2023湘教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步練習(xí)-442 平面與平面垂直

4.4.2平面與平面垂直

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一平面與平面垂直的判定

1.（2020內(nèi)蒙古赤峰期末）對于直線力和平面￡，一定能得出oJ_￡的一

組條件是

A.勿_1_77,m//a,n//￡

B.a0z?u￡

C.mi/n,〃_LB,i仁a

D.mi/77,a,〃_LB

2.（2020陜西寶雞金臺(tái)質(zhì)檢）下列命題正確的是

A.過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與這個(gè)平面垂直

B.過平面外一點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與這個(gè)平面平行

C.過平面外一點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與這個(gè)平面垂直

D.過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與這個(gè)平面平行

3.四面體a極?中，p歸p±PC,底面力比為等腰直角三角形，心式;。為血的中點(diǎn),

以下平面中，兩兩垂直的有.（填序號(hào)）

①平面必花②平面力比；③平面為C;④平面如C;⑤平面POC.

4.（2022貴州遵義第四中學(xué)期末）如圖，四棱錐人力宓9的底面力叫9是菱

形,PAUB,處，必尸是外的中點(diǎn)，連接AC,BD,且亦與班交于點(diǎn)￡連接在

（1）求證:成〃平面PCD;

⑵求證:平面戰(zhàn)江平面PAQ

p

題組二平面與平面垂直的性質(zhì)

5.（2022北京延慶期末）設(shè)%B是兩個(gè)不同的平面，直線仞，￡，則“辦=?！笔?/p>

"力￡'’的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

6.（多選）關(guān)于三個(gè)不同的平面dy與一條直線1,下面命題中為真命題的是

A.若。，￡,則a內(nèi)一定存在直線平行于￡

B.若。與￡不垂直，則a內(nèi)一定不存在直線垂直于￡

C.若a_L/,￡_L九on8二L則7±Y

D.若，則a內(nèi)所有直線都垂直于B

7.（2020河北衡水武邑中學(xué)開學(xué)考試）正方形4a應(yīng)所在的平面與等腰直角三角形

力力所在的平面互相垂直，且［e除2,NM?=90°,尺G分別是線段4昆8。的中

點(diǎn)，則CD與G尸所成角的余弦值為（）

B.--

8.（2020廣東珠海期末）如圖,在矩形ABCD中,E為外的中點(diǎn),現(xiàn)將△為月與△口成

折起，使得平面的夕和平面緲后都與平面垂直.求證:宛〃平面DAE.

9.如圖，在四棱錐上ABCD中,底面力時(shí)是菱形,且/如后60°,△處〃為等邊三角

形，G為邊相的中點(diǎn),平面為〃J_平面ABCD.

(1)求證:8G_L平面PAD\

（2）若少為邊力的中點(diǎn),在邊尸。上是否存在點(diǎn)F,使平面龐7」平面力切力?證明你

的結(jié)論.

題組三二面角

10.（2020湖北宜昌一中期末）如圖，將正方形沿對角線NC折疊后,平面

歷平面DAC,則二面角B-CD-A的余弦值為（）

B

A.—B.iC.—D.—

2235

11.（多選）（2022浙江溫州期中聯(lián)考）如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖,還原成正

方體后，下列判斷正確的是（）

A.AC//FH

B.阿與勿所成的角為60°

C.二面角6H的大小為45°

D.B,〃E,G恰好是一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)

12.（2020湖南長沙第一中學(xué)月考）如圖,在一個(gè)平面角大小為60°的二面角的棱

上有48兩點(diǎn)，線段力。、M分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，并且都垂直于

棱若力廬盼2,則繆的長為（）

A.2魚B.V3C.2D.V5

13.（2022陜西渭南二模）如圖，在梯形ABCD中，AB〃CD,/比次120°,四邊形

ACFE為矩形,平面4儂1平面ABCD、且AACFBOCF^l.

（1）求證:￡"_L平面BCF\

（2）求平面為8與平面閱?的夾角的余弦值.

能力提升練

題組一平面與平面垂直的判定

1.（2020湖北襄陽四中月考）如圖,等邊三角形相C的中線花與中位線座相交于

點(diǎn)G將△力口沿龍翻折成△小能在翻折過程中，下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為

①恒有力'EL";

②異面直線力'?與劭不可能垂直；

③恒有平面平面BCED;

④動(dòng)點(diǎn)力'在平面/回上的投影在線段力尸上.

