5.2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法5.2.3復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第五章復(fù)數(shù)2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法2.3復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握復(fù)數(shù)的乘法與除法,能夠進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算.2.掌握虛數(shù)單位i冪值的周期性,能進(jìn)行有關(guān)的運(yùn)算.3.能在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解有關(guān)方程問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)一

復(fù)數(shù)的乘法及其運(yùn)算律1.定義復(fù)數(shù)的乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.復(fù)數(shù)的乘法滿足結(jié)合律、交換律及乘法對(duì)加法的分配律,即對(duì)任意z1,z2,z3∈C,有(1)結(jié)合律:(z1·z2)·z3=

;

注意與向量的數(shù)量積進(jìn)行區(qū)分(2)交換律:z1·z2=

;

(3)乘法對(duì)加法的分配律:z1·(z2+z3)=

+

.

3.互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積是實(shí)數(shù),等于這個(gè)復(fù)數(shù)(或其共軛復(fù)數(shù))模的平方.即若z=a+bi(a,b∈R),則z·=|z|2=||2=a2+b2.z1·(z2·z3)z2·z1z1·z2z1·z3名師點(diǎn)睛1.對(duì)復(fù)數(shù)乘法的三點(diǎn)說(shuō)明(1)類比多項(xiàng)式運(yùn)算:復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算很類似,可仿多項(xiàng)式乘法進(jìn)行,但結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開(kāi)(i2換成-1).(2)運(yùn)算律:多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)乘法中仍然成立,乘法公式也適用.(3)常用結(jié)論:①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.2.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍是復(fù)數(shù).(

)(2)實(shí)數(shù)a=0是復(fù)數(shù)(a+i)(1-i)(a∈R)的實(shí)部與虛部相等的充要條件.(

)2.[人教A版教材習(xí)題]在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程9x2+16=0.√√×知識(shí)點(diǎn)二

復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程的解法一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0,b2-4ac<0)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根當(dāng)a,b,c∈R且a≠0,Δ=b2-4ac<0時(shí),有一對(duì)虛根

名師點(diǎn)睛復(fù)數(shù)集內(nèi)一元二次方程的解法類型實(shí)系數(shù)一元二次方程復(fù)系數(shù)一元二次方程Δ的作用可以用來(lái)判斷根的情況不能用來(lái)判斷根的情況求根公式適用適用韋達(dá)定理適用適用過(guò)關(guān)自診[人教A版教材習(xí)題]已知2i-3是關(guān)于x的方程2x2+px+q=0的一個(gè)根,求實(shí)數(shù)p,q的值.解

因?yàn)?i-3是關(guān)于x的方程2x2+px+q=0的一個(gè)根,所以2(-3+2i)2+p(-3+2i)+q=0,整理得(10-3p+q)+(2p-24)i=0.知識(shí)點(diǎn)三

復(fù)數(shù)的除法給定復(fù)數(shù)z2,若存在復(fù)數(shù)z,使得z2·z=1,則稱z是z2的倒數(shù),記作z=

.

z=0時(shí)沒(méi)有倒數(shù)

名師點(diǎn)睛復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算要領(lǐng)是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù),使分母成為一個(gè)實(shí)數(shù),這與作根式除法時(shí)的分母“有理化”的處理類似,呈現(xiàn)形式如下:過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的商仍是復(fù)數(shù).(

)(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行除法運(yùn)算,分母不能為0.(

)√√DB知識(shí)點(diǎn)四

in的周期性對(duì)于復(fù)數(shù)z,定義它的乘方zn=,根據(jù)乘法的運(yùn)算律,實(shí)數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立,即對(duì)復(fù)數(shù)z,z1,z2和正整數(shù)m,n,有zm·zn=

,(zm)n=

,(z1·z2)n=

.

一般地,對(duì)任意自然數(shù)n,有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.zm+n

zmn

名師點(diǎn)睛關(guān)于復(fù)數(shù)周期運(yùn)算的常見(jiàn)結(jié)論過(guò)關(guān)自診判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)i4=1.(

)(2)i4n-1=i.(

)(3)i2n=-1.(

)√××*知識(shí)點(diǎn)五

復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探

重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算【例1】

計(jì)算下列各題:(1)(1-2i)(3+6i);(2)(5-2i)2;解

(1)(1-2i)(3+6i)=3+6i-6i+12=15;(2)(5-2i)2=52-2×5×2i+(2i)2=25-20i-4=21-20i;規(guī)律方法

