2022北京昌平雙城融合學(xué)區(qū)初三（上）期中數(shù)學(xué)

第1頁/共1頁2022北京昌平雙城融合學(xué)區(qū)初三（上）期中數(shù)學(xué)本試卷共7頁，共100分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1?8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下列各組線段中，成比例是（）A.1，2，2，4 B.1，2，3，4C.3，5，9，13 D.1，2，2，32.拋物線y＝x2﹣2的頂點坐標(biāo)是（）A.（0，﹣2） B.（﹣2，0） C.（0，2） D.（2，0）3.如果一個矩形的寬與長的比等于黃金數(shù)（約為0.618），就稱這個矩形為黃金矩形．若矩形ABCD為黃金矩形，寬AD＝﹣1，則長AB為（）A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣24.若將拋物線y=-x2先向左平移3個單位，再向下平移2個單位，得到新的拋物線，則新拋物線的表達(dá)式是(

)A. B.C. D.5.如圖，在?ABCD中，E是AB的中點，EC交BD于點F，那么EF與CF的比是（）A.1：2 B.1：3 C.2：1 D.3：16.如圖，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，則△ABC與△A′B′C′的面積的比為（）A4：9 B.9：4 C.2：3 D.3：27.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值大于的自變量的取值可以是（）A. B. C. D.8.在平面直角坐標(biāo)系中，點，點位置如圖所示，拋物線經(jīng)過，，則下列說法不正確的是（）A.拋物線的開口向上 B.拋物線的對稱軸是C.點在拋物線對稱軸的左側(cè) D.拋物線的頂點在第四象限二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0，2）的拋物線的解析式________________．10.如圖，AB∥CD∥EF，直線l1、l2分別與這三條平行線交于點A、C、E和點B、D、F．已知AC=3，CE=5，DF=4，則BF長為_____．11.把二次函數(shù)y=x2-6x+5配成y=(x-h)2+k的形式是_____________．12.已知拋物線經(jīng)過點，，則____(填“”“”或“”).13.如圖，在△ABC中，DE分別與AB、AC相交于點D、E，且DE∥BC，如果，那么=_____．14.二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，由圖像可知，方程的解為_________．15.據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個“小孔成像”的實驗，闡釋了光的直線傳播原理，如圖（1）所示。如圖（2）所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是_________cm．16.同學(xué)將如圖所示的三條水平直線的其中一條記為x軸（向右為正方向），三條豎直直線的其中一條記為y軸（向上為正方向），并在此坐標(biāo)平面內(nèi)畫出了二次函數(shù)的圖像，那么她所選擇的x軸和y軸分別為直線_________．三、解答題（本題共12小題，第17?22題，每小題5分，第23?26題，每小題6分，第27、28題，每小題7分，共68分）17.已知二次函數(shù)．（1）求該二次函數(shù)的圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)；（2）求該二次函數(shù)的圖象與x軸交點．18.如圖，在中，為邊上一點，．求證：.19.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，求這個二次函數(shù)的解析式．20.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，和的頂點都在格點上，是邊上的5個格點，請按要求完成下列各題：（1）判斷和△是否相似，并說明理由；（2）畫一個三角形，它的三個頂點為中的個格點，并且與相似．（要求：不寫作法與證明）21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x…－1012…y…－3010…（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）畫出這個二次函數(shù)的圖象；（3）若，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x的取值范圍．

22.如圖，將一個與正方形疊放在一起，并使其直角頂點P落在線段上（不與C，D兩點重合），斜邊的一部分與線段重合．（1）圖中與相似的三角形共有________個，分別是_____________________；（2）請選擇第（1）問答案中的任意一個三角形，完成該三角形與相似的證明．23.如圖，在矩形ABCD中，E為BC的中點，DF⊥AE，垂足為F，AB＝6，BC＝4，求AE，DF的長．24.擲實心球是蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項目．如圖1是一名女生投擲實心球，實心求行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，拋出時起點處高度為，當(dāng)水平距離為3m時，實心球行進(jìn)至最高點3m處．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)蘭州市高中階段學(xué)校招生體有考試評分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70m，此項考試得分為滿分10分．該女生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．

