形的弧長(zhǎng)為（

）A．3 B．6 C．2π D．【變式2】（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正五邊形ABCDE中，以點(diǎn)為圓心、為半徑作．若陰影部分的面積是，則正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為．【題型3】求弓形（旋轉(zhuǎn)圖形、不規(guī)則圖形）面積【例3】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．（1）求證：是的切線；（2）如果的半徑為4，求陰影部分的面積．【變式1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．以為圓心，為半徑作圓弧，再分別以，為圓心，為半徑作圓弧，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24九年級(jí)上·四川瀘州·階段練習(xí)）如圖，中，，，BC=6，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在斜邊上，則圖中陰影部分的面積是．【題型4】求圓錐側(cè)面積【例4】（23-24九年級(jí)上·江西南昌·階段練習(xí)）如圖所示，已知扇形AOB的半徑為，圓心角的度數(shù)為，若將此扇形圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，求圍成的圓錐的高以及圓錐的全面積．【變式1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，的斜邊，一條直角邊BC=6，現(xiàn)以邊所在直線為軸將這個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（

）A．54 B． C． D．【變式2】（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如果圓錐的底面半徑為3cm，母線長(zhǎng)為6cm，那么它的側(cè)面積等于．【題型5】求圓錐的高、展形圖的圓心角【例5】（23-24九年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）如圖，在半徑為4的扇形AOB中，，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，重合），連接，，，，垂足分別為點(diǎn)D，E．

（1）若扇形AOB是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐的底面半徑；（2）在中是否存在長(zhǎng)度為定值的邊？若存在，請(qǐng)求出這條邊的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1】（2024·四川達(dá)州·三模）如圖，用一個(gè)圓心角為的扇形紙片圍成一個(gè)底面半徑為，側(cè)面積為的圓錐，則該扇形的圓心角為為（

）A． B． C．180° D．【變式2】（2023·寧夏吳忠·一模）如圖，用一個(gè)半徑為，弧長(zhǎng)為的扇形鐵皮制作一個(gè)無(wú)底的圓錐，則圓錐的高．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·遼寧·中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)在BC上，，在的延長(zhǎng)線上，．（1）如圖1，求證：是的切線；（2）如圖2，若，，求的長(zhǎng)．【例2】（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若扇形的半徑是5，則該圓錐的體積是（

）A． B． C．26π D．2、拓展延伸【例1】（23-24九年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，PO平分，PA與相切于點(diǎn)A，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為B．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為2，，求PA的長(zhǎng)．（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【例2】（2024·廣東廣州·一模）綜合與實(shí)踐主題：裝飾錐形草帽．素材：母線長(zhǎng)為、高為的錐形草帽（如圖（））和五張顏色不同（紅、橙、黃、藍(lán)、紫）、足夠大的卡紙．步驟：將紅、橙、黃、藍(lán)、紫卡紙依次按照?qǐng)A心角的比例剪成半徑為的扇形．步驟：將剪下的扇形卡紙依次粘貼在草帽外表面，彩色卡紙恰好覆蓋草帽外表而且卡紙連接處均無(wú)縫隙、不重疊，便可得到五彩草帽．計(jì)算與探究：（）計(jì)算紅色扇形卡紙的圓心角的度數(shù)；（）如圖（），根據(jù)（）的計(jì)算過(guò)程，直接寫出圓錐的高、母線長(zhǎng)與側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：．專題2.18弧長(zhǎng)、扇形面積與圓錐側(cè)面積（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】弧長(zhǎng)公式

【知識(shí)點(diǎn)二】扇形面積公式

1.扇形的定義

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.

2.扇形面積公式

半徑為R的圓中

360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：

n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：

【知識(shí)點(diǎn)三】圓錐的側(cè)面積和全面積

連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.

圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則

圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積:.

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】弧長(zhǎng)公式（求弧長(zhǎng)、半徑、圓心角）【例1】（2024·江西·中考真題）如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，．（1）求證：是半圓O的切線；（2）當(dāng)BC=3時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟知相關(guān)性質(zhì)和計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角結(jié)合已知條件，可得，即可得，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）連接，證明為等邊三角形，求得，利用弧長(zhǎng)公式即可解答．解：（1）證明：是半圓O的直徑，，，，，是半圓O的切線；（2）解：如圖，連接，，為等邊三角形，，，，．【變式1】（22-23九年級(jí)上·貴州黔西·期中）小明同學(xué)在計(jì)算某扇形的面積和弧長(zhǎng)時(shí)，分別寫出如下式子：，，經(jīng)核對(duì)，兩個(gè)結(jié)果均正確，則下列說(shuō)法正確的（

