2.8數(shù)學(xué)探究活動(dòng)(二)探究三次函數(shù)性質(zhì)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用8數(shù)學(xué)探究活動(dòng)(二)探究三次函數(shù)性質(zhì)北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是高中階段一種重要的函數(shù),同時(shí)又是高考的重點(diǎn)內(nèi)容.三次函數(shù)的性質(zhì)存在一定的規(guī)律性,下面用導(dǎo)數(shù)工具探求其圖象及性質(zhì).一、三次函數(shù)圖象和性質(zhì)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),導(dǎo)數(shù)f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),令Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).1.三次函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)1:當(dāng)a>0且b2-3ac≤0,則f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)a<0且b2-3ac≤0,則f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.性質(zhì)2:若b2-3ac>0,則f'(x)=0有兩個(gè)解:當(dāng)a>0且b2-3ac>0時(shí),f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)a<0且b2-3ac>0時(shí),f(x)在(-∞,x2)和(x1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x2,x1)內(nèi)單調(diào)遞增.根據(jù)a和Δ的不同情況,其圖象特征分別為:2.三次函數(shù)的極值性質(zhì)3:當(dāng)b2-3ac≤0時(shí),f(x)無極值.當(dāng)b2-3ac>0時(shí),二、經(jīng)典案例1.含參三次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解三次函數(shù)單調(diào)區(qū)間由f'(x)>0或f'(x)<0的解集來決定,因此可以從根的大小、判別式Δ和二次項(xiàng)系數(shù)等方面來入手討論.求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,就是確定二次不等式f'(x)>0或f'(x)<0的解集,其解法就等同于含參數(shù)的一元二次不等式的解法了.【例1】

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-與x=1時(shí)都取得極值.(1)求a,b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.2.三次函數(shù)根據(jù)單調(diào)性求參問題已知三次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍可轉(zhuǎn)化為f'(x)≥0恒成立或f'(x)≤0恒成立問題來處理,注意等號不能遺漏,否則造成參數(shù)范圍的漏解.已知三次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍可有兩種方法解決,一是分離參數(shù),二是二次函數(shù)思想.做題時(shí)要隨機(jī)應(yīng)變.【例2】

f(x)=x3+ax2+2x-1,(1)f(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;(2)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞減,求a的取值范圍;(3)f(x)在(0,1)內(nèi)不單調(diào),求a的取值范圍.(2)∵f(x)在[-1,2]上單調(diào)遞減,∴f'(x)=3x2+2ax+2≤0在[-1,2]上恒成立,即f'(x)=3x2+2ax+2在[-1,2]上的最大值小于或等于0,考慮函數(shù)h(x)=3x2+2ax+2在[-1,2]上的最大值,最大值為h(-1)或h(2),(3)f'(x)=3x2+2ax+2,f(x)在(0,1)內(nèi)不單調(diào)?f'(x)在(0,1)內(nèi)有正有負(fù).①f(x)在(0,1)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),3.三次函數(shù)單調(diào)性與極值綜合應(yīng)用【例3】

若函數(shù)f(x)=ax3-(a2-4)x+4,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)有極大值.(1)求函數(shù)的解析式;(2)若存在x∈[-3,2],使得f(x)+m≥0能成立,求m的取值范圍.解

(1)f'(x)=3ax2-(a2-4),∵當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)有極大值,∴f'(1)=3a-(a2-4)=0,解得a=4,或a=-1.若a=4,f'(x)=12x2-12=12(x+1)(x-1),可得當(dāng)-1<x<1時(shí),f'(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)有極小值,不符合題意,舍去.若a=-1,f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),可得當(dāng)-1<x<1時(shí),f'(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)有極大值,則f(x)=-x3+3x+4.(2)f(x)=-x3+3x+4,存在x∈[-3,2],使得f(x)+m≥0能成立,則-m≤f(x)max.由(1)可得,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,-1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,2]上單調(diào)遞減.而f(-3)=22,f(1)=6,∴f(x)max=22.∴-m≤22,解得m≥-22.∴m的取值范圍是[-22,+∞).規(guī)律方法

1.要學(xué)會(huì)用導(dǎo)數(shù)方法解決三次函數(shù)單調(diào)性與極值問題中四類題型:(1)已知函數(shù)解析式求單調(diào)性問題;(2)已知函數(shù)解析式求極值問題;(3)已知含參數(shù)的函數(shù)解析式的極值問題求參數(shù);(4)已知含參數(shù)的函數(shù)解析式的單調(diào)性問題求參數(shù).2.通過上述例題研究了三次(高次)函數(shù)的性質(zhì),同時(shí)驗(yàn)證了高次函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識