25.跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一．記運動員在該項目的運動過程中的某個位置與起跳點的水平距離為x（單位：m），豎直高度為y（單位：m），下面記錄了甲運動員起跳后的運動過程中的七組數(shù)據(jù)：x/m0102030405060y/m54.057.857.653.445233.016.8下面是小明的探究過程，請補(bǔ)充完整：（1）為觀察y與x之間的關(guān)系，建立坐標(biāo)系，以x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的7個點，并用平滑的曲線連接它們：（2）觀察發(fā)現(xiàn)，（1）中的曲線可以看作是_________的一部分（填“拋物線”或“雙曲線”），結(jié)合圖象，可推斷出水平距離約為_______m（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）時，甲運動員起跳后達(dá)到最高點；（3）乙運動員在此跳臺進(jìn)行訓(xùn)練，若乙運動員在運動過程中的最高點的豎直高度達(dá)到61m，則乙運動員運動中的最高點比甲運動員運動中的最高點_________（填寫“高”或“低”）約_________m（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與y軸交于點A．（1）直接寫出點A的坐標(biāo)；（2）點A、B關(guān)于對稱軸對稱，求點B的坐標(biāo)；（3）已知點，．若拋物線與線段PQ恰有兩個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．

27.感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，點A在直線上，且，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角”模型．應(yīng)用：（1）如圖2，中，，直線經(jīng)過點C，過A作于點D，過B作于點E．求證：．（2）如圖3，在中，E為邊上的一點，F(xiàn)為邊上的一點．若，，求的值．28.對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2＋2是有上界函數(shù)，其上確界是2（1）函數(shù)①y＝x2＋2x＋1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函數(shù)的為（只填序號即可），其上確界為；（2）如果函數(shù)y＝﹣x＋2（a≤x≤b，b＞a）的上確界是b，且這個函數(shù)的最小值不超過2a＋1，求a的取值范圍；（3）如果函數(shù)y＝x2﹣2ax＋2（1≤x≤5）是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實數(shù)a的值．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1?8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.【答案】A【解析】【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對選項一一分析，排除錯誤答案．【詳解】解：A、1×4=2×2，故選項符合題意；B、1×4≠2×3，故選項不符合題意；C、3×13≠5×9，故選項不符合題意；D、1×3≠2×2，故選項不符合題意．故選：A．【點睛】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．2.【答案】A【解析】【分析】已知拋物線的解析式滿足頂點坐標(biāo)式的形式，直接寫出頂點坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵拋物線，∴拋物線的頂點坐標(biāo)是（0，-2），故選A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的性質(zhì)．3.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)黃金矩形的定義，得出寬與長的比例即可得出答案．【詳解】解：黃金矩形的寬與長的比等于黃金數(shù)，，．故選：C．【點睛】本題考查新定義題型，給一個新的定義，根據(jù)定義來解題，對于這道題是基礎(chǔ)題型．4.【答案】A【解析】【分析】按“左加右減括號內(nèi)，上加下減括號外”的規(guī)律平移即可得出所求函數(shù)的解析式.【詳解】∵將拋物線先向左平移3個單位，再向下平移2個單位，∴y=-（x+3）2-2.故答案為A.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，其規(guī)律是是：將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k

（a，b，c為常數(shù)，a≠0），確定其頂點坐標(biāo)(h，k)，在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”．5.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以證明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：由平行四邊形性質(zhì)可知：AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∵點E是AB的中點，∴∴，故選A．【點睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型．6.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可直接得出結(jié)論．【詳解】∵AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，

∴其相似比為2：3，

∴△ABC與△A′B′C′的面積的比為4：9；

故選A．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形（多邊形）的高的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．7.【答案】B【解析】【分析】利用拋物線的對稱性確定拋物線與（0，2）的對稱點，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線y=2上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【詳解】解：∵由圖象可得拋物線的對稱軸為x=-1.5，

