浙江省杭州市高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

PAGE24-浙江省杭州市高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）一、選擇題1.已知集合，那么（）A.（-1，2） B.（0，1） C.（-1，0） D.（1，2）【答案】C【解析】【分析】先求出集合的補(bǔ)集，然后求即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以或≥，所以，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.雙曲線的左頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】先求左頂點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程，再依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的左頂點(diǎn)為，漸近線方程為所以雙曲線的左頂點(diǎn)到其漸近線的距離為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.3.已知一個(gè)四棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為A. B. C. D.【答案】A【解析】由正視圖和俯視圖可知，則該幾何體P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，PA⊥面ABCD，其直觀圖如圖所示，由三視圖學(xué)問(wèn)知，其側(cè)視圖如A所示，故選A．4.若x,y滿意約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,【答案】D【解析】解：x、y滿意約束條件，表示的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標(biāo)函數(shù)的最小值為：4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4，+∞）．故選D．5.若函數(shù)的大致圖象如圖所示，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】通過(guò)函數(shù)值為0，求出x的表達(dá)式，推斷m，n的范圍，解除選項(xiàng)A，D，通過(guò)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合x(chóng)與y的關(guān)系，推斷解除選項(xiàng)C即可.【詳解】令，即，則，即，由題意，故時(shí)，時(shí)，解除A?D；當(dāng)時(shí)，易知是減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則，C明顯不合題意，解除C；故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.6.對(duì)于隨意實(shí)數(shù)表示不小于的最小整數(shù)，例如,那么“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】通過(guò)給取特值得到前者推不出后者，通過(guò)推導(dǎo)推斷出后者可以推出前者，依據(jù)必要不充分條件的定義推斷出結(jié)論【詳解】由已知可得令，滿意，但，，而時(shí)，必有“”是“”必要不充分條件故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了充要條件的推斷，說(shuō)明一個(gè)命題不成立常用舉反例的方法，考查利用充要條件的定義推斷一個(gè)命題是另一個(gè)命題的什么條件．7.已知隨機(jī)變量的分布列如下：012則當(dāng)內(nèi)増大吋（）A増大 B.減小 C.先増大后減小 D.先減小后増大【答案】C【解析】【分析】由隨機(jī)變量的分布列得：，解得，，可得．，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：由隨機(jī)變量的分布列得：，解得，，，．，所以時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列期望與方差、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．8.己知，，是空間單位向量，且滿意，若向量，.則在方向上的投影的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得是空間中兩兩夾角為60°的單位向量，構(gòu)造棱長(zhǎng)為1的正四面體，使得，在射線上取點(diǎn)，使得，由三點(diǎn)共線定理可得在直線上，依據(jù)投影定理可得在方向上的投影=，當(dāng)最小時(shí)，余弦值最大，結(jié)合圖示，即可求解.【詳解】易得是空間中兩兩夾角為60°的單位向量.如下圖，構(gòu)造棱長(zhǎng)為1的正四面體，使得，在射線上取點(diǎn)，使得設(shè)，則，由三點(diǎn)共線知在直線上.由定義知在方向上的投影=作點(diǎn)在平面上的射影.由最小角定理，當(dāng)且僅當(dāng)向量與向量同向時(shí)，最小，最大.即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的三點(diǎn)共線定理、向量的投影，解題的關(guān)鍵是依據(jù)共線定理得到P在BD上，結(jié)合圖示，分析求解即可，對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)要求較高，考試分析化簡(jiǎn)，計(jì)算求值的實(shí)力，屬中檔題.9.已知，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，分、兩類(lèi)探討，可求得；當(dāng)時(shí)，，分、兩類(lèi)探討，可求得；取其公共部分即可得到答案．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，的對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上．當(dāng)時(shí)，在遞減，遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，；當(dāng)時(shí)，在上遞減，當(dāng)時(shí)，有最小值，即（1），明顯成立，此時(shí)．綜上得，；（2）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，在上遞增，（1），，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在遞減，遞增，，，此時(shí)．綜上：，關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查不等式恒成立問(wèn)題，著重考查分類(lèi)探討思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力和推理實(shí)力，屬于難題．