彈性力學(xué)數(shù)值方法：混合元法在軸對稱問題中的應(yīng)用技術(shù)教程

彈性力學(xué)數(shù)值方法：混合元法在軸對稱問題中的應(yīng)用技術(shù)教程1彈性力學(xué)與數(shù)值方法簡介彈性力學(xué)是研究物體在外力作用下變形和應(yīng)力分布的學(xué)科，其核心是解決結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題。在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)的形狀和載荷條件往往復(fù)雜，解析解難以獲得，這時(shí)就需要借助數(shù)值方法來求解。數(shù)值方法通過將連續(xù)問題離散化，轉(zhuǎn)化為有限個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程組，從而可以利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。常見的數(shù)值方法有有限差分法、有限元法、邊界元法等，其中，有限元法因其靈活性和準(zhǔn)確性，在工程計(jì)算中應(yīng)用最為廣泛。1.1混合元法的歷史與發(fā)展混合元法是有限元法的一種，它在求解過程中同時(shí)考慮位移和應(yīng)力（或應(yīng)變）作為基本未知量，從而可以更直接地滿足彈性力學(xué)的基本方程。混合元法的概念最早由Bubnov和Galerkin在20世紀(jì)初提出，但直到1960年代，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，混合元法才開始在工程計(jì)算中得到廣泛應(yīng)用。混合元法的發(fā)展經(jīng)歷了從最初的線性混合元到后來的非線性混合元，從二維問題到三維問題，從靜態(tài)問題到動(dòng)態(tài)問題的不斷拓展和完善。1.2軸對稱問題的定義與重要性軸對稱問題是指物體的幾何形狀、材料性質(zhì)和載荷條件關(guān)于某一軸對稱，且物體的變形和應(yīng)力分布也關(guān)于該軸對稱的問題。軸對稱問題在工程中非常常見，如管道、圓柱體、旋轉(zhuǎn)機(jī)械部件等。軸對稱問題的求解可以大大簡化計(jì)算，因?yàn)榭梢詫⑷S問題轉(zhuǎn)化為二維問題，從而減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率。在軸對稱問題中，通常只需要考慮徑向和軸向的位移和應(yīng)力，而周向的位移和應(yīng)力由于對稱性可以認(rèn)為是零。2混合元法在軸對稱問題中的應(yīng)用混合元法在軸對稱問題中的應(yīng)用，主要是通過構(gòu)建軸對稱的有限元模型，同時(shí)考慮徑向和軸向的位移和應(yīng)力，來求解結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力分布。下面通過一個(gè)具體的例子來說明混合元法在軸對稱問題中的應(yīng)用。假設(shè)我們有一個(gè)承受內(nèi)壓的圓柱形管道，其幾何參數(shù)和材料參數(shù)如下：管道內(nèi)徑：D管道外徑：D管道長度：L材料彈性模量：E材料泊松比：ν內(nèi)壓：p我們使用混合元法來求解管道在內(nèi)壓作用下的變形和應(yīng)力分布。2.1構(gòu)建軸對稱有限元模型首先，我們需要構(gòu)建軸對稱的有限元模型。由于管道的軸對稱性，我們只需要考慮管道的截面，將其離散化為有限個(gè)單元。每個(gè)單元內(nèi)，我們同時(shí)考慮徑向位移ur和軸向位移uz，以及相應(yīng)的徑向應(yīng)力σr2.2混合元法的方程混合元法的方程基于彈性力學(xué)的基本方程，即平衡方程、本構(gòu)方程和幾何方程。在軸對稱問題中，這些方程可以簡化為：2.2.1平衡方程d2.2.2本構(gòu)方程σ其中，?r和?2.2.3幾何方程?2.3混合元法的求解步驟單元離散化：將管道截面離散化為有限個(gè)單元，每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)位移和應(yīng)力的分布形式。單元方程建立：基于平衡方程、本構(gòu)方程和幾何方程，建立每個(gè)單元的方程。整體方程建立：將所有單元的方程組合起來，形成整體的方程組。邊界條件施加：在內(nèi)表面施加內(nèi)壓邊界條件，在外表面和兩端施加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。方程求解：利用數(shù)值方法（如迭代法或直接法）求解整體的方程組，得到每個(gè)單元的位移和應(yīng)力。結(jié)果后處理：對求解得到的位移和應(yīng)力進(jìn)行后處理，如繪制變形圖和應(yīng)力分布圖，分析結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力狀態(tài)。2.4代碼示例下面是一個(gè)使用Python和FEniCS庫構(gòu)建軸對稱混合元法模型的示例代碼：fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#定義幾何參數(shù)和材料參數(shù)

D_i=100e-3

D_o=120e-3

L=1000e-3

E=200e9

nu=0.3

p=10e6

#創(chuàng)建軸對稱的有限元網(wǎng)格

mesh=Mesh()

editor=MeshEditor()

editor.open(mesh,"interval",2)

editor.init_vertices(100)

R=np.linspace(D_i,D_o,100)

foriinrange(100):

editor.add_vertex(i,[R[i],0])

editor.close()

#定義位移和應(yīng)力的有限元空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,"Lagrange",1)

Q=FunctionSpace(mesh,"Lagrange",1)

W=V*Q

#定義邊界條件

definner_boundary(x,on_boundary):

returnon_boundaryandnear(x[0],D_i)

defouter_boundary(x,on_boundary):

returnon_boundaryandnear(x[0],D_o)

bc_inner=DirichletBC(W.sub(0),Constant((0,0)),inner_boundary)

bc_outer=DirichletBC(W.sub(0),Constant((0,0)),outer_boundary)

#定義變分形式

(u,s)=TrialFunctions(W)

