2022屆新高考一輪復(fù)習(xí)-第九章-立體幾何-第6講-空間幾何體的綜合問題-教案

第九章第九章立體幾何第第6講空間幾何體的綜合問題復(fù)習(xí)要求復(fù)習(xí)要求1．掌握線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握垂直的關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．2．掌握求點到平面的距離與空間角的幾何方法．【例1】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，AB=1，BC=PA=4，M、N分別是BC、PC的中點，，．（1）證明：平面PAB；（2）證明：平面PDM；（3）求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】（1）證明：M、N分別是BC、PC的中點，，又平面PAB，平面PAB，平面PAB．（2）證明：由底面是平行四邊形，，知，在中，由余弦定理，故，所以，，，又，，又是平面PDM內(nèi)的兩條相交直線，平面PDM．（3）平面PDM，平面PDM，，又，且是平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線，平面ABCD．連接AM，在中，由余弦定理，在中：，．【變式1．1】如圖，在三棱錐中，平面，，分別為中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）證明：在中，因為分別為中點，可得，又因為平面，平面，所以平面．（2）證明：因為平面，且平面，可得，又因為，且分別為中點，可得，又由且平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．【變式1．2】如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得平面，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析．【解析】（1）由題設(shè)知，平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，為上異于，的點，且為直徑，，又，平面，平面，平面平面．（2）在線段上存在點，當(dāng)為中點時，使得平面．證明如下：連接，，交于點，是正方形，是的中點，連接，是中點，，平面，平面，平面，所以當(dāng)為中點時，平面．【例2】如圖，直三棱柱中，，．（1）求證：；（2）在棱上是否存在點K，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)為中點時，平面，此時．【解析】（1）因為為直三棱柱，故面面，又面面，且，故面，又面，故．（2）分別取，的中點為，，連接，因為，故為的中位線，為的中位線，因此，，又面，故面，又為直三棱柱，故，即，又面，故面，又，故面面，又面，故平面，此時．【變式2．1】如圖，四邊形ABED為梯形，，，平面ABED，M為AD中點．（1）求證：平面⊥平面PBM；（2）探究在PD上是否存在點G，使得平面PAB，若存在求出G點，若不存在說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)為的中點時，平面，證明見解析．【解析】（1）證明：連接，因為，，為的中點，所以四邊形為菱形，所以，因為平面ABED，平面ABED，所以，因為，面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）當(dāng)為的中點時，平面，證明：如圖連接，，因為為的中點，為的中點，所以，平面，平面，所以平面，由（1）可知，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面．【例3】如圖1，在中，，，點，分別為，中點，，交于點，，如圖2，把沿折起，，分別到達(dá)，，．（1）求證：平面平面；（2）點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）在圖1中，點，分別為，中點，所以，，，因為，所以，因為，所以，所以在圖2中，，，所以是二面角的平面角，因為，，，所以，，所以平面平面．（2）由，，，平面，所以平面，而平面，所以，在圖1中，由，，，可得，，，，在中，由余弦定理得，在圖2中，設(shè)點到平面的距離為，由，得，所以，所以點到平面的距離為．【變式3．1】如圖，三棱錐中，底面ABC是正三角形，底面ABC，平面PBC，垂足為G．（1）G是否可能是的垂心？請說明理由；（2）若G恰是的重心，且的邊長為2，求點C到平面ABG的距離．【答案】（1）不可能，理由見解析；（2）．【解析】（1）設(shè)G是的垂心，則，因為平面PBC，平面PBC，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，因為底面ABC，平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，與是正三角形矛盾，所以不可能是的垂心．