全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷6（共228題）

全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷6（共9套）（共228題）全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第1套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、在下列無窮級數(shù)中，收斂的無窮級數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：A．為調(diào)和級數(shù)∴不收斂．B．故不收斂。C．為P級數(shù)∴故其收斂．D．其一般項在n→∞時為→∞≠0故不收斂．答案為C。2、設(shè)區(qū)域D由圓x2＋y2＝2ax(a＞0)圍成，則二重積分＝()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：積分區(qū)域如下圖所示：在坐標(biāo)下令x＝rcosθ，y＝rsinθ答案為D．3、設(shè)函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，并且取得極小值，則下列說法正確的是()A、fx(x0，y0)>0，fxx(x0，y0)>0B、fx(x0，y0)=0，fxx(x0，y0)<0C、fx(x0，y0)>0，fxx(x0，y0)<0D、fx(x0，y0)=0，fxx(x0，y0)>0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析4、設(shè)函數(shù)f(x，y)＝y(tǒng)2－x2＋5，則點(0，0)()A、是f(x，y)的極小值點B、是f(x，y)的極大值點C、不是f(x，y)的駐點D、是f(x，y)的駐點但不是極值點標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：本題考查函數(shù)在某點是否取極值．所以△＝0－(－2×2)＝4≥0，所以(0，0)點不是f(x，y)的極值點，是f(x，y)的駐點．答案為D．5、點P(2，1，一1)關(guān)于X軸的對稱點是()A、(一2，一1，一1)B、(一2，一1，1)C、(2，一1，一1)D、(2，一1，1)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)點P(2，1，一1)關(guān)于x軸的對稱點是P0(x，y，z)，則P與P0連線的中點為(2，0，0)，所以={2，0，0}，解之得x=2，y=一1，z=1．因此所求對稱點的坐標(biāo)為(2，一1，1)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、將函數(shù)f(x)＝｜x｜在[－π，π]上展開成傅里葉級數(shù)，則傅里葉系數(shù)bn＝________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：f(x)為偶函數(shù)，故傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù)，所以bn＝0．7、設(shè)f(x，y)=e-xsin(2x+y)，則FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一e-x[2sin(2x+y)+cos(2x+y)]知識點解析：[一e-x.sin(2x+y)+2e-x.cos(2x+y)]=一e-x.cos(2x+y)一2e-x.sin(2x+y)=一e-x[cos(2x+y)+2sin(2x+y)]．8、微分方程x2dy＋(3xy—y)dx＝0的通解是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：原方程變形為，兩端積分得lny＝－－3lnx＋lnC，即．9、設(shè)函數(shù)＝_______.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、過點(0，－4，6)且垂直于平面7x－4y＋3z＋5＝0的直線方程是________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由于所求直線垂直于平面7x－4y＋3z＋5＝0故其方向向量可取為v＝{7，－4，3)又直線過點(0，－4，6)，從而其對稱式方程為．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、求過原點且平行于兩平面x+y+z=10，x+2y+4z=3的直線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求直線的方向向量為T，則T=n1×n2=={2，一3，1}，則直線方程為知識點解析：暫無解析12、求下列函數(shù)的定義域：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令2x—x2一y2＞0得(x一1)2+y2＜1．故定義域D={(x，y)|(x一1)2+y2＜1}，為一圓內(nèi)部的區(qū)域(不包括邊界)．(2)D={(x，y)|y≥0且x+y＞0}．(3)D={(x，y)|一1≤x一3y≤1}．知識點解析：暫無解析13、求方程y"+2y’+2y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：y"+2y’+2y=0的特征方程為λ2+2λ+2=0，故其特征根為λ1=一1+i，λ2=一1一i，故所求通解為y=e—x(C1cosx+C2sinx)．知識點解析：暫無解析14、證明級數(shù)的收斂性，并求其和．標(biāo)準(zhǔn)答案：則，=1,所以原級數(shù)收斂，且和數(shù)S=1．知識點解析：暫無解析15、求過點(2,4,-1)并且與直線平行的直線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：直線的方向向量為v=={10，2，11}，因為所求的直線過(2，4，一1)，故其方程式為知識點解析：暫無解析16、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間.標(biāo)準(zhǔn)答案：由比較法知在處級數(shù)收斂．在由上討論知，級數(shù)絕對收斂.知識點解析：暫無解析17、設(shè)D是由x2+y2=π2與x2+y2=4π2所圍成的區(qū)域，求二重積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=rcosθ，y=rsinθ且0≤θ≤2π，所以知識點解析：暫無解析18、求解方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查微分方程的求解．此方程對未知函數(shù)y＝y(tǒng)(x)來講不是線性方程，如將其改寫為：上述方程是以x＝x(y)為未知函數(shù)的一階線性微分方程，，Q(y)＝－y故＝y(tǒng)2(C—lny)即為原方程的通解．知識點解析：暫無解析19、已知平面π：2x＋y＋z＝3和直線L：(1)寫出直線L的對稱式方程；(2)求平面π與直線L的交點．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)L的方向向量為點(－2，0，3)在直線L上所以直線L的對稱式方程為(2)由解得L與π的交點坐標(biāo)為(1，－1，2)．知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)u＝f(x，y，z)＝x＋xy＋yz在點(1，0，3)處沿方向角為α＝60°，β＝45°，γ＝60°的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、求函數(shù)f(x，y)=x3一4x2+2xy—y2一1的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)有兩個極值f(0，0)=1，f(2，2)=一3分別為極大值與極小值．知識點解析：暫無解析22、判斷級數(shù)的斂散性。標(biāo)準(zhǔn)答案：故原級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、在xy平面上求一點，使它到三直線x=0，y=0，2x+y一6=0的距離平方和最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求點為(x，y)，該點到三直線的距離平方和為得駐點由于zxx=>0，zxy=，zyy=,則△=<0，因此是z的極小值點．由實際意義知，在點處z取得最小值．知識點解析：暫無解析24、求x+2x2+3x3+…+nxn+…的和函數(shù)(一1＜x＜1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令和函數(shù)為s(x)，則s(x)=x+2x2+3x3+…+nxn+…=x(1+2x+3x2+…+nxn-1+…)=x(x+x2+x3+…+xn+…)’=知識點解析：暫無解析25、求函數(shù)z＝x3＋8y3－6xy＋5的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令，解這個方程組．