2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)64數(shù)列求和數(shù)列的綜合應(yīng)用習(xí)題

數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用

基礎(chǔ)篇固本夯基

考點(diǎn)數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用

1.（2021四川內(nèi)江二模,6）記&為數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和，若ai=l,a2=2,且5&=1+（-1嚴(yán),則

S儂的值為（）

答案B

2.（2022屆河南期中聯(lián)考,8）設(shè)數(shù)列｛4｝和｛bj的前n項(xiàng)和分別為Sn,T.已知數(shù)列｛bj是等差

數(shù)列，且bn=一~--,a3=3,b.t+b5=11,則Sn+Tn=（）

2-2n2-n2+n2+2n

答案I）

3.（2021江西上饒二模,9）函數(shù)f（x）=2sinx-x（x>0）的所有極大值點(diǎn)從小到大排成數(shù)列｛a，

設(shè)Sn是數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，則ccsS2O2i=（）

B.J|

22

答案B

4.（2020河南濮陽(yáng)一?模,8）已知數(shù)列｛a｝滿足an+aM=a?.n（m,n￡N*）且a1=l,若［x］表示不超過(guò)x

的最大整數(shù),則數(shù)列｛［干］｝的前10項(xiàng)和為（）

B.?

D

答案C

5.（2022屆山西長(zhǎng)治第二中學(xué)月考，10）已知數(shù)列｛aj、｛b?）的前n項(xiàng)和分別為A.、Bn,記

cn=a4lBn+bA-anbn（n21）.則數(shù)列｛cJ的前10項(xiàng)和為（）

lo+B］OB.--loBldD.y/］QIQ

答案c

6.（2022屆安徽安慶懷寧中學(xué)模擬一,9）公元前4世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)和形的關(guān)系進(jìn)行

了研究.他們借助幾何圖形（或格點(diǎn)）來(lái)表示數(shù),稱為形數(shù).形數(shù)是聯(lián)系算術(shù)和幾何的紐帶.圖

為五角形數(shù)的前4個(gè)，現(xiàn)有如下說(shuō)法：

①第9個(gè)五角形數(shù)比第8個(gè)五角形數(shù)多25;

②前8個(gè)五角形數(shù)之和為288;

③記所有的五角形數(shù)從小到大構(gòu)成數(shù)列⑸｝,則｛一｝的前20項(xiàng)和為610.

其中正確的個(gè)數(shù)為()

-O

15

答案C

7.(2021河南新鄉(xiāng)測(cè)試，11)已知數(shù)歹滿足a2n—a-〉”—l,a2n”+a2n=3*5(n￡N*),貝IJ數(shù)歹ij｛aj

的前40項(xiàng)和Su>:()

.321+1973的+197

n10

A?一B-^+98M+98

答案A

8.(2020長(zhǎng)春三模，10)己知數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和S“滿足4s產(chǎn)2+2玉(n￡N*),

n

設(shè)bn=(-l)-ana.?L為數(shù)列｛b?｝的前n項(xiàng)和，則T20=()

答案D

9.(2022屆安徽淮南一中月考三,16)若數(shù)列瓜｝對(duì)任意正整數(shù)n,有a”產(chǎn)3曲(其中m￡N*,q為

常數(shù),qW0,qWl),則稱數(shù)列｛氏｝是以m為周期，以q為周期公比的“類周期性等比數(shù)列”.若

“類周期性等比數(shù)列”的前4項(xiàng)為1,1,2,3,周期為4,周期公比為3,則數(shù)列｛a｝前21項(xiàng)的和

為.

答案1090

10.(2017課標(biāo)H,15,5分)等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為Sn,83=36=10,則E」■=.

=1-

答案三

11.(2020課標(biāo)in,17,12分)設(shè)數(shù)列｛a｝滿足a.=3,a*3&r4n.

(1)計(jì)算a2,a3,猜想(a?)的通項(xiàng)公式并加以證明；

⑵求數(shù)列｛2ZJ的前n項(xiàng)和

解析(1)渙=5,a3=7.猜想an=2n+l.由已知可得

-

an4i-(2n+3)=3[an(2n+l)],

-

an-(2n+1)=3[an-i(2n-l)],

a2-5=3(ai-3).