A.1B.2

C.3D.4

2.（2020河北石家莊二中期中）如圖所示,在四棱錐KABCD中,為，底面ABCD,且

底面各邊都相等，點(diǎn)"是上上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)材滿足時(shí),平

面，柳必，平面上Z（填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）

3.（2020湖南師大附中期末）如圖,直三棱柱/心順的底面是邊長為2的正三角

形，側(cè)棱4>1,尸是線段〃的延長線上一點(diǎn),平面為8分別與〃尸、原相交于欣N.

（1）求證:刈/〃平面CDE\

⑵當(dāng)上為何值時(shí)，平面為反L平面CD由

題組二平面與平面垂直的性質(zhì)

4.（多選）（2022黑龍江大慶中學(xué)期中）已知a,￡是兩個(gè)不同的平面，勿，〃是兩條

不同的直線,下列說法中正確的是（）

A.若mA.a,勿〃〃，/?u￡，貝ij。_L￡

B.若a//￡,R_La,B,則m//n

C.若a〃￡,歸。，〃u￡，則m/!n

D.若oI￡,〃xza,a0J3=ntviz?,則加IJ3

5.（2020黑龍江哈爾濱三中期末）已知直二面角點(diǎn)力￡點(diǎn)。為

垂足,BeB,BDL1,懸〃為垂足.若AB=2,AeBD=l,則切的長為.

6.（2020安徽宣城二模）如圖,在矩形ABCD^yAg￡尸分別在線段BC,AD

上,EF//AB,現(xiàn)將矩形ABEF沿房折起，記折起后為矩形MNEF,且平面網(wǎng)吐L平面

ECDF.

（1）求證:AT〃平面朗叨；

⑵若旌3,求證:/叨_1_房

1/

AI)

題組三二面角

7.（2020重慶第八中學(xué)三診）在直角△力紀(jì)中，AB=A（=y/3i回邊上一點(diǎn),沿AD

將△力切折起，使點(diǎn)。在平面/劭內(nèi)的投影〃恰好在邊上,若好1,則二面角

的余弦值是（）

A.iB.立CYD*

3332

8.（2022福建龍巖期中聯(lián)考）如圖，四邊形4靦是等腰梯形,BO2AD=2AB=8tE是

線段理的中點(diǎn),沿著〃￡將4。厲折起，使得點(diǎn)。與點(diǎn)P重合.若二面角A-DE-P為

120°,則點(diǎn)尸到直線劭的距離是.

9.（2022江蘇南京、鎮(zhèn)江名校期中）如圖，在四棱錐氏力時(shí)中，平面力比Z4平面

ABE,AB//DC,ABIBC,AF2BO2C22、AFB芹W,點(diǎn)、M為龐、的中點(diǎn).

⑴求證：〃平面ADE\

(2)求二面角比60C的正弦值.

I)

10.(2020廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)、華師附中、深圳中學(xué)、廣雅中學(xué)四校聯(lián)考)如圖，48是

圓。的直徑，點(diǎn)。是圓。上異于力、8的點(diǎn),Ad平面力式;￡、尸分別是四1、%的

中I占八、、?

(1)記平面頌與平面力理的交線為7,試判斷直線1與平面陽。的位置關(guān)系，并

加以證明；

⑵設(shè)PO2AB,求二面角氏的取值范圍.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

l.cA中，。也可與￡平行;B中，不一定有。，￡;C

中，,:n,nIJ3,mIB,又仁a,：.aI￡;D中，a〃6.故選C.

2.C過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直,故A錯(cuò)誤;過平面外一點(diǎn)

有且只有一個(gè)平面與已知平面平行,故B錯(cuò)誤；??,過平面外一點(diǎn)有且只有一條直

線與已知平面垂直,而過這條直線的平面有無數(shù)個(gè)，，由平面與平面垂直的判定

定理,知這無數(shù)個(gè)平面都與已知平面垂直,故C正確;過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線

與這個(gè)平面平行,故D錯(cuò)誤.故選C.

