初中數(shù)學考點大全

實數(shù)的概念及分類

「正有理數(shù)1

「有理數(shù)1零U有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

JL負有理數(shù)」

實數(shù):

「正無理數(shù)、

I無理數(shù),r無限不循環(huán)小數(shù)

一負無理數(shù),

無理數(shù)歸納起來有三類：（1）開方開不盡的數(shù)，如s,正等；

TT

（2）JI或含有Ji的數(shù)，如—+8等；

3

（3）無限不循環(huán)小數(shù),如0.1010010001…等。

實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值

1、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零；從數(shù)軸上看，互

為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱；如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,反之亦

成立。

2、絕對值：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離；零的絕對值是它本身；

若|a|=a,則a?0；若|a|=—a,則aWO。

3、倒數(shù)：如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立；倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1；

零沒有倒數(shù)。

平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、平方根：如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）；

一個數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根；正數(shù)a的平方

根記做“土石”。

2、算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“右”；零的算術(shù)平

方根是零。

3、立方根：如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方

根）；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零。

注意：廣=-必，這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面。

科學記數(shù)法和近似數(shù)

1、有效數(shù)字：從左邊第一個不是零的數(shù)字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這

個數(shù)的有效數(shù)字。

2、用科學記數(shù)法表示一個絕對值極大數(shù)時寫做“土ax10"”的形式，其中l(wèi)Wa<10,n

等于整數(shù)位數(shù)減1;用科學記數(shù)法表示一個絕對值極小數(shù)時寫做“土axlO"”的形式，其中

l<?<10,n表示第一個非零數(shù)字前零的個數(shù)。

實數(shù)大小的比較

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸；實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一

對應(yīng)的。

2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法：

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(2)求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，a-b>O<i^a>b,a-b=Ooa=b,

a-b<Ooa<b。

(3)負數(shù)V0(正數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，絕對值小的反而大。

實數(shù)的運算

力口法交換律：a+b=b+a力口法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交換

律：ab=ba

乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+ac

實數(shù)的運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

整式的有關(guān)概念

單項式：只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項式；單獨的一個數(shù)或一個字母也是單

項式；單項式中系數(shù)不能用帶分數(shù)表示，如-4』/匕，這種表示就是錯誤的，應(yīng)寫成—上小人

33

一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。如-5a3b2c是6次單項式。

單項式和多項式統(tǒng)稱整式。

多項式

多項式：幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項。多項式中

不含字母的項叫做常數(shù)項。多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。

同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項；幾個常數(shù)項

也是同類項。

去括號法則：

(1)括號前是“+”，把括號和它前面的“+”號一起去掉，括號里各項都不變號；

(2)括號前是“-”，把括號和它前面的“-”號一起去掉，括號里各項都變號。

整式的乘法：am?a"=d+"(根,"都是正整數(shù))S)"=*(祇，〃都是正整數(shù))

(ab)"=(〃都是正整數(shù))(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=+2ab+Z?"

(a—b)2=a2-2ab+b2整式的除法：/"=產(chǎn)"(肛，都是正整數(shù),"0)

a°=1((7豐0)',a~p=——(tz/0,p為正整數(shù))

ap

因式分解

因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫

做分解因式。

因式分解的常用方法：(1)提公因式法：ab+ac=a(b+c}

(2)運用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；

a2-2ab+b2=(a-b)2o

(3)分組分角星法：ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+(/)=((?+b)(c+d)

(4)十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)

因式分解的一般步驟：(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式；

(2)在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可

以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4

項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式。

(3)分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。

分式

分式的概念：分母中含有字母的式子叫做分式(分式和整式通稱為有理式)。

分式有意義的條件：分母不等于0；分式無意義的條件：分母等于0；分式值為零的

條件：分子等于0且分母不等于0。

分式的性質(zhì)：

(1)分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變。

(2)分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。

分式的運算法則：^x-=—==—;(3)"=《s為整數(shù))；

bdbdbdbebebbn

a,ba±ba.cad±be

—±—=------;—±—=----------

cccbdbd

二次根式

二次根式：形如〃"(a20)的式子叫做二次根式，二次根式有意義的條件：被開方數(shù)a大

于等于0。

最簡二次根式：被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二

次根式。

分母有理化：①分子分母乘以同一個根式；

②利用平方差公式。

同類二次根式：被開方數(shù)相同的幾個二次根式叫做同類二次根式。

二次根式的性質(zhì)：

(1)(Va)2=?((?>0)

