2024年上海市中考數學真題卷含答案解析

中考PAGE1試題PAGE2024年上海市初中學業(yè)水平考試數學試卷1．本場考試時間100分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁．2．作答前，請在答題紙指定位置填寫姓名、報名號、座位號．井將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置．3．所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應的區(qū)域，不得錯位．在試卷上作答一律不得分．4．用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題．一、選擇題（每題4分，共24分）1.如果，那么下列正確的是（）A B. C. D.2.函數的定義域是（）A. B. C. D.3.以下一元二次方程有兩個相等實數根的是（）A. B.C. D.4.科學家同時培育了甲乙丙丁四種花，從甲乙丙丁選個開花時間最短的并且最平穩(wěn)的．種類甲種類乙種類丙種類丁種類平均數2.32.32.83.1方差1.050.781.050.78A.甲種類 B.乙種類 C.丙種類 D.丁種類5.四邊形為矩形，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（）A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形6.在中，，，，點在內，分別以為圓心畫，圓半徑為1，圓半徑為2，圓半徑為3，圓與圓內切，圓與圓的關系是（）A.內含 B.相交 C.外切 D.相離二、填空題（每題4分，共48分）7計算：___________．8計算______．9.已知，則___________．10.科學家研發(fā)了一種新的藍光唱片，一張藍光唱片的容量約為，一張普通唱片的容量約為25，則藍光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科學記數法表示）11.若正比例函數的圖像經過點，則y的值隨x的增大而___________．（選填“增大”或“減小”）12.在菱形中，，則___________．13.某種商品的銷售量y（萬元）與廣告投入x（萬元）成一次函數關系，當投入10萬元時銷售額1000萬元，當投入90萬元時銷售量5000萬元，則投入80萬元時，銷售量為___________萬元．14.一個袋子中有若干個白球和綠球，它們除了顏色外都相同隨機從中摸一個球，恰好摸到綠球的概率是，則袋子中至少有___________個綠球．15.如圖，在平行四邊形中，E為對角線上一點，設，，若，則___________（結果用含，的式子表示）．16.博物館為展品準備了人工講解、語音播報和增強三種講解方式，博物館共回收有效問卷張，其中人沒有講解需求，剩余人中需求情況如圖所示（一人可以選擇多種），那么在總共萬人的參觀中，需要增強講解的人數約有__________人．17.在平行四邊形中，是銳角，將沿直線翻折至所在直線，對應點分別為，，若，則__________．18.對于一個二次函數（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為__________．三、簡答題（共78分，其中第19-22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分）19.計算：．20.解方程組：．21.在平面直角坐標系中，反比例函數（k常數且）上有一點，且與直線交于另一點．（1）求k與m的值；（2）過點A作直線軸與直線交于點C，求值．22.同學用兩幅三角板拼出了如下的平行四邊形，且內部留白部分也是平行四邊形（直角三角板互不重疊），直角三角形斜邊上的高都為．（1）求：兩個直角三角形的直角邊（結果用表示）；小平行四邊形的底、高和面積（結果用表示）；（2）請畫出同學拼出的另一種符合題意的圖，要求：不與給定的圖形狀相同；畫出三角形的邊．23.如圖所示，在矩形中，為邊上一點，且．（1）求證：；（2）為線段延長線上一點，且滿足，求證：．24.在平面直角坐標系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經過和．（1）求平移后新拋物線的表達式；（2）直線（）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點P在原拋物線上的對應點為，如果四邊形有一組對邊平行，求點P的坐標．25.在梯形中，，點E在邊上，且．（1）如圖1所示，點F在邊上，且，聯結，求證：；（2）已知；①如圖2所示，聯結，如果外接圓的心恰好落在的平分線上，求的外接圓的半徑長；②如圖3所示，如果點M在邊上，聯結、、，與交于N，如果，且，，求邊的長．

