蘇科版2024-2025學年九年級數(shù)學上冊1.16 一元二次方程（挑戰(zhàn)?？季C合（壓軸）題分類）（專項練習）（含答案）

專題1.16一元二次方程（挑戰(zhàn)?？季C合（壓軸）題分類專題）（專項練習）【題型目錄】第一部分【綜合類】【題型1】一元二次方程與分式方程綜合（3個題）【題型2】根的判別式進行求值與證明綜合（3個題）【題型3】根的判別式與幾何圖形綜合（3個題）【題型4】根的判別式與函數(shù)綜合（3個題）【題型5】根的判別式與韋達定理綜合（3個題）【題型6】韋達定理與幾何圖形綜合（3個題）【題型7】韋達定理與函數(shù)綜合（3個題）【題型8】增長率問題與營銷問題綜合（3個題）【題型9】營銷與函數(shù)問題綜合（3個題）第二部分【壓軸類】【題型1】用換元法解可化為一元二次方程的分式方程與無理方程（2個題）【題型2】根的判別式與韋達定理（2個題）【題型3】根的判別式、韋達定理解決幾何問題（2個題）【題型4】韋達定理解決函數(shù)問題（分類討論思想）（2個題）【題型5】一元二次方程與一次函數(shù)問題（數(shù)形結(jié)合思想）（3個題）第一部分【綜合類】【題型1】一元二次方程與分式方程綜合（3個題）1．（2024·西藏日喀則·二模）解分式方程：2．若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是多少？3．（21-22八年級下·廣西梧州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程：的一個解與分式方程的解相同．（1）求的值；（2）求這個一元二次方程的另一個解．【題型2】根的判別式進行求值與證明綜合（3個題）4．（2024·甘肅金昌·三模）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）當時，求方程的解；（2）若該方程有實數(shù)根，求的取值范圍．5．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程．（1）若是方程的一個根，求k的值；（2）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根．6．（2024·北京·三模）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個根是另一個根的3倍，求a的值．【題型3】根的判別式與幾何圖形綜合（3個題）7．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若的兩邊的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊的長為5，當是直角三角形時，求k的值．8．（23-24八年級下·廣西賀州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論m取何值，方程恒有實數(shù)根；（2）若以方程兩根為等腰三角形的兩邊，且其中一個根為4，求此三角形的周長．9．（23-24八年級下·重慶·階段練習）已知關(guān)于的一元二次方程，其中a，b，c分別是的三邊的長度．（1）如果是等邊三角形，求這個一元二次方程的根；（2）如果是以為斜邊的直角三角形，判斷這個一元二次方程根的情況，并說明理由．【題型4】根的判別式與函數(shù)綜合（3個題）10．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，一次函數(shù)的圖像分別交軸、軸于點，，交反比例函數(shù)的圖象于，兩點，連接，．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）當時，直接寫出x的取值范圍；（3）將直線向下平移個單位長度，當直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點時，求出的值．11．（2024·湖北省直轄縣級單位·模擬預測）一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于A，B兩點，其中．（1）求反比例函數(shù)表達式；（2）若把一次函數(shù)的圖象向下平移b個單位，使之與反比例函數(shù)的圖象只有一個交點，請求出b的值．12．（2024·江蘇連云港·一模）一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像在第一象限交于A,B兩點，其中．（1）求反比例函數(shù)表達式；（2）結(jié)合圖像，直接寫出時，x的取值范圍；（3）若把一次函數(shù)的圖像向下平移b個單位，使之與反比例函數(shù)的圖像只有一個交點，請直接寫出b的值．【題型5】根的判別式與韋達定理綜合（3個題）13．（23-24八年級下·江蘇鹽城·階段練習）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）若該一元二次方程總有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍．（2）若該一元二次方程有一個根為，求方程的另一個根．14．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程.（1）當時，解這個方程；（2）試判斷這個一元二次方程根的情況，并說明理由；（3），是這個方程的兩個實數(shù)根，若n、t為正整數(shù)，且，求n的值.15．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期中）對于實數(shù)，定義新運算“”：，例如：，因為，所以．（1）求和的值；（2）若是一元二次方程的兩個根，且，求的值．【題型6】韋達定理與幾何圖形綜合（3個題）16．（23-24八年級下·重慶北碚·階段練習）關(guān)于x的方程，的兩個實數(shù)根為（1）若等腰三角形，其中兩邊的長度為且另一邊的邊長為6，求的周長；（2）若求m的值17．（2023·江西新余·一模）已知平行四邊形的兩鄰邊的長m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）當k為何值時，四邊形是菱形；（3）當k為何值時，四邊形的兩條對角線的長相等，且都等于，求出這時四邊形的周長和面積．