高中數(shù)學(xué)：教學(xué)設(shè)計(jì)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

§3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則，深刻理解它是乘法運(yùn)

算的逆運(yùn)算

過(guò)程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類問(wèn)題

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無(wú)味，學(xué)生不

易接受，教學(xué)時(shí)，我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過(guò)的數(shù)集的擴(kuò)充的，讓學(xué)生體會(huì)到這是生產(chǎn)實(shí)踐

的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系。

教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算。

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用。

教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀。

教學(xué)設(shè)想：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即：如果a,

b,c,dGR,那么a+bi=c^dioapc,b=d,只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小

教學(xué)過(guò)程：

學(xué)生探究過(guò)程：

1.虛數(shù)單位，：(1)它的平方等于即『=-1;(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行

四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立

2.，與一1的關(guān)系：，就是一1的一個(gè)平方根，即方程Y=—1的一個(gè)根，方程子=-1的

另一個(gè)根是一i

3.，的周期性：產(chǎn)+工。產(chǎn)嚴(yán)3=_。產(chǎn)勺

4.復(fù)數(shù)的定義：形如初(a/eR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部全體

復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示*

3.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用字母2表示，即2=。+初(a,AeR),把復(fù)數(shù)表示成a+〃

的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

4.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)a+初(a/eR),當(dāng)且僅當(dāng)左。時(shí)，

復(fù)數(shù)a+6/(a、6GR)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)，#0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+6/叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且6W0時(shí)，z=bi

叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=/^0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0.

5.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：N至ZMQMRMC.

6.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)

數(shù)相等即：如果a,b,c,那么b=d

一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可

以比較大小只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小

7.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：

點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是6,復(fù)數(shù)z=a+(a、6?R)可用點(diǎn)Z(a,6)表示，這個(gè)建立

了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)

軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)

對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是

z=0+0/=0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)

8.復(fù)數(shù)21與Z2的和的定義：Zi+z2=(a+/27)+(cH-c/j)=(a+c)+(Mo)i.

9.復(fù)數(shù)?與Z2的差的定義：zi-z2=(a+/?7)-(crHc/i)=(a-c)+(b-c/)i.

10.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律：z1+z2=z2+z1.

11.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律：(2I+Z2)+Z3=?+(@+23)

講解新課：

1.乘法運(yùn)算規(guī)則：

規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行：

設(shè)z尸a+反，Z2=c^dila、b、c、d?R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+反)(c^oV)=(ac

—bd)+{bc^-ad)i.

其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把/換成一1,并且把

實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).

2.乘法運(yùn)算律：

(1)Z1(Z2Z3)=(Z1Z2)z3

證明：設(shè)Zi=ai+4_z,z十a(chǎn)^+lhi,z^d^bii(ai,a”a,,b、,bz,&GR).

?zL=(ai+-_z)(a2+&z)=(aia2—"2%)+(Aaz+ai/%)z,

=

ZzZi=(az+Z%/)(ai+&z)(a2a「+kbia計(jì)azb。i.

ct\_3.2~b\b^bib\,b、a什a、b市b^a計(jì)a^b、.

??ZiZ\.

(2)Zi(z2+z3)=ziz2+ziz3

證明：設(shè)z尸ai+4i,>ZFa^+也11a、,a”a3，b、,bi,&GR).

V(Z1Z2)Z3=[(31+Z?17)(ag+Z^i)](必+&[')=[(當(dāng)色-6㈤+(A4+&[)y](&+4[')

=[(aia2-A^)a3-(Aa2+aife)Z%]+[(Aa2+ai/%)a3+{axarbYkh}Z%]i

-ka\aza「bbarb^azbrabb。+(4a2a3+&/%&+&a?A/%&)i,

同理可證：

Zi(Z2Z3)=kagzarb\biarb、a2b「a、b1b+(Aa2a3+aib2a3+axa2brbxbib^i,

??(Z1Z2)Z3—Z1(Z2Z3).