）A．該扇形的圓心角為，直徑是4 B．該扇形的圓心角為，直徑是3C．該扇形的圓心角為，直徑是6 D．該扇形的圓心角為9°，直徑是4【答案】D【分析】根據(jù)，，可以寫出和的形式，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)是正確的，本題得以解決．解：，，，，該扇形的圓心角為9°，直徑是4，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查扇形面積的計(jì)算、弧長(zhǎng)的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確扇形的和．【變式2】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）(1)已知扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)等于，則該扇形的半徑是；(2)如果一個(gè)扇形的半徑是1，弧長(zhǎng)是，那么此扇形的圓心角的大小為．【答案】260°/60度【分析】此題主要考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．直接利用扇形弧長(zhǎng)公式代入求解即可．解：（1）設(shè)扇形的半徑為R，則根據(jù)題意，得，解得R=2.故該扇形的半徑是2．（2）根據(jù)弧長(zhǎng)公式得，解得，故扇形圓心角的大小為．故答案為：2；．【題型2】扇形面積公式（求扇形面積、半徑、圓心角）【例2】（23-24九年級(jí)上·吉林四平·階段練習(xí)）如圖，為的直徑，點(diǎn)是上方上異于的點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、勾股定理、三角形的面積公式、扇形的面積公式等．（1）連接，由，得，而得到，由平行線的性質(zhì)可得，從而即可得證；（2）由圓周角定理可得，由勾股定理可得，從而得到，再由進(jìn)行計(jì)算即可．解：（1）證明：連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，是的半徑，且，∴DE是的切線；（2）解：為的直徑，，，BC=6，，，由（1）得，，圖中陰影部分的面積是．【變式1】（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知圓心角為的扇形面積為6π，那么扇形的弧長(zhǎng)為（

）A．3 B．6 C．2π D．【答案】C【分析】本題考查了扇形面積的計(jì)算，弧長(zhǎng)公式，設(shè)扇形半徑為R，根據(jù)扇形面積公式得出，求出R=6，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可，熟練掌握扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式是解此題的關(guān)鍵．解：設(shè)扇形半徑為R，由題意得：，解得：R=6，扇形的弧長(zhǎng)為，故選：C．【變式2】（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正五邊形ABCDE中，以點(diǎn)為圓心、為半徑作．若陰影部分的面積是，則正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為．【答案】6【分析】本題考查了正多邊形和圓、扇形的面積計(jì)算等知識(shí)，確定扇形的圓心角的度數(shù)后利用扇形面積計(jì)算公式列方程即可得到結(jié)論．解：在正五邊形ABCDE中，，∴陰影部分的面積為，解得，故答案為：6．【題型3】求弓形（旋轉(zhuǎn)圖形、不規(guī)則圖形）面積【例3】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．（1）求證：是的切線；（2）如果的半徑為4，求陰影部分的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查切線的判定和求弓形的面積：（1）圓周角定理結(jié)合等邊對(duì)等角，求出∠BCD=30°，進(jìn)而得到，即可得證；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作，用扇形的面積減去三角形的面積求出陰影部分的面積即可．解：（1）證明：∵，∴的度數(shù)為，∴優(yōu)弧的度數(shù)為：，∴優(yōu)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即：，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作，則：，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴陰影部分的面積為．【變式1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．以為圓心，為半徑作圓弧，再分別以，為圓心，為半徑作圓弧，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算．連接，根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧，所對(duì)的弦分別相等，利用面積割補(bǔ)法可得陰影部分的面積等于弓形面積，即等于扇形面積減去直角三角形的面積之差．解：連接，，如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為對(duì)角線的交點(diǎn)，由題意可得：，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，．點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，OB=OD．以為弦的兩個(gè)弓形面積相等．．故選：C．【變式2】（23-24九年級(jí)上·四川瀘州·階段練習(xí)）如圖，中，，，BC=6，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在斜邊上，則圖中陰影部分的面積是．【答案】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．將圖中不規(guī)則陰影部分的面積，轉(zhuǎn)化為規(guī)則的扇形和三角形面積之間的關(guān)系即可解決問(wèn)題．解：由旋轉(zhuǎn)可知，，．，．，，．在中，，．故答案為：．【題型4】求圓錐側(cè)面積【例4】（23-24九年級(jí)上·江西南昌·階段練習(xí)）如圖所示，已知扇形AOB的半徑為，圓心角的度數(shù)為，若將此扇形圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，求圍成的圓錐的高以及圓錐的全面積．【答案】高厘米，全面積為16π平方厘米【分析】本題考查圓錐展開圖及扇形的弧長(zhǎng)面積公式，勾股定理，根據(jù)圓錐展開圖扇形弧長(zhǎng)等于底面圓周長(zhǎng)求出底面半徑，結(jié)合勾股定理求出高，再根據(jù)面積公式求解即可得到答案；解：由圖形可得，扇形的弧長(zhǎng)，∴圓錐的底面半徑為，∴圓錐的高為：．∴圓錐全面積圓錐側(cè)面積+圓錐底面積．【變式1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，的斜邊，一條直角邊BC=6，現(xiàn)以邊所在直線為軸將這個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（