2024年上海市初中學業(yè)水平考試數學試卷1．本場考試時間100分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁．2．作答前，請在答題紙指定位置填寫姓名、報名號、座位號．井將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置．3．所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應的區(qū)域，不得錯位．在試卷上作答一律不得分．4．用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題．一、選擇題（每題4分，共24分）1.如果，那么下列正確的是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了不等式的基本性質，根據不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．【詳解】解：A．兩邊都加上，不等號的方向不改變，故錯誤，不符合題意；B．兩邊都加上，不等號的方向不改變，故錯誤，不符合題意；C．兩邊同時乘上大于零的數，不等號的方向不改變，故正確，符合題意；D．兩邊同時乘上小于零的數，不等號的方向改變，故錯誤，不符合題意；故選：C．2.函數的定義域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查求函數定義域，涉及分式有意義的條件：分式分母不為0，解不等式即可得到答案，熟練掌握求函數定義域的方法是解決問題的關鍵．【詳解】解：函數的定義域是，解得，故選：D．3.以下一元二次方程有兩個相等實數根的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程，當時，方程有兩個不相等實數根；當時，方程的兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．分別計算出各選項中的根的判別式的值，即可判斷．【詳解】解：A．，該方程有兩個不相等實數根，故A選項不符合題意；B．，該方程有兩個不相等實數根，故B選項不符合題意；C．，該方程有兩個不相等實數根，故C選項不符合題意；D．，該方程有兩個相等實數根，故D選項不符合題意；故選：D．4.科學家同時培育了甲乙丙丁四種花，從甲乙丙丁選個開花時間最短的并且最平穩(wěn)的．種類甲種類乙種類丙種類丁種類平均數2.32.32.83.1方差1.050.781.050.78A.甲種類 B.乙種類 C.丙種類 D.丁種類【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了用平均數和方差做決策，根據平均數的定義以及方差的定義做決策即可．解題的關鍵是掌握方差的意義：方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．【詳解】解：∵由表格可知四種花開花時間最短的為甲種類和乙種類，四種花的方差最小的為乙種類和丁種類，方差越小越穩(wěn)定，∴乙種類開花時間最短的并且最平穩(wěn)的，故選：B．5.四邊形為矩形，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（）A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形【答案】A【解析】【分析】本題考查矩形性質、等面積法、菱形的判定等知識，熟練掌握矩形性質及菱形的判定是解決問題的關鍵．由矩形性質得到，，進而由等面積法確定，再由菱形的判定即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：四邊形為矩形，，，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為菱形，故選：A．6.在中，，，，點在內，分別以為圓心畫，圓半徑為1，圓半徑為2，圓半徑為3，圓與圓內切，圓與圓的關系是（）A.內含 B.相交 C.外切 D.相離【答案】B【解析】【分析】本題考查圓的位置關系，涉及勾股定理，根據題意，作出圖形，數形結合，即可得到答案，熟記圓的位置關系是解決問題的關鍵．【詳解】解：圓半徑為1，圓半徑為3，圓與圓內切，圓含在圓內，即，在以為圓心、為半徑的圓與邊相交形成的弧上運動，如圖所示：當到位置時，圓與圓圓心距離最大，為，，圓與圓相交，故選：B．二、填空題（每題4分，共48分）7.計算：___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了積的乘方以及冪的乘方，掌握相關運算法則是解題關鍵．先將因式分別乘方，再結合冪的乘方計算即可．【詳解】解：，故答案為：．8.計算______．【答案】【解析】【分析】根據平方差公式進行計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查平方差公式，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．9.已知，則___________．【答案】1【解析】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數是非負數是解題的關鍵．由二次根式被開方數大于0可知，則可得出，求出x即可．