10.已知數(shù)列滿意：，且，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件，且分析可得，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象分析，再逐個(gè)推斷即可.【詳解】由于得，，因?yàn)?，所以，?duì)于A，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，……，，所以，所以，故A不正確；對(duì)于C，考慮函數(shù)，如圖所示，由圖可知當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減，所以，即，所以C不正確；對(duì)于D，設(shè)，則由上圖可知，即，等價(jià)于，等價(jià)于，而明顯不成立，所以D不正確；由解除法可知B正確.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查函數(shù)與數(shù)列的給綜合運(yùn)用，考查邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于難題.非選擇題部分二、填空題11.設(shè)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)______，______【答案】(1).(2).【解析】【分析】先化簡(jiǎn)得，再求共軛復(fù)數(shù)和模長(zhǎng)即可.【詳解】∵∴，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12.在二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是______，有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)是______.【答案】(1).15(2).4【解析】【分析】先求出通項(xiàng)公式，再令的指數(shù)為0求出常數(shù)項(xiàng)，令的指數(shù)為整數(shù)，求出的值，推斷出綻開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)．【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：；其中，1，2，3，4，5，6．令可得；故其常數(shù)項(xiàng)：；有理項(xiàng)須要的指數(shù)為整數(shù)是2的倍數(shù)，2，4，6．故綻開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)是4；故答案為：15；4．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，解決二項(xiàng)綻開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)利用的工具是二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式．13.已知方程為的圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則圓的半徑______.若過(guò)點(diǎn)作該圓的切線，切點(diǎn)為，則線段長(zhǎng)度為_(kāi)_____.【答案】(1).3(2).【解析】【分析】將圓方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式得到圓心與半徑,由圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),得到直線過(guò)圓心,從而解出,求出半徑,再依據(jù),利用勾股定理求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),所以圓心在直線上,所以,圓半徑,設(shè)圓心為,則,所以,所以,故答案為:3;.【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用其求半徑,切線長(zhǎng)等,屬于基礎(chǔ)題.此類(lèi)題一般會(huì)利用圓的一些基本性質(zhì),例如:過(guò)圓心的直線平分圓,切點(diǎn)與圓心的連線與該切點(diǎn)處的切線垂直等,要求學(xué)生對(duì)圓的學(xué)問(wèn)駕馭嫻熟.14.在中，，，點(diǎn)在線段上，滿意，且，則______，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先求出，然后由三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系得，利用兩個(gè)差的余弦公式代入角的三角函數(shù)值計(jì)算即可；在中，利用正弦定理即可求得【詳解】解：在中，，，，在中，，，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查求解三角形的邊與角，關(guān)鍵是對(duì)公式要熟識(shí)，并能敏捷應(yīng)用，考查了計(jì)算實(shí)力，難度不大.15.某地為提高社區(qū)居民身體素養(yǎng)和保健意識(shí)，從5名醫(yī)生和2名護(hù)士共7名醫(yī)務(wù)工作者中選出隊(duì)長(zhǎng)1人、副隊(duì)長(zhǎng)1人一般醫(yī)務(wù)工作者2人組成4人醫(yī)療服務(wù)隊(duì)輪番到社區(qū)為居民進(jìn)行醫(yī)療保健服務(wù)，要求醫(yī)療服務(wù)隊(duì)中至少有1名護(hù)士，則共有______種不同選法（用數(shù)字作答）【答案】360【解析】【分析】由于7名醫(yī)務(wù)工作者中護(hù)士只有2名，而要從7名醫(yī)務(wù)工作者中選4人至少有1名護(hù)士有兩種狀況，一是只有1名護(hù)士，另一個(gè)是有2名護(hù)士，然后由分類(lèi)加法原理可得結(jié)果.【詳解】解：分兩類(lèi)：①只有1名護(hù)士，共有：種選法；②有2名護(hù)士，共有：種；故共有240+120=360種選法.故答案為：360【點(diǎn)睛】此題考查排列組合的應(yīng)用，分類(lèi)探討方法，考查了推理實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.16.已知，若集合中的元素有且僅有2個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】由肯定值三角不等式知，進(jìn)而得到集合中有且僅有兩個(gè)元素等價(jià)于有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，并通過(guò)圖象，即可得解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，集合中有且僅有兩個(gè)元素等價(jià)于不等式有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，又，，，，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖知，要使有兩個(gè)整數(shù)解，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了肯定值三角不等式、集合問(wèn)題及函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，合理運(yùn)用肯定值三角不等式是本題的解題關(guān)鍵，屬于中檔題.17.