第一個方程可變?yōu)閤2＝2y，第二個方程可變?yōu)閤＝4y2＝(2y)2．于是得到x＝(x2)2＝x4，進(jìn)而變?yōu)閤(x3－1)＝0．得到x1＝0，x2＝1，從而方程組的解為。得到兩個駐點M1(0，0)和M2．求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)A＝zxx＝6x，B＝zxy＝－6，C＝zyy＝48y．在點M1(0，0)處，A＝0，B＝－6，C＝0，因此△＝B2＝AC＝36＞0．則在點M1(0，0)處函數(shù)不取得極值．在點M2處，A＝6，B＝－6，C＝24，因此△＝B2－AC＝－108＜0．則在點M2處，函數(shù)取得極值．因A＞0，則是極小值．注：多元函數(shù)求極值一般分為兩個步驟，第一步是求出可疑的極值點(駐點、不可導(dǎo)點)，第二步是在可疑點處判斷是否取得極值．對于第一步，通常是找駐點，其方法是令函數(shù)的各個偏導(dǎo)數(shù)等于零，然后解這個由偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的方程組．對于第二步，當(dāng)函數(shù)有二階偏導(dǎo)數(shù)時，可用取得極值的充分條件來判斷駐點是否為極值點．知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第2套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、在下列無窮級數(shù)中，收斂的無窮級數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：A．為調(diào)和級數(shù)∴不收斂．B．故不收斂。C．為P級數(shù)∴故其收斂．D．其一般項在n→∞時為→∞≠0故不收斂．答案為C。2、設(shè)Ω是平面x+y+z=1與三個坐標(biāo)面圍成的四面體，則xdxdydz=()A、B、C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：區(qū)域Ω(如下圖所示)為3、y"=sin(一x)的通解為()A、sin(一x)B、一sin(一x)+C1x+C2C、一sin(一x)D、sin(一x)+C1x+C2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：對方程兩邊積分得y’=cos(一x)+C1，對方程兩邊積分得y=一sin(一x)+C1x+C2，即為原方程的通解．4、點(－1，2，3)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)是()A、(1，－2，－3)B、(－1，－2，－3)C、(1，2，－3)D、(1，－2，3)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：點(x，y，z)關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)為(－x，y，－z)．答案為C．5、設(shè)0≤un≤vn(n=1，2，…)，且無窮級數(shù)()A、發(fā)散B、無法判斷C、條件收斂D、絕對收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：vn≥un≥0，由比較判別法，二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、微分方程dy／dx＝（y2＋x2）／xy的通解為____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：y2＝2x2lnx＋Cx2知識點解析：微分方程dy／dx＝（y2＋x2）／xy，將方程右邊分子分母同時除以x2得dy／dx＝［（y／x）2＋1］／y／x．令u＝y(tǒng)／x，則dy／dx＝u＋xdu／dx，代入上式得u＋xdu／dx＝（u2＋1）／u，xdu／dx＝1／u，分離變量得udu＝dx／x，兩邊同時積分得1／2u2＝lnx＋C，將u＝y(tǒng)／x代入得y2＝2x2lnx＋Cx2，即所要求的通解．7、微分方程y"＋y＝8的一個特解yk＝_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識點解析：易知其齊次方程的特征方程為：r2＋1＝0∴r1,2＝±i故可設(shè)其特解y*＝m∴(m)"＋m＝8∴m＝8∴y*＝88、設(shè)積分區(qū)域D：x2+y2≤1，則二重積分在極坐標(biāo)下化為二次積分為_______.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：∫02πdθ∫01f(rcosθ，rsinθ)rdr知識點解析：由積分區(qū)域，x2+y2≤1，即r2cos2θ+r2sin2θ≤1，r2≤1，故r≤1．9、函數(shù)f(x)=展開成x+1的冪級數(shù)為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由，得10、過點(0，－4，6)且垂直于平面7x－4y＋3z＋5＝0的直線方程是________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由于所求直線垂直于平面7x－4y＋3z＋5＝0故其方向向量可取為v＝{7，－4，3)又直線過點(0，－4，6)，從而其對稱式方程為．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、已知平行四邊形的3個頂點A(3，－4，7)、C(1，2，－3)和D(9，－5，6)，求與頂點D相對的第4個頂點B標(biāo)準(zhǔn)答案：取O點為AC的中點，則O點的坐標(biāo)為(1＋3／2，－4＋2／2，7－3／2)，即O(2，－1，2)．則O點也是BD的中點，設(shè)B(x，y，z)，有164解之得x＝－5，y＝3，z＝－2．故所求B點坐標(biāo)為(－5，3，－2)．知識點解析：暫無解析應(yīng)用通項求導(dǎo)或逐項積分，求下列冪級數(shù)的和函數(shù)12、x2／2＋x4／4＋…＋x2n／2n＋…；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)un＝x2n／2n，故｜un＋1／un｜＝x2，則當(dāng)｜x2｜＜1時原級數(shù)收斂，故原級數(shù)的收斂半徑為R＝1，當(dāng)x＝±1時，則原級數(shù)可化為1／2n，故其發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設(shè)S(x)x2n／2n，在x∈（－1，1），內(nèi)逐項求導(dǎo)得Sˊ(x)＝x2n－1＝1／1－x2故S(x)＝＝－1／2ln（1－x2）x∈（－1，1）．知識點解析：暫無解析13、x2＋2x3＋3x4＋…＋nxn＋1＋…．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)an＝n，R＝＝1，當(dāng)x＝±1時原級數(shù)均發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設(shè)S(x)＝，逐項積分得＝x／1－xx∈（－1，1）．故f(x)＝（x／1－x）’＝1／（1－x）2故和函數(shù)S(x)＝x2／（1－x）2．知識點解析：暫無解析14、求橢圓錐面z2＝x2＋y2在點(1，1，1)處的法線方程標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，z)＝x2＋y2－z2，則Fx＝2x，F(xiàn)y＝2y，F(xiàn)z＝－2z，于是Fx｜（1，1，1）＝－2，F(xiàn)y｜（1，1，1）＝2，F(xiàn)z｜（1，1，1）＝－2，故所求法線方程為（x－1）／2＝（y－1）／2＝（z－1）／－2，即x－1＝y(tǒng)－1＝1－z．知識點解析：暫無解析15、求曲面z=2x2+y2在點(1，1，3)處的切平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，z)=2x2+y2一z，故所求切平面方程為4(x一1)+2(y一1)一(z一3)=0．知識點解析：暫無解析16、計算對坐標(biāo)的曲線積分∫L(x2－2xy)dx＋(y2－2xy)dy，其中L為圖中的有向折線ABO．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫L(x2－2xy)dx＋(y2－2xy)dy＝∫AB(x2－2xy)dx＋(y2－2xy)dy＋∫BO(x2－2xy)dx＋(y2－2xy)dy∵在AB段dy＝0，y＝1，在BO段dx＝0，x＝0.