18．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習）已知平行四邊形的兩邊、的長是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根．（1）當m為何值時，四邊形是菱形？（2）若，求m的值．【題型7】韋達定理與函數(shù)綜合（3個題）19．（2021·四川德陽·一模）（1）解方程；（2）若以方程的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰有點在函數(shù)的圖像上，求滿足條件的k的值．20．（2024·浙江杭州·一模）已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)（，k是常數(shù)）的圖象交于點，．（1）當時，求的值．（2）若，求的值．21．（22-23八年級上·上海青浦·期中）若和是關(guān)于的方程的兩個不相等實數(shù)根，且是非負整數(shù)．（1）求的值；（2）反比例函數(shù)圖象過點（其中），求的值．【題型8】增長率問題與營銷問題綜合（3個題）22．（23-24七年級下·安徽馬鞍山·期中）杭州亞運會的三個吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因．吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件32元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件60的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，四月份的銷售量為256件，六月份的銷售量為400件．（1）求該款吉祥物四月份到六月份銷售量的月平均增長率；（2）經(jīng)市場預測，七月份的銷售量將與六月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件，當該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達10800元？23．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）某商場以每件元的價格購進一批商品，當每件商品售價為元時，每月可售出件．為了擴大銷售，商場決定采取適當降價的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價元，那么商場每月就可以多售出件．（1）降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？（2）要使商場每月銷售這種商品的利潤達到元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價多少元？（3）該商場月份銷售量為件，月和月的月平均增長率為，若前三個月的總銷量為件，求該季度的總利潤．24．某超市于今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達到400件．設(shè)二、三這兩個月的月平均增長率不變．（1）求二、三這兩個月的月平均增長率；（2）從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價1元，銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利4250元？【題型9】營銷與函數(shù)問題綜合（3個題）25．（23-24八年級上·上?！て谀┬⊥鯗蕚渫顿Y銷售一種進價為每公斤40元的堅果．通過試營銷發(fā)現(xiàn)：當銷售單價在每公斤40元到90元之間（含40元和90元）時，每月的銷售量y（元/公斤）之間的關(guān)系可近似地看作一次函數(shù)，其圖像如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（2）如果小王想要每月獲得2400元的利潤，那么銷售單價應定為每公斤多少元？26．（22-23八年級下·安徽六安·期中）六安瓜片是中國十大名茶之一，在世界所有茶葉中，六安瓜片由單片生葉制成，是唯一無芽無梗的茶葉，并被列入國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)目錄.某茶莊以600元的價格收購一批六安瓜片，物價部門規(guī)定銷售單價不低于成本且不得超過成本的2倍，經(jīng)試銷過發(fā)現(xiàn)，日銷量與銷售單價（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系式，部分對應數(shù)據(jù)如表：（元）600800…10080…（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）在銷售過程中，每日還需支付其他費用9000元，當銷售單價為多少時，該茶莊日利潤為7000元？（3）在（2）的條件下，店員甲說售價越高，則利潤越大，甲的說法正確嗎？如果正確，請給出理由；如果不正確，請給出反例.27．（22-23九年級上·安徽安慶·期中）某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品，每件制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量（萬件）與銷售單價（元）之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)（利潤=售價-制造成本）（1）寫出每月的利潤（萬元）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當銷售單價為多少元時，廠商每月獲得的利潤為440萬元？第二部分【壓軸類】【題型1】用換元法解可化為一元二次方程的分式方程與無理方程（2個題）28．