【詳解】解：根據題意可知：，∴，解得：，故答案為：1．10.科學家研發(fā)了一種新的藍光唱片，一張藍光唱片的容量約為，一張普通唱片的容量約為25，則藍光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科學記數法表示）【答案】【解析】【分析】本題考查科學記數法，按照定義，用科學記數法表示較大的數時，一般形式為，其中，為整數，按要求表示即可得到答案，確定與的值是解決問題的關鍵．【詳解】解：藍光唱片的容量是普通唱片的倍，故答案為：．11.若正比例函數的圖像經過點，則y的值隨x的增大而___________．（選填“增大”或“減小”）【答案】減小【解析】【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及正比例函數的性質，牢記“當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小”是解題的關鍵．利用一次函數圖象上點的坐標特征，可求出，結合正比例函數的性質，即可得出的值隨的增大而減小．【詳解】解：正比例函數的圖象經過點，，解得：，又，的值隨的增大而減?。蚀鸢笧椋簻p?。?2.菱形中，，則___________．【答案】##57度【解析】【分析】本題考查了菱形的性質，等腰三角形的性質以及三角形內角和定理，利用菱形性質得出，利用等邊對等角得出，然后結合三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形菱形，∴，∴，故答案為：．13.某種商品的銷售量y（萬元）與廣告投入x（萬元）成一次函數關系，當投入10萬元時銷售額1000萬元，當投入90萬元時銷售量5000萬元，則投入80萬元時，銷售量為___________萬元．【答案】4500【解析】【分析】本題考查求一次函數解析式及求函數值，設，根據題意找出點代入求出解析式，然后把代入求解即可．【詳解】解：設，把，代入，得，解得，∴，當時，，即投入80萬元時，銷售量為4500萬元，故答案為：4500．14.一個袋子中有若干個白球和綠球，它們除了顏色外都相同隨機從中摸一個球，恰好摸到綠球的概率是，則袋子中至少有___________個綠球．【答案】3【解析】【分析】本題主要考查了已知概率求數量，一元一次不等式的應用，設袋子中綠球有個，則根據概率計算公式得到球的總數為個，則白球的數量為個，再由每種球的個數為正整數，列出不等式求解即可．【詳解】解：設袋子中綠球有個，∵摸到綠球的概率是，∴球的總數為個，∴白球的數量為個，∵每種球的個數為正整數，∴，且x為正整數，∴，且x為正整數，∴x的最小值為1，∴綠球的個數的最小值為3，∴袋子中至少有3個綠球，故答案為：3．15.如圖，在平行四邊形中，E為對角線上一點，設，，若，則___________（結果用含，的式子表示）．【答案】【解析】【分析】本題考查了平面向量的知識，解答本題的關鍵是先確定各線段之間的關系．先求出，從而可得．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，．是上一點，，，，，故答案為：．16.博物館為展品準備了人工講解、語音播報和增強三種講解方式，博物館共回收有效問卷張，其中人沒有講解需求，剩余人中需求情況如圖所示（一人可以選擇多種），那么在總共萬人的參觀中，需要增強講解的人數約有__________人．【答案】【解析】【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖及用樣本的某種“率”估計總體的某種“率”，正確得出需要增強講解的人數占有需求講解的人數的百分比是解題關鍵．先求出需求講解的人數占有效問卷的百分比，再根據條形統(tǒng)計圖求出需要增強講解的人數占有需求講解的人數的百分比，進而可得答案．【詳解】解：∵共回收有效問卷1000張，其中700人沒有講解需求，剩余300人有需求講解，∴需求講解的人數占有效問卷的百分比為，由條形統(tǒng)計圖可知：需要增強講解的人數為人，∴需要增強講解的人數占有需求講解的人數的百分比為，∴在總共萬人的參觀中，需要增強講解的人數約有（人），故答案為：17.在平行四邊形中，是銳角，將沿直線翻折至所在直線，對應點分別為，，若，則__________．【答案】或##或【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性質，解題的關鍵是利用分類討論的思想進行求解．【詳解】解：當在之間時，作下圖，根據，不妨設，由翻折性質知：，沿直線翻折至所在直線，，。，過作的垂線交于，，，當在的延長線上時，作下圖，根據，不妨設，同理知：，過作的垂線交于，，，故答案為：或．18.對于一個二次函數（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為__________．【答案】4【解析】【分析】本題考查新定義運算與二次函數綜合，涉及二次函數性質、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數圖象與性質將一般式化為頂點式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數圖象與性質、理解新定義是解決問題的關鍵．