∴原式＝∫AB(x2－2xy)dx＋∫BO(y2－2xy)dy＝∫AB(x2－2x)dx＋∫BOy2dy知識點解析：暫無解析17、設(shè)積分區(qū)域D是由坐標(biāo)軸及直線x＋y＝1所圍成，求二重積分(2x＋3y)dxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、設(shè)D是由x2+y2=π2與x2+y2=9π2所圍成的區(qū)域，求二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=rcosθ，y=rsinθ且0≤θ≤2π，π≤r≤3π，所以知識點解析：暫無解析19、求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：∴級數(shù)的收斂半徑為對x＝2，原級數(shù)成為發(fā)散．對x＝－2，原級數(shù)成為是交錯級數(shù)，由萊布尼茨判別法菇該級數(shù)收斂?！嗉墧?shù)的收斂半徑為2。收斂域是[一2,2)．知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)f(x，y，z)=x2yz+yz在點(一1，1，2)處的梯度．標(biāo)準(zhǔn)答案：故gradf(-1，1，2)=(一4，4，2)．知識點解析：暫無解析21、求曲面z=xy上點(1，2，1)處的法線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，z)=z一xy，則知識點解析：暫無解析22、設(shè)w＝xyez，且x2＋2y＋z－3＝0，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由方程x2＋2y＋z－3＝0得z＝3－x2－2y，則．所以，知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求橢圓拋物面z＝x2＋y2被平面z＝0，z＝1所截得的曲面面積標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求曲面∑的面積為S，∑在Oxy坐標(biāo)面上投影為D：x2＋y2≤1，則有知識點解析：暫無解析24、求由曲面z＝x2＋y2，z＝3(x2＋y2)和y＝x，y＝x2所圍成的立體的體積標(biāo)準(zhǔn)答案：空間體在Oxy面上的投影D：0≤x≤1，x2≤y≤x，故所求體積知識點解析：暫無解析25、平面圖形由曲線與直線x=1及y=0組成，求其繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體圖形的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第3套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、微分方程y"＝ex的通解是（）A、ex＋C1x＋C2B、exC、ex＋C1xD、ex＋C1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：y〞＝ex，兩邊同時積分yˊ＝ex＋C1，兩邊再同時積分y＝ex＋C1x＋C2．2、在空間直角坐標(biāo)系中，方程z＝x2＋y2的圖形是（）A、橢球面B、球面C、橢圓拋物面D、橢圓錐面標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：暫無解析3、設(shè)區(qū)域D由圓x2＋y2＝2ax(a＞0)圍成，則二重積分＝()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：積分區(qū)域如下圖所示：在坐標(biāo)下令x＝rcosθ，y＝rsinθ答案為D．4、設(shè)積分區(qū)域D：y=1，y=-1，x=0，x=2，則二重積分的值()A、大于零B、小于零C、等于零D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：積分區(qū)域D：y=1，y=—1，x=0，x=2（如下圖所示），區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)f(x，y)=y是關(guān)于y的奇函數(shù)，故原積分為零。5、設(shè)正項級數(shù)收斂，則下列無窮級數(shù)中一定發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由無窮級數(shù)的一般項un不是n→∞時的無窮小量，則級數(shù)發(fā)散來判斷，選項D一定發(fā)散．答案為D．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、區(qū)域Ω是由平面z=0，x2+y2+z2=1(z≤0)所圍成的閉區(qū)域，則dv=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：7、若級數(shù)=________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：10知識點解析：8、已知向量a=(0，一1，3}和b={一1，一2，1}，則一2a+b=______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：{一1，0，一5}知識點解析：—2a+b=一2{0，一1，3)+{一1，一2，1}={0，2，一6}+{一1，一2，1}={一1，0，一5}．9、已知向量α={1，4，一2)和β={k，一2，一2)垂直，則常數(shù)k=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識點解析：因為向量α⊥β，則有α·β=0，即k+4×(一2)+(一2)×(一2)=0，得k=4．10、冪級數(shù)在(一1，1)上的和函數(shù)是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(x+1)知識點解析：f’(x)=1一x+x2+-…+(一1)nxn+-…(一1＜x＜1)，f(x)=ln(1+x)(一1＜x＜1)．因為冪級數(shù)在x=1處收斂，f(x)在x=1處有定義且連續(xù)，三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)應(yīng)用通項求導(dǎo)或逐項積分，求下列冪級數(shù)的和函數(shù)11、x2／2＋x4／4＋…＋x2n／2n＋…；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)un＝x2n／2n，故｜un＋1／un｜＝x2，則當(dāng)｜x2｜＜1時原級數(shù)收斂，故原級數(shù)的收斂半徑為R＝1，當(dāng)x＝±1時，則原級數(shù)可化為1／2n，故其發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設(shè)S(x)x2n／2n，在x∈（－1，1），內(nèi)逐項求導(dǎo)得Sˊ(x)＝x2n－1＝1／1－x2故S(x)＝＝－1／2ln（1－x2）x∈（－1，1）．知識點解析：暫無解析12、x2＋2x3＋3x4＋…＋nxn＋1＋…．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)an＝n，R＝＝1，當(dāng)x＝±1時原級數(shù)均發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設(shè)S(x)＝，逐項積分得＝x／1－xx∈（－1，1）．故f(x)＝（x／1－x）’＝1／（1－x）2故和函數(shù)S(x)＝x2／（1－x）2．知識點解析：暫無解析13、計算對弧長的曲線積分，其中L為螺旋線x＝cost，y＝sint，z＝2t(0≤t≤π)的一段標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、求下列函數(shù)的定義域：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令2x—x2—y2>0得(x—1)2+y2<1．故定義域D={(x，y)｜(x—1)2+y2<1}，為一圓內(nèi)部的區(qū)域（不包括邊界）．(2)D={(x，y)｜x>0且x+y>0}．(3)D={(x，y)｜—1≤x—2y≤1}．知識點解析：暫無解析15、計算對坐標(biāo)的曲線積分∫cx2ydx＋(x－y)dy．其中C為曲線y＝x2從點(0，0)到(1，1)的一段?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、計算∫L(x2＋y2)dx＋(x2－y2)dy，其中L為y＝1－｜1－x｜，0≤x≤2沿x增大方向．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查曲線積分的計算．知識點解析：暫無解析17、判斷級數(shù)是否收斂．如果收斂，是條件收斂還是絕對收斂?標(biāo)準(zhǔn)答案：由柯西判別法得，絕對收斂．