用換元法解分式方程：解：設(shè)=m，則原方程可化為m﹣=2；去分母整理得：m2﹣2m﹣3=0解得：m1=﹣1，m2=3即：=﹣1或=3；解得：x=或x=﹣經(jīng)檢驗：x=或x=﹣是原方程的解．故原方程的解為：x1=，x2=﹣．請同學們借鑒上面換元法解分式方程的方法，先解下列方程，然后再化簡求值：已知a是方程的根，并求代數(shù)式的值？29．（23-24九年級上·廣西南寧·期中）閱讀理解以下內(nèi)容，解決問題解方程：．解：∵，∴方程即為：，設(shè)，原方程轉(zhuǎn)化為：解得，，，當時，即，∴，；當時，即，不成立．∴綜上所述，原方程的解是，．以上解方程的過程中，將其中作為一個整體設(shè)成一個新未知數(shù)，從而將原方程化為關(guān)于的一元二次方程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”（“元”即未知數(shù)）．（1）該題主要運用了以下哪些數(shù)學思想___________（多選）；A．方程思想

B．數(shù)形結(jié)合思想

C．整體思想（2）已知方程：，若設(shè)，請利用“換元法”將原方程化為關(guān)于的方程；（3）仿照上述方法，解方程：．【題型2】根的判別式與韋達定理（2個題）30．（23-24九年級上·四川南充·階段練習）關(guān)于x的一元二次方程中，a，b，c是的三條邊，其中．（1）求證此方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個根是，，且，求．31．（22-23九年級上·福建泉州·期末）已知關(guān)于的方程有實數(shù)根．（1）若方程的兩根之和為整數(shù)，求的值；（2）若方程的根為有理根，求整數(shù)的值．【題型3】根的判別式、韋達定理解決幾何問題（2個題）32．（23-24九年級上·福建寧德·期中）已知關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，其中．（1）若，求的值；（2）一次函數(shù)的圖像上有兩點，若，求m的值；（3）邊長為整數(shù)的直角三角形，其中兩直角邊的長度恰好為和，求該直角三角形的面積．33．（2023·四川南充·一模）關(guān)于的一元二次方程中，、、是的三條邊，其中．（1）求證此方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個根是、，且，求．【題型4】韋達定理解決函數(shù)問題（分類討論思想）（2個題）34．（2024·四川成都·二模）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點和點B．（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；（2）連接，，點P為反比例函數(shù)圖象第一象限上一點，連接，，若，求點P的坐標；（3）已知為x軸上一點，作直線關(guān)于點T中心對稱的直線，交反比例函數(shù)的圖象于點E，F(xiàn)，若，求t的值．35．（22-23九年級上·四川成都·期末）已知在平面直角坐標系中，點，在反比例函數(shù)的圖象上．（1）求的值；（2）將反比例函數(shù)的圖像中軸下方部分沿軸翻折，其余部分保持不變，得到新的函數(shù)圖象如圖所示，新函數(shù)記為函數(shù)．①如圖，直線與函數(shù)的圖像交于，兩點，點橫坐標為，點橫坐標為，且，，點在軸上，連接，．當最小時．求點的坐標；②已知一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，直接寫出的取值范圍．【題型5】一元二次方程與一次函數(shù)問題（數(shù)形結(jié)合思想）（3個題）36．（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖1，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸，軸分別交于點，．（1）求的值及反比例函數(shù)的解析式；（2）將線段沿軸向右平移得到，當點在反比例函數(shù)圖象上時，求四邊形的面積．（3）點是點關(guān)于原點的對稱點，以為邊長作等邊，點是平面上一點，若以，，，四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點的坐標．37．（23-24九年級上·貴州貴陽·期末）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)（）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A，B兩點，與x軸交于C點，過點A作軸，垂足為點D，，，點B的坐標為．（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)圖象直接寫出使成立的x的取值范圍；（3）形如（a為常數(shù)，）的解集為：或，過點M作垂直于x軸的直線，直線與雙曲線交于點，與直線交于點，若時，求n的取值范圍．38．（2023九年級上·全國·專題練習）正方形、的頂點、、在坐標軸上，點在上，點、在函數(shù)的圖像上，已知正方形的面積是16．（1）求的值和直線的解析式；（2）求正方形的邊長．參考答案：1．【分析】本題考查解分式方程，解一元二次方程，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后檢驗即可．【詳解】解：去分母，得：，∴，∴，解得：或，經(jīng)檢驗是增根，是原方程的解，∴分式方程的解為．2．m=1或m=-2.【分析】方程兩邊都乘以最簡公分母x（x+1）化分式方程為整式方程，然后把增根代入進行計算即可求出m的值．【詳解】方程兩邊都乘以x（x+1）得，2x2-m-1=（x+1）2，若分式方程產(chǎn)生增根，則x（x+1）=0，解得x=0或x=-1，把代入整式方程，得解得；把代入整式方程，得解得∴m=1或m=-2.【點撥】本題考查了分式方程的增根的問題，增根就是使分式方程的最簡公分母等于0的未知數(shù)的值，把分式方程化為整式方程代入求解即可．3．