因?yàn)閍p3,所以an=2n+l.

(2)由(1)得23=(2n+l)2",

所以Sn=3X2+5X22+7X24…+(2n+l)X2n.①

23

2Sn=3X2+5X2+7X2*+-+(2n+l)X2叱②

n

①-②得-Sn=3X2+2X22+2X2$+…+2X2J(2n+l)X2。所以Sn=(2n-l)2*'+2.

12.(2021陜西榆林模擬,17)已知義為數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和，數(shù)列｛SJ是等差數(shù)列，且

S5=9,8=17.

(1)求瓜｝的通項(xiàng)公式；

n

⑵求數(shù)列⑸?2-sn｝的前n項(xiàng)和T?.

解析(1)設(shè)等差數(shù)列｛SJ的公差為d,???S5=9,Sg=17,??.d=H=2,S?Ss+(n-5)X2=2nT.當(dāng)

n22吐an=Sn-Sni=2,當(dāng)n=l吐ai=Si=l,~:

11,=1.

⑵當(dāng)n22

時(shí),T“=2_]+23_3+2'_5+…+2g(2廣])=2+23+2,…+2n"_(]+3+5+…+2n7=2+三二一、

1-22

2n+2-n2-6,

n+22

當(dāng)n=l時(shí),XI,也滿足上式,所以rn=2-n-6.

13.(2021新高考1,17,10分)已知數(shù)列瓜｝滿足&=1,%/+"7奇￥’

I+2,n為偶數(shù).

⑴記bn=a如寫出b”b2,并求數(shù)列!W的通項(xiàng)公式;

⑵求｛叫的前20項(xiàng)和.

解析(1)由題意得a2n+l=a2n+2,a2n,2=a2n+)+l,所以a2M2n+3,即bn+l=bn+3,且bl=@2=@[+1=2,所以

數(shù)列｛bj是以2為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,所以b.=2,b2=5,bn=2+(n-l)X3=3n-l.

⑵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a產(chǎn)a「1.

設(shè)數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和為權(quán),

則S2o=a1+a2+…+a2o

=(ai+a3+，*,+ai9)+(a2+a.>+-*+aM)

=[(az-l)+(a?-l)+,,,+(a2o-l)]+(a2+ai+?,,+a2。)

=2(a2+ai+**,+a2o)-10,由(1)可知az+a.i+…+a2產(chǎn)bi+b?+…+bi(F10X2+—X3=155,故

$20=2X155-10=300,

即｛aj的前20項(xiàng)和為300.

綜合篇知能轉(zhuǎn)換

考法一錯(cuò)位相減法求和

1.(2022屆河南名校聯(lián)盟11月月考，11)定義[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如

4C95

[-0.5]=-1,[2.3]:2.若數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為an4logmNnwM),則Ea?=()

=1

A.10X2,2+2B.9X2"+2

,0-2

答案A

2

2.(2022屆云南大理統(tǒng)測(cè)，16)已知正項(xiàng)數(shù)列｛an1滿足a>=2且+1-2?-aa后0,令

bn=(n+2)an,則數(shù)歹I」｛bj的前8項(xiàng)的和等于.

答案4606

3.(2020課標(biāo)I,17,12分)設(shè)｛a｝是公比不為1的等比數(shù)列,a為私,八的等差中項(xiàng).

(1)求｛a｝的公比;

(2)若ai=l,求數(shù)歹(HnaJ的前n項(xiàng)和.

解析(1)設(shè)｛aj的公比為q,由題設(shè)得2a尸a?+a3,即2a尸ag+ad.所以q'q-2=0,解得q1=l(舍

去)，口2=-2.故｛an｝的公比為-2.

(2)易得an=(-2)n'\記Sn為｛naj的前n項(xiàng)和.則

Sn=l+2X(-2)+-+nX(-2尸，-2Sn=-2+2X(一2尸+…+(11)X(-2尸+。義(-2)n.所以

2nln

3Sn=l+(-2)+(-2)+-+(-2)-nX(-2)"=^—nX(-2).所以$吊-(3+占2).

