12高中數(shù)學新教材課堂導學案（直線與橢圓的關系及中點弦問題）及答案

課堂導學（直線與橢圓的關系及中點弦）【知識點】一、直線與二次曲線的相交弦長公式如下圖，已知直線與某二元曲線交于，，請推導出公式③解：因為，兩點在直線上所以，由兩點距離公式，得或者總結：（1）公式③,中的“”表示橫向的距離，如圖（2）公式④同理可得；（3）公式③與④在直線與一般二次曲線相交于兩點的情況下都可用；（4）公式③與④的作用在于轉移計算，最后用韋達定理把一元二次方程的系數(shù)代入，為此，我們可以有以下進一步的變形所以公式進化為：③④其中，其中，、、指的是直線與曲線方程聯(lián)立消元后的一元二次方程的對應系數(shù).二、中點弦問題遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.在橢圓（）中，以為中點的弦所在直線的斜率為，則；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來相互轉化，同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍.解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.【典例】例1.直線與橢圓交于，兩點，（1）則；（2）線段的中點坐標是．【思路探析】此題把例1中的圓方程改為橢圓方程，前面所說的三種方法中，解法二和解法三都不行，用解法一會發(fā)現(xiàn)兩交點的橫坐標為，解法一也不好用，這時候得用公式③④解：設，由，消元得,代入公式得例2．已知橢圓及直線．（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程．分析：直線與橢圓有公共點，等價于它們的方程組有解．因此，只須考慮方程組消元后所得的一元二次方程的根的判別式．已知弦長，由弦長公式就可求出．解：（1）把直線方程代入橢圓方程得，即．，解得．（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為，，由（1）得，．根據(jù)弦長公式得．解得．因此，所求直線的方程為．說明：處理有關直線與橢圓的位置關系問題及有關弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別．這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應用弦長公式．用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與系數(shù)的關系），可大大簡化運算過程．例3．已知橢圓，求過點且被平分的弦所在直線的方程；例4．已知：直線和橢圓相交于A，B兩點．（1）使=；（2）問是否存在實數(shù)，使以A，B為直徑的圓過原點，若存在，請求出，若不存在，請說明；（3）記直線和軸交于點P，若，求的值．解：設，，聯(lián)立，消元得由韋達定理得，，由相交弦長公式公式，且=所以，化簡得即，解得或（2）題意等價于，即，即因為，所以，即代入韋達定理：化簡得：，無解，所以不存在.（3）因為，則不妨令，聯(lián)立韋達定理，解得.【作業(yè)】1．（2022·全國·高二課時練習）直線與橢圓的交點個數(shù)為（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的方程求得其右頂點為，上頂點為，結合直線的截距式方程，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，則橢圓的右頂點為，上頂點為，又由直線恰好過點，所以直線與橢圓有且僅有2個公共點.故選：C.2．（2022·福建·莆田一中高二期末）直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦長|AB|等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】聯(lián)立方程組，求出交點坐標，利用兩點間的距離公式求距離.【詳解】由得交點為(0,1)，，則|AB|＝＝.故選：A.3．已知點是橢圓內(nèi)的一點，直線過且與橢圓交于、兩點，則當是線段中點時，直線的方程為（C）ABCD二、填空題4．（2022·重慶·西南大學附中高二階段練習）直線：與橢圓的位置關系是____________.【答案】相交【解析】【分析】確定直線所過定點坐標，由定點與橢圓的位置關系得直線與橢圓的位置關系，【詳解】由已知直線過定點，在橢圓內(nèi)部（為橢圓的右焦點，橢圓中），所以直線與橢圓相交．故答案為：相交．5.直線與圓交于，兩點，則，兩點的坐標為，．6．（2022·全國·高二課時練習）已知直線與橢圓C：有唯一的公共點，則實數(shù)m的值為．【答案】5或【解析】【分析】聯(lián)立直線與橢圓的的方程，消元后利用判別式等于0求解即可.【詳解】由消元得：因為直線與橢圓有唯一的公共點，所以，解得.7．橢圓的弦被點P（2，1）平分，則此弦所在的直線方程為．三、解答題8.橢圓（）的兩焦點為，離心率是，是橢圓上動點，且面積最大值是，求橢圓的方程．解：依題意得，即，由（1）得，所以，即