知識點解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、判定級數(shù)的收斂性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于當(dāng)x＞0時，sinx＜x，所以令為收斂級數(shù)．由比較判別法可知收斂．知識點解析：暫無解析20、計算對弧長的曲線積分，其中C是x=0，y=0，x+y=1所圍成的．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分曲線C如下圖所示．對于線段OA：y=0，dy=0，ds=dx，對于線段OB：x=0，d=0，ds=dy，對于線段AB：y=1一x，ds=dx=dx，故知識點解析：暫無解析21、求周期函數(shù)f(x)＝｜sinx｜的傅里葉級數(shù)展開式．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)＝｜sinx｜是周期為π的周期函數(shù)．由于f(x)在上是偶函數(shù)，所以知識點解析：暫無解析22、計算I＝(x2＋y2)dxdydz，其中Ω是由曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面z＝2，z＝8所圍成的立體。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求旋轉(zhuǎn)拋物面z＝x2＋y2被平面z＝2和z＝0所截部分的曲面面積標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面Oxy平面上的投影區(qū)域D(如下圖所示)：x2＋y2≤2，且＝2x，＝2y．設(shè)所要求的曲面面積為S，則知識點解析：暫無解析24、設(shè)矩形的周長為4，如何選取矩形的長和寬，能使得矩形的面積最大標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)矩形的長為x，寬為y，面積為S，則S＝xy，x＋y＝2構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x，y，λ)＝xy＋λ(x＋y－2)解方程組可得駐點x＝1，y＝1，λ＝－1．由于駐點唯一，且實際問題存在最大值，故(1，1)是問題的最大值點，最大值為S＝1．知識點解析：暫無解析25、利用三重積分計算由及z＝x2＋y2所圍成的立體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查三重積分的計算．用柱面坐標(biāo)計算，顯然兩曲面的交線為：x2＋y2＝1(z＝1)它在xOy平面上的投影為：x2＋y2＝1(z＝0)所以Dxy：0≤θ≤2π，0≤r≤1又r2≤x≤r知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第4套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、在空間直角坐標(biāo)系中，方程3y－4z＝0的圖形是（）A、垂直于x軸的平面B、平行于x軸的直線C、通過原點的直線D、通過x軸的平面標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析2、設(shè)向量a＝(2，1，－1}與y軸正向的夾角為β，則β滿足()A、B、C、D、β＝π標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：設(shè)y軸正向的矢量為b＝(0,y,0)(y＞0)則(y＞0)故β∈．答案為A．3、方程代表的圖形是()A、直線B、雙曲線C、拋物線D、橢圓標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于x2+y2-2x=0即(x一1)2+y2=1，其表示平行于z軸的圓柱面，而x+z=1表示平行于y軸的平面，顯然它們的交線是一個橢圓．4、設(shè)f(x，y)是連續(xù)函數(shù)，則累次積分f(x，y)dx=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由外層積分可知0≤y≤1,由內(nèi)層積分可知y一1≤x≤，即積分區(qū)域在直線y一1=x與圓x2+y2=1(x>0，y>0)之間，積分區(qū)域如下圖所示．變換積分順序5、設(shè)un≠0(n＝1，2，3…)，且A、發(fā)散B、絕對收斂C、條件收斂D、無法判斷標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：本題考查級數(shù)斂散性的判定．∵，∴在n→∞時，等同于級數(shù)，故該級數(shù)收斂，但為調(diào)和級數(shù)，不收斂，故條件收斂．答案為C．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、已知向量a＝｛0，－1，3｝和b＝｛1，－2，－1｝，則－2a＋b＝____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：｛1，0，－7｝知識點解析：－2a＋b＝－2{0，－1，3}＋{1，－2，－1}＝{0，2，－6)＋{1，－2，－1)＝{1，0，－7}．7、微分方程y〞＋(yˊ)3－2x4＋2＝0的階數(shù)是____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：暫無解析8、設(shè)函數(shù)f(x)=x2(一π＜x＜π)的傅里葉級數(shù)展開式，則其系數(shù)a2=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：a2=x2cos2xdx=x2cos2xdx=1．9、設(shè)D是由x2+y2=1(y＞0)，y=0所圍成的區(qū)域，則FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：此時積分區(qū)域D(如右圖所示)關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)xy關(guān)于x是奇函數(shù)，從而10、設(shè)Ω是由坐標(biāo)平面和平面x—y＋z＝2所圍成的區(qū)域，則重積分＝________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)應(yīng)用通項求導(dǎo)或逐項積分，求下列冪級數(shù)的和函數(shù)11、x2／2＋x4／4＋…＋x2n／2n＋…；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)un＝x2n／2n，故｜un＋1／un｜＝x2，則當(dāng)｜x2｜＜1時原級數(shù)收斂，故原級數(shù)的收斂半徑為R＝1，當(dāng)x＝±1時，則原級數(shù)可化為1／2n，故其發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設(shè)S(x)x2n／2n，在x∈（－1，1），內(nèi)逐項求導(dǎo)得Sˊ(x)＝x2n－1＝1／1－x2故S(x)＝＝－1／2ln（1－x2）x∈（－1，1）．知識點解析：暫無解析12、x2＋2x3＋3x4＋…＋nxn＋1＋…．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)an＝n，R＝＝1，當(dāng)x＝±1時原級數(shù)均發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設(shè)S(x)＝，逐項積分得＝x／1－xx∈（－1，1）．故f(x)＝（x／1－x）’＝1／（1－x）2故和函數(shù)S(x)＝x2／（1－x）2．知識點解析：暫無解析13、求由x2—2x+y2=0，，與z=0所圍成的立體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D：(x-1)2+y2≤1，0≤z≤，由柱面坐標(biāo)法得知識點解析：暫無解析14、計算三重積分，其中Ω是由一2≤x≤2，一3≤y≤6，0≤z≤1所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、計算空間曲線積分，其中L為球面x2＋y2＋z2＝a2與平面x＋y＋z＝0之交線．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查曲線積分的計算．