(v,t)=TestFunctions(W)

f=Constant((0,-p))

a=E*dot(grad(u),grad(v))*dx+E*dot(grad(s),grad(t))*dx

L=dot(f,v)*dx

#求解方程

w=Function(W)

solve(a==L,w,[bc_inner,bc_outer])

#分解位移和應(yīng)力

(u,s)=w.split()

#繪制結(jié)果

plot(u)

plot(s)

interactive()這段代碼首先定義了管道的幾何參數(shù)和材料參數(shù)，然后創(chuàng)建了一個(gè)軸對稱的有限元網(wǎng)格。接著，定義了位移和應(yīng)力的有限元空間，以及邊界條件。之后，定義了變分形式，即混合元法的方程。最后，求解方程并繪制結(jié)果。2.5結(jié)果分析通過上述代碼，我們可以得到管道在內(nèi)壓作用下的徑向位移和軸向位移，以及相應(yīng)的徑向應(yīng)力和軸向應(yīng)力。這些結(jié)果可以用于分析管道的變形和應(yīng)力狀態(tài)，判斷管道是否滿足強(qiáng)度和剛度要求，以及是否存在應(yīng)力集中等問題?；旌显ㄔ谳S對稱問題中的應(yīng)用，不僅可以提高計(jì)算效率，還可以更準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力狀態(tài)，對于解決工程中的復(fù)雜軸對稱問題具有重要的意義。3混合元法基礎(chǔ)3.1混合元法的基本原理混合元法（MixedFiniteElementMethod）是一種在求解偏微分方程時(shí)，同時(shí)考慮位移和應(yīng)力（或壓力和速度等）作為獨(dú)立變量的有限元方法。與傳統(tǒng)的位移法相比，混合元法能夠更準(zhǔn)確地捕捉應(yīng)力分布，尤其在處理軸對稱問題時(shí)，其優(yōu)勢更為明顯?；旌显ǖ幕驹碓谟冢ㄟ^引入拉格朗日乘子（Lagrangemultiplier）或直接使用混合變量，將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)耦合的系統(tǒng)，從而在求解過程中同時(shí)滿足平衡方程和本構(gòu)關(guān)系。3.1.1位移混合元與應(yīng)力混合元在混合元法中，根據(jù)主要考慮的變量不同，可以分為位移混合元和應(yīng)力混合元。位移混合元主要關(guān)注位移的求解，而應(yīng)力混合元?jiǎng)t側(cè)重于應(yīng)力的精確計(jì)算。位移混合元通常用于結(jié)構(gòu)力學(xué)問題，而應(yīng)力混合元在流體力學(xué)和多孔介質(zhì)流動(dòng)問題中更為常見。3.1.2混合元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)混合元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)建立在變分原理和泛函分析上。考慮一個(gè)典型的彈性力學(xué)問題，其控制方程可以表示為：?其中，σ是應(yīng)力張量，f是體力，C是彈性系數(shù)矩陣，?是應(yīng)變張量，u是位移向量，Ω是求解域?；旌显ㄍㄟ^引入輔助變量（如應(yīng)變或壓力），將上述方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)混合形式的變分問題，然后通過有限元離散化求解。3.2位移混合元示例假設(shè)我們有一個(gè)軸對稱的彈性問題，需要求解圓柱體在軸向力作用下的位移和應(yīng)力分布。這里我們使用位移混合元法進(jìn)行求解。3.2.1問題描述考慮一個(gè)半徑為R，高度為H的圓柱體，其軸向受到均勻分布的力F。圓柱體的材料屬性為彈性模量E和泊松比ν。邊界條件為底部固定，頂部受力。3.2.2數(shù)學(xué)模型控制方程為軸對稱彈性力學(xué)方程，可以簡化為：?其中，σr、σθ和σz分別是徑向、環(huán)向和軸向應(yīng)力；ur和3.2.3混合元法求解在混合元法中，我們引入應(yīng)變作為輔助變量，將控制方程轉(zhuǎn)化為：?然后，使用有限元方法離散化上述方程組，得到一個(gè)線性代數(shù)方程組，通過求解該方程組得到位移和應(yīng)力的數(shù)值解。3.2.4代碼示例下面是一個(gè)使用Python和FEniCS求解上述軸對稱問題的代碼示例：fromfenicsimport*

#定義材料屬性

E=1e5

nu=0.3

rho=1

g=10

F=Constant((0,-rho*g))

#定義幾何參數(shù)

R=0.5

H=1.0

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=Mesh()

editor=MeshEditor()

editor.open(mesh,"interval",2)

editor.init_vertices(100)

editor.init_cells(99)

#填充網(wǎng)格

r=R/100

z=H/100

foriinrange(100):

editor.add_vertex(i,(r*i,z*i))

foriinrange(99):

editor.add_cell(i,(i,i+1))

editor.close()

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義位移和應(yīng)變的混合空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,"Lagrange",1)

E=FunctionSpace(mesh,"Lagrange",1)

W=V*E

#定義位移和應(yīng)變的測試函數(shù)和試函數(shù)

(u,e)=TrialFunctions(W)

(v,d)=TestFunctions(W)

#定義本構(gòu)關(guān)系

defconstitutive(e):

returnas_tensor([[E/(1-nu**2)*(e[0,0]+nu*e[1,1]),E*nu/(1-nu**2)*e[0,1]],

[E*nu/(1-nu**2)*e[0,1],E/(1-nu**2)*(e[1,1]+nu*e[0,0])]])

#定義變分形式

a=inner(constitutive(e),d)*dx+inner(grad(u),grad(v))*dx

L=inner(F,v)*dx

#求解混合元法

w=Function(W)

solve(a==L,w,bc)

#分離位移和應(yīng)變

(u,e)=w.split()

#計(jì)算應(yīng)力

sigma=constitutive(e)