3.答案①②，①⑤，②⑤

解析???PA=PB,AOBC,。為力8的中點(diǎn)，

?,.OPLAB,OCA.AB,又OPC彼0,?"員L平面POC,又力比平面為6"比平面

ABC,???平面以反L平面POC,平面/%1.平面POC.,??底面為等腰直角三角

形,P歸PFPC,:.PC=PhPC=PO+OC,：?P0工0C,又P010A,OCH0A=0,:.POL

平面力優(yōu)?"后平面切瓦.?.平面必以L平面ABC.故答案是①②,①⑤,②⑤.

4.證明⑴由題知,￡是劭的中點(diǎn),尸是PB的中點(diǎn)、，：.EF//PD,

又,.?跖!平面PCD,49c平面PCD,

???/%〃平面PCD.

(2)PALAB,PA上AD,ABHAD-A,AB,力以二平面ABCD,ABCD,

?.,必=平面ABCD,：.PALBD、

??,底面力頗是菱形，:.BDLAC,

又PAQAOA,PA,力比平面PAC,

?,?他_L平面PAC,

又如平面PBD,

J平面必0JL平面PAC.

5.A由/_L￡，歸。，可得。_L￡;由a_L￡,勿_1_￡,可得歸。，或勿〃。，故

“歸?！笔恰?。_L￡”的充分不必要條件,故選A.

6.ABC對于A,假設(shè)。ClB=a,則。內(nèi)所有平行于a的直線都平行于￡,故A為

直命題；易知B為直命題；

對于C,如圖，設(shè)4ny=a,Bny=b,歸4,〃u￡，且加_1_&〃J_b,

rm5^np

/brHJ/

〃JL￡JLy,y,nl,Y、：.m〃n,

.：ga,/a,:.n〃a,

■:nuB,aCB=l,：.n〃九故C為真命題;

對于D,根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可知D為假命題.故選ABC.

7.C連接/G,如圖所示.

???四邊形力延為正方形，AE//CD.

???平面力切上1平面ABC,平面力C必A平面ABOAC,力住平面ACDE,??.4￡JL平面ABC.

??3⑥平面ABC,：.AELAG.

?:AC^BO2,NACF90。，F(xiàn)、G分別是線段力區(qū)8。的中點(diǎn)，

：.A(^y/AC2+CG2=V5,0戶］,

/.尸6f/心+人『=巫,

???cosN力心竺金.

FG6

VAE〃CD、：.CD三GQ所成角的余弦值為金

6

故選C.

8.證明過點(diǎn)8作BMLAE于M,過點(diǎn)。作CNLED于N、連接MN.

?.?平面的/與平面的6垂直，平面BAEC平面DA6AE,BMLAE,〃儂平面BAE,

???以0_平面DAE,

同理可證例平面DAEy：.BM//CN.

又知△胡￡與△儂全等，，笈滬制

???四邊形式沏/是平行四邊形，，比〃/瞅

又曬平面DAEy助比平面DAE,

??.」宛〃平面DAE.

9.解析⑴證明：如圖,連接BD,因?yàn)榈酌?靦是菱形,所以A斤AD,又因?yàn)?/p>

NB/D60°,所以△力勿是等邊三角形.

因?yàn)镚為邊49的中點(diǎn),所以BGLAD.

因?yàn)槠矫鏋?。_1_平面ABCD,平面PADC平面ABCAAD,龐c平面BAD,BGLAD,

所以優(yōu)工平面PAD.

⑵存在點(diǎn)￡且尸為比的中點(diǎn).

證明如下:取的中點(diǎn)F,連接DF,EF,EG,CG,DE,PG、且CG與DE交于點(diǎn)、M,連接

FM.

因?yàn)榱?。〃和且力歷為CEG分別是陽力〃的中點(diǎn)，所以CE〃DG、旦gDG.

則四邊形的是平行四邊形，

所以C距MG.

又因?yàn)镃戶FP,所以MF//PG.

因?yàn)椤魈帯ㄊ堑冗吶切危?是成的中點(diǎn)，

所以夕GJ_49.

又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,平面PADC平面ABCD=AD,

所以％_L平面ABCD,所以也＜1平面ABCD.

又加七平面DEF,

所以平面㈤U平面ABCD.

10.C設(shè)正方形的邊長為a,取力。的中點(diǎn)0,連接BO,則BOA.AC,過。作力〃的平

行線OE交CD千￡連接應(yīng)：???平面加C_L平面DAC,平面倒CA平面

DAOAC,BO工AC,???仇U平面DAC,:?BOA_CD,又OELCD,

???切，平面BOE,：.CDLBE,

???NH川即為二面角層緲■/的平面角.