(2)4ab=4a?4b(a>0,Z?>0)

(3)>Q,b>Q)

二次根式的混合運算與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的

先算括號里面的。

一元一次方程的概念

方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。方程的解：能使方程兩邊相等的未知數(shù)的

值叫做方程的解。

等式的性質(zhì)：

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式；

（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式。

一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一

次方程；

一元二次方程

一元二次方程：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次

方程。

一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=Q（a^O）,其中以？叫做二次項，a叫做二次項

系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。

一元二次方程的解法

1、直接開平方法：適用于解形如（x+a）?=b的一元二次方程。

2、配方法：

①先把二次項系數(shù)化1;

②兩邊同加一次項系數(shù)一半的平方，使得左邊構(gòu)成完全平方式，右邊是非負數(shù)；

③兩邊開平方得方程的解。

3、公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式：

-b+J/-4ac,,.、八、

x=-------------（b-2-4ac>0）

2a

4、因式分解法：利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解

一元二次方程最常用的方法。

一元二次方程根的判別式

根的判別式：一元二次方程以2+以+。=0（。片0）中，/—4℃叫做根的判別式，通常用

“A”來表示，即A=4ac；A>0方程有兩個不等的實根；A=0方程有兩個相等的

實根；AV0方程沒有實根。

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果方程ax?+bx+c=0（aw0）的兩個實數(shù)根是Xpx2,那么看十9二——，=-o

a~a

分式方程

分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。解分式方程的思想是將“分式

方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”，它的一般解法是：

（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母；

（2）解所得的整式方程；

（3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，原方程無解；若不等于

零，就是原方程的根；

分式方程的特殊解：法換元法是中學數(shù)學中的一個重要的數(shù)學思想，其應(yīng)用非常廣泛，

當分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法。

二元一次方程組

二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知項的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次

方程。

二元一次方程的解：使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一

次方程的一個解；二元一次方程有無數(shù)個解。

二元一次方程組：兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次

方程組；二元一次方程組有唯一解或無數(shù)個解（兩個方程能互相轉(zhuǎn)化時）。

二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)

的值，叫做二元一次方程組的解。

二元一次方程組的解法：（1）代入法（2）加減法。

不等式的概念

不等式:用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解

的集合，簡稱這個不等式的解集。

不等式基本性質(zhì)

不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變；

不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；

不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。

一元一次不等式

一元一次不等式：不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是L且不等式的兩邊都

是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式；

解一元一次不等式的一般步驟：

（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數(shù)化為1。

一元一次不等式組

一元一次不等式組：幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

一元一次不等式組的解法：

（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集；

（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

-1

平均數(shù)：一般地，如果有〃個數(shù)看,％2,…,X"，那么，X=—（芭+%2+…+X"）叫做這n個

n

數(shù)的平均數(shù)，最讀作“X拔”。

加權(quán)平均數(shù)：如果n個數(shù)中，西出現(xiàn)力次，聲出現(xiàn)當次，…，/出現(xiàn)人次（這里

力+%+…/=〃），那么，根據(jù)平均數(shù)的定義，這n個數(shù)的平均數(shù)可以表示為

-=xj]+x2f2+-xkfk；這樣求得的平均數(shù)最叫做加權(quán)平均數(shù)，其中力,當,…，人叫做權(quán)。

統(tǒng)計學中的幾個基本概念

總體：所有考察對象的全體叫做總體。個體：總體中每一個考察對象叫做個

體。

樣本：從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。樣本容量：樣本中個體的

數(shù)目叫做樣本容量。

眾數(shù)、中位數(shù)

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)

據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

方差：通常用“I”表示方差，即/=」（/一x）2+（%2—才+...+（%—.

n

方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標準差，用“S”表示，即

S=dS~=J—[（%j—X）'+（%2—X）2+---1-（X"—X）2]

\n

方差或標準差的值反映一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性和波動情況，方差或標準差的值越小說明穩(wěn)定

性好，波動小。

頻率分布

研究樣本的頻率分布的一般步驟是：

①計算極差（最大值與最小值的差）；

②決定組距與組數(shù)；③決定分點；

④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖。

頻率分布的有關(guān)概念：

①極差：最大值與最小值的差；

②②頻數(shù)：落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù);

③頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)(樣本容量n)的比值叫做這一小組的頻率。

確定事件和隨機事件

必然事件：在一定的條件下重復(fù)進行試驗時，在每次試驗中必然會發(fā)生的事件。

不可能事件：有的事件在每次試驗中都不會發(fā)生，這樣的事件叫做不可能的事件。

必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定事件。隨機事件：可能發(fā)生也可能不放聲的事件,