(3)?(Z2+Z3)=ZiZ2+^iZ3.

e

Z3=a3+&，(ai，a,

證明：設(shè)Zi=&+A，，z*az+bgi,a2,3bub2,Z23R).

,.,?(Z2+Z3)=(a+%￡)[(a2+/%7)+(a3+^3^)]=(31+/217)[(a2+a3)+(&+功)/]

=[4忌+①)-■(&+&)]+[瓦(&+a)+&(b+&)]i

=(Sia2+Sia3-A/%-A/%)+(右e2+4&3+囪4+&&)i.

Z1Z2+Z1Z3=(4+51Z)(a2+A>^)+(31+617)(as+Zv)

=ka\arb￡)+kb、akagi+<a\arb\b。+(/?ia3+aiZ%)i

=(a、arb從a、arb拉+〈b、a#a、b#b、a#a、b。i

=ka、aka、a「b、brbg+(Aa2+Z2ia3+aiZ%+aiZ%)i

?.Zi(Z2+Z3)=ZiZ2+ZlZ3.

例1計(jì)算(l-2i)(3+4i)(-2+i)

解：(l-2i)(3+4i)(-2+i)=(ll-2i)(-2+1)=-20+151.

例2計(jì)算：

(1)(3+4i)(3-4i)；(2)(1+i)2.

解：⑴(3+4i)(3-4i)=32-(4i)=9-(-16)=25;

(2)(1+i)=l+2i+i=l+2i-l=2i.

3.共拆復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共輾復(fù)

數(shù)虛部不等于0的兩個(gè)共輾復(fù)數(shù)也叫做共輾虛數(shù)

通常記復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為I。

4.復(fù)數(shù)除法定義:滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y?R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)

c+di的商，記為：(a+bi)+(c+di)或者"十歷

c+di

5.除法運(yùn)算規(guī)則：

①設(shè)復(fù)數(shù)a+力，(a,右GR),除以次oV(c,dGR),其商為x+yi(x,HR),

即(a+力Z)4-(cH-c/j)-x^yi

(^+yy){c^di)-{cx—dy)^^dx^cy)i,

/.(ex—dy)^-{dx^-cy)i=a^bi.

cx-dy-a,

由復(fù)數(shù)相等定義可知＜

dx+cy=b.

ac+bd

x-—~~

解這個(gè)方程組，得c+d

be-ad

y二-

c+d

_ac+bdbe-ad

于是有：(a+反)4-3d。-9----T+i.

c+dc2+d2

②利用(次力)(c—應(yīng))="+/于是將的分母有理化得:

c+di

a+bi(a+bi)(c-di)[ac+bi?(-di)]+(be-ad)i

原式二

c+di(c+d，)(c—di)c2+

(ac+bd)+(be-ad)iac+bdbe-ad.

--------------------------1-------1

c1+d2c2+d2c2+d2

ac+bdbe-ad.

(a+Z?7)4-(c+df)H—A-----

c2+d2c+d

點(diǎn)評(píng)：①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí)，都是采用的分母有理

化思想方法，而復(fù)數(shù)3/與復(fù)數(shù)c—近，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的有+血的對(duì)偶式血-血，

它們之積為1是有理數(shù)，而(^山)?(「一/)=/+)是正實(shí)數(shù).所以可以分母實(shí)數(shù)化.把這種方

法叫做分母實(shí)數(shù)化法

例3計(jì)算(1+27)+(3—旬

解：(1+2f)-(3-4z)=1±2L

3-4z

_(1+2/)(3+4(_3—8+6i+4i_-5+10,_」+匕

一(3-4z)(3+4z)-—32+42—-25一一二十V

(l—4Q(l+Q+2+4

例4計(jì)算

3+4z

功1+4—31+2+4/7+z(7+z)(3-4z)

WE?-(-1---4--Z)-(-1-+--0--+--2-+--4-Z=---------------=-----=------------

,3+4z3+4z3+4z32+42

2了4±3口；"=一.