∴點（0，2）關(guān)于直線x=-1.5的對稱點為（-3，2），

當(dāng)-3＜x＜0時，y＞2，

即當(dāng)函數(shù)值y＞2時，自變量x的取值范圍是-3＜x＜0．

故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8.【答案】C【解析】【分析】由于拋物線的常數(shù)項為0，所以圖象經(jīng)過原點，根據(jù)對稱軸為直線，可知拋物線開口向上，點在對稱軸的右側(cè)，頂點在第四象限．【詳解】解：，時，，圖象經(jīng)過原點，又對稱軸為直線，拋物線開口向上，點在對稱軸的右側(cè)，頂點在第四象限．即A、B、D正確，C錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是，，對稱軸是直線．當(dāng)時，拋物線的開口向上，時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．當(dāng)時，拋物線的開口向下，時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．也考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意，寫出一個的解析式即可【詳解】解：根據(jù)題意，故符合題意故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題考查了二次函數(shù)各系數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，求出BD，計算即可．【詳解】∵AB∥CD∥EF，∴，即，解得：BD，則BF＝BD+DF．故答案為．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11.【答案】y=（x-3）2-4【解析】【詳解】∵，∴配方化為頂點式為：．12.【答案】<【解析】【分析】求出y1、y2的值即可判斷．【詳解】解：x=-1時，y1=3，x=4時，y2=8，∴y1＜y2，故答案為＜．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，點的坐標(biāo)適合解析式.13.【答案】【解析】【分析】因為，所以，由DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得，則可求得答案．【詳解】∵，∴，∵DE∥BC，∴＝，故答案為.【點睛】此題考查了平行線分線段成比例定理，注意掌握比例線段的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．14.【答案】【解析】【分析】：觀察圖像得：二次函數(shù)的圖像與x軸的交點為，對稱軸為直線，從而得到二次函數(shù)的圖像與x軸的另一個交點為，即可求解．【詳解】解：觀察圖像得：二次函數(shù)的圖像與x軸的交點為，對稱軸為直線，∴二次函數(shù)的圖像與x軸的另一個交點為，∴方程的解為．故答案為：【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及方程的解，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)圖象在平面直角坐標(biāo)系中的位置確定函數(shù)的對稱軸及利用對稱性求解．15.【答案】4【解析】【分析】直接利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例解答．【詳解】解：設(shè)蠟燭火焰的高度是xcm，由相似三角形的性質(zhì)得到：．解得x＝4．即蠟燭火焰的高度是4cm．故答案為：4．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用，解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．16.【答案】和【解析】【分析】先求出拋物線的頂點坐標(biāo)為，可得頂點坐標(biāo)位于第一象限內(nèi)，從而得到為y軸，再由拋物線與y軸交于點，可得為x軸，即可．【詳解】解：，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，∵，∴，∴頂點坐標(biāo)位于第一象限內(nèi)，∵拋物線與的交點為頂點，∴為y軸，∵當(dāng)時，，∴拋物線與y軸交于點，∴為x軸．故答案為：，【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸與點的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共12小題，第17?22題，每小題5分，第23?26題，每小題6分，第27、28題，每小題7分，共68分）17.【答案】（1）直線，（2），【解析】【分析】（1）把二次函數(shù)解析式化為頂點式，即可求解；（2）令，有，解出方程，即可求解．【小問1詳解】解：，∴二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線和頂點坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：令，有，解得：，，∴該二次函數(shù)的圖象與x軸交點為，．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．18.【答案】證明見解析.【解析】【分析】由可得：，結(jié)合，即可證得.【詳解】∵∴,,∴,又∵∴.【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．19.【答案】【解析】【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為：，由圖象得，該函數(shù)經(jīng)過三個點，代入可得：，解得，，則這個二次函數(shù)的解析式為．【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，靈活運用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．20.【答案】（1）相似，理由見解析（2）作圖見解析【解析】【分析】（1）先分別求出這兩個三角形的三邊之比，即可得出答案；（2）根據(jù)勾股定理求出相應(yīng)的邊長，根據(jù)“三邊成比例的兩個三角形相似”得和相似，作圖即可．【小問1詳解】解：根據(jù)勾股定理得，，，，，，即，所以；【小問2詳解】根據(jù)勾股定理得，，，所以，所以和相似，連接，，.