(1)(2)【分析】（1）先求出分式方程的解，然后代入求解即可；（2）將（1）中k的值代入，然后利用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：由得解得：經(jīng)檢驗，是原方程的解把代入解方程得：解得：；（2）∵∴一元二次方程為：即∴，∴這個一元二次方程的另一個解為．【點撥】本題主要考查解分式方程及利用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．4．(1)(2)【分析】本題考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判別式．（1）利用配方法解方程即可；（2）根據(jù)一元二次方程跟的判別式，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：當時，原方程可化為，配方，得，解得；（2）解：∵該方程有實數(shù)根，∴，解得，即若該方程有實數(shù)根，的取值范圍是．5．(1)(2)見解析【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．（1）把代入一元二次方程得到關(guān)于的一次方程，然后解一次方程即可；（2）先計算根的判別式的值得到，則可判斷，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論．【詳解】（1）解：把代入得，解得；（2）證明：，方程有兩個不相等的實數(shù)根．6．(1)見解析(2)4【分析】本題考查根的判別式，因式分解法解方程：（1）求出判別式的符號，判斷即可；（2）因式分解法解方程，再根據(jù)其中一個根是另一個根的3倍，分兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：證明：∵，∴該方程總有兩個實數(shù)根；（2）∵，∴，∴或，∴，∵方程的根都是整數(shù)，且其中一個根是另一個根的3倍，∴或，解得或（舍去），∴a的值為4．7．(1)見解析(2)k的值為12或3【分析】本題考查一元二次方程綜合，涉及一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系，一元二次方程根與直角三角形結(jié)合等，熟練掌握一元二次方程相關(guān)定義與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出進而可證出方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）利用因式分解法可求出的長，分為直角邊及為斜邊兩種情況，利用勾股定理可得出關(guān)于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三邊關(guān)系判定其是否構(gòu)成三角形）即可得出結(jié)論．【詳解】（1）由題意得：∴方程有兩個不相等的實數(shù)根（2）∵，即解得：當為直角邊時，，解得：當為斜邊時，，解得：（不合題意，舍）綜上：k的值為12或38．(1)見解析(2)三角形的周長為9【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，一元二次方程解的定義，等腰三角形的定義，構(gòu)成三角形的條件：（1）利用判別式求解即可；（2）把代入原方程求出m的值，進而解方程求出方程的兩個角，再根據(jù)等腰三角形的定義和構(gòu)成三角形的條件求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，∴無論m取何值，方程總有實數(shù)根．（2）解：將代入，得，解得∴原方程為，解得，∴此三角形的三邊為：①4，4，1，此時三角形的周長為；②1，1，4，此時三邊不符合三角形三邊關(guān)系，舍去．綜上所述，此三角形的周長為9．9．(1)(2)原方程有兩個不相等的實數(shù)解，理由見解析【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，勾股定理；（1）根據(jù)是等邊三角形，得出，進而解一元二次方程，即可求解；（2）根據(jù)勾股定理得出，進而計算一元二次方程根的判別式，即可求解．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴即，解得：；（2）解：原方程有兩個不相等的實數(shù)解理由：∵是以為斜邊的直角三角形，∴，，∴∵，∴∴原方程有兩個不相等的實數(shù)解10．(1)；(2)或；(3)．【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合；（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）結(jié)合圖象找出反比例函數(shù)圖象高于直線部分對應的的范圍即可；（3）設(shè)出平移后直線的解析式結(jié)合一元二次方程的根的判別式，即可求解．【詳解】（1）解：∵在反比例函數(shù)圖象上，

∴，

∴反比例函數(shù)解析式為：，∵在反比例函數(shù)圖象上，

∴，，∵，在一次函數(shù)的圖象上，∴，解得：，

∴一次函數(shù)解析式為：；（2）根據(jù)圖像，不等式的解集為：或；（3）設(shè)直線向下平移個單位長度時，直線與反比例函數(shù)圖象只有一個交點，則平移后的解析式為，聯(lián)立兩個函數(shù)得：，整理得：，，

∴，或，因為點，

∴不符合題意舍去．