4.(2021浙江,20,15分)已知數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)和為Sn,ai=T，且4sm=3S「9(n￡N)

(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列他｝滿足3bn+(n-4)a?=0(neN*),記限｝的前n項(xiàng)和為Tn,若TW入b”對(duì)任意n€N*

恒成立，求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

q

解析(1)由4Sn.p3Sn-9,得4Sn=3Sn-9S22),則4捻.尸32nQi22),又4(a.+a)=3ai-9,

24

所以4a2=3ab所以｛aj是以'為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列,所以an=-3xg).

(2)由題意得b產(chǎn)(n-4)X(3.則

T?=(-3)X/(—2)X()+…+(n—4)X(],孤=(一3)乂(，+(-2)X(，+…+(『4)X0+\兩

+

式相減,得排=(-3)乂孑8+⑥+…+口_(n_4)xQ)\所以T?=-4nxQ)”,由題意得

-4nxg)W入(n-4)xg)恒成立，所以(入+3)n-4入20,記f(n)=：入+3)n-4入(n￡N*),

所以]I《六°,解得-3W、W1.

I?u,

考法二裂項(xiàng)相消法求和

1.(2021江西九江二模,9)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)是萬(wàn)物的本源,因此極為重視數(shù)的

理論研究，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的沙?；蛐∈?并將它們排列成各種形狀進(jìn)行研究.形

數(shù)就是指平面上各種規(guī)則點(diǎn)陣所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派最早研究的重要內(nèi)容之一.

如圖是三角形數(shù)和四邊形數(shù)的前四個(gè)數(shù),若三角形數(shù)組成數(shù)列｛aj,四邊形數(shù)組成數(shù)列｛bj,

記c=~—,則數(shù)列他｝的前10項(xiàng)和為()

n+1-+i

oA晟瓜。a/微

喘B邛C.|常

答案D

2.(2021皖江名校聯(lián)盟考試，16)已知和是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和,且

2

S2n一產(chǎn)2(neg,若存在n￡N：使不等式一^+―^+―+…+——!——2G+

12323434541+27

))人成立,則實(shí)數(shù)X的最大值是

答案i

3.(2022屆湖南名校10月聯(lián)考，16)已知正項(xiàng)數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和為S?,且2s產(chǎn)2+&“若

b?=(-l)^貝IJ數(shù)歹ij｛bj的前2021項(xiàng)和為.

2023

口案一2022

4.(2022屆新疆克拉瑪依模擬三，17)已知數(shù)列瓜｝是遞增的等差數(shù)列,as=7,且a”是④與

的等比中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵①bl/；②bn=an+2"；③b/An*2'\

從上面三個(gè)條件中任選一個(gè),求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.

解析(1)???｛叫是遞增的等差數(shù)列，???數(shù)列｛8｝的公差d>0,由[得

f("It"’.(知解得??間=3+2(n-l)=2n+L

((1+3d)=1?(1+12d),I一乙，

(2)選①時(shí),an.i=2(n+l)+l=2n+3.

,_1_1_V2+3-V2+1

^(V2+1~V2+3),

"J+yj+7V2~+T+V2~+3

.??T尸bi+bz+???+b產(chǎn)*?[(V3-V5)+(V5-V7)+-+(V2~~+T-V2~~+3)]

選②

,23n

時(shí),bn=an+2n=(2n+D+2*.*.Tn=b1+b2-b3+-+bn=(3+5+7+-+2n+l)+(2+2+2+-+2)=-^r^+

nq

2(1-2)-n2+2n-F2-2t

1—2

nn

選③時(shí),bn=an-2=(2n+l)?2,

23

Tn=bi+b2+b3+-+bn=3X2,+5X2+7X2+-+(2n+l)?2",則

2Tn=3X22+5X23+7X2,+-+(2n+l)?2*

兩式作差得

-T?=3X2'+2X22+2X23+-+2?2n-(2n+l)?2向=6+叼/[(2x1)?2ntI=(-2n+l)-2nH-2,A

1-2

n+l

Tn=(2n-1)?2+2.

5.(2021江西宜春六校聯(lián)考，⑺已知數(shù)列｛徐｝中,a尸1,5’(n￡N*).

(1)求證:｛—｝是等差數(shù)列；

(2)若Cn=ananH,且數(shù)列壯丁」,數(shù)歹U｛b?｝的前O項(xiàng)和為Tn,求Tn的取值范圍.