如圖所示．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，掌握“三邊成比例的兩個三角形相似”是解題的關(guān)鍵．21.【答案】（1）；（2）圖象見解析；（3）或x>3【解析】【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，根據(jù)三組橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y的值列出方程組求出a，b，c的值即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）計算并補(bǔ)充出一些橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值，然后在平面直角坐標(biāo)系中描點，并用平滑曲線連接即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖象應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想即可得到x的取值范圍．【詳解】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為．將三組橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的值代入可得解得所以二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x－2－101234y－8－3010－3－8建立平面直角坐標(biāo)系，描點并用平滑曲線連接即可得到該二次函數(shù)的圖象．（3），即．根據(jù)（2）中二次函數(shù)圖象可以看出當(dāng)或x>3時，．所以x的取值范圍是或x>3．【點睛】本題考查二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握這些知識點是解題關(guān)鍵．22.【答案】（1）3，（2）選，理由見解析或選，理由見解析或選，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理，即可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定定理及正方形的性質(zhì)證明即可．【小問1詳解】解：圖中與相似的三角形共有3個，分別是；故答案為：3，【小問2詳解】解：選，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴；選，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；選，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．23.【答案】，【解析】【分析】直接利用矩形的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定方法得出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，又，，，是的中點，，，，，解得：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確得出相似三角形．24.【答案】（1）y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；（2）該女生在此項考試中是得滿分，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)該同學(xué)此次投擲實心球的成績就是實心球落地時的水平距離，令y=0，解方程即可求解．【小問1詳解】解∶∵當(dāng)水平距離為3m時，實心球行進(jìn)至最高點3m處，∴設(shè)，∵經(jīng)過點(0，)，∴解得∶∴，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；【小問2詳解】解：該女生在此項考試中是得滿分，理由如下∶∵對于二次函數(shù)，當(dāng)y=0時，有∴，解得∶，(舍去)，∵>6.70，∴該女生在此項考試中是得滿分．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析是是解題的關(guān)鍵．25.【答案】（1）見詳解（2）拋物線；10.1m（3）高；3.2m【解析】【分析】（1）根據(jù)題意畫圖即可；（2）根據(jù)圖表求解即可；（3）根據(jù)圖表求解即可；【小問1詳解】解：如圖，【小問2詳解】根據(jù)所學(xué)函數(shù)，（1）中的曲線可以看作是拋物線的一部分；結(jié)合圖象，圖象的最高點在10m到20m之間，可推斷出水平距離約為10.1m時，甲運動員起跳后達(dá)到最高點；【小問3詳解】61-57.8=3.2m乙運動員在此跳臺進(jìn)行訓(xùn)練，若乙運動員在運動過程中的最高點的豎直高度達(dá)到61m，則乙運動員運動中的最高點比甲運動員運動中的最高點高約3.2m．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．26.【答案】(1)(0,-3);(2)B(2,-3);(3)或【解析】【分析】（1）題干要求直接寫出點A的坐標(biāo)，將x=0代入即可求出；（2）由題意知點A、B關(guān)于對稱軸對稱，求出對稱軸從而即可求點B的坐標(biāo)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，拋物線與線段PQ恰有兩個公共點，分別對有兩個公共點的情況進(jìn)行討論求解.【詳解】解：（1）由題意拋物線與y軸交于點A，將x=0代入求出坐標(biāo)為；（2）∵；∴．（3）當(dāng)拋物線過點P（4,0）時，，∴．此時，拋物線與線段PQ有兩個公共點．當(dāng)拋物線過點時，a=1，此時，拋物線與線段PQ有兩個公共點．∵拋物線與線段PQ恰有兩個公共點，∴．當(dāng)拋物線開口向下時，．綜上所述，當(dāng)或時，拋物線與線段PQ恰有兩個公共點．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖像相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.27.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，，可得，再由，可得，從而得到利用證得，即可；