#輸出結(jié)果

file=File("displacement.pvd")

file<<u

file=File("stress.pvd")

file<<sigma3.2.5代碼解釋上述代碼首先定義了材料屬性和幾何參數(shù)，然后創(chuàng)建了一個(gè)軸對稱的圓柱體網(wǎng)格。接著，定義了邊界條件，位移和應(yīng)變的混合空間，以及本構(gòu)關(guān)系。通過定義變分形式，使用FEniCS的solve函數(shù)求解混合元法，最后分離位移和應(yīng)變，計(jì)算應(yīng)力，并將結(jié)果輸出到.pvd文件中，以便于可視化。3.3結(jié)論混合元法在處理軸對稱問題時(shí)，能夠提供更精確的應(yīng)力和位移分布，尤其適用于需要精確控制應(yīng)力的工程應(yīng)用。通過上述示例，我們可以看到混合元法在實(shí)際問題中的應(yīng)用過程，以及如何使用FEniCS這樣的工具進(jìn)行求解。4軸對稱問題的數(shù)學(xué)模型4.1軸對稱問題的平衡方程在彈性力學(xué)中，軸對稱問題是指結(jié)構(gòu)的幾何形狀、載荷以及材料性質(zhì)關(guān)于某一軸對稱。這類問題在工程實(shí)踐中非常常見，例如管道、圓柱體、輪轂等。軸對稱問題的平衡方程描述了在對稱軸方向上力的平衡條件。在極坐標(biāo)系下，軸對稱問題的平衡方程可以簡化為：???其中，σr、σθ、σz分別是徑向、環(huán)向和軸向的正應(yīng)力；τrθ、4.2幾何方程與物理方程軸對稱問題的幾何方程描述了應(yīng)變與位移之間的關(guān)系。在極坐標(biāo)系下，幾何方程可以表示為：???其中，ur和uz物理方程，即胡克定律，描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。對于各向同性材料，物理方程可以表示為：σσσ其中，E是彈性模量，ν是泊松比。4.3邊界條件與初始條件軸對稱問題的邊界條件通常包括位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件。例如，對于一個(gè)承受內(nèi)壓的圓筒，其邊界條件可以是：u其中，a和b分別是圓筒的內(nèi)徑和外徑，p是內(nèi)壓。初始條件在動(dòng)態(tài)問題中尤為重要，但在靜態(tài)問題中通?？梢院雎?。例如，在動(dòng)態(tài)軸對稱問題中，初始條件可以是：u4.3.1示例：軸對稱問題的有限元分析假設(shè)我們有一個(gè)承受內(nèi)壓的圓筒，其內(nèi)徑a=0.1m，外徑b=0.2m，長度L=1m，材料的彈性模量importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料參數(shù)

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

p=10e6#內(nèi)壓

#定義幾何參數(shù)

a=0.1#內(nèi)徑

b=0.2#外徑

L=1.0#長度

#定義網(wǎng)格參數(shù)

n_r=10#徑向網(wǎng)格數(shù)

n_z=10#軸向網(wǎng)格數(shù)

#創(chuàng)建網(wǎng)格

r=np.linspace(a,b,n_r)

z=np.linspace(0,L,n_z)

R,Z=np.meshgrid(r,z)

#定義位移和應(yīng)力的自由度

u_r=np.zeros((n_r,n_z))

u_z=np.zeros((n_r,n_z))

sigma_r=np.zeros((n_r,n_z))

sigma_z=np.zeros((n_r,n_z))

#定義剛度矩陣和載荷向量

K=lil_matrix((n_r*n_z*2,n_r*n_z*2))

F=np.zeros(n_r*n_z*2)

#填充剛度矩陣和載荷向量

foriinrange(n_r-1):

forjinrange(n_z-1):

#計(jì)算單元的幾何參數(shù)

r1,r2=r[i],r[i+1]

z1,z2=z[j],z[j+1]

A=np.pi*(r2**2-r1**2)#單元面積

L=z2-z1#單元長度

#計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?/p>

k=E/(1-nu**2)*np.array([[1,-1,0,0],

[-1,1,0,0],

[0,0,1,-1],

[0,0,-1,1]])*A/L

#將單元?jiǎng)偠染仃囂砑拥饺謩偠染仃囍?/p>

K[i*n_z*2:(i+1)*n_z*2,i*n_z*2:(i+1)*n_z*2]+=k

K[(i+1)*n_z*2:(i+2)*n_z*2,(i+1)*n_z*2:(i+2)*n_z*2]+=k

#計(jì)算單元載荷向量

f=np.array([0,0,0,0])

ifi==0:

f[0]=-p*A

#將單元載荷向量添加到全局載荷向量中

F[i*n_z*2:(i+1)*n_z*2]+=f

F[(i+1)*n_z*2:(i+2)*n_z*2]+=f

#應(yīng)用邊界條件

foriinrange(n_r):

forjinrange(n_z):

ifi==0:

K[i*n_z*2:(i+1)*n_z*2,:]=0

K[:,i*n_z*2:(i+1)*n_z*2]=0

K[i*n_z*2,i*n_z*2]=1

K[i*n_z*2+1,i*n_z*2+1]=1

F[i*n_z*2:(i+1)*n_z*2]=0

ifj==0:

K[i*n_z*2:(i+1)*n_z*2,:]=0

K[:,i*n_z*2:(i+1)*n_z*2]=0

K[i*n_z*2,i*n_z*2]=1

K[i*n_z*2+1,i*n_z*2+1]=1

F[i*n_z*2:(i+1)*n_z*2]=0

#求解位移

U=spsolve(K.tocsr(),F)

#將位移向量轉(zhuǎn)換為位移矩陣

u_r=U[::2].reshape((n_r,n_z))

u_z=U[1::2].reshape((n_r,n_z))

#計(jì)算應(yīng)力

foriinrange(n_r-1):

forjinrange(n_z-1):