）A．54 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算和點(diǎn)、線、面、體，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．可得圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積底面周長(zhǎng)母線長(zhǎng)÷2即可得出答案．解：圓錐的側(cè)面積為．故選：．【變式2】（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如果圓錐的底面半徑為3cm，母線長(zhǎng)為6cm，那么它的側(cè)面積等于．【答案】【分析】本題主要考查了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式，解題的關(guān)鍵是熟記公式．首先根據(jù)底面半徑求出底面圓的周長(zhǎng)，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式進(jìn)行計(jì)算．解：∵圓錐的底面半徑為3cm，∴底面周長(zhǎng)，又∵母線長(zhǎng)為6cm，∴；故答案為：．【題型5】求圓錐的高、展形圖的圓心角【例5】（23-24九年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）如圖，在半徑為4的扇形AOB中，，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，重合），連接，，，，垂足分別為點(diǎn)D，E．

（1）若扇形AOB是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐的底面半徑；（2）在中是否存在長(zhǎng)度為定值的邊？若存在，請(qǐng)求出這條邊的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)1(2)存在，【分析】（1）設(shè)該圓錐的底面半徑為r，根據(jù)圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)列式即可得到答案；（2）連接，由垂徑定理得到D為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)．則為的中位線．得到．再求出的長(zhǎng)，即可得到的長(zhǎng)，結(jié)論得證；（1）解：設(shè)該圓錐的底面半徑為r，由題意得．解得r=1，即該圓錐的底面半徑為1．（2）存在，的長(zhǎng)為定值．如圖，連接．

∵，，∴D為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)．∴為的中位線．∴．∵，，∴．∴．【點(diǎn)撥】此題考查了圓錐的側(cè)面展開圖、弧長(zhǎng)公式、垂徑定理、三角形中位線定理的等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2024·四川達(dá)州·三模）如圖，用一個(gè)圓心角為的扇形紙片圍成一個(gè)底面半徑為，側(cè)面積為的圓錐，則該扇形的圓心角為為（

）A． B． C．180° D．【答案】C【分析】本題考查了求圓錐側(cè)面展開圖的扇形圓心角度數(shù)，根據(jù)圓錐側(cè)面積計(jì)算公式，得出l=4，進(jìn)而根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，∵∴l(xiāng)=4∴解得：故選：C．【變式2】（2023·寧夏吳忠·一模）如圖，用一個(gè)半徑為，弧長(zhǎng)為的扇形鐵皮制作一個(gè)無(wú)底的圓錐，則圓錐的高．【答案】8【分析】本題考查的是圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．解：∵弧長(zhǎng)為，∴圓錐的底面周長(zhǎng)為，∵圓錐的底面半徑為，則圓錐的高，故答案為∶8．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·遼寧·中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)在BC上，，在的延長(zhǎng)線上，．（1）如圖1，求證：是的切線；（2）如圖2，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）連接CO，則，故，由，得到，而，則，由，得，因此，故，則是的切線；（2）連接，可得，則，故，由，得，那么長(zhǎng)為．解：（1）證明：連接CO，∵，∴，∴，∵，∴，∵為直徑，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）解：連接，由（1）得，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴長(zhǎng)為：．【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【例2】（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若扇形的半徑是5，則該圓錐的體積是（

）A． B． C．26π D．【答案】D【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)相等是解題關(guān)鍵，設(shè)圓錐的半徑為r，則圓錐的底面周長(zhǎng)為，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得出側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)，進(jìn)而得出r=1，再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可．解：設(shè)圓錐的半徑為r，則圓錐的底面周長(zhǎng)為，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，且扇形的半徑是5，扇形的弧長(zhǎng)為，圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)相等，，，圓錐的高為，圓錐的體積為，故選：D．2、拓展延伸【例1】（23-24九年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，PO平分，PA與相切于點(diǎn)A，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為B．（1）求證：是的切線；（2）若的