∴．11．(1)(2)或．【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用，一元二次方程根的判別式的應用，理解題意是解本題的關(guān)鍵；（1）把代入可得，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；（2）把一次函數(shù)的圖象向下平移b個單位，平移后的解析式為，再結(jié)合一元二次方程根的判別式可得答案．【詳解】（1）解：把代入可得：∴，∴；∴，∴反比例函數(shù)表達式為；（2）∵把一次函數(shù)的圖象向下平移b個單位，∴平移后的解析式為，∴，∴，整理得：，∵與反比例函數(shù)的圖象只有一個交點，∴有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，∴或，解得：，∴或．12．(1)(2)或(3)1或9【分析】（1）將代入得，，則，將代入得，可得，，進而可得反比例函數(shù)表達式；（2）聯(lián)立，整理得，，可求滿足要求的解或，將代入得，，則，然后數(shù)形結(jié)合求不等式的解集即可；（3）由題意知，平移后的解析式為，聯(lián)立得，，整理得，，由圖像只有一個交點，可得，計算求解然后作答即可．【詳解】（1）解：將代入得，，∴，將代入得，，解得，，∴反比例函數(shù)表達式為；（2）解：聯(lián)立，整理得，，∴，解得，或，經(jīng)檢驗，或是原分式方程的解，將代入得，，∴，∴由圖像可知，的解集為或；（3）解：由題意知，平移后的解析式為，聯(lián)立得，，整理得，，∵圖像只有一個交點，∴，解得，或，∴b的值為1或9．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，圖像法求不等式的解集，一次函數(shù)的平移，一元二次方程根的判別式等知識．熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，不等式的解集，一次函數(shù)的平移，一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．13．(1)(2)【分析】本題重點考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系．（1）根據(jù)題意可得根的判別式，列出不等式求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，把代入，求出方程的另一個根．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，解得，；（2）解：設(shè)是一元二次方程的兩根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知，，∵，∴．即一元二次方程的另一個根為14．(1)，(2)方程有兩個實數(shù)解．理由見詳解(3)的值為1或2【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先計算根的判別式的值得到△，利用根的判別式的意義即可解答；（3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，當，則，利用整除性得當時，；當時，；當時，．本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．也考查了根的判別式．【詳解】（1）解：當時，原方程化為，，或，∴，；（2）解：方程有兩個實數(shù)解．理由如下：，當時，，方程有兩個相等的實數(shù)解；當時，，方程有兩個不相等的實數(shù)解；綜上所述，方程有兩個實數(shù)解；（3）依題意，解方程得或，，或，當時，，、為正整數(shù)，當時，；當時，；當時，，綜上所述，的值為1或2．15．(1)；(2)【分析】本題考查了新定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及實數(shù)的運算：（1）根據(jù)題目已知定義計算即可；（2）先根據(jù)一元二次方程根的定義得到，再根據(jù)新定義化簡原式，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）；；（2）是一元二次方程的根，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，．16．(1)的周長為或(2)或【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，等腰三角形的定義；（1）根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根可得判別式大于，據(jù)此建立關(guān)于的不等式，進而根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可分別表示出與的值，利用條件可得到關(guān)于的方程，可求得的值．【詳解】（1）解：∵的兩個實數(shù)根為∴解得：當時，，則解得：∵等腰三角形其中兩邊的長度為且另一邊的邊長為6，∴周長為當，則有一個根為，∴解得：或（舍去）∴原方程為解得:∴的周長為，綜上所述，的周長為或（2）∵的兩個實數(shù)根為∴又∵∴，∴∵∴∴或由（1）可得，當時，當時，∴∴解得：綜上所述，或17．(1)(2)(3)四邊形的周長是4，面積是．【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定的綜合運用．一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系是應用；（1）根據(jù)題意求出且，，求出不等式組的解集即可；（2）由菱形的性質(zhì)可得，可得，再檢驗即可；（3）先得出四邊形是矩形，根據(jù)勾股定理和根與系數(shù)的關(guān)系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周長和面積．【詳解】（1）解：∵平行四邊形的兩鄰邊的長m，n是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根，∴且，，解得：，即k的取值范圍是；（2）∵四邊形是菱形，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗符合題意；（3）∵四邊形是平行四邊形，且四邊形的對角線相等，∴四邊形是矩形，∴，由勾股定理得：，即，∵，，∴，解得：，（舍去），把代入方程得：，解方程得：，或，，∴矩形的周長是，面積是．即此時四邊形的周長是4，面積是．18．