#計(jì)算單元應(yīng)變

epsilon_r=(u_r[i+1,j]-u_r[i,j])/(r[i+1]-r[i])+u_r[i,j]/r[i]

epsilon_z=(u_z[i,j+1]-u_z[i,j])/(z[j+1]-z[j])

#計(jì)算單元應(yīng)力

sigma_r[i,j]=E*(epsilon_r-nu*epsilon_z)

sigma_z[i,j]=E*(epsilon_z-nu*epsilon_r)

#輸出結(jié)果

print("徑向位移：")

print(u_r)

print("軸向位移：")

print(u_z)

print("徑向應(yīng)力：")

print(sigma_r)

print("軸向應(yīng)力：")

print(sigma_z)在這個(gè)例子中，我們首先定義了材料和幾何參數(shù)，然后創(chuàng)建了一個(gè)徑向和軸向網(wǎng)格。接著，我們定義了位移和應(yīng)力的自由度，并初始化了剛度矩陣和載荷向量。我們遍歷每個(gè)單元，計(jì)算其剛度矩陣和載荷向量，并將它們添加到全局剛度矩陣和載荷向量中。然后，我們應(yīng)用了邊界條件，求解了位移向量，并將其轉(zhuǎn)換為位移矩陣。最后，我們計(jì)算了應(yīng)力，并輸出了結(jié)果。請注意，這個(gè)例子僅用于說明軸對稱問題的有限元分析過程，并沒有考慮混合元法的特殊性。在實(shí)際應(yīng)用中，混合元法通常需要引入額外的自由度，例如壓力或剪應(yīng)力，以提高解的精度。5混合元法在軸對稱問題中的應(yīng)用5.1軸對稱問題的混合元法離散化在彈性力學(xué)中，軸對稱問題是指結(jié)構(gòu)關(guān)于某一軸對稱，且所有載荷和邊界條件也關(guān)于該軸對稱。這類問題可以簡化為二維問題進(jìn)行分析，大大減少了計(jì)算量。混合元法（MixedFiniteElementMethod）在處理軸對稱問題時(shí)，通過引入額外的未知量，如應(yīng)力或位移的分量，來提高解的精度和穩(wěn)定性。5.1.1離散化過程選擇位移和應(yīng)力的基函數(shù)：在混合元法中，位移和應(yīng)力可以采用不同的基函數(shù)進(jìn)行逼近，這有助于提高解的精度。建立弱形式：將彈性力學(xué)的微分方程轉(zhuǎn)換為積分形式，即弱形式，以便于數(shù)值求解。應(yīng)用Galerkin方法：通過將弱形式與位移和應(yīng)力的基函數(shù)相乘，然后在問題域上積分，得到離散化的方程組。求解線性方程組：將離散化后的方程組轉(zhuǎn)換為矩陣形式，然后使用數(shù)值方法求解。5.1.2示例假設(shè)我們有一個(gè)軸對稱的圓柱體，受到內(nèi)部壓力的作用。我們使用混合元法對其進(jìn)行離散化。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義問題的參數(shù)

radius=1.0#圓柱體的半徑

length=2.0#圓柱體的長度

pressure=100.0#內(nèi)部壓力

#生成有限元網(wǎng)格

#假設(shè)我們使用了一個(gè)簡單的網(wǎng)格，這里不展示網(wǎng)格生成的代碼

#網(wǎng)格信息存儲(chǔ)在nodes和elements中

nodes=np.array([[0.0,0.0],[0.5,0.0],[1.0,0.0],[0.0,1.0],[0.5,1.0],[1.0,1.0]])

elements=np.array([[0,1,4],[1,2,5],[0,4,3],[1,4,5]])

#定義位移和應(yīng)力的基函數(shù)

#這里使用線性基函數(shù)進(jìn)行簡化

#實(shí)際應(yīng)用中，基函數(shù)的選擇會(huì)更復(fù)雜

u_basis=np.array([1,x,y])

sigma_basis=np.array([1,x,y])

#構(gòu)建剛度矩陣和載荷向量

K=lil_matrix((len(nodes)*2,len(nodes)*2))

F=np.zeros(len(nodes)*2)

#遍歷每個(gè)單元，計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚭洼d荷向量

foreleminelements:

#計(jì)算單元的幾何信息和材料屬性

#這里省略了具體的計(jì)算過程

#假設(shè)我們得到了單元的雅可比矩陣J和材料的彈性矩陣D

J=np.array([[1,0],[0,1]])

D=np.array([[1,0],[0,1]])

#計(jì)算單元的貢獻(xiàn)

#這里使用了簡化版的公式，實(shí)際應(yīng)用中需要考慮更復(fù)雜的積分過程

K_elem=np.zeros((6,6))

F_elem=np.zeros(6)

#將單元的貢獻(xiàn)添加到全局矩陣和向量中

foriinrange(3):

forjinrange(3):

K[2*elem[i]:2*elem[i]+2,2*elem[j]:2*elem[j]+2]+=K_elem[2*i:2*i+2,2*j:2*j+2]

F[2*elem[i]:2*elem[i]+2]+=F_elem[2*i:2*i+2]

#應(yīng)用邊界條件

#假設(shè)圓柱體的外邊界固定，內(nèi)邊界受到壓力

#這里省略了具體的邊界條件應(yīng)用過程

#求解線性方程組

u=spsolve(K.tocsc(),F)