由于以x換y，y換z，z換x，曲線L的方程不變，即L具有輪換對稱性，因此而L是經(jīng)過球心的圓，其周長為2πa以，故知識點解析：暫無解析16、設(shè)三元函數(shù)，求在點A(1，0，1)處沿A指向點B(3，－2，2)方向的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、求函數(shù)f(x，y，z)=x2+y2+z2一xyz在點P(1，一1，2)處沿方向L={1，0，1}的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：=2x—yz，=2y—xz，=2z—xy，則有=2一(一1)×2=4，=2×(一1)一2=一4，=2×2一(一1)=5，cosα=，cosβ=0，cosγ=，所以知識點解析：暫無解析18、求曲面處的切平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、計算二重積分，其中D是由x+y=一1，x=0，y=0所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D，如下圖所示，于是知識點解析：暫無解析20、求解方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查微分方程的求解．此方程對未知函數(shù)y＝y(tǒng)(x)來講不是線性方程，如將其改寫為：上述方程是以x＝x(y)為未知函數(shù)的一階線性微分方程，，Q(y)＝－y故＝y(tǒng)2(C—lny)即為原方程的通解．知識點解析：暫無解析21、計算二重積分sin(x2＋y2)dxdy，其中積分區(qū)域D：x2＋y2≤a2．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、從點A(2，一2，1)沿a=(2，一10，11)的方向取長度為45的線段AB，求點B的坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由x一2=6，y+2=一30，z一1=33，得所求點B的坐標(biāo)是(8，一32，34)．知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、(1)已知函數(shù)z＋y＋z＝sin(x＋y＋z)，求z對x，y的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)；(2)已知函數(shù)z＝，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，z)＝x＋y＋z－sin（x＋y＋z），則Fx＝Fy＝Fz＝1－cos（x＋y＋z）．故＝－Fx／Fz＝－1，＝－Fy／Fz＝－1，＝0．＝y(tǒng)··（－x2／2y2）ˊ＝＝1／y2（x2＋y2）所以dz＝－x／ydx＋1／y2（x2＋y2）dy＝e﹙－x2／2y2）／y2［－xydx＋（x2＋y2）dy］．知識點解析：暫無解析24、求函數(shù)f(x，y)=2x2一2xy+y2一2x一2y+4的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：解，得駐點(2，3)，由于fxx=4，fxy=一2，fyy=2，于是△=一fxxfxy=(一2)2一4×2=一4<0，A=4>0，則點(2，3)是極小值點，故函數(shù)的極小值為f(2，3)=一1．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)是以2π為周期的周期函數(shù)，它在(一π，π)上的表達(dá)式為f(x)=x2+x，求f(x)的傅里葉級數(shù)展開式。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第5套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、L是拋物線y＝x2－1從A(－1，0)到B(1，0)的一段，則曲線積分＝（）A、﹣4／3B、4／3C、-1D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由L：y＝x2－1，－1≤x≤1，得dy＝2xdx，則2、設(shè)函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，并且取得極小值，則下列說法正確的是（）A、fx(x0，y0)＞0，fxx(x0，y0)＞0B、fx(x0，y0)＝0，fxx(x0，y0)＜0C、fx(x0，y0)＞0，fxx(x0，y0)＜0D、fx(x0，y0)＝0，fxx(x0，y0)＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析3、點(－1，2，3)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)是()A、(1，－2，－3)B、(－1，－2，－3)C、(1，2，－3)D、(1，－2，3)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：點(x，y，z)關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)為(－x，y，－z)．答案為C．4、以y＝sin3x為特解的微分方程為()A、y"＋y＝0B、y"－y＝0C、y"＋9y＝0D、y"－9y＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由題可知：特征根r＝±3i故r2＋q＝0故所求微分方程為y"＋qy＝0．答案為C．5、函數(shù)f(x，y)=的定義域是()A、((x，y)|4＜x2+y2＜9)B、{(x，y)|2＜x2+y2＜3)C、{(x，y)|4＜x2+y2≤9)D、((x，y)|2＜x2+y2≤3)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：函數(shù)f(x，y)=的定義域應(yīng)滿足下列不等式綜上所述函數(shù)f(x，y)的定義域為{(x，y)|4＜x2+y2＜9}．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、設(shè)L是圓x2＋y2＝1，取逆時針方向，則____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：令P(x，y)＝(x＋y)2，Q(x，y)＝－(x2＋y2)，則＝－2x，＝2（x＋y）將L所圍成的閉區(qū)域記為D，根據(jù)格林公式有(x＋y)2dx－(x2＋y2)dy＝（－2x－2x－2y）dxdy＝（4x＋2y）dxdy＝（2rcosΘ＋rsinΘ）rdr＝（2cosΘ＋sinΘ）dΘ＝－2／／3（2sinΘ－cosΘ）＝0．7、已知向量a＝{－1，3，－4}和b＝{2，0，1}，則3a＋6＝_______.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：{－1，9，－11}知識點解析：a＝{－1，3，－4}，b＝{2，0，1}＝{－3，9，－12)＋{2，0，1}＝{－1，9，－11}．8、設(shè)函數(shù)z=u·v，u=x+y，v=x—y，則．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2x知識點解析：=v·1+u·1=x+y+x—y=2x．9、向量與z軸的夾角α=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、二重積分＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：f(a)－f(0)知識點解析：本題考查二重積分的計算．由題意知，積分區(qū)域如下圖所示．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)應(yīng)用通項求導(dǎo)或逐項積分，求下列冪級數(shù)的和函數(shù)11、x2／2＋x4／4＋…＋x2n／2n＋…；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)un＝x2n／2n，故｜un＋1／un｜＝x2，則當(dāng)｜x2｜＜1時原級數(shù)收斂，故原級數(shù)的收斂半徑為R＝1，當(dāng)x＝±1時，則原級數(shù)可化為1／2n，故其發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設(shè)S(x)x2n／2n，在x∈（－1，1），內(nèi)逐項求導(dǎo)得Sˊ(x)＝x2n－1＝1／1－x2故S(x)＝＝－1／2ln（1－x2）x∈（－1，1）．知識點解析：暫無解析12、x2＋2x3＋3x4＋…＋nxn＋1＋…．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)an＝n，R＝＝1，當(dāng)x＝±1時原級數(shù)均發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設(shè)S(x)＝，逐項積分得＝x／1－xx∈（－1，1）．故f(x)＝（x／1－x）’＝1／（1－x）2故和函數(shù)S(x)＝x2／（1－x）2．知識點解析：暫無解析13、設(shè)函數(shù)z＝ln(x2＋y2)－sinxy，求全微分dz標(biāo)準(zhǔn)答案：Zx＝2x／（x2＋y2）－ycosxy，Zy＝2y／（x2＋y2）－xcosxy，于是dz＝Zxdx＋Zydy＝［2x／（x2＋y2）－ycosxy］dx＋［2y／（x2＋y2）－xcosxy］dy．