2525

17—1

例5已知z是虛數(shù)，且z+士是實(shí)數(shù)，求證：二」是純虛數(shù).

ZZ+1

證明：設(shè)z=a+，/(a、且6W0),于是

1,.1,.a-bia,,b..

z+—=a+6i+--------=a^bi+—--------=a+—------+(Z?——------)i.

za+bia+b^a~+ba'+b'

b

Vz+-GR,/.b~=0.

za2+b2

VZ?^0,???4+4=1.

.Z1_(〃1)+萬(wàn)」3—1)+13(〃+1)次]

z+1(6/+1)+bi(tz+1)2+b2

2

Q?—1+Z?+[(tz+V)b—(a—l)b]i0+2bib

a2+l)2+2a+11+2a+1a+1

b

,?7W0,a、6￡R,???——，是純虛數(shù)

a+1

鞏固練習(xí)：

1.設(shè)好3+，,則1等于

Z

31

A.3+/B.3-7C.—/+—D.—+—i

10101010

ca+bia—bi./土日

2.---+-----的值是

b-aib+ai

A.0B.iC.~iD.1

3.已知z「2—i,Z2=1+37,則復(fù)數(shù)上+三的虛部為

45

A.1B.—1C.iD.—i

4.設(shè)上=N-+上(XGR,y?R),則",

1+z2-i1-i

3o

答案：l.D2.A3.A4.11

課后作業(yè)：課本第112頁(yè)習(xí)題3.2A組4,5,6

B組1,2

教學(xué)反思：

復(fù)數(shù)的乘法法則是：(a+b。3dQ=(ac—b小+(bc^a小i.復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘，可按多項(xiàng)

式類似的辦法進(jìn)行，不必去記公式.

a+biac+bdbe-ad

復(fù)數(shù)的除法法則是:c1+d2+c2+d2

c+di

兩個(gè)復(fù)數(shù)相除較簡(jiǎn)捷的方法是把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分

母的共輾復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡(jiǎn)

高考題選

2

1.(2007年北京卷)-----

(1+02

2.(2007年湖北卷)復(fù)數(shù)z=a+bi,a,bGR,且bWO,若z2-4歷是實(shí)數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)

可以是________豈寫出一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)即可)

【答案】：(2,1).

【分析】：z?-4Z?z=(a+bi)?-4b(a+bi)=a?-4a/?-/+2b(a-2b)i是實(shí)數(shù)，所以a=2b.

取(a”)=(2,1).

【高考考點(diǎn)】：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算.

【易錯(cuò)點(diǎn)】：復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式不能記錯(cuò)。

備考提示】：復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算，是高考每年必考的內(nèi)容，應(yīng)熟練掌握。

3.(2007年福建卷)復(fù)數(shù)」二等于(D)

(1+i/

A.-B.--C.-iD.--i

2222

4.(2007年廣東卷)若復(fù)數(shù)(1+bi)(2+i)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位，b為實(shí)數(shù))，則b=

(A)-2(B)-1(C)1(D)2

22

答案：B；解析：(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+l)i,故2b+l=0,故選B；

5.(2007年湖南卷)復(fù)數(shù)［卷］等于(C)

A.4iB.-4iC.2iD.-2i

6.（2007年江西卷）化簡(jiǎn)2上+二4/的結(jié)果是（C）

（1+02

A.2+iB.-2+iC.2-iD,-2-z

7.（2007年全國(guó)卷I）設(shè)。是實(shí)數(shù)，且旦+匕是實(shí)數(shù)，則&=（B）

1+i2

13

A.-B.1C.-D.2

22

8.（2007年全國(guó)卷H）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足”=i,則2=（C）

z

A.-2+iB.-2-iC.2-iD.2+i

9.（2007年陜西卷）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)斤」-對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（D）

2+i

（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限

10.（2007年四川卷）復(fù)數(shù)匕i+尸的值是（）