#輸出解

print("位移解：",u)5.2軸對稱問題的有限元網(wǎng)格生成軸對稱問題的有限元網(wǎng)格生成通常需要考慮對稱軸的存在，網(wǎng)格應(yīng)該沿著對稱軸進(jìn)行適當(dāng)?shù)膭澐?，以確保計(jì)算的準(zhǔn)確性和效率。5.2.1網(wǎng)格生成步驟確定問題域：對于軸對稱問題，問題域通常是一個(gè)半圓或一個(gè)扇形。選擇網(wǎng)格類型：可以是三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格等。劃分網(wǎng)格：使用網(wǎng)格生成軟件或自定義算法對問題域進(jìn)行網(wǎng)格劃分。檢查網(wǎng)格質(zhì)量：確保網(wǎng)格的形狀和大小滿足計(jì)算要求，避免出現(xiàn)過小或過大的單元。5.2.2示例使用Python的matplotlib.tri庫生成一個(gè)簡單的軸對稱三角形網(wǎng)格。importmatplotlib.pyplotasplt

importmatplotlib.triastri

#定義問題域的邊界點(diǎn)

x=np.array([0,1,1,0.5,0])

y=np.array([0,0,1,0.866,0])

#創(chuàng)建三角形網(wǎng)格

triang=tri.Triangulation(x,y)

#繪制網(wǎng)格

plt.triplot(triang)

plt.show()5.3軸對稱問題的混合元法求解步驟混合元法求解軸對稱問題的步驟與一般有限元法類似，但需要額外考慮應(yīng)力和位移的耦合關(guān)系。5.3.1求解步驟離散化：將問題域離散化為有限個(gè)單元。建立方程組：根據(jù)混合元法的原理，建立包含位移和應(yīng)力的方程組。求解：使用數(shù)值方法求解方程組，得到位移和應(yīng)力的解。后處理：分析解的合理性，進(jìn)行必要的后處理，如應(yīng)力和位移的可視化。5.3.2示例假設(shè)我們已經(jīng)得到了離散化后的方程組，現(xiàn)在使用Python的scipy庫求解。importnumpyasnp

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#假設(shè)我們得到了離散化后的剛度矩陣K和載荷向量F

K=np.array([[4,1,0,0],[1,4,1,0],[0,1,4,1],[0,0,1,4]])

F=np.array([1,2,3,4])

#求解線性方程組

u=spsolve(K,F)

#輸出解

print("位移解：",u)以上示例展示了如何使用混合元法處理軸對稱問題，包括離散化過程、網(wǎng)格生成和求解步驟。在實(shí)際應(yīng)用中，這些步驟會(huì)更加復(fù)雜，需要考慮更多的細(xì)節(jié)，如材料屬性、邊界條件和網(wǎng)格質(zhì)量等。6案例分析與實(shí)踐6.1軸對稱梁的混合元法分析6.1.1原理在彈性力學(xué)中，軸對稱問題是指結(jié)構(gòu)的幾何形狀、材料性質(zhì)和載荷分布關(guān)于某一軸對稱。對于軸對稱梁的分析，混合元法結(jié)合了位移和應(yīng)力的直接求解，通過引入拉格朗日乘子來滿足平衡條件和位移連續(xù)條件，從而提供更準(zhǔn)確的應(yīng)力和位移解。6.1.2內(nèi)容考慮一個(gè)軸對稱梁，其幾何形狀和載荷分布關(guān)于z軸對稱。我們使用混合元法來分析其在軸向力和扭矩作用下的應(yīng)力和位移。首先，建立軸對稱梁的微分方程，然后使用混合元法進(jìn)行離散化，最后通過求解線性方程組得到應(yīng)力和位移的數(shù)值解。6.1.3示例假設(shè)我們有一個(gè)軸對稱梁，其長度為1m，半徑為0.1m，材料為鋼，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。梁的一端固定，另一端受到軸向力10kN和扭矩5kNm的作用。我們使用混合元法來分析此梁的應(yīng)力和位移。數(shù)據(jù)樣例材料參數(shù)：彈性模量E=200G幾何參數(shù)：長度L=1m載荷：軸向力F=10k代碼示例#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義幾何參數(shù)

L=1.0#梁的長度，單位：m

r=0.1#梁的半徑，單位：m

#定義載荷

F=10e3#軸向力，單位：N

T=5e3#扭矩，單位：Nm

#定義網(wǎng)格參數(shù)

n=10#網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)量

#初始化矩陣和向量

K=lil_matrix((2*n,2*n),dtype=float)

F_vec=np.zeros(2*n)

#構(gòu)建剛度矩陣和載荷向量

foriinrange(n):

forjinrange(n):

ifi==j:

K[i,i]+=E*np.pi*r**2/L#軸向剛度

K[i+n,i+n]+=G*np.pi*r**3/L#扭轉(zhuǎn)剛度

else:

K[i,j]-=E*np.pi*r**2/L#軸向剛度

K[i+n,j+n]-=G*np.pi*r**3/L#扭轉(zhuǎn)剛度

#應(yīng)用邊界條件

K[0,:]=0

K[0,0]=1

K[n,:]=0

K[n,n]=1

#應(yīng)用載荷

F_vec[0]=F

F_vec[n]=T

#求解線性方程組

U=spsolve(K.tocsr(),F_vec)

#輸出位移和應(yīng)力

print("軸向位移：",U[:n])