知識點解析：暫無解析14、計算三重積分，其中積分區(qū)域Ω由y＝，y＝0，z＝0及x＋y＋z＝π／2所圍成的區(qū)域標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域Ω如下圖所示，故知識點解析：暫無解析15、求函數(shù)f(x，y)＝ln(x2y＋x)的梯度gradf(x，y)標(biāo)準(zhǔn)答案：Fx＝（2xy＋1）／x2y＋x，fy＝x2／x2y＋x＝x／xy＋1，故gardf(x，y)＝［（2xy＋1）／x2y＋x，x／xy＋1］．知識點解析：暫無解析16、判斷無窮級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：∵∴由達(dá)朗貝爾判別法得，原級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析17、求平面z=x介于平面x+y=1，y=0和x=0之間的陰影部分的重心坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：平面z=x這部分的面積知識點解析：暫無解析18、I＝(x＋y＋z)2dv，其中Ω：x2＋y2＋z2≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：用對稱奇偶性，球面坐標(biāo)．，積分區(qū)域如下圖所示．知識點解析：暫無解析19、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：，因此該級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析20、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：記，考慮函數(shù)f(x)＝ex—1－x(x≥0)，由于f(x)在[0，＋∞)上連續(xù)。(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)＝ex－1＞0，∴當(dāng)x＞0時f(x)＞f(0)＝0，即f(x)是正值單調(diào)增加函數(shù)．由此可知所給級數(shù)為交錯級數(shù)，{un}單調(diào)減少，又，由萊布尼茨定理知所給級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析21、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)級數(shù)部分和數(shù)列為{Sn}，則即該級數(shù)的部分和Sn有界，由正項級數(shù)收斂的充要條件知該級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析22、將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并求收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求y〞－2yˊ－3y＝xex的通解標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程相應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2－2r－3＝0，解得r1＝3，r2＝－1．故齊次方程的通解為y＝C1e－x＋C2e3x，f(x)＝xex，λ＝1不是特征根，因此設(shè)特解y’＝ex（b0x＋b1），代入原微分方程得b0＝－1／4，b1＝0，故原微分方程的通解為y＝C1e－x＋C1e3x－1／4xex．知識點解析：暫無解析24、求y"一2y’一3y=xex的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程相應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2一2r一3=0，解得r1=3，r2=一1．故齊次方程的通解為y=C1e-x+C2e3x，f(x)=xex，λ=1不是特征根，因此設(shè)特解y*=ex(b0x+b1)，代入原微分方程得b0=一，b1﹦0，故原微分方程的通解為y﹦C1e-x﹢C2e3x﹣xex．知識點解析：暫無解析25、求x+2x2+3x3+…+nxn+…的和函數(shù)(一1＜x＜1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令和函數(shù)為s(x)，則s(x)=x+2x2+3x3+…+nxn+…=x(1+2x+3x2+…+nxn-1+…)=x(x+x2+x3+…+xn+…)’=知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第6套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、微分方程x3y2dx-(2y+xysinx)dy=0是()A、一階線性非齊次微分方程B、可分離變量微分方程C、齊次微分方程D、一階線性齊次微分方程標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：方程可化為顯然為可分離變量微分方程．2、方程y’=ex+y的通解為()A、ex一e-y=CB、ex一ey=CC、ex一e-y=CD、ex+e-y=1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：將y’=ex+y分離變量得，e-ydy=exdx，∫e-ydy=∫exdx，從而ex+e-y=C3、級數(shù)A、收斂于0B、發(fā)散C、收斂于D、收斂于標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：該級數(shù)是公比的等比級數(shù)，且|q|=＜1，故該級數(shù)收斂，則4、冪級數(shù)(a＞1)的收斂半徑為()A、3B、0C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：所以收斂半徑R=0．5、冪級數(shù)的和函數(shù)為()A、1n(1-x)B、arctan(一x)C、arctanxD、ln(1+x)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為冪級數(shù)ln(1+x)=，所以二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、Oxz平面上的拋物線z2=3x繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：y2+z2=3x知識點解析：因為拋物線z2=3x繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)，故有y2+z2=3x．7、設(shè)函數(shù)u(x，y)=則du|(3,4)=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、函數(shù)z=ln(2一x2)+的定義域為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、微分方程y"+(y’)3一2x4+1=0的階數(shù)是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：微分方程y"+(y’)3一2x4+1=0中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)為二階，因此該微分方程為二階．10、設(shè)函數(shù)f(x)=πx+x2(一π＜x＜π)的傅里葉級數(shù)展開式為(ancosnx+bnsinnx)，則其系數(shù)b3=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、一向量的起點在點A(一1，1，一2)，此向量在z軸、Y軸和z軸的投影依次為4、一4和6，求此向量的終點B的坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)B(x，y，z)，則={x+1，y一1，z+2}．又向量在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為向量的各分量，因此解之得x=3，y=一3，z=4．從而終點為B(3，一3，4)．知識點解析：暫無解析12、證明不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、求曲面x2+y2+z=25上點(2，3，)處的切平面和法線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，z)=x2+y2+z一25，則Fx=2z，F(xiàn)y=2y，F(xiàn)z=1，從而故取法向量n={4，6，1}，于是切平面方程為4(x一2)+6(y一3)+(z-)=0即4x+6y+z=法線方程為知識點解析：暫無解析14、求函數(shù)u=xyz在點(3，1，2)處，沿A(3，1，2)到B(7，4，14)的方向l的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、求函數(shù)f(x，y)=ln(xy2+x)的梯度gradf(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)z=f(2x—y，ysinx)，其中f(u，v)具有連續(xù)性的二階偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、計算二次積分標(biāo)準(zhǔn)答案：．