稱為隨機事件。

概率的意義與表示方法

一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率巴會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么

m

這個常數(shù)p就叫做事件A的概率。

一般地，用英文大寫字母A,B,C,…表示事件，事件A的概率可記為P(A)=P。

確定事件和隨機事件的概率之間的關(guān)系

(1)當A是必然發(fā)生的事件時，P(A)=1；

(2)當A是不可能發(fā)生的事件時，P(A)=0；

(3)當A是隨機發(fā)生的事件時，0VP(A)<10

古典概型

一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件

A包含其中的m中結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=-

列表法求概率

1、列表法：用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的應(yīng)用場合當一次試驗要設(shè)計兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，

為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法。

樹狀圖法求概率

1、樹狀圖法：就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做

樹狀圖法。

2、運用樹狀圖法求概率的條件：當一次試驗要設(shè)計三個或更多的因素時，用列表法就不

方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。

利用頻率估計概率

利用頻率估計概率：在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗，利用一個隨機事件發(fā)生的頻率

逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)，可以估計這個事件發(fā)生的概率。

平面直角坐標系

1、平面直角坐標系：在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角

坐標系；其中水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，

取向上為正方向；兩軸的交點0(即公共的原點)叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標

系的平面，叫做坐標平面。

為了便于描述坐標平面內(nèi)點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分

別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：X軸和y軸上的點，不屬

于任何象限。

2、點的坐標用(a,b)表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，

橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標是有序?qū)崝?shù)對，當awb時，(a,b)和(b,a)

是兩個不同點的坐標。

不同位置的點的坐標的特征

1、各象限內(nèi)點的坐標的特征：點P(x,y)在第一象限ox〉0,y〉0；點P(x,y)在第二

象限=x<0,y>0；

點P(x,y)在第三象限ox<0,y<0；點P(x,y)在第四象限ox>0,y<0；

2、坐標軸上的點的特征：

點P(x,y)在x軸上oy=0,x為任意實數(shù);點P(x,y)在y軸上ox=0,y為任意實

數(shù)。

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上u>x,y同時為零，即點P坐標為(0,0)。

3、點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上ox與y相等；

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上ox與y互為相反數(shù)。

4、平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同；平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。

5、點關(guān)于x軸對稱o橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；

點關(guān)于y軸對稱o縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)；

點關(guān)于原點對稱o橫、縱坐標均互為相反數(shù)。

6、P(x,y)到x軸的距離等于N；點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于忖；點P(x,y)到原

點的距離等于。

函數(shù)及其相關(guān)概念

在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值，y都有唯一確定

的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

函數(shù)解析式：用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

函數(shù)的三種表示法：(1)解析法(2)列表法(3)圖像法

由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟：(1)列表(2)描點(3)連線

正比例函數(shù)和一次函數(shù)

一般地，如果y=+b(k,b是常數(shù)，kwO),那么y叫做x的一次函數(shù)；

特別地，當一次函數(shù)y=fcr+b中的b為。時，y=kx(k為常數(shù)，kwO)。這時，y叫做

x的正比例函數(shù)；

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線。

一般地，正比例函數(shù)y=Ax有下列性質(zhì)：

(1)當k〉0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；

(2)當k〈0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：

(1)當k〉0時，y隨x的增大而增大；

(2)當k〈0時，y隨x的增大而減小。

正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定：確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定

義式y(tǒng)=fcr(kwO)中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(ky：0)

中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。

反比例函數(shù)

一般地，函數(shù)y=&(k是常數(shù)，kwO)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以

X

寫成y=的形式。自變量X的取值范圍是XH0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非

零實數(shù)。

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第

二、四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量XHO,函數(shù)行0,所以，它的圖

像與x軸、y軸都沒有交點。

反比例函數(shù)的性質(zhì)：

①當k〉0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y隨x的增大

而減??；

②當k〈0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y隨x的增大

而增大。

注意：過反比例函數(shù)y=&(左/0)圖像上任一點作x軸和y軸的垂線，兩個垂足，原點，

X

該點圍成矩形的面積等于Ik|；過反比例函數(shù)y=&(kwO)圖像上任一點作x軸或y軸的垂

X

線，垂足，原點，該點圍成三角形的面積等于/2；

二次函數(shù)

一般地，形如,=以2+以+°(凡兒。是常數(shù)，a/0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)；其中x是自

變量，a,b,c分別是二次項系數(shù)一次項系數(shù)和常數(shù)項。

二次函數(shù)必須滿足的條件：

①(化簡后)自變量的最高次數(shù)是2；

③自變量的系數(shù)不等于0;

④③分母不含自變量。

二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，拋物線的三要素是開口方向、對稱軸、頂點。

二次函數(shù)的頂點就是對稱軸與拋物線的交點.