已知橢圓的離心率是，若以為圓心且與橢圓有公共點(diǎn)的圓的最大半徑為，此時(shí)橢圓的方程是____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意設(shè)為橢圓上隨意一點(diǎn),表達(dá)出,再依據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與求解的關(guān)系分析最值求解即可.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率是,,所以,故橢圓方程為.因?yàn)橐詾閳A心且與橢圓有公共點(diǎn)的圓的最大半徑為,所以橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為.設(shè)為橢圓上隨意一點(diǎn),則.所以因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為.(i)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.此時(shí),解得.(ii)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減.此時(shí),解得舍去.綜上,橢圓方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問(wèn)題,須要依據(jù)題意設(shè)橢圓上的點(diǎn),再求出距離,依據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系分析最值的取值點(diǎn)分類(lèi)探討求解.屬于中檔題.三、解答題18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由圖可知，，所以，，再把點(diǎn)和均代入函數(shù)中，結(jié)合，，可求得函數(shù)解析式為；（2）先依據(jù)（1）中函數(shù)的解析式分別求得，，再結(jié)合正弦的兩角和公式與協(xié)助角公式可將函數(shù)化簡(jiǎn)為，最終結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可求出其值域．【詳解】（1）∵，∴，∴（2），∴∵，∴∴∴函數(shù)在上的值域【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的解析式、正弦函數(shù)的值域和三角恒等變換公式，屬于基礎(chǔ)題．19.如圖，四棱臺(tái)中，底面是菱形，底面，且60°，，是棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線與平面所成線面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由底面，得，再由底面是菱形，得，利用直線與平面垂直的判定可得平面，進(jìn)一步得到；（2）設(shè)交于點(diǎn)，依題意，且，得究竟面．以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面的一個(gè)法向量與的坐標(biāo)，再由兩向量所成角的余弦值求解直線與平面所成線面角的正弦值．【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，所以因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以又，所以平面又由四棱臺(tái)知，，，，四點(diǎn)共面所以（2）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，依題意，且，，且，又由已知底面，得底面．以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)交于點(diǎn)，依題意，且，所以則，，，，由，得因?yàn)槭抢庵悬c(diǎn)，所以所以，，設(shè)為平面的法向量則，取，得設(shè)直線與平面所成線面角為，則所以直線與平面所成線面角的正弦值【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用，考查空間想象實(shí)力與思維實(shí)力，考查利用空間向量求解空間角，是中檔題．20.已知公差非零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列，且，數(shù)列滿意，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿意，求證：【答案】（1）；；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1），，成等比數(shù)列，且，求出，公差，求得的通項(xiàng)公式；由，，用累加法，求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）先求出，依據(jù)不等式左右的特點(diǎn)，分析可得應(yīng)將進(jìn)行適當(dāng)放縮使之能求和化簡(jiǎn)，，由，左邊部分可證得，右邊部分分析可得，，再用累乘法，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可證得右邊.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，則，由題有，則，又，得，∴∵，∴∴（2）由（1）知，∵，∴，∴，又，又當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，，則，…，，累乘得，∴，即不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，考查了放縮法的應(yīng)用，應(yīng)依據(jù)題目的特點(diǎn)，適當(dāng)放縮，即，和，是解決本題的關(guān)鍵，還考查了分析推理實(shí)力，運(yùn)算實(shí)力，難度較大.21.已知是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，的重心為．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中的軌跡與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)直線與軸相交時(shí)，令交點(diǎn)為，求四邊形的面積最小時(shí)直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，依據(jù)題意列出所滿意的式子，再消去參數(shù)即可求解；（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，將四邊形的面積用含的代數(shù)式表