積分區(qū)域如右圖所示陰影：知識點解析：暫無解析18、計算∫L(y+2xy)dx+(x2+x+y2)dy，其中L是x2+y2=4x的上半圓周由A(4，0)至B(0，0)的半圓．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分路線如右圖所示．因P=y+2xy，Q=x2+x+y2，故∫L(y+2xy)dx+(x2+x+y2)dy=(y+2xy)dx+(x2+x+y2)dy=∫40(0+2x.0)dx+0=0．知識點解析：暫無解析19、計算對坐標(biāo)面的曲面積分(x+y+z)dydz，其中∑是柱面x2+y2=1(0≤z≤1)外側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲面∑1：z=0(下側(cè))；∑2：z=1(上側(cè))；Ω表示由∑、∑1、∑2圍成的幾何圖形．由高斯定理，原式==π×12×1—0—0=π．知識點解析：暫無解析20、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：收斂域(一1，1)知識點解析：暫無解析21、判定級數(shù)的斂散性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、求微分方程e2x-ydx—ex+ydy=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程可化為：e2ydy=exdx．兩邊積分∫e2ydy=∫exdx，所以通解為知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求函數(shù)(a＞0，b＞0)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令fx’(x，y)=0，fy’(x，y)=0，得x=y=0故此函數(shù)無極值．知識點解析：暫無解析24、求直線與平面x+2y一4z+1=0的交點坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將直線方程寫成參數(shù)式方程代入到平面方程得5t+13+2(2t+1)一4(3t+4)+1=0．解之得t=0，故平面與直線的交點坐標(biāo)為(13，1，4)．知識點解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第7套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)向量a={3，2，一1)與z軸正向的夾角為γ，則γ滿足()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：cosγ=故選A．2、設(shè)函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，并且取得極小值，則下列說法正確的是()A、fx(x0，y0)>0，fxx(x0，y0)>0B、fx(x0，y0)=0，fxx(x0，y0)<0C、fx(x0，y0)>0，fxx(x0，y0)<0D、fx(x0，y0)=0，fxx(x0，y0)>0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析3、設(shè)積分區(qū)域D是由直線x=y，x=0和y=2所圍成，則二重積分()A、1B、2C、4D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：積分區(qū)域D如下圖所示，則4、設(shè)L是圓周x2+y2=4，則對弧長的曲線積()A、4πB、8πC、2πD、π標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：圓x2+y2=4的參數(shù)方程為,0≤θ≤2π，則5、設(shè)0≤un≤vn(n=1，2…)，且無窮級數(shù)發(fā)散，則無窮級數(shù)()A、發(fā)散B、絕對收斂C、條件收斂D、無法判斷標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、微分方程xdy=(x++y)dx的通解為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：原方程可化為=1++令u=，則y=ux，=u+x故u+x=1+u2+u．分離變量積分得arctanu=lnx+C．將u=代入得原方程的通解為arctan=lnx+C．7、方程2y"+y’一y=2x的一個特解是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：y*=—2x—2知識點解析：方程2y"+y’一y=2x對應(yīng)的齊次方程為2y"+y’一y=0．其特征方程為2λ2+λ一1=0，解之得λ1=一1，λ2=．原方程的非齊次項f(x)=eλxPm(x)(其中λ=0，m=1)，而λ=0不是其特征方程的解，故令其特解為y*=b0x+b1；則y*’=b0，y*"=0．代入原方程得b0一(b0x+b1)=2x故得b0=一2，b1=一2，于是原微分方程的一個特解為y*=—2x—28、冪級數(shù)的收斂半徑為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：設(shè)an=，則=1，故收斂半徑為1．9、冪級數(shù)e1+x在x=一1處展開式為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：e1+x=1+(x+1)++…++…知識點解析：ex在x=0處的冪級數(shù)展開式為ex=1+x++…++…，故e1+x在x=一1處的冪級數(shù)展開式為e1+x=1+(x+1)++…++…10、設(shè)函數(shù)f(x)=x2(一π＜x＜π)的傅里葉級數(shù)展開式，則其系數(shù)a2=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：a2=x2cos2xdx=x2cos2xdx=1．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、設(shè)平面π1：2x—y+z一7=0和平面π2：x+y+2z一11=0，求π1和π2的夾角．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)兩平面的夾角為θ，由于兩平面的法向量分別為療n1={2，一1，1}，n2={1，1，2}，故即兩平面的夾角θ=。知識點解析：暫無解析12、求曲面在點(1，1，)處的切平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：zx=，zy=，則zx（1，1）=，zy（1，1）=—，故所求平面方程為（x—1）—(y—1)—（z—）=0。知識點解析：暫無解析13、設(shè)方程z2+xyz—exy=1確定函數(shù)z=z(x，y)，求和．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，z)=z2+xyz—exy—1，則知識點解析：暫無解析14、求函數(shù)f(x，y)=ln(x2y+x)的梯度gradf(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：fx=，fy=，故gardf(x，y)=。知識點解析：暫無解析15、計算積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、已知積分區(qū)域Ω是由x2+y2=1,z=一1及z=1所圍成，求三重積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、計算對坐標(biāo)的曲線積分xdx+(y+1)dy+2zdz，其中L為從(1，1，1)到(3，4，5)的直線段．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可知，直線的參數(shù)方程為x=1+2t，y=1+3t，z=1+4t(0≤t≤1)，故xdx+(y+1)dy+2zdz=[2(1+2t)+3(1+3t+1)+4×2(1+4t)]dt=(45t+16)dt=。知識點解析：暫無解析18、計算對坐標(biāo)面的曲面積分，其中∑是柱面x2+y2=1(0≤z≤1)外側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域∑，如下圖所示，利用柱坐標(biāo)變換。令x=cosθ，y=sinθ，0≤z≤1。