二次函數(shù)的一般形式：y=ax?+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aw0)

①當。＞0時，開口向上；當。＜0時，開口向下；

②頂點是竺式），對稱軸是直線》=上

2a4a2a

2

③當a>0時，函數(shù)有最小值即當x=—2時,_4ac-b

ymin

2a4〃

h2

當a<0時，函數(shù)有最大值即當x=-2時，y4ac-b

max一o

2a4。

二次函數(shù)的頂點形式：y=a（x—h）2+k（a,h,k是常數(shù)，aWO）

①當a>0時，開口向上；當。<0時，開口向下；

②頂點是（h,k），對稱軸是直線*=匕

③當a>0時，函數(shù)有最小值即當x=h時，ymin=k

當a<0時，函數(shù)有最大值即當x=h時，ymax=k

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

一般式：y=ax2+bx+c,已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式。

頂點式：y=a（x-hf+k,已知圖像的頂點（或?qū)ΨQ軸，最值）通常選擇頂點式。

交點式y(tǒng)=。（％-再）（%-%）,已知圖像與x軸的交點坐標（再，0）,（x2,0）通常

選用交點式。

二次函數(shù),=以2+/+。中，。也°的作用：

1、a決定開口方向：a>0開口向上，a<0開口向下；

2、匕和。共同決定拋物線對稱軸的位置：“左同右異”對稱軸在y軸左側(cè)時a、。同號；對

稱軸在y軸右側(cè)時。、匕異號；。=0時，對稱軸為y軸；

3、c的大小決定拋物線y=a/+bx+c與y軸交點的位置：c>0,與y軸交于正半軸；

c<0,與y軸交于負半軸；c=0,拋物線經(jīng)過原點。

注：lai越大，拋物線開口越??；Ia|越小，拋物線開口越大。

二次函數(shù)的平移：函數(shù)要平移，先化頂點式，“上加下減，左加右減”。

二次函數(shù)與坐標軸的交點：與x軸的交點：令y=0,算出x,寫成點的坐標形式；

與y軸的交點：令x=0,算出y,寫成點的坐標形式。

二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c對應(yīng)的一■元二次方程是ax2+bx+c=Q（aWO）

①函數(shù)與x軸有兩個交點ob2-4ac>0。方程有兩個不相等的解；

②函數(shù)與X軸有一個交點ob2—4ac=0o方程有兩個相等的解；

③函數(shù)與x軸沒有交點<=>b2—4ac<0o方程無實數(shù)解；

拓展：函數(shù)與x軸有交點今護一4ac20o方程有實數(shù)解。

注：二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標就是方程ax?+Z?x+c=0（aWO）的

解。

注：拋物線上任一組對稱點（關(guān)于對稱軸對稱的兩個點），到對稱軸的距離相等。

點、線、面、體

點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。線：面和面相交的地

方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。體：幾何體也簡稱體。點動成線，線動

成面，面動成體。

直線的性質(zhì)：

（1）直線公理：經(jīng)過兩個點有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡單地說成：過兩

點有且只有一條直線。

（2）過一點的直線有無數(shù)條。

（3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。

（4）直線上有無窮多個點。

（5）兩條不同的直線至多有一個公共點。

線段的性質(zhì)：

（1）線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短。也可簡單說成：兩點之間線段最短。

（2）連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。

（3）線段的中點到兩端點的距離相等。

（4）線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的。

線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。

逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

角

角的相關(guān)概念：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點,

這兩條射線叫做角的邊。

當角的兩邊在一條直線上時，組成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。

如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一個角叫做另一個角的

余角。

如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補角，其中一個角叫做另一個角的

補角。

角的表示：

①用數(shù)字表示單獨的角，如Nl,Z2,N3等。

②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如Na,NB,ZY,NO等。

③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如NB,NC等。

④用三個大寫英文字母表示任一個角，如NBAD,ZBAE,NCAE等。

注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩

側(cè)。

角的性質(zhì)：

（1）角的大小與邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。

（2）角的大小可以度量，可以比較；

（3）角可以參與運算。

角的平分線及其性質(zhì)：

一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

角平分線的性質(zhì)：

（1）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；

（2）到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

相交線

兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點

但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。我們把兩條直線相交所構(gòu)成的

四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做鄰補角。\

鄰補角互補，對頂角相等。------B

直線AB,CD與EF相交（或者說兩條直線AB,CD被第三條直線3一七

EF所截），構(gòu)成八個角。其中N1與N5這兩個角分別在AB,CD的上工廠曝°

方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對角叫做同位角；N3―17

與N5這兩個角都在AB,CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的0F

兩個角叫做內(nèi)錯角；N3與N6在直線AB,CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的兩個角