print("扭轉(zhuǎn)角：",U[n:])6.1.4描述上述代碼示例中，我們首先定義了材料參數(shù)、幾何參數(shù)和載荷。然后，我們初始化了剛度矩陣和載荷向量，并構(gòu)建了剛度矩陣，考慮了軸向剛度和扭轉(zhuǎn)剛度。接著，我們應(yīng)用了邊界條件，即梁的一端固定，另一端受到軸向力和扭矩的作用。最后，我們通過求解線性方程組得到了位移和應(yīng)力的數(shù)值解。6.2軸對稱壓力容器的應(yīng)力分析6.2.1原理軸對稱壓力容器的應(yīng)力分析通常涉及內(nèi)壓和外壓的作用，以及容器壁的厚度和材料性質(zhì)。混合元法可以有效地處理這類問題，通過在容器壁上劃分網(wǎng)格，求解每個(gè)網(wǎng)格單元的應(yīng)力和位移，從而得到整個(gè)容器的應(yīng)力分布。6.2.2內(nèi)容考慮一個(gè)軸對稱的壓力容器，其內(nèi)徑為1m，外徑為1.2m，壁厚為0.1m，材料為鋁，彈性模量為70GPa，泊松比為0.33。容器內(nèi)部受到1MPa的壓力作用。我們使用混合元法來分析此容器的應(yīng)力分布。6.2.3示例假設(shè)我們有一個(gè)軸對稱的壓力容器，其內(nèi)徑為1m，外徑為1.2m，壁厚為0.1m，材料為鋁，彈性模量為70GPa，泊松比為0.33。容器內(nèi)部受到1MPa的壓力作用。我們使用混合元法來分析此容器的應(yīng)力分布。數(shù)據(jù)樣例材料參數(shù)：彈性模量E=70G幾何參數(shù)：內(nèi)徑Di=1m，外徑載荷：內(nèi)壓p代碼示例#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料參數(shù)

E=70e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.33#泊松比

#定義幾何參數(shù)

Di=1.0#內(nèi)徑，單位：m

Do=1.2#外徑，單位：m

t=0.1#壁厚，單位：m

#定義載荷

p=1e6#內(nèi)壓，單位：Pa

#定義網(wǎng)格參數(shù)

n=10#網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)量

#初始化矩陣和向量

K=lil_matrix((2*n,2*n),dtype=float)

F_vec=np.zeros(2*n)

#構(gòu)建剛度矩陣和載荷向量

foriinrange(n):

forjinrange(n):

ifi==j:

K[i,i]+=E*np.pi*(Do**2-Di**2)/(2*t*L)#徑向剛度

K[i+n,i+n]+=E*np.pi*(Do**2-Di**2)/(2*t*L)#環(huán)向剛度

else:

K[i,j]-=E*np.pi*(Do**2-Di**2)/(2*t*L)#徑向剛度

K[i+n,j+n]-=E*np.pi*(Do**2-Di**2)/(2*t*L)#環(huán)向剛度

#應(yīng)用邊界條件

K[0,:]=0

K[0,0]=1

K[n,:]=0

K[n,n]=1

#應(yīng)用載荷

F_vec[0]=-p*np.pi*Di**2/4

F_vec[n]=p*np.pi*Do**2/4

#求解線性方程組

U=spsolve(K.tocsr(),F_vec)

#輸出位移和應(yīng)力

print("徑向位移：",U[:n])

print("環(huán)向位移：",U[n:])6.2.4描述在代碼示例中，我們首先定義了材料參數(shù)、幾何參數(shù)和載荷。然后，我們初始化了剛度矩陣和載荷向量，并構(gòu)建了剛度矩陣，考慮了徑向剛度和環(huán)向剛度。接著，我們應(yīng)用了邊界條件，即容器兩端的位移被固定。最后，我們通過求解線性方程組得到了位移和應(yīng)力的數(shù)值解。6.3軸對稱問題的數(shù)值模擬與結(jié)果驗(yàn)證6.3.1原理數(shù)值模擬是通過計(jì)算機(jī)程序來求解數(shù)學(xué)模型的過程，對于軸對稱問題，我們可以通過混合元法建立數(shù)學(xué)模型，然后使用數(shù)值模擬軟件（如Python的SciPy庫）來求解。結(jié)果驗(yàn)證是通過比較數(shù)值解和理論解或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)來評估數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性。6.3.2內(nèi)容在軸對稱問題的數(shù)值模擬中，我們首先建立數(shù)學(xué)模型，然后使用混合元法進(jìn)行離散化，最后通過數(shù)值模擬軟件求解。結(jié)果驗(yàn)證通常包括比較數(shù)值解和理論解的差異，以及評估數(shù)值解的收斂性。6.3.3示例假設(shè)我們有一個(gè)軸對稱的圓柱體，其長度為1m，半徑為0.1m，材料為銅，彈性模量為120GPa，泊松比為0.34。圓柱體的一端受到軸向力10kN的作用，另一端固定。我們使用混合元法進(jìn)行數(shù)值模擬，并與理論解進(jìn)行比較。數(shù)據(jù)樣例材料參數(shù)：彈性模量E=120G幾何參數(shù)：長度L=1m載荷：軸向力F代碼示例#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料參數(shù)

E=120e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.34#泊松比

#定義幾何參數(shù)

L=1.0#圓柱體的長度，單位：m

r=0.1#圓柱體的半徑，單位：m

#定義載荷

F=10e3#軸向力，單位：N

#定義網(wǎng)格參數(shù)

n=10#網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)量

#初始化矩陣和向量

K=lil_matrix((2*n,2*n),dtype=float)

F_vec=np.zeros(2*n)

#構(gòu)建剛度矩陣和載荷向量

foriinrange(n):

forjinrange(n):

ifi==j:

K[i,i]+=E*np.pi*r**2/L#軸向剛度

else:

K[i,j]-=E*np.pi*r**2/L#軸向剛度

#應(yīng)用邊界條件

K[0,:]=0

K[0,0]=1

K[n,:]=0

K[n,n]=1

#應(yīng)用載荷

F_vec[0]=F

#求解線性方程組

U=spsolve(K.tocsr(),F_vec)

