2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)測試調(diào)研卷（天津地區(qū)使用）

2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)測試調(diào)研卷

（天津地區(qū)使用）

【考試時(shí)間：120分鐘】

【滿分：150分】

一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）

［己知集合。={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},3={1,2},則七（4UB）=（）

A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{—2,—1,0,3}D.{—2,—1,0,2,3}

2.己知QER，則“〃>1"是T<i”的（）

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必耍條件

3.函數(shù)/*）=上嗎的圖象大致為（）.

cosx+2

4.為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展，某市決定對(duì)部分企業(yè)的稅收進(jìn)行適

當(dāng)?shù)臏p免，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出

了樣本的頻率分布直方圖，下面三個(gè)結(jié)論：

|頻率/組距

0.0015卜十斗士^

o.ooiH

00005卜+??卜?卜+~?.

船)300及5f)0600700年收入/萬元

①樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［300,500）的頻率為0.45；

②如果規(guī)定年收入在500萬元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策，估計(jì)有55%的

當(dāng)?shù)刂行⌒推髽I(yè)能享受到減免稅政策；

③估計(jì)樣本的中位數(shù)為480萬元.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.OB.lC.2D.3

2

5.已知實(shí)數(shù)a=log23,/?=2,c=log32,則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系正確的是（）

K.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aY）.a>c>b

6.已知函數(shù)/（x）是定義在R上的函數(shù)，/⑴=1.若對(duì)任意的且

X）<x2,有""）"電）〉_3,則不等式川og2（3x-2）］vlog216-3k>g2（3x-2）

的解集為（）

7.已知拋物線丁=4后的準(zhǔn)線與雙曲線相交于A,8兩點(diǎn)，F(xiàn)

為拋物線的焦點(diǎn)，若△E45為直角三角形，則實(shí)數(shù)。=（）

8.唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體

現(xiàn)了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體

（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖所示.已知球的半徑為/?,酒杯內(nèi)壁

表面積為好酒2,設(shè)酒杯上部分（圓柱）的體積為匕，下部分（半球）的體積為

3

匕，則V?=（）

*2

(1)(2)

33

A.2B.-C.lD.-

24

9.已知函數(shù)/(x)=2sinx+—|,則下列結(jié)論不正確的有()

A.函數(shù)f(x)的最大值為2

B.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C.函數(shù)/(x)的圖象與函數(shù)〃(x)=2sin［x-的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

D.若實(shí)數(shù)m使得方程/3)=加在［0,2兀］上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則一定有機(jī)=6

二、填空題(本題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答

對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分)

10.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+3i)z=10,貝ljz=.

11.(/+1)(34+〃)5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為?32,則實(shí)數(shù)。的值為；展

開式中含Y項(xiàng)的系數(shù)為.

12.設(shè)機(jī)￡R，直線/1r-y-3/〃+l=0與直線4：x+my-3m-\=0相交于點(diǎn)

P，點(diǎn)Q是圓C：(x+ly+(y+l)2=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|P0的最小值為

13.不透明的盒中有大小、形狀完全相同的5+m個(gè)球，其中m個(gè)紅球，2個(gè)綠

球，3個(gè)黃球，若從盒中任取3個(gè)球，其中至多有一個(gè)紅球的概率為3,則團(tuán)=

7

；記4為取出的3個(gè)球中的紅球的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量g的數(shù)學(xué)期望

E?=.

14.如圖，在長方形ABC。中，M,N分別為線段BC,CD的中點(diǎn).若

礪=4麗十%麗，4，%ER，則4十4的值為.

15.函數(shù)版x）=lnx+l-2or有兩個(gè)零點(diǎn)，且人。）極大值小于1,則實(shí)數(shù)〃的取值

范圍是.

三、解答題（本題共5小題，共75分）

16.（15分）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知

a=2\/2,b=5>c=\[\3.

（1）求角。的大小；

（2）求sinA的值；

（3）求sin（2A+[）的值.

17.（15分）如圖，底面ABCD是邊長為3的正方形，平面平面

ABCD,AF/IDE,AD±DE,AF=2瓜DE=3瓜

（1）求證：平面ACEJ?平面BED

（2）求直線C4與平面3EF所成角的正弦值.

（3）在線段A尸上是否存在點(diǎn)M,使得二面角的大小為60。？若存

在，求出4”的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

AF

18.(15分)已知｛叫為等差數(shù)列，低｝為等比數(shù)列，%=4=1,

火=5(4-4)，4=4(.一4).

(1)求｛〃“｝和也｝的通項(xiàng)公式;

(2)記｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，求證：S“S〃+2VS：X(〃WN)；

(3勺一2應(yīng)平

J2——,n為奇數(shù)，

(3)對(duì)任意的正整數(shù)〃，設(shè)c“，的〃+2求數(shù)列｛%｝的前2〃項(xiàng)

衿/為偶數(shù)，

和.