1.復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的技巧(1)復(fù)數(shù)乘法與實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘法類似,在計(jì)算兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積時(shí),先按照多項(xiàng)式的乘法展開(kāi),再將i2換成-1,最后合并同類項(xiàng).(2)三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算,混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一致.(3)在復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算時(shí),若符合乘法公式,則可直接運(yùn)用公式計(jì)算.例如(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等.(4)對(duì)于復(fù)數(shù)的高次乘方運(yùn)算,可以利用公式

=zmn(m,n∈Z)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.2.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的技巧(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法,通過(guò)分子、分母都乘分母的共軛復(fù)數(shù),使“分母實(shí)數(shù)化”,這個(gè)過(guò)程與“分母有理化”類似.(2)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的結(jié)果要進(jìn)行化簡(jiǎn),通常要寫成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,即實(shí)部與虛部要完全分開(kāi)的形式.變式訓(xùn)練1計(jì)算下列各題:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);解

(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i.探究點(diǎn)二i的乘方的周期性及應(yīng)用【例2】

(1)i為虛數(shù)單位,i607的共軛復(fù)數(shù)為(

)A.i B.-i C.1 D.-1A解析

因?yàn)閕607=i4×151+3=i3=-i,所以其共軛復(fù)數(shù)為i.故選A.(2)計(jì)算i1+i2+i3+…+i2023+i2024=

.

解析

因?yàn)閕1+i2+i3+i4=0,所以i1+i2+i3+…+i2

023+i2

024=(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2

017+i2

018+i2

019+i2

020)+(i2

021+i2

022+i2

023+i2

024)=0.0變式探究若將(2)中的i全部變?yōu)?其結(jié)果如何?規(guī)律方法

虛數(shù)單位i的周期性(1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N+),n也可以推廣到整數(shù)集.(2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N+).探究點(diǎn)三與復(fù)數(shù)有關(guān)的方程問(wèn)題【例3】

求解下列問(wèn)題:(1)已知1+i是關(guān)于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一個(gè)根,求a+b的值;(2)已知關(guān)于x的方程x2+kx+k2-2k=0有一個(gè)模為1的虛根,求實(shí)數(shù)k的值.解

(1)當(dāng)a=0時(shí),解得b?R,不符合題意,所以原方程為一元二次方程.因?yàn)閷?shí)系數(shù)的一元二次方程虛根成對(duì)(互為共軛復(fù)數(shù)),所以1±i為方程的兩個(gè)根,規(guī)律方法

實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根是成對(duì)出現(xiàn)的,即若復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R,b≠0)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根,則其共軛復(fù)數(shù)a-bi是該方程的另一根.變式訓(xùn)練2已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有實(shí)根b,求實(shí)數(shù)a,b的值.探究點(diǎn)四復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探變式探究若將z3后面表達(dá)式中的3變?yōu)?,其結(jié)果如何?規(guī)律方法

求解此類題目關(guān)鍵是要理解所求復(fù)數(shù)表示的向量是如何由已知復(fù)數(shù)所表示的向量旋轉(zhuǎn)得到的,可利用數(shù)形結(jié)合的方法,將已知或所求復(fù)數(shù)所表示的向量在復(fù)平面內(nèi)表示出來(lái),可直觀地觀察旋轉(zhuǎn)的角度.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)復(fù)數(shù)的乘法及運(yùn)算律;(2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算;(3)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程;(4)i的運(yùn)算性質(zhì).2.方法歸納:分母“實(shí)數(shù)化”、配方法、求根公式法.3.常見(jiàn)誤區(qū):分母“實(shí)數(shù)化”時(shí)忽視i2=-1造成運(yùn)算錯(cuò)誤.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)123456789101112A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.復(fù)數(shù)(1+2i)(2-3i)的共軛復(fù)數(shù)是(

)A.8-i B.8+iC.-8-i D.-8+iA解析

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,可得(1+2i)(2-3i)=2-3i+4i-6i2=8+i,所以其共軛復(fù)數(shù)是8-i.故選A.123456789101112B1234567891011123.(1+i)20-(1-i)20的值是(

)A.-1024 B.1024C.0 D.512C解析

∵(1+i)2=2i,∴(1+i)4=-4.∵(1-i)2=-2i,∴(1-i)4=-4,∴(1+i)20-(1-i)20=(-4)5-(-4)5=0.123456789101112AB1234567891011125.(多選)若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=3+i(其中i是虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為,則(

)A.|z|=B.z的實(shí)部是2C.z的虛部是1D.復(fù)數(shù)

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限ABDz的實(shí)部為2,故B正確;z的虛部是-1,故C錯(cuò)誤;復(fù)數(shù)

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,1),位于第一象限,故D正確.1234567891011121234567891011126.設(shè)復(fù)數(shù)