2.2.2直線的兩點式方程（課件）高二數學（2019選擇性）

目錄/CONTENTS新知探究情景導入學習目標課堂小結隨堂檢測錯因分析學習目標1.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線的兩點式方程.(重點)2.了解直線的截距式方程的形式特征及適用范圍.情景導入

我們知道已知兩點可以確定一條直線，在平面直角坐標系中，給定一個點P0(x0，y0)和斜率k，可得出直線方程.如圖，若給定直線上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直線的方程呢？1.直線的兩點式方程新知探究課本例3

已知直線l上的兩點A(2,1)和B(5,2)，求直線l的方程.

例3的實質是求過平面直角坐標系中橫坐標不相同的兩點的直線方程．

那么這種方法可以推廣到任意兩點嗎？設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是平面直角坐標系中的任意兩點

當x1≠x2時，直線

l

的斜率

取直線上一點P1(x1，y1)，由點斜式方程，得

當x1=x2時，由于P1，P2是不同的點，必然y1≠y2．此時直線垂直于x軸，

方程為x

=

x1．也滿足方程(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0．

也可以去分母，化成(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0的形式．

我們把過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程

(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0稱為直線的兩點式方程，簡稱兩點式．

如果直線既不平行于x軸也不平行于y軸，則x1≠x2且y1≠y2，兩點式方程可以寫成

思考：將方程（4）做一個變形，得到

它的左右兩邊各具有怎樣的幾何意義?該方程代表完整的一條直線嗎?

當x≠x1且x1≠x2時，因為P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直線

l

上，所以式子的左右兩邊均表示的直線

l

的斜率．

當x=x1時上述方程不成立，故方程不表示整條直線，表示的是一條直線但不包含點P1(x1，y1)．例5

如圖，三角形的頂點分別為A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2).(1)求BC邊所在直線的方程；整理得2x＋5y＋10＝0.這就是BC邊所在直線的方程.課本例題(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.整理得10x＋11y＋8＝0.這就是BC邊上的中線AM所在直線的方程.注：兩點式方程不必記憶，可先用過兩點的直線的斜率公式算出斜率，再用點斜式寫成方程．

典例剖析例1

已知三角形的頂點是A(1,3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求這個三角形三邊所在直線的方程.直線AC垂直于x軸，故邊AC所在直線的方程為x＝1.直線BC平行于x軸，故邊BC所在直線的方程為y＝－1.歸納總結利用兩點式求直線的方程(1)首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件，若滿足即可考慮用兩點式求方程.(2)在斜率存在的情況下，也可以先應用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫出方程.1.(1)過點(－2,1)，(3，－3)的直線方程為_________________.因為直線過點(－2,1)和(3，－3)，4x＋5y＋3＝0化簡得4x＋5y＋3＝0.練一練(2)已知直線經過點A(1,0)，B(m,1)，求這條直線的方程.由直線經過點A(1,0)，B(m,1)，因此該直線斜率不可能為零，但有可能不存在.當直線斜率不存在，即m＝1時，直線方程為x＝1；即x－(m－1)y－1＝0.綜上可得，當m＝1時，直線方程為x＝1；當m≠1時，直線方程為x－(m－1)y－1＝0.練一練課本例4已知兩點A(a，0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直線

l

的方程．

解：過A(a，0)，B(0，b)的兩點式方程為

，

即

．

（5）

直線l與x軸的交點(a，0)的橫坐標稱為直線l在x軸上的截距（橫截距），此時直線在y

軸上的截距是b．方程（5）由直線

l

在兩個坐標軸上的截距

a

和b

確定，稱為直線的截距式方程．注：垂直于坐標軸和經過原點的直線不能用截距式表示．

2.直線的截距式方程新知探究典例剖析例2

求過點(3,4)，且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線

l的方程.(2)當直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數且為0時，即直線l過原點時，設直線l的方程為y＝kx，綜上，直線l的方程為x－y＋1＝0或4x－3y＝0.典例剖析例3

求過點(3,4)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線

l的方程.(1)當截距不為0時，所以直線l的方程為x＋y－7＝0.(2)當截距為0時，設直線l的方程為y＝kx，綜上，直線l的方程為x＋y－7＝0或4x－3y＝0.歸納總結截距式方程應用的注意事項(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式方程，用待定系數法確定其系數即可.(2)選用截距式方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直.(3)要注意截距式方程的逆向應用.練一練2.求過點A(5，2)且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍的直線l的方程．