易知B潛a,0吟,

由加工比得,△仇應(yīng)為直角三角形，

42

c.a^XBEO=--^-=—.故:選C.

BE回3

2

11.BCD將正方體的表面展開圖還原為正方體，如圖所示:

易得與田為異面直線,故A錯(cuò)誤.

連接BD、DG,因?yàn)镠D//BFyHD-BF、

所以四邊形切仍為平行四邊形，

所以HF〃BD,

所以/〃箔（或其補(bǔ)角）為異面直線能與方所成的角.

設(shè)正方體的棱長為%則BFDG^BG^lia,

所以N%小60°,所以異面直線BG與四所成的角為60°,故B正確.

連接AG,因?yàn)槠矫鍳ABQ平面ABOAB,力8,平面BCGF,BG,at平面BCGF,

所以48_1_能/心L/

所以NG%為二面角心46C的平面角，

由于N6CR90°,且BOCG,所以/必上45°,

因此二面角的大小為45°,故C正確.

連接DE,BE,EG,因?yàn)锽嚀B/G及D序所以B,D,￡G恰好是一個(gè)正四面

體的四個(gè)頂點(diǎn)，故D正確.故選BCD.

12.C過點(diǎn)力作熊〃劭,且力后能連接龐、CE、

9

：BD.LABf：.AELAB,又ACLAB,

???/。￡即為二面角的平面角，???/。尼60°,

???CB=y/CA2+AE2-2CA-AE-cos60°

=Jl+4-2xlx2x1=V3.

■:心AB,AE_LAB,ACCA斤A,AC,4fc平面CAE,.,.4?_L平面CAE.

由AE//BD,A^BDy知四邊形四必為平行四邊形，，龍〃仍修仍.??皿平面

CAE,

又Gfc平面CAE,:.DE1CE,

：.CD-ylCE2+DE2=V3TT=2.故選C.

13.解析⑴證明：在梯形力靦中，少上式;，梯形48⑦為等腰梯

形，

*：ZBCD=120°,

工NDA廬NABC=6G°,ZADO120°,

，ZDAC=ZAC/)=30°、：./力叱90°,：.BCLAC.

??,四邊形力旌為矩形，

：.EF//AC,EFICF,:?EFLBC,

又CFQBOC,CF,at平面BCF,

???初1平面BCF.

(2)如圖，取質(zhì)的中點(diǎn)G,連接S/G,

?：B白FC,：.CGVBF.

■:BOFC,AOACyZAC/^ZACB-90°,

ARtAJCT^RtAJC^,

:.A芹AB,：.AG±BFf

???N/GC為平面見方與平面2所成的銳二面角，

在中，BC=1,/月吐60:

：.AB=2f4信

???平面平面ABCD,平面ACFEQ平面ABCAAC,FCVAQ依=平面ACFE,

，尸平面ABCD,

???砥I平面ABCD,：.FCLBC.

在RtZXHT中,小訴1,J止應(yīng),C吟、

在RtA4"中，止IAB2-倍了4-灣

71

AG2+CG2-ACZ/丁31V7

在△力龍中，根據(jù)余弦定理，得cosN4GG

2AGCG2x-X—夕7'

???平面用6與平面凡3的夾角的余弦值為

能力提升練

1.C易知G為DE的中點(diǎn),A'AA'E,F&FD、：?FGLDE,A'G工DE,又

R；n，RG???"_1平面用T,又力'/七平面FGA',：.A'FLDE,故①正確;

易知EF〃BD,故異面直線不/與劭所成的角（或其補(bǔ)角）為//耳；當(dāng)

力上+歐41時(shí),異面直線/￡與物垂直,故②錯(cuò)誤；

由①證得OEL平面FGA',又跟平面BCED,故平面力'GEL平面BCED,故③正確；

由③證得平面/'GRL平面BCED、故動(dòng)點(diǎn)/'在平面上的投影在線段/月上，故

④正確.故選C.

2.答案DML（或BM1PC）

解析連接力。（圖略），由題意得以U_/K

?.?必_1_底面ABCD,：,PALBD.

又用A4信4用,力比平面PAC,

?,.HLL平面PAC、:,BDLPC.