(1)當時，四邊形為菱形(2)m的值為1【分析】（1）由鄰邊相等的平行四邊形為菱形，得出根的判別式等于0，求出m的值即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題意列出一元二次方程，解之取滿足題意的值即可．【詳解】（1）解：∵四邊形為平行四邊形，∴當時，平行四邊形ABCD是菱形，∵、的長是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根，，即，解得：，∴當時，四邊形ABCD為菱形；（2）解：∵、的長是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根，，，∵，，即，整理得：解得：，，，∴不合題意，∴m的值為1．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用、菱形的判定等知識，熟練掌握菱形的判定和根的判別式是解題的關(guān)鍵．19．（1），；（2）【分析】（1）利用公式法求解；（2）根據(jù)“x1、x2為橫坐標、縱坐標的點（x1，x2）恰有點在函數(shù)y=x+6的圖象上”，得到x1和x2的關(guān)系式，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，列出關(guān)于k的方程，解之，結(jié)合（1）中k得取值范圍，即可得到答案．【詳解】解：（1），∵a=1，b=-1，c=-1，∴，∴，∴，；（2）根據(jù)題意得：x2=x1+6，x2-x1=6，整理得：（x1+x2）2-4x1x2=36，∴x1+x2=2（k-3），x1x2=k2-4k-1，則4（k-3）2-4（k2-4k-1）=36，整理得：-2k+1=0，解得：k=（符合題意），即滿足條件的k的值為．【點撥】本題考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是正確掌握根與系數(shù)的關(guān)系和代入法．20．(1)(2)0【分析】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：（1）將一次函數(shù)與反比例函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，整理出一元二次方程，則是該方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解；（2）將與聯(lián)立，整理得，根據(jù)得出，進而可得點，關(guān)于原點對稱，推出．【詳解】（1）解：當時，一次函數(shù)為，令，整理得，∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，，∴是方程的兩個根，∴；（2）解：∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，，∴是方程的兩個根，方程整理得，∵，∴，∴，∴一次函數(shù)為（，k是常數(shù)），∴點，關(guān)于原點對稱，∴．21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)和是關(guān)于的方程的兩個不相等實數(shù)根，可得，求出k的取值范圍，再根據(jù)是非負整數(shù)即可確定的值；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，進一步可得的值．【詳解】（1）解：∵和是關(guān)于的方程的兩個不相等實數(shù)根，∴，解得，∵，∴，∵是非負整數(shù)，∴；（2）原方程化為：，∴和是關(guān)于的方程的兩個不相等實數(shù)根，∴，∵反比例函數(shù)圖象過點（其中），∴．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．22．(1)該款吉祥物四月份到六月份銷售量的月平均增長率為；(2)該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達10800元．【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該款吉祥物四月份到6月份銷售量的月平均增長率為，根據(jù)四月份的銷售量為256件，六月份的銷售量為400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可；（2）設(shè)該吉祥物售價為元，則每件的銷售利潤為元，月銷售量為件，根據(jù)月銷售利潤達10800元，列出一元二次方程，解之取滿足題意的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)該款吉祥物四月份到六月份銷售量的月平均增長率為，則六月份的銷售量為，根據(jù)題意得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：該款吉祥物四月份到六月份銷售量的月平均增長率為；（2）解：設(shè)該吉祥物售價為元，則每件的銷售利潤為元，月銷售量為（件，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達10800元．23．(1)元(2)元(3)元【分析】本題考查了銷售問題的數(shù)量關(guān)系利潤=售價-進價的運用，列一元二次方程解實際問題的運用，解答時根據(jù)銷售問題的數(shù)量關(guān)系建列方程是關(guān)鍵．（1）先求出每件的利潤，再乘以每月銷售的數(shù)量就可以得出每月的總利潤；（2）設(shè)要使商場每月銷售這種商品的利潤達到元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可．（3）列出方程判斷其根的判別式即可得到其利潤能否達到元．【詳解】（1）解：由題意，得元．答：降價前商場每月銷售該商品的利潤是元；（2）解：設(shè)每件商品應降價元，由題意，得，化簡為解得，∵要更有利于減少庫存，∴答：要使商場每月銷售這種商品的利潤達到元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價元（3）解：由題意，得化簡為解得（舍）∴月件，每件利潤元；月件，每件利潤元；月件，每件利潤元∴總利潤為元．