3.截距式方程的應用新知探究例4.直線l過點P，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點.是否存在這樣的直線同時滿足下列條件？(1)△AOB的面積為6；(2)△AOB的周長為12.若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.所以存在這樣的直線同時滿足(1)，(2)，即3x＋4y－12＝0.歸納總結

例5.已知直線l經過點(1,6)和點(8，－8).(1)求直線l的兩點式方程，并化為截距式方程；典例剖析(2)求直線l與兩坐標軸圍成的圖形面積.如圖所示，直線l與兩坐標軸圍成的圖形是Rt△AOB，且|OA|＝4，|OB|＝8，故直線l與兩坐標軸圍成的圖形面積為16.總結歸納直線的兩點式方程：

過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為

(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0．直線的截距式方程：

在兩個坐標軸上的截距分別為

a

和b

的直線方程為

．注：兩點式方程不必記憶，可先用過兩點的直線的斜率公式算出斜率，再用點斜式寫成方程．

隨堂練1.過點(1,2)，(5,3)的直線方程是（）B2.在x軸、y軸上的截距分別是－3,4的直線方程是（）A3.過點P(1,2)且在兩坐標軸上截距的和為0的直線方程為____________________________.2x－y＝0或隨堂練x－y＋1＝04.已知點A(3,2)，B(－1,4)，則經過點C(2,5)且經過線段AB的中點的直線方程為_____________.2x－y＋1＝0錯因分析易錯辨析忽視截距為零引發(fā)的錯誤例6求過點M(3，2)，且在x、y軸上的截距相等的直線方程．

出錯原因:

糾錯心得：“截距相等”包含兩層意思，一是截距不為零時相等，二是截距為零時相等，而后者常被忽視，造成漏解，因此對于此類題目，也要分類討論．錯因分析分層練習-基礎1.過兩點(－2,1)和(1,4)的直線方程為（）A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1C.y＝x＋2 D.y＝－x－2A2.已知直線l：ax＋y－2＝0在x軸和y軸上的截距相等，則實數a的值是（）A.1 B.－1C.－2或－1 D.－2或1A3.若直線

過第一、二、三象限，則（）A.a>0，b>0 B.a>0，b<0C.a<0，b>0 D.a<0，b<0分層練習-基礎C4.經過點A(2,5)，B(－3,6)的直線在x軸上的截距為（）A.2 B.－3C.－27 D.27D分層練習-基礎5.(多選)下列命題中不正確的是（）A.經過點P0(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B.經過定點A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示C.經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可用方程

(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示D.不經過原點的直線都可以用方程

表示ABD分層練習-基礎6.已知△ABC的頂點坐標分別為A(1,2)，B(3,6)，C(5，2)，M為AB的中點，N為AC的中點，則中位線MN所在的直線方程為（）A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0A7.已知點P(x,2)在過M(－2,1)和N(3，－4)兩點的直線上，則x的值是_____.－38.若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，－1)，則直線l的方程為____________.x＋3y＋2＝0分層練習-基礎9.已知直線l過點P(4,1).(1)若直線l過點Q(－1,6)，求直線l的方程；∵直線l過點P(4,1)，Q(－1,6)，(2)若直線l在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，求直線l的方程.由題意知，若直線l過原點，則得直線l的方程為x－4y＝0；綜上，直線l的方程為x－4y＝0或2x＋y－9＝0.分層練習-基礎10.如圖，已知△ABC的三個頂點分別為A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0).(1)求邊AC和AB所在直線的方程；即x－2y＋8＝0.即x＋y－4＝0.分層練習-基礎(2)求AC邊上的中線BD所在直線與坐標軸圍成的三角形的面積.分層練習-基礎由題意，得點D的坐標為(－4,2)，由兩點式，即2x－y＋10＝0.分層練習-鞏固11.(多選)求過點(4，－3)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線l的方程為（）A.x＋y－1＝0 B.x－y－7＝0C.3x＋4y＝0 D.4x＋3y＝0ABC12.直線l經過點A