19.(15分)已知橢圓上:鳥+馬=1(。>〃>0)的離心率為也，直線乙過E的上

ab2

頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，直線4過E的右頂點(diǎn)，〃%，4與4之間的距離為1-乎.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)已知過原點(diǎn)的直線與橢圓E交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)C是E上異于A,8的點(diǎn)，

且|AC|=|8C|,試問在x軸上是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)M到直線AC的距離為定

值？若存在，求出定值與點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

20.(15分)已知函數(shù)f(x)=e'ln(l+x).

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0j(0))處的切線方程；

(II)設(shè)g(x)=r(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+00)上的單調(diào)性;

(III)證明：對(duì)任意的S,rG(0,+oo),Wf(s+t)>/(5)+f(t).

答案以及解析

1.答案：A

解析：因?yàn)锳={—1,O,1},B={1,2},所以AUB={—LO,1,2}.

又。={-2,-1,0,1,2,3},所以3(AU3)={-2,3}.

2.答案：A

解析：由可得!<1成立；當(dāng)!<1時(shí)，推不出一定成立.所以

aa

是的充分不必要條件.

a

3.答案：A

解析：由題意知函數(shù)的定義域?yàn)镽,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?/p>

xsin(x)xsinx

/(_x)===/(x),所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)

cos(-x)+2cosx+2

71.It

/\—sin—

稱，故排除B,D.由7-=2-2_=->0,故排除C.故選A.

⑴cos424

2

4.答案：D

解析：由(0.001+0.0015+0.002+0.0005+24)x100=1,得a=0.0025,

所以數(shù)據(jù)在［300,500)區(qū)間的頻率為(0.002+0.0025)x100=0.45,①正確；

數(shù)據(jù)在［200,500)區(qū)間的頻率為(0.001+0.002+0.0025)x100=0.55,②正確；

數(shù)據(jù)在［200,400)區(qū)間的頻率為0.3,數(shù)據(jù)在［200,500)區(qū)間的頻率為0.55,

故估計(jì)中位數(shù)為400+竺￡x100=480,③正確.

0.25

5.答案：A

解析：由題意可知，a>\>c,1<b<2fa=Iog23=log279>Iog2>/8=,

b=y/2<.—=—,故a>b>c,故選A.

V42

6.答案：C

解析：由大知％-w<0,故不等式〃％）一”—）>_3可化為

/（M—Hwk—Bxa—w）,即〃與）+3百</（9）+3%2，設(shè)/（x）=/（x）+3x,

則函數(shù)F（x）=/*）+3x是R上的增函數(shù)，

又尸⑴=4,所以不等式川og2（3x-2）］<log216-310g2（3工-2）可化為

F［log2（3x-2）］<F（l）,所以Iog2（3x-2）<1,

即0<3x-2<2,

解得2<xv3,故選C.

33

7.答案：D

解析：由題知，拋物線的準(zhǔn)線為x=-血,/（血,0）,聯(lián)立

6?=—,故選D.

3

8.答案：A

解析；由球的半徑為R,知酒杯下部分（半球）的表面積為2兀收，由酒杯內(nèi)壁

表面積為廿兀叱，得圓柱側(cè)面積為絲冰2-2成2=號(hào)兀內(nèi)，設(shè)酒杯上部分（圓

333

柱）的高為人則27IRX/Z=§HR2,解得。=±R,酒杯下部分（半球）的體積

33

1A744

V=—X-7TX/?3=-7r/?5,酒杯上部分（圓柱）的體積K=兀4X-R=-7lR3,所

223333

3

v-n/?

以工—=2.故選A.

匕2成3

3

9.答案：B

解析：由函數(shù)/(x)=2sin1+尚可得最大值為2,故A項(xiàng)正確；可令

x+—=kn,可得x=Z兀-2,kwZ,即有對(duì)稱中心為左兀一:0,故B項(xiàng)不正

33V3J

確；函數(shù)/(幻的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)為

,故C項(xiàng)正確；由函數(shù)/*)

在［0,2曲上的大致圖象，可得方程/。)二根在。2兀］上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則

m=6,故D項(xiàng)正確.

10.答案：l-3i

解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足(l+3i)z=10,則z=」±=l-3i.

l+3i

11.答案:-2；-842

解析：(3五+〃)5的通項(xiàng)小二仁廣”；^,所以+1)(34+4的展開式中

的常數(shù)項(xiàng)為/=-32,解得〃=-2.所以(爐+1)(3&-2)5的展開式中含/項(xiàng)的

系數(shù)為一32+C；34(-2),=-842.