24．(1)二、三這兩個月的月平均增長率為；(2)當商品降價5元時，商場獲利4250元【分析】此題主要考查了一元二次方程的應用，本題的關(guān)鍵在于理解題意，找到等量關(guān)系準確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．（1）由題意可得，1月份的銷售量為：256件；設(shè)2月份到3月份銷售額的月平均增長率，則二月份的銷售量為：件；三月份的銷售量為：件，又知三月份的銷售量為：400元，由此等量關(guān)系列出方程求出的值，即求出了平均增長率；（2）利用銷量每件商品的利潤求出即可．【詳解】（1）設(shè)二、三這兩個月的月平均增長率為，根據(jù)題意可得：，解得：，（不合題意舍去）．答：二、三這兩個月的月平均增長率為；（2）設(shè)當商品降價元時，商品獲利4250元，根據(jù)題意可得：，解得：，（不合題意舍去）．答：當商品降價5元時，商場獲利4250元．25．(1)(2)60元或70元【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應用，一元二次方程的實際應用：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)利潤（售價進價）銷售量列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為，把代入中得：，解得，∴y與x之間的函數(shù)解析式為（2）解：由題意得，，整理得，解得或，∴如果小王想要每月獲得2400元的利潤，那么銷售單價應定為每公斤60元或70元．26．(1)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為(2)當銷售單價為800元時，該茶莊日利潤為7000元(3)店員甲的說法不正確【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用該茶莊日利潤=每千克的銷售利潤×日銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；（3）店員甲的說法不正確，設(shè)利潤為w元，代入和求出w的值，比較后即可得出店員甲的說法不正確．【詳解】（1）解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，把代入得，解得，∴關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：由題意得：整理得：解得：，∵，∴，∴當銷售單價為800元時，該茶莊日利潤為7000元；（3）解：店員甲的說法不正確，設(shè)利潤為w元，當時，，當時，，當時，，∴店員甲的說法不正確；【點撥】本題考查一元二次方程實際問題，理清題意是解題關(guān)鍵．27．(1)(2)當銷售單價為28元或40元時，廠商每月獲得的利潤為440萬元【分析】（1）根據(jù)利潤=銷售量×（銷售單價-成本），代入代數(shù)式求出函數(shù)關(guān)系式；（2）令利潤，求出的值．【詳解】（1）解：由題意得，；每月的利潤（萬元）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：．（2）當時，，解得：，．答：當銷售單價為28元或40元時，廠商每月獲得的利潤為440萬元．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用和根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系和方程．28．x1=4，x2=﹣；，-1【分析】先仿照題例，設(shè)=m，將原方程化為m2﹣m﹣2=0，然后解這個整式方程，再還元求得原方程的解，另外要注意求代數(shù)式的值時，注意a的取值之合理性．【詳解】解：設(shè)=m，則原方程可化為m2﹣m﹣2=0，解這個整式方程得：m1=2，m2=﹣1即：=2或=﹣1；解得：x=4或x=經(jīng)檢驗：x=4或x=是原方程的解．故原方程的解為：x1=4，x2=．因為a是方程的根，所以，a=4或a=====則①當a=4時，原式=；②當a=時，原式=即：所求代數(shù)式的值為2或﹣1【點撥】此題是換元法解分式方程，換元法解分式方程是難點，關(guān)鍵是換元之后把方程化成整式方程，要將所解整式方程的解還原回來，求出原分式方程的解，并要進行驗根．29．(1)A，C(2)(3)【分析】本題主要考查了換元法解方程，（1）根據(jù)題意可得運用了方程思想，整體思想；（2）根據(jù)完全平方公式由，得，再變形原方程便可；（3）設(shè)，則，得，再解一元二次方程，最后代入所設(shè)代數(shù)式解方程便可．解題的關(guān)鍵是運用整體思想-換元法解方程．【詳解】（1）解：由題意得，本題運用了整體思想和方程思想；故選：A，C；（2）設(shè)，則，可化為：，即，故答案為：；（3）設(shè)，則，原方程可化為：，整理得，，或，或，當時，，，，解得（經(jīng)檢驗是此方程的解，符合題意），當時，（無解，不符合題意），檢驗，當時，左邊右邊，是原方程的解，故原方程的解為：．30．(1)見解析(2)【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理的應用，熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）先把方程變?yōu)橐话闶?，得到，根?jù)勾股定理，即可得出，即可證明結(jié)論；（2）由，得出，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，結(jié)合化簡得到，再代入得出，即得答案．【詳解】（1）證明：化簡一元二次方程得，，，a，b，c是的三條邊，，，，此方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）方程的兩個根是，，，，，，即，，，，化簡得，，，．31．