叫做同旁內(nèi)角。

垂線：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。

其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足；直線AB,CD互相垂直，記作

“ABLCD”（或“CD_LAB”），讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。

垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。

平行線：在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；平行用符號表示，如

“AB〃CD”，讀作“AB平行于CD”。同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交

或平行。

注意：（1）平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。

（2）當遇到線段、射線平行時，指的是線段、射線所在的直線平行。

平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

平行線的兩條判定定理：

（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡稱：同位角相

等，兩直線平行。

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么兩直線平行。簡稱：內(nèi)錯角相

等，兩直線平行。

（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么兩直線平行。簡稱：同旁內(nèi)

角互補，兩直線平行。

補充平行線的判定方法：（1）平行于同一條直線的兩直線平行。

（2）垂直于同一條直線的兩直線平行。

平行線的性質(zhì)：

（1）兩直線平行，同位角相等。

（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

命題、定理、證明

判斷一件事情的語句，叫做命題。

命題的定義包括兩層含義：

（1）命題必須是個完整的句子；

（2）這個句子必須對某件事情做出判斷。

「真命題（正確的命題）

命題Y

I假命題（錯誤的命題）

所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題。

所謂錯誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題。

公理：人們在長期實踐中總結(jié)出來的得到人們公認的真命題，叫做公理。

定理：用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。

投影與視圖

投影的定義：用光線照射物體，在地面上或墻壁上得到的影子，叫做物體的投影。

平行投影：由平行光線（如太陽光線）形成的投影稱為平行投影。

中心投影：由同一點發(fā)出的光線所形成的投影稱為中心投影。

當我們從某一角度觀察一個實物時，所看到的圖像叫做物體的一個視圖，物體的三視圖

特指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖。

俯視圖：在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。

左視圖：在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖，有時也叫做側(cè)視圖。

三角形

三角形的概念：由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組

成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。

三角形中的主要線段：

（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做

三角形的角平分線。

（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。

（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線,頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡

稱三角形的高）。

三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)在

生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。

三角形用符號“A”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“AABC”，讀作“三角形ABC”。

三角形按邊的關(guān)系分類如下：

「不等邊三角形

三角形《C底和腰不相等的等腰三角形

I等腰三角形《

I等邊三角形

三角形按角的關(guān)系分類如下:

「直角三角形（有一個角為直角的三角形）

三角形1「銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）

I斜三角形一

I鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形；它是兩條直角邊

相等的直角三角形。

三角形的三邊關(guān)系定理及推論：

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之

差小于第三邊。

三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形。

②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。

③證明線段不等關(guān)系。

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。

推論：①直角三角形的兩個銳角互余。

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。

③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。

三角形的面積=工X底X高

2

全等三角形

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做

對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩

角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角。

全等三角形的表示和性質(zhì)：

全等用符號“等”表示，讀作“全等于"。如aABC烏ZXDEF,讀作“三角形ABC全等于

三角形DEF”。

注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。

三角形全等的判定：

（1）邊角邊定理:有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”

或“SAS”）

（2）角邊角定理:有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”

或“ASA”）

（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）o

直角三角形全等的判定：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成

“斜邊、直角邊”或“HL”）

全等變換：只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括一下三種：

（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。

（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180。，這種變換叫做對稱變換。

（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。

等腰三角形

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、

底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。

定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等

邊）。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。

推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一

半。

三角形中的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

四邊形的相關(guān)概念

四邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接的圖形叫做四邊形。

凸四邊形：把四邊形的任一邊向兩方延長，如果其他個邊都在延長所得直線的同一旁，

這樣的四邊形叫做凸四邊形。

對角線：在四邊形中，連接不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線。

四邊形的不穩(wěn)定性

四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°。

四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360。。

推論：多邊形的內(nèi)角和定理：11邊形的內(nèi)角和等于（〃「2）?180°；

多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。

多邊形的對角線條數(shù)的計算公式：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,則多邊形的對角線條數(shù)為