解析(1)證明：???①『(:;)(n三M),

,+2~=—+2,A——=2,

+1+1

又十1,???｛—｝是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.

⑵由⑴可得any,所以*_；)(；、)，所以昔，「3-七，所以

Tn=1-—^―+—i―--T—+*,?一--T-!-----------!------1-----!---因?yàn)?/p>

3x33x3FX53-1(2n-l)3：2n+l)3(2n+?

TNf『鼠3）一3+3小+3）＞°,所以｛TJ是遞增數(shù)列，Tn的最小值為嗚又因?yàn)?/p>

TW1,?卷TW1.

6.（2020天津，19,15分）已知｛a｝為等差數(shù)列津bj為等比數(shù)

列，ai=bi=l,a5=5⑸招）,b5=4（bt-b.i）.

（1）求｛嗝和加｝的通項(xiàng)公式;

2

⑵記｛②的前II項(xiàng)和為Sn,求證:SnSn水+1（F1￡N,）；

』”一為奇數(shù),

⑶對(duì)任意的正整數(shù)n,設(shè)+2求數(shù)列｛cj的前2n項(xiàng)和.

一,n為偶數(shù).

\+1

解析（1）設(shè)等差數(shù)歹八菊的公差為d,等比數(shù)列｛bj的公比為q.由a尸1,3s=5（a-良），可得

2

d=l,從而｛a?）的通項(xiàng)公式為an=n.由bi=l,b5=4（bj-b.0,且q#0,可得q-4q+4=0,.*.q=2,從而

｛bn）的通項(xiàng)公式為bn=2"'.

12222

（2）證明：由（1）可得S^T,故S「S"Wn（n+D（n+2）（n+3）,+14（n+D（n+2）,從而

2

S$"2-2+iW（n+l）（n+2）＜0,所以SS水+1.

（32）（32）1

⑶當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Cn-~~；"；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),cn-Z.對(duì)任意的

+2（+，）+/+1'

正整數(shù)n,有￡3=￡^

b_b2-ll3^5^2-1公

由①得32產(chǎn)kq+#?.?+/+濘②

由①-②得；馬產(chǎn)憐…鈴冷附子濘，從而得4產(chǎn)*.

4

2e

因此，2產(chǎn)=g[C2k-l+g]C2k=2'方所以,數(shù)列（Cn）的刖2n項(xiàng)和為J一

應(yīng)用篇知行合一

應(yīng)用構(gòu)建數(shù)列模型解決實(shí)際問(wèn)題

1.（2017課標(biāo)H,3,5分I數(shù)學(xué)文化與等比數(shù)列）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)

題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是:一座

7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈

（）

盞盞盞盞

答案B

2.（2020河南部分重點(diǎn)高中聯(lián)考,8I數(shù)學(xué)文化與等比數(shù)列）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》

中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難,次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān),

要見(jiàn)次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還”.意思為有一個(gè)人要走378里路,第一天健步行走,從第

二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了六天恰好到達(dá)目的地.則第二天比第四天多

走了（）

里里里里

答案B

3.（2020沈陽(yáng)東北育才中學(xué)模擬,11I生活實(shí)踐情境）一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付

將來(lái)上大學(xué)的費(fèi)用,從孩子一周歲生日開(kāi)始,每年到銀行儲(chǔ)蓄a元一年定期,若年利率為r保

持不變,且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期,當(dāng)孩子18歲生日時(shí)不再存入，

將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢（單位:元）的總數(shù)為（）

A.a（l+r）17B.—［（1+r）l,-（l+r）］

C.ad+r）18D.-［（l+r）l8-（l+r）］

答案D

4.（2022屆湖南名校10月聯(lián)考,6I實(shí)際生活與等比數(shù)列）2021年小林大學(xué)畢業(yè)后,9月1日

開(kāi)始工作,他決定給自己開(kāi)一張儲(chǔ)蓄銀行卡,每月的10號(hào)存錢至該銀行卡（假設(shè)當(dāng)天存錢次

日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數(shù)比上個(gè)月多一倍,則他這張

銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達(dá)到1萬(wàn)元的時(shí)間為（