【詳解】解：根據拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點，使得，則，，中存在一點，有，解得，則，拋物線“開口大小”為，故答案為：．三、簡答題（共78分，其中第19-22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分）19.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了絕對值，二次根式，零指數冪等，掌握化簡法則是解題的關鍵．先化簡絕對值，二次根式，零指數冪，再根據實數的運算法則進行計算．【詳解】解：．20.解方程組：．【答案】，或者，．【解析】【分析】本題考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解題的關鍵是利用代入法進行求解．【詳解】解：，由得：代入中得：，，，，解得：或，當時，，當時，，∴方程組的解為或者．21.在平面直角坐標系中，反比例函數（k為常數且）上有一點，且與直線交于另一點．（1）求k與m的值；（2）過點A作直線軸與直線交于點C，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】本題考查了反比例函數與一次函數，銳角三角函數，勾股定理等知識，解題的關鍵是：（1）把B的坐標代入，求出n，然后把B的坐標代入，求出k，最后把A的坐標代入求出m即可；（2）根據軸求出C的縱坐標，然后代入，求出C的橫坐標，利用勾股定理求出，最后根據正弦的定義求解即可．【小問1詳解】解：把代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，把代入，得；【小問2詳解】解：由（1）知：設l與y軸相交于D，∵軸，軸軸，∴A、C、D的縱坐標相同，均為2，，把代入，得，解得，∴，∴，，∴，∴．22.同學用兩幅三角板拼出了如下的平行四邊形，且內部留白部分也是平行四邊形（直角三角板互不重疊），直角三角形斜邊上的高都為．（1）求：兩個直角三角形的直角邊（結果用表示）；小平行四邊形的底、高和面積（結果用表示）；（2）請畫出同學拼出的另一種符合題意的圖，要求：不與給定的圖形狀相同；畫出三角形的邊．【答案】（1）等腰直角三角板直角邊為，含的直角三角形板直角邊為和；底為，高為，面積為；（2）畫圖見解析．【解析】【分析】（）①解直角三角形即可求解；由題意可知四邊形是矩形，利用線段的和差可求出矩形的邊長，進而可求出面積；（）根據題意畫出圖形即可；本題考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面積，圖形設計，正確識圖是解題的關鍵．【小問1詳解】解：①如圖，為等腰直角三角板，，則；如圖，為含的直角三角形板，，，，則，；綜上，等腰直角三角板直角邊為，含的直角三角形板直角邊為和；由題意可知，∴四邊形是矩形，由圖可得，，，∴，故小平行四邊形的底為，高為，面積為；【小問2詳解】解：如圖，即為所作圖形．23.如圖所示，在矩形中，為邊上一點，且．（1）求證：；（2）為線段延長線上一點，且滿足，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由矩形性質得到，，，由角的互余得到，從而確定，利用相似三角形性質得到；（2）由矩形性質，結合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質得到，，，進而由三角形全等的判定與性質即可得到．【小問1詳解】證明：在矩形中，，，，，，，，，，，即，，；【小問2詳解】證明：連接交于點，如圖所示：在矩形中，，則，，，，，，在矩形中，，，，，，，，在和中，，．【點睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握相關幾何性質與判定是解決問題第的關鍵．24.在平面直角坐標系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經過和．（1）求平移后新拋物線的表達式；（2）直線（）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點P在原拋物線上的對應點為，如果四邊形有一組對邊平行，求點P的坐標．【答案】（1）或；（2）①；②．【解析】【分析】（1）設平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；（2）①如圖，設，則，，結合小于3，可得，結合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：在的右邊，當時，可得，結合平移的性質可得答案如圖，當時，則，過作于，證明，可得，設，則，，，再建立方程求解即可.【小問1詳解】解：設平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得：，解得：，∴新拋物線為；【小問2詳解】解：①如圖，設，則，∴，∵小于3，∴，∴，∵