n（n-3）

平行四邊形

平行四邊形的概念：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

平行四邊形用符號“二BCD”表示，如平行四邊形ABCD記作“二BCD”，讀作“平行四

邊形ABCD”。

平行四邊形的性質(zhì)：

（1）平行四邊形的鄰角互補，對角相等；

（2）平行四邊形的對邊平行且相等；

（3）平行四邊形的對角線互相平分。

平行四邊形的判定：

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

（2）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

（5）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

兩條平行線的距離：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做

這兩條平行線的距號；平行線間的距離處處相等。平行四邊形的面積:

s平行四邊形二底邊長X高。

矩形

矩形的概念：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

矩形的性質(zhì)：

（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

（2）矩形的四個角都是直角；

（3）矩形的對角線相等且互相平分；

（4）矩形是軸對稱圖形。

矩形的判定：

（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；

（3）對角線相等的平行四邊形是矩形。矩形的面積：S矩祈長X寬

菱形

菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

菱形的性質(zhì)：

（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

（2）菱形的四條邊相等；

（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角；

（4）菱形是軸對稱圖形。

菱形的判定：

（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

（2）四邊都相等的四邊形是菱形；

（3）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

菱形的面積：S菱形=底邊長乂高=兩條對角線乘積的一半。

正方形

正方形的概念：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

正方形的性質(zhì)：

（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；

（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；

（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。

正方形的判定：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等；或先證它是菱形，再證有一個角

是直角。

正方形的面積：設(shè)正方形邊長為a,對角線長為b則S正方萬=/=幺。

2

梯形

梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形；梯形中平行的兩邊叫做梯

形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底；梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰;

梯形的兩底的距離叫做梯形的高。

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形；一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

r一般梯形

r直角梯形

L特殊梯形

L等腰梯形

等腰梯形的性質(zhì)：

（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行；

（2）等腰梯形的對角線相等；

（3）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。

等腰梯形的判定：

（1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；

（2）在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；

（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。

梯形中位線定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

直角三角形的性質(zhì)

直角三角形的兩個銳角互余。

在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

勾股定理：直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方，即°2+方2=。2。

直角三角形的判定

1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系q2+》2=c2,那么這個三

角形是直角三角形。

銳角三角函數(shù)的概念

如圖，在aABC中，ZC=90°/B

①銳角A的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記為sinA,即斜邊/

/岫對邊

aNB的鄰邊

②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記為cosA,即A

NA的鄰邊

NB的對邊

③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記為tanA,即tanA=—

④銳角A的鄰邊與對邊的比叫做NA的余切，記為cotA,即cotA=—野生=—

ZA的對邊a

銳角三角函數(shù)的概念:銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做NA的銳角三角函數(shù).

在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中

除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。

各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

(1)互余關(guān)系：sinA=cos(90°—A),cosA=sin(90°—A),tanA=cot(90°—A),

cotA=tan(90°一A)

(2)平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1(3)倒數(shù)關(guān)系：tanA*cotA=1

(4)弦切關(guān)系：tanA=包工

cosA

銳角三角函數(shù)的增減性：當角度在0°~90。之間變化時，

(1)正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；

(2)余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。

一些特殊角的三角函數(shù)值:

三角函

0°30°45°60°90°

數(shù)

V|V3

sinQ01

2~T~2

V3V2j_

cosa10

~T~T2

V3

tanQ01百不存在

T

A/3

cotQ不存在VI10

T

圓的相關(guān)概念

在一個個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形

成的圖形叫做圓，固定的端點0叫做圓心，線段0A叫做半徑。

圓的表示：以點0為圓心的圓記作“。0”，讀作“圓0”

弦、弧等與圓有關(guān)的定義

(1)弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。(如圖中的AB)

(2)直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑等于半徑的2倍。

(3)半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都

叫做半圓。

(4)弧、優(yōu)弧、劣弧

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

弧用符號…表示，以A,B為端點的弧記作“?！?，讀作“圓弧AB”

或“弧AB”。

大于半圓的弧叫做優(yōu)弧（多用三個字母表示）；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€字母表

圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；圓是以圓心為對稱中心的中

心對稱圖形。

垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

推論1：

（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

垂徑定理及其推論可概括為：

<過圓心、

垂直于弦

直徑J平分弦卜知二推三

平分弦所對的優(yōu)弧

、平分弦所對的劣弧，

弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

1、圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有

一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

圓周角定理及其推論

1、圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線