令點(diǎn)〃滿足〃歸_比（或BMLPO,

?.*BDC〃上〃（或BDCB拒B）,

；?PUL平面初犯

而依=平面PCD,

J平面物切J_平面PCD.

3.解析⑴證明：由題意得,力△〃〃￡力因平面〃砧底平面DEF,?"8〃平面DEF.

???平面PABH平面DE用MN,

：.AB//MNy：.DE//MNt

又"口平面CDE,即z平面CDE,

J助#〃平面CDE.

⑵分別取線段AB,龍的中點(diǎn)G,〃連接CG、GH,CH,PG,則GH//CP,

???26；6〃四點(diǎn)共面.

易得Rt/\PCA*RtAPCB,：?PA=PB,JPGLAB.

,:AB〃DE、

：.PGA.DE.

若PG1CH,則AGJ_平面CDE、

又Rfc平面為6，平面為81平面CDEy

此時(shí)NC7Q/ZA%,則M備.

?.?△/!阿是邊長為2的正三角形，

：.CG=2sin600=V3.

r「2

又G加1,：.PC^-=3,：?PF^PC-FO2、

GH

：.當(dāng)P六2時(shí),平面為8,平面CDE.

4.ABD對于A,若勿JL。，勿〃〃，則又因?yàn)椤╱￡,所以。_1_￡，故A正確;

對于B,若a//J3i/nl_則勿〃〃，故B正確；

對于C,若a〃B,nua、nu￡,則卬與〃可能平行也可能異面,故C錯(cuò)誤；

對于D,由面面垂直的性質(zhì)定理可得,D正確.故選ABD.

5.答案V2

解析如圖，連接比:

?.?二面角。-/-￡為直二面角，力比。，且他。A,又

BCu8,：.AC工BC,:?B-C=3.又BD工CD、：.C^BC2-BD2=y/2.

6.證明（1）因?yàn)樗倪呅蜯NEF,四邊形即圻都是矩形,所以

MN〃EF〃CD、MN^EACD、

所以四邊形助區(qū)》是平行四邊形,所以NC//MD.

因?yàn)镸7I平面就叨，極七平面MFD,

所以M?〃平面掰叨.

⑵如圖，連接被

M

m

EC

因?yàn)槠矫嫖锓繨_平面ECDF、且NE1EF,

所以跖1平面ECDF,所以FCLNE.

又由。3,所以四邊形ECDF為正方形,所以FCA.ED,

又NECED=Ef甌/平面NED,

所以用J_平面NED,所以ND1FC.

7.A如圖，過〃作HG1AD,垂足為G,連接CG.

由題意得或L平面ABD,所以CHLAD,

又CVHm氏CH,我t平面CHG,

所以平面酸;所以

所以N/0=N力宓=90°,

所以NQH為二面角小4)8的平面角.

因?yàn)镹掰小NO少90°,所以若設(shè)N物決明

則NG4氏90。一a.

在Rt△力。7中，力生1,貝ijCH7L

在中，於/〃?sin4=sina.

在RtZ\4CG中，叱AC?sin(90°—Q)=V5cosa.

在RtZ\C67/中，由CH+HG=CG,得2+sin2。=3cos?

解得sinocos0二當(dāng)所以叢號(hào)，戊號(hào)，

所以cosZCO=空故選A.

CG3

8.答案等

解析因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中,小2月分2/廬8,月是線段歐的中點(diǎn),所以四邊形

ABED為菱形.

連接力及易知△儂;△?!鹿都是等邊三角形,

取應(yīng)的中點(diǎn)0,連接AO、P0,如圖,

P?

則AOLDE,POLDE,/P04是二面角上叱P的平面角，貝i」N做4=120°,

又POC0A=0,P0,為u平面POA,

所以平面做I,

又小平面ABED,所以平面加_L平面ABED,

在平面POA內(nèi)過點(diǎn)〃作PHLA0,交力。的延長線于H,連接BH、

因?yàn)槠矫婕覣平面ABEFA0,

所以9_1_平面ABED,又R七平面ABED,

所以BHIPH、易知A0=P0=2W,而N比年60°,

則443,04腑3舊,

又AB^AO,所以B0AH2+朋=后,PB=、PH2+BH?=2匹,

在△加中,勿=4,除4次,

8D2+PD2p82(4Vi)2+42(2Vl^)2Vi

由余弦定理得COS/BD4

2BDPD2X4V3X48

從而得sinZZ^—,