12.答案：近

解析：由題意得：/］：(x-3)〃?+(l-y)=0,Zj:(x-1)+(y-3)/n=0，

?M恒過定點(diǎn)"(3,1)，，2恒過定點(diǎn)N(l,3)，又4U，

，尸點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓，即(2,2)為圓心，gJ(3-l)2+(l-3)2=夜為半

徑的圓，."點(diǎn)軌跡為(工一2)，()，一2)2=2，

???圓(工-2『+(y-2)2=2與圓。的圓心距d=J(l+2y+(l+2)2=3夜＞2瑛，

.?.兩圓相離，，儼。的最小值是兩圓圓心距d減去兩圓半徑之和，

即仍吐血=3夜-20=&.故答案為五.

9

3;8-

解析：從5+機(jī)個(gè)球中任取3個(gè)球，共有C'，種情況,

由題意得C0”C=J所以機(jī)=3,4的所有可能取值為0,1,2,3,

二7

在Nn”八、C：105八”八CC；3015

所以P(g=0)=3=—=—,p(g=D=」^=—=—

C；5628C；5628

%=2)令C2c'吟15，%=3)焉c3=專1，

C8JOC8JO

^fWE(^)=0xA+ix—+2x—+3x—=-.

282856568

14.答案：-

5

解析：根據(jù)題意得，MN=-BD=-(AD-AB)=-AD--AB

2222f

AM=AB+BM=AB+-AD.BN=BC+CN=AD--AB.

22

.?.麗=4褊+4麗=4(而+g而)+，而而)

5*

III?I32

=-,1

?'?4一耳422^+4=2'解得4=-14=-.：.A1+A2=—.

(11

15.答案:

<2e*2

解析：由題知力(幻=歷%+1-2依的定義域?yàn)?0,+8),則〃'(x)=，-2a,

x

當(dāng)。WO時(shí)，仇幻>0,則〃(幻在(0,zo)上單調(diào)遞增，函數(shù)心)不可能有兩個(gè)零

點(diǎn)；當(dāng)。>0時(shí)，令”(幻>0,Wo<x<—；

2a

令〃(x)<0,Wx>—,則〃(x)在((),1-］上單調(diào)遞增，在C，+8］上單調(diào)遞

2ak2a)\22a)

減，.?.〃(/)在x=5處取得極大值，極大值為〃哈

又當(dāng)x—>0時(shí)，h(x)<0；當(dāng)尢一時(shí)，/?(x)<0,且〃(x)=0有兩個(gè)零點(diǎn),

/1Aii

:.h—=ln—>0,解得

12a)2a2

?"(x)的極大值小于1,解得a〉,.

2a2e

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(上,

(2e2)

16.答案：(1)C=-

4

g..2屈

(2)sinA=------

13

解析：(1)在△ABC中，由余弦定理及。=2近，b=5,c=V13,有

cosC="""-T=".又因?yàn)镃w(0,兀),所以。二二.

2ab24

(2)在△ABC中，由正弦定理及C=&,。=2近，c=9,可得

4

.tzsinC2>/13

sinA=--------=-------.

c13

(3)由a<c及sinA=么叵，可得cosA=Jl-sii?卜二22^,進(jìn)而

1313

12c5_

sin2A=2sinAcosA=—,cos2A=2cos2A-l=—.所以，

1313

?仁一吟.ox7cL0人?花125a17x/2

sin2A+—=sin2Acos—+cos2Asin—=—x——+—x——=------.

V4j4413213226

17.答案：(1)見解析

(3)在線段A尸上存在點(diǎn)M使得二面角的大小為60。，此時(shí)

AM_1

~AF~4

解析：（1）因?yàn)槠矫鍭DM_L平面48CD,平面AOEVCl平面ABCO=AD,

￡應(yīng)匚平面4。七凡DE±AD,所以￡>￡_1_平面48。。.

因?yàn)锳Cu平面ABC。，所以DEJ.AC.

又四邊形A8CQ是正方形，所以AC_L3Q.

因?yàn)镺En8￡>=。，Ofu平面8EQ,比）u平面BE。，所以4。_L平面BED

又ACu平面ACE,所以平面ACE_L平面BED

（2）因?yàn)?4DC,OE兩兩垂直，所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系。-孫z.

則43,0,0)，F(xiàn)(3,0,25/6),E(0,0,376),3(3,3,0),C(0,3,0),所以

CA=(3,-3,0),B2=(-3,-3,376),方=(3,0,-C).

設(shè)平面BE尸的法向量為〃=（x,y,z）,

n-BE=-3x-3y+3限z-0,

則

n?EF=3x-瓜z=0,

取工="，得〃=（木,2遙,3）為平面8E尸的一個(gè)法向量.