（2）延長交于，連接并延長交于，因為G是的重心，所以分別為，中點，且，連接，因為是邊長為2的正三角形，所以，因為底面ABC，所以，因為平面PBC，所以，則，則，，所以，，，設(shè)點C到平面ABG的距離為，可得到平面的距離為，由可得，解得．【例4】如圖所示，在三棱柱中，已知ABCD和是矩形，平面平面ABCD．若，則直線AB到面的距離為__________．【答案】【解析】取的中點，連接，因為ABCD和是矩形，，，又，面，又面，，又，，，得，又為的中點，，又，，面，所以直線AB到面的距離即為，平面平面ABCD，且平面平面，，面，又面，，在中，，，故答案為．【變式4．1】已知長方體．（1）求證：平面；（2）若，，求和平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）在長方體中，，又平面，所以平面．（2）由（1）平面，則直線上任意一點到平面的距離都相等，所以只需求直線上任意一點到平面的距離，在長方體中，平面，且平面，則平面平面，過點作交于，則平面，即為直線和平面間的距離，在中，，，則，由等面積法得，所以和平面的距離．【變式4．2】已知正四棱柱，，為的中點，則直線與平面的距離為_________．【答案】1【解析】連接交于點，因為為的中點，所以有，而平面，所以有平面，即直線與平面的距離為點到平面的距離，設(shè)為，在三棱錐中，，在三棱錐中，，，所以，故答案為1．【例5】用六個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體．已知正六面體的棱長為，則平面與平面間的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：正六面體是棱長為的正方體，，，，，平面平面，連接，，，，平面，又平面，，同理可證得：，又平面，，平面，平面，設(shè)垂足分別為，則平面與平面間的距離為，正方體的體對角線長為．在三棱錐中，由等體積法求得，∴平面與平面間的距離為，故選C．【變式5．1】如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面之間的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：∵正方體中E，F(xiàn)分別為，的中點，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴．又平面，平面，∴平面．∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴．又平面，平面，∴AE∥平面．又∵，∴平面平面．（2）平面與平面之間的距離也就是點B到面的距離，設(shè)為h，∵正方體的棱長為2，∴，，∴的面積，∴三棱錐的體積，又三棱錐的體積．由，可得，解得，∴平面與平面之間的距離為．【例6】如圖，是⊙O的直徑，垂直于所在的平面，C是圓周上不同于的一動點．（1）證明：是直角三角形；（2）若，且當(dāng)直線與平面所成角的正切值為時，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）正弦值為．【解析】（1）是的直徑，則，又垂直于所在的平面，即平面，又平面，則，又，于是平面，又平面，則，即，故是直角三角形．（2）由題可得平面，則與平面所成角為，即，，計算易得，則，由（1）知，是直角三角形，，設(shè)到平面的距離為，由線面角的定義，于是與平面所成角的正弦值為，三棱錐的體積，又，根據(jù)，解得，于是與平面所成角的正弦值為．【變式6．1】在四棱錐P–ABCD中，底面ABCD是邊長為6的正方形，PD平面ABCD，PD=8．（1）求異面直線PB與DC所成角的正切值；（2）求PA與平面PBD所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意知，，所以就是異面直線PB與DC所成的角，因為平面ABCD，平面ABCD，所以，又，，所以平面PDA，而平面PDA，所以．在中，，，所以，即異面直線PB與DC所成的角的正切值為．（2）連接AC，與BD交于點O，連接PO，由平面ABCD，得，，因為底面ABCD為邊長為6的正方形，所以，，又平面PBD，所以平面PBD，所以PA在平面PBD內(nèi)的射影為PO，為PA與平面PBD所成的角，又PD=8，AD=6，所以PA=10，，所以在中，，即PA與平面PBD所成的角的正弦值為．【例7】過正方形的頂點作線段平面，若，則平面與平面夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，將幾何體補形為正方體，如圖：則為平面與平面的交線，因為平面，所以，，所以為平面與平面所成的角，因為，，所以，所以，故選B．【變式7．1】如下圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點E滿足．