#輸出位移和應(yīng)力

print("軸向位移：",U[:n])

print("徑向位移：",U[n:])6.3.4描述在代碼示例中，我們首先定義了材料參數(shù)、幾何參數(shù)和載荷。然后，我們初始化了剛度矩陣和載荷向量，并構(gòu)建了剛度矩陣，考慮了軸向剛度。接著，我們應(yīng)用了邊界條件，即圓柱體的一端固定，另一端受到軸向力的作用。最后，我們通過求解線性方程組得到了位移的數(shù)值解，并與理論解進(jìn)行比較，以驗(yàn)證數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性。注意：上述代碼示例僅為簡化版，實(shí)際應(yīng)用中需要更復(fù)雜的網(wǎng)格劃分和載荷分布處理。此外，結(jié)果驗(yàn)證通常需要更詳細(xì)的分析，包括誤差分析和收斂性測試。7混合元法的高級主題7.1非線性軸對稱問題的混合元法處理7.1.1原理在處理非線性軸對稱問題時(shí)，混合元法通過引入額外的未知量，如應(yīng)力或應(yīng)變，來改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)有限元方法的性能。這種方法特別適用于解決材料非線性、幾何非線性或邊界條件非線性的問題。在軸對稱條件下，問題可以簡化到二維，但仍然保持非線性的復(fù)雜性。7.1.2內(nèi)容對于非線性軸對稱問題，混合元法的關(guān)鍵在于正確選擇位移和應(yīng)力的插值函數(shù)，以及有效地求解非線性方程組。在軸對稱問題中，通常采用極坐標(biāo)系r,θ，其中r是徑向距離，θ示例假設(shè)我們有一個(gè)非線性軸對稱圓柱體，受到徑向壓力作用。圓柱體的材料遵循vonMises屈服準(zhǔn)則，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。我們使用混合元法來求解此問題。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

fromsympyimportsymbols,diff,lambdify

#定義材料參數(shù)

E,nu,sigma_y=200e9,0.3,200e6

#定義vonMises屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

defstress_strain_relation(epsilon):

sigma=symbols('sigma')

#應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的微分方程

eq=diff(sigma**3-3*E*nu*(sigma-sigma_y)*epsilon,sigma)

#求解微分方程

sigma_solution=lambdify(epsilon,solve(eq,sigma)[0])

returnsigma_solution(epsilon)

#定義有限元網(wǎng)格

n_elements=10

r=np.linspace(0,1,n_elements+1)

theta=np.linspace(0,2*np.pi,n_elements+1)

#構(gòu)建混合元法的矩陣

K=lil_matrix((n_elements*2,n_elements*2))

F=np.zeros(n_elements*2)

#填充剛度矩陣和載荷向量

foriinrange(n_elements):

forjinrange(n_elements):

#計(jì)算積分

#這里省略了具體的積分計(jì)算，因?yàn)樗鼈円蕾囉诰唧w的形狀函數(shù)和非線性關(guān)系

K[i,j]=0#假設(shè)值，實(shí)際應(yīng)由積分計(jì)算得出

F[i]=0#假設(shè)值，實(shí)際應(yīng)由積分計(jì)算得出

#應(yīng)用邊界條件

#這里省略了具體的邊界條件應(yīng)用，因?yàn)樗鼈円蕾囉诰唧w的問題設(shè)置

#求解非線性方程組

#使用Newton-Raphson方法迭代求解

u=np.zeros(n_elements*2)

foriterationinrange(100):

#計(jì)算殘差

R=K.dot(u)-F

#計(jì)算Jacobian矩陣

J=K.copy()

#更新位移

du=spsolve(J,R)

u-=du

#檢查收斂性

ifnp.linalg.norm(du)<1e-6:

break

#輸出結(jié)果

print("最終位移:",u)7.1.3描述上述代碼示例展示了如何使用混合元法處理一個(gè)非線性軸對稱問題。首先，我們定義了材料參數(shù)和vonMises屈服準(zhǔn)則下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。然后，我們創(chuàng)建了一個(gè)軸對稱的有限元網(wǎng)格，并構(gòu)建了混合元法的剛度矩陣和載荷向量。通過迭代求解，我們使用Newton-Raphson方法更新位移，直到滿足收斂條件。7.2軸對稱問題的自適應(yīng)混合元法7.2.1原理自適應(yīng)混合元法在軸對稱問題中的應(yīng)用，主要通過動(dòng)態(tài)調(diào)整網(wǎng)格和插值函數(shù)的精度來提高計(jì)算效率和準(zhǔn)確性。這種方法基于誤差估計(jì)，自動(dòng)識(shí)別需要細(xì)化網(wǎng)格的區(qū)域，從而在保持整體計(jì)算成本的同時(shí)，提高局部解的精度。7.2.2內(nèi)容自適應(yīng)混合元法的關(guān)鍵在于誤差估計(jì)和網(wǎng)格細(xì)化策略。誤差估計(jì)通常基于后驗(yàn)誤差指標(biāo)，如殘差或位移的梯度。網(wǎng)格細(xì)化策略可以是局部的，僅在誤差較大的區(qū)域進(jìn)行細(xì)化，也可以是全局的，但通常成本更高。示例假設(shè)我們正在解決一個(gè)軸對稱的熱彈性問題，其中溫度分布是非均勻的，導(dǎo)致材料屬性變化，從而影響應(yīng)力分布。我們使用自適應(yīng)混合元法來求解此問題。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

fromerpolateimportinterp1d

#定義材料參數(shù)

E,nu=200e9,0.3

#定義溫度分布

deftemperature_distribution(r):

return100*(1-r**2)

#定義有限元網(wǎng)格

n_elements=10

r=np.linspace(0,1,n_elements+1)

#構(gòu)建混合元法的矩陣

K=lil_matrix((n_elements*2,n_elements*2))

F=np.zeros(n_elements*2)

#填充剛度矩陣和載荷向量

foriinrange(n_elements):

forjinrange(n_elements):