(1)(2)0或10或或12【分析】（1）根據(jù)關(guān)于的方程有兩個根，且為實數(shù)根，先利用一元二次方程的根的判別式確定的取值范圍，再根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可知，若方程的兩根之和為整數(shù)，即為整數(shù)，即可確定的值；（2）分兩種情況討論：當時，此時關(guān)于的方程為，求解可得，符合題意；當時，對于關(guān)于的方程可有，若方程的根為有理根，且為整數(shù)，則為某一有理數(shù)的平方，據(jù)此分析即可獲得答案．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的方程有兩個根，且為實數(shù)根，∴，且，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可知，若方程的兩根之和為整數(shù)，即為整數(shù)，∵，∴是整數(shù)，∴，當時，，不符合題意；當時，，，為整數(shù)，符合題意；∴的值為；（2）當時，此時關(guān)于的方程為，解得；當時，對于關(guān)于的方程的根為：，若方程的根為有理根，且為整數(shù)，則為完全平方數(shù)，設(shè)（為正整數(shù)），則：，∵為整數(shù)，設(shè)（為正整數(shù)），∴，∴或或或，解得：或或（不合題意，舍去）或（不合題意，舍去）∴或；當時，解得或（舍去）；當時，解得或，綜上所述，若方程的根為有理根，則整數(shù)的值為0或10或或12．【點撥】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及公式法解一元二次方程等知識，熟練掌握并靈活運用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．32．(1)(2)(3)該直角三角形的面積為30或24【分析】該題主要考查了一元二次方程的根判別式“”，根與系數(shù)關(guān)系“”，一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理“直角三角形兩直角邊的平方之和等于斜邊的平方”等知識點，解題的關(guān)鍵是分類談論思想的運用；（1）將代入方程得出方程，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到，將轉(zhuǎn)化即可求解；（2）根據(jù)點在函數(shù)圖像上，得出，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到，根據(jù)即可求解；（3）根據(jù)直角三角形兩直角邊為整數(shù)，得出，令(為正整數(shù))，得出，又，然后分三種情況取值即可解答；【詳解】（1）當時，方程為，，，即；（2）將代入可得，又，故，，即，，，，，；（3）∵直角三角形兩直角邊為整數(shù)，為平方數(shù)，不妨令(為正整數(shù))，，，，當①∴，解得（不合題意舍去）；當②，解得，∴方程，，則斜邊為13，即；當③，解得，∴方程，，則斜邊為10，即，綜上所述：該直角三角形的面積為30或24．33．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)求根公式，寫出一元二次方程的，再根據(jù)、、是的三條邊，結(jié)合，即可解答。（2）根據(jù)韋達定理得，，再用完全平方公式化簡得，代入即可解答。【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程去括號，整理為一般形式為：，，、、是的三條邊，其中，，，，此方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）方程的兩個根是、，，，，，即，，，，，，，，，．【點撥】本題考查了一元二次方程的根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理的應用，掌握當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．34．(1)，(2)或(3)或【分析】（1）利用一次函數(shù)的解析式求得的坐標，即可利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，然后解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得點的坐標；（2）延長，交反比例函數(shù)的圖象于點，則則此時，故與重合時，符合題意，作，交軸于，求得直線的解析式，求得點的坐標，即可求得直線向下平移6個單位得到直線，關(guān)于向上平移6單位得到的直線與反比例函數(shù)圖象第一象限上的交點也為點；（3）設(shè)直線為，由中心對稱可知與x軸交點為，從而求出函數(shù)表達式，與反比例函數(shù)聯(lián)立，得二次方程，由根于系數(shù)關(guān)系可得，即可求得T點的坐標，得到的值．【詳解】（1）將代入，得：，，反比例函數(shù)表達式為：，聯(lián)立，求得點；（2）①延長交圖象于點，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)關(guān)于原點O中心對稱，交點B和關(guān)于原點O中心對稱，即，，則，點即為所求；②，取點，連接，，，過點Q作平行線交圖象于點，則的函數(shù)表達式為，聯(lián)立，解得，綜上，點P坐標為或；（3）與x軸交于，由中心對稱可知與x軸交點為，且，直線函數(shù)表達式為，化簡得：，聯(lián)立，得：，，；，，即：解得或．【點撥】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的對稱性，一次函數(shù)圖象與幾何變換，函數(shù)與方程的關(guān)系，根于系數(shù)的關(guān)系，能用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．35．(1)1(2)①；②且或【分析】（1）用待定系數(shù)法，將點代入求解即可；（2）①聯(lián)立和并整理得，，則表示點、的坐標分別為，然后找到找關(guān)于軸的對稱點，連接則與軸的