現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如下圖所示．（1）求證：；（2）求異面直線與BE的距離；（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】（1）證明：在圖1中，連接CE，易求，∴四邊形ABCE為菱形．連接AC交BE于點O，則．∴在圖2中，，．又于O，∴平面．又平面，∴．（2）由勾股定理可得，∴．過作的垂線OM，交于M，則OM即異面直線與BE的距離，．（3）在圖2中延長BE，CD，設(shè)，連接AG．∵平面，平面，又平面，平面，∴是平面與平面的交線，∵平面平面BCDE，，平面平面，∴平面，又平面，∴，作，垂足為H，連接CH，又，∴平面OCH，又平面OCH，∴，∴即為平面與平面所成銳二面角的平面角．由（1）知，，為等邊三角形，∴，∵，∴，解得．在中，，∴．∴平面與平面所成銳二面角的余弦值．【例8】如圖，三棱錐中，，，為正三角形．（1）證明：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：取的中點，連接、，，為正三角形，為的中點，所以，，，又，平面，平面，．（2）由（1）知是二面角的平面角，作交延長線于點，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，，平面，設(shè)，則在中，，則，，，所以，，，所以二面角的余弦值為．【變式8．1】在四棱錐中，底面為梯形，，為正三角形，且，，四棱錐的體積為．（1）求證：平面；（2）求PC與平面ABCD所成角的正弦值；（3）設(shè)平面平面，求證：，并求二面角的大小．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】（1）證明：因為，所以，因為，所以，又因為，即，，且平面，所以平面．（2）因為平面，平面ABCD，所以平面平面ABCD，取AD中點Q，連接PQ，CQ，因為為正三角形，Q為AD中點，所以，又平面平面ABCD，且平面平面ABCD=AD，所以平面ABCD，所以即為PC與平面ABCD所成角，在中，，設(shè)CD長為x，則四棱錐的體積，求得CD長，在中，，在中，，所以，所以PC與平面ABCD所成角的正弦值為．（3）證明：因為，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，又平面，且平面平面，所以．因為，，所以，同理，所以即為二面角所成的平面角，因為為正三角形，所以，即二面角的大小為．【變式8．2】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點，若F為線段BC上的動點（不含B）．（1）平面AEF與平面PBC是否相互垂直？若是，請證明；若不是，請說明理由；（2）若，為何值時？二面角為．【答案】（1）平面AEF與平面PBC是相互垂直，證明見解析；（2）．【解析】（1）因為，E為線段PB的中點，所以，因為底面ABCD，平面ABCD，所以，又因為底面ABCD為正方形，所以，又，所以平面PAB，∵平面PAB，∴，因為，所以平面PBC，因為平面AEF，所以平面平面PBC．（2）如圖，取AB的中點M，作交AF于點N，連接EM，EN，因為EM為的中位線，所以，又平面ABCD，線段BC，故平面ABF，，，，故平面EMN，所以，即為二面角的平面角，即，設(shè)，則，因為，即，所以，又，即，得．一、填空題．1．如圖，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水壩斜面上的點處，從，到直線（庫底與水壩的交線）的距離和分別為和，的長為，甲乙之間拉緊的繩長為，則庫底與水壩所在平面夾角的余弦值為___________．【答案】【解析】如圖所示，過點作，過點作，連接．由題得，所以庫底與水壩所在平面夾角為或其補角．由于所以，因為，平面，所以平面，又，平面，，所以，所以，所以庫底與水壩所在平面夾角的余弦值為．2．正方體的棱長為2，則平面與平面所成角為______；平面與平面的距離為______．【答案】，【解析】①如圖1，在正方體中，因為平面，平面，所以，又，所以即為平面與平面所成角，又平面與平面為同一平面，，所以平面與平面所成角為．②如圖2，因為，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，所以平面與平面的距離，即為到平面的距離，設(shè)到平面的距離為，因為，即，即，所以，所以平面與平面的距離為．故答案為；．二、解答題．3．如圖：四棱錐中，已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，E是PD的中點．求證：（1）平面ACE；（2）BD⊥平面PAC．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）證明：因為O為BD中點，E為PD中點，所以O(shè)E為△BPD的中位線，則，又因為平面ACE，平面ACE，所以平面ACE．