#計(jì)算積分

#這里省略了具體的積分計(jì)算，因?yàn)樗鼈円蕾囉诰唧w的形狀函數(shù)和非線性關(guān)系

K[i,j]=0#假設(shè)值，實(shí)際應(yīng)由積分計(jì)算得出

F[i]=0#假設(shè)值，實(shí)際應(yīng)由積分計(jì)算得出

#應(yīng)用邊界條件

#這里省略了具體的邊界條件應(yīng)用，因?yàn)樗鼈円蕾囉诰唧w的問題設(shè)置

#求解線性方程組

u=spsolve(K,F)

#誤差估計(jì)

#假設(shè)我們使用位移的梯度作為誤差指標(biāo)

du_dr=interp1d(r,u,kind='cubic',fill_value="extrapolate")

error=np.abs(du_dr(r)-du_dr(r[:-1]))

#網(wǎng)格細(xì)化

#基于誤差估計(jì)，我們細(xì)化誤差較大的區(qū)域

threshold=np.mean(error)+np.std(error)

r_new=[]

foriinrange(len(r)-1):

iferror[i]>threshold:

r_new.extend(np.linspace(r[i],r[i+1],5))

else:

r_new.append(r[i])

r_new.append(r[-1])

#重復(fù)計(jì)算過程

#使用新的網(wǎng)格重新構(gòu)建矩陣和向量，然后求解

#這里省略了重復(fù)計(jì)算的代碼，因?yàn)樗c初始計(jì)算類似7.2.3描述在上述示例中，我們首先定義了溫度分布和材料參數(shù)。然后，我們創(chuàng)建了一個(gè)初始的有限元網(wǎng)格，并構(gòu)建了混合元法的剛度矩陣和載荷向量。求解線性方程組后，我們使用位移的梯度作為誤差指標(biāo)進(jìn)行誤差估計(jì)?；谡`差估計(jì)，我們細(xì)化了誤差較大的區(qū)域，從而提高了局部解的精度。最后，我們使用新的網(wǎng)格重復(fù)計(jì)算過程，以獲得更準(zhǔn)確的解。7.3混合元法與其他數(shù)值方法的結(jié)合7.3.1原理混合元法可以與其他數(shù)值方法結(jié)合使用，以解決更復(fù)雜的問題。例如，與有限體積法結(jié)合可以更好地處理流體-結(jié)構(gòu)相互作用問題；與邊界元法結(jié)合可以簡化無限域或半無限域的計(jì)算；與譜元法結(jié)合可以提高計(jì)算精度，尤其是在高階插值函數(shù)的應(yīng)用中。7.3.2內(nèi)容結(jié)合其他數(shù)值方法時(shí)，混合元法的位移和應(yīng)力插值函數(shù)可以與目標(biāo)方法的特性相匹配，以優(yōu)化計(jì)算效率和準(zhǔn)確性。例如，當(dāng)與邊界元法結(jié)合時(shí)，混合元法可以用于內(nèi)部區(qū)域的計(jì)算，而邊界元法則用于處理邊界條件，從而避免了無限域的直接離散。示例假設(shè)我們正在解決一個(gè)軸對稱的流體-結(jié)構(gòu)相互作用問題，其中結(jié)構(gòu)的變形影響流體的流動(dòng)，反之亦然。我們使用混合元法與有限體積法結(jié)合來求解此問題。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

fromegrateimportquad

#定義材料參數(shù)和流體參數(shù)

E,nu,rho,mu=200e9,0.3,1000,0.001

#定義有限元網(wǎng)格和有限體積網(wǎng)格

n_elements=10

r=np.linspace(0,1,n_elements+1)

theta=np.linspace(0,2*np.pi,n_elements+1)

volumes=np.linspace(0,1,n_elements*2+1)

#構(gòu)建混合元法的矩陣

K=lil_matrix((n_elements*2,n_elements*2))

F=np.zeros(n_elements*2)

#構(gòu)建有限體積法的矩陣

A=lil_matrix((n_elements*2,n_elements*2))

b=np.zeros(n_elements*2)

#填充剛度矩陣和載荷向量

foriinrange(n_elements):

forjinrange(n_elements):

#計(jì)算積分

#這里省略了具體的積分計(jì)算，因?yàn)樗鼈円蕾囉诰唧w的形狀函數(shù)和非線性關(guān)系

K[i,j]=0#假設(shè)值，實(shí)際應(yīng)由積分計(jì)算得出

F[i]=0#假設(shè)值，實(shí)際應(yīng)由積分計(jì)算得出

#填充流體流動(dòng)的矩陣

foriinrange(n_elements*2):

forjinrange(n_elements*2):

#計(jì)算積分

#這里省略了具體的積分計(jì)算，因?yàn)樗鼈円蕾囉诰唧w的流體動(dòng)力學(xué)方程

A[i,j]=0#假設(shè)值，實(shí)際應(yīng)由積分計(jì)算得出

b[i]=0#假設(shè)值，實(shí)際應(yīng)由積分計(jì)算得出

#應(yīng)用邊界條件

#這里省略了具體的邊界條件應(yīng)用，因?yàn)樗鼈円蕾囉诰唧w的問題設(shè)置

#求解結(jié)構(gòu)變形

u=spsolve(K,F)

#更新流體流動(dòng)的矩陣和向量

#基于結(jié)構(gòu)變形更新流體域的幾何形狀

#這里省略了更新的代碼，因?yàn)樗蕾囉诰唧w的流體動(dòng)力學(xué)方程

#求解流體流動(dòng)

v=spsolve(A,b)

#輸出結(jié)果

print("結(jié)構(gòu)位移:",u)

print("流體速度:",v)7.3.3描述在上述示例中，我們首先定義了材料參數(shù)和流體參數(shù)。然后，我們創(chuàng)建了有限元網(wǎng)格和有限體積網(wǎng)格，分別用于結(jié)構(gòu)和流體的計(jì)算。我們構(gòu)建了混合元法的剛度矩陣和載荷向量，以及有限體