所以cos〈m,〃〉=翻==一嚕

所以直線。與平面詆所成角的正弦值為嚕

(3)假設(shè)在線段A/上存在符合條件的點(diǎn)M,由(2)可設(shè)“(3,0"),

0<r<2>/6,則麗■=((),-3").

設(shè)平面MBE的法向量為機(jī)=(ay,zj,

則卜九?兩二一3乂+應(yīng)=0,

m-BE=-3x)-3+3底z、=0,

令y=f,得加=(3后3)為平面MBE的一個(gè)法向量.

由(1)知C4_L平面BED,所以刀是平面BED的一個(gè)法向量，

,/7rrxl\m-CA\\9y/b-6t\_o1

Icos〈肛CA)\=----=----------1=cos60=-,

\m\\CA\3&XJ(36T)2+/+92

整理得2/一65/^+15=0,解得f=

2

故在線段A尸上存在點(diǎn)M使得二面角M-BE-O的大小為60。，止匕時(shí)把=’.

AF4

18.答案：(1)%=n；bn=r-'

(2)見解析

小4”6〃+54

)2H+1-9X4M-9

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為止等比數(shù)列｛〃｝的公比為孫

由%-1,%=5(々4一%)，可得d=l，從而｛a〃｝的通項(xiàng)公式為％一九.

由4=1,4=4(么一4),4/0,可得夕2-4夕+4=0,解得g=2,從而｛"｝的

通項(xiàng)公式為2=2〃T.

(2)由(1)可得S“=N7),故S￡+2=；〃5+1)(〃+2)5+3),

S3=；5+l)2(〃+2)2,從而S.5.+2_S3=_g(〃+l)(〃+2)<0,所以

S￡+2<S：+1.

⑶當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，也Z嘰吐空二空一處;

〃“%+2〃(〃+2)〃+2n

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，C"=A*

對(duì)任意的正整數(shù)〃，有

92*-2、22”

=Z

、2&+12k—1,2714-1

如小小2女-11352〃一1

—+—+—+???+

23.?

A=1k=l4”4444〃

.ZTXZH1132〃-32〃一1e

由①得Z=不+不+一,+丁+下r?②

21-1

由?@得（*2?=：+；!■+…+京一2/z-l4.4弓

1-15-竽,從而得

4

56〃+5

斗”=9-9x4M

因此=2。2卜1+象3=4,6n+54

Jt=lk=lk=\2/1+19x4〃9

4”6〃+54

所以，數(shù)列｛c〃｝的前2〃項(xiàng)和為

2n+l9x4"9

19.答案：⑴標(biāo)準(zhǔn)方程為y?=1.

(2)存在，點(diǎn)M(0,0).

解析：⑴因?yàn)闄E圓E的離心亶為孝’所以一孝,

則。==c,所以直

線4的斜率為-1.

如圖，設(shè)E的右焦點(diǎn)為凡右頂點(diǎn)為P,上頂點(diǎn)為。，過點(diǎn)戶作尸。_L4于點(diǎn)

D,

貝|J|PO|=1-4,/巴加二乙，所以|尸產(chǎn)|=夜|PO|,即a-c=J^c-c=&-l,

24

解得c=l,

則〃=1,。=O.

故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y+y=l.

（2）由題意可得點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn).

又|AC|=|8C|,所以O(shè)4_LOC.

①當(dāng)直線AC的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AC的方程為

y=b+肛A（%,y）,C（孫力），

2

x2_1

由（耳+）'=,得（2攵2+i）f+4叱+2〃?2一2=0,

y=kx+m

貝ljA-（4hn）2-4（2k2+l）（2w2-2）>0,BR2k2-m2+i>0.

4km2m~-2

由根與系數(shù)的關(guān)系可得內(nèi)+々=-斤力，%/2=wp，

由OA_LOC可得xw+y^2=o,即+（H1+6）（仇+加）=0,

伊+1）（2療一2）軟24

2

即（A2++k77（玉+x2）+ni=0,所以

2公+12k2+\

故%?=3蘇—1.

假設(shè)存在點(diǎn)M（%,0）滿足條件，設(shè)點(diǎn)M到直線AC的距離為d,

(kx+m)'2(5+〃7『

貝W=：o+0

k2+1-W-'

當(dāng)與=0時(shí)，1為定值g,即d為定值日.

②當(dāng)直線AC的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得k|二M，

所以工+片=1,故片=2,點(diǎn)go)到直線AC的距離為四.

133

綜上可得，存在點(diǎn)M(0,0),使得點(diǎn)M到直線AC的距離為定值手.

20.答案：(I)y=x

(II)g(幻在[0,+8)上單調(diào)遞增

(III