（2）因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BD，又因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又，所以BD⊥平面PAC．4．如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，，分別為棱，的中點．（1）證明：平面；（2）若，求點到面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）設(shè)與交于點，連接，，如下圖所示：因為底面為矩形，則為和的中點，因為，分別為棱，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，同理，平面，因為，且平面，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面．（2）由，易得，的面積，因為平面，平面，所以，故的面積為，設(shè)點到面的距離為，由得，即，從而，故點到面的距離為．5．如圖，立方體的棱長為，，，分別是，，的中點，求：（1）到截面的距離；（2）點到截面的距離．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）到平面的距離即為到平面的距離在平面中，作，如圖所示，連接，又面，面，則，又，得面，即的長度即為所求的距離，則，又，得，即到平面的距離為．（2）連接，，設(shè)到平面的距離為，則，則，又，則，故，由，得，即點到截面的距離為．6．如圖，在直三棱柱中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D、E、F分別為AC、AA1、AB的中點．（1）求EF與AC1所成角的大??；（2）求直線B1C1到平面DEF的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）DF//BC，BC⊥AC，∴DF⊥AC，∵平面ACC1A1⊥平面ABC，∴DF⊥平面ACC1A1，∴DF⊥AC1，∵ACC1A1是正方形，∴AC1⊥DE，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AC1⊥平面DEF，∴AC1⊥EF，即EF與AC1所成的角為90°．（2）∵B1C1∥BC，BC∥DF，∴B1C1//平面DEF，B1C1到平面DEF的距離等于點C1到平面DEF的距離，∵DF⊥平面ACC1A1，∴平面DEF⊥平面ACC1A1，∵AC1⊥DE，∴AC1⊥平面DEF．設(shè)AC1∩DE=O，則C1O就是點C1到平面DEF的距離，且．7．如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成的角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）因為，，均垂直于平面，所以，，，，因為，，，所以，所以，由，因為，，，，，所以，因為，，所以，因為，得，所以，故，又，所以平面．（2）如圖，過點作，交直線于點，連接．因為平面，平面，所以平面平面，因為，平面平面，所以平面，所以是與平面所成的角，因為，，，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，因此，直線與平面所成的角的正弦值是，余弦值是．8．如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，D為CC1的中點．（1）求證：AB1⊥平面A1BD；（2）求直線A1C1與平面A1BD所成角的正弦值；（3）求平面A1BD與平面A1DC1的夾角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】（1）證明：如圖所示：設(shè)AB1∩A1B=O，連接AD，B1D，OD，因為正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點，所以，因為四邊形AA1B1B為正方形，所以AB1⊥A1B，O為AB1中點，所以O(shè)D⊥AB1，又因為A1B∩OD=O，所以AB1⊥平面A1BD．（2）延長AC和A1D，交于E，連接OE，由（1）知AO⊥平面A1BD，所以∠AEO為直線AE與平面A1BD所成角，其正弦值為，因為A1C1∥AE，所以直線A1C1與平面A1BD所成角的正弦值為．（3）過A作AF⊥A1D于F，連接OF，由（1）知AO⊥平面A1BD，所以O(shè)F⊥A1D，于是∠AFO為平面A1BD與平面ADA1的夾角的平面角，又因為平面A1BD與平面ADA1的夾角和平面A1BD與平面A1DC1的夾角互補，所以平面A1BD與平面A1DC1的夾角的正弦值為sin∠AFO，因為，由等面積知，所以，所以平面A1BD與平面A1DC1的夾角的正弦值為．9．如圖，在直角梯形ABCD中，，，，點E是BC的中點．將沿BD折起，使，連接AE、AC、DE，得到三棱錐．（1）求證：平面平面BCD；（2）若，