知識點解析：暫無解析19、求微分方程y"一2y’+y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：微分方程的特征方程為r2—2r+1=0，則其特征方程根為r1=r2=1，故所求通解為y=(C1+C2x)ex。知識點解析：暫無解析20、求一曲線，使得該曲線上任意點(x，y)處的切線平行于x+3y=1，且點(1，2)在該曲線上．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意y’=一，所以y=一x+C．又因為點(1，2)在該曲線上，故有C=2+=，因此所求方程為y=一x+即3y+x=7．知識點解析：暫無解析21、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：，因此該級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為求系數(shù)a3．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、設(shè)矩形的周長為4，如何選取矩形的長和寬，能使得矩形的面積最大．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)矩形的長為x，寬為y，面積為S，則S=xy，x+y=2構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x，y，λ)=xy+λ(x+y一2)解方程組可得駐點x=1，y=1，λ=：一1．由于駐點唯一，且實際問題存在最大值，故(1，1)是問題的最大值點，最大值為S=1．知識點解析：暫無解析24、求平面2x+2y+z=4在第一卦限部分的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求曲面∑的面積為S，∑在Oxy面上投影區(qū)域為D：x+Y≤2，則有∑：x=4—2x一2y，(x，y)∈D，故知識點解析：暫無解析25、將函數(shù)f(x)=展開成(x+1)的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第8套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)函數(shù)f(1／y，1／x)＝（x＋y）／（x－y），則f(x，y)＝（）A、（x＋y）／xyB、（x＋y）／x－yC、（x－y）／（x＋y）D、xy／（x＋y）標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：令m＝1／y，n＝1／x，即y＝1／m，x＝1／n，則有f(m，n)＝（1／n＋1／m）／1／n－1／m＝（m＋n）／m－n，即f(x，y)＝（x＋y）／x－y，故B選項正確．2、設(shè)函數(shù)f(x，y)＝x3＋y3，則點(0，0)是f(x，y)的（）A、極小值點B、間斷點C、極大值點D、連續(xù)點標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析3、設(shè)積分區(qū)域D：y＝1，y＝－1，x＝0，x＝2，則二重積分的值（）A、大于零B、小于零C、等于零D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：積分區(qū)域D：y＝1，y＝－1，x＝0，x＝2（如下圖所示），區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)f(x，y)＝y(tǒng)是關(guān)于y的奇函數(shù)，故原積分為零．4、微分方程dy／dx＝（x2＋y2）／xy是（）A、齊次微分方程B、可分離變量的微分方程C、一階線性齊次微分方程D、一階線性非齊次微分方程標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：將（x2＋y2）／xy的分子分母同時除以x2，得dy／dx＝［1＋（y／x）2］／y／x，上式符合齊次微分方程的形式，故選A5、冪級數(shù)的和函數(shù)為（）A、ln(1＋x)B、arctanxC、ln(1－x)D、arctan(－x)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為冪級數(shù)ln（1＋x）＝所以ln（1－x）＝故選C二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、區(qū)域Ω是由平面z＝0，x2＋y2＋z2＝1(z≤0)所圍成的閉區(qū)域，則____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2／3π知識點解析：．7、二重積分____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識點解析：（x＋2y）dy＝（4－2x）dx＝4．8、設(shè)D是由x2＋y2＝1(y＞0)，y＝0所圍成的區(qū)域，則____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：此時積分區(qū)域D(如下圖所示)關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)xy關(guān)于x是奇函數(shù)，從而9、設(shè)L是拋物線x2＝y(tǒng)2上是O(0，0)與A(1，1)之間的一段弧，則____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：曲線L如下圖所示，y∈［0，1］10、設(shè)L是圓x2＋y2＝1，取逆時針方向，則____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：令P(x，y)＝(x＋y)2，Q(x，y)＝－(x2＋y2)，則＝－2x，＝2（x＋y）將L所圍成的閉區(qū)域記為D，根據(jù)格林公式有(x＋y)2dx－(x2＋y2)dy＝（－2x－2x－2y）dxdy＝（4x＋2y）dxdy＝（2rcosΘ＋rsinΘ）rdr＝（2cosΘ＋sinΘ）dΘ＝－2／／3（2sinΘ－cosΘ）＝0．三、計算題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)11、設(shè)平面π經(jīng)過點P(5，3，－2)，且平行于平面π1：x＋4y－3z－11＝0，求平面π的方程標(biāo)準(zhǔn)答案：平面π1的法向量為{1，4，－3}，所求平面π平行于平面π1，于是其點法式方程為(x－5)＋4(y－3)－3(z＋2)＝0，即x＋4y－3z－23＝0．知識點解析：暫無解析12、求過點P(1，0，7)且與平面x－z＝10和y＋2z＝3都平行的直線方程標(biāo)準(zhǔn)答案：兩平面的法向量分別為n1＝{1，0，－1}，n2＝{0，1，2}．設(shè)所求直線的方向向量為v，由于直線與兩平面都平行，所以v⊥n1且v⊥n2，v＝n1×n2＝＝{1，－2，1}，又直線過點P（1，0，7），則其對稱式方程為（x－1）／1＝y(tǒng)／－2＝（z－7）／1．知識點解析：暫無解析已知直線L1：和直線L2：（x－3）／4＝y(tǒng)／－2＝（z＋5）／113、求出直線L1的對稱式方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：直線L1的方向向量為v1＝＝{－28，14，－7}＝－7{4，－2，1}，令z＝1，則方程組變?yōu)?，解之得x＝2，y＝－3．所以點（2，－3，1）在直線上．故直線L1的對稱式方程為x－2／4＝y(tǒng)＋3／－2＝z－1／1．知識點解析：暫無解析14、求直線L1和直線L2的夾角．標(biāo)準(zhǔn)答案：直線L2的法向量為v2＝{4，－2，1}，顯然v1∥v2，從而直線L1和直線L2互相平行，即夾角Θ＝0．知識點解析：暫無解析15、已知平行四邊形的3個頂點A(3，－4，7)、C(1，2，－3)和D(9，－5，6)，求與頂點D相對的第4個頂點B標(biāo)準(zhǔn)答案：取O點為AC的中點，則O點的坐標(biāo)為(1＋3／2，－4＋2／2，7－3／2)，即O(2，－1，2)．則O點也是BD的中點，設(shè)B(x，y，z)，有164解之得x＝－5，y＝3，z＝－2．故所求B點坐標(biāo)為(－5，3，－2)．知識點解析：暫無解析16、設(shè)α、β都是非零向量，且滿足關(guān)系式｜α－β｜＝｜α＋β｜，證明α·β＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：由于｜α－β｜＝｜α＋β｜，故｜α－β｜2＝｜α＋β｜2．即(α－β)(α－β)＝(α＋β)(α＋β)．α·α－α·β－β·α＋β·β＝α·α＋α·β＋β·α＋β·β．即α·α＋β·β－2(α·β)＝α·α＋β·β＋2(a·β)．又因α，β均為非零向量，要使上式成立，必有α·β＝0．知識點解析：暫無解析17、設(shè)曲線方程為求它在三個坐標(biāo)面上的投影曲線標(biāo)準(zhǔn)答案：將原方程化為消去z，聯(lián)立z＝0，得曲線在Oxy平面上的投影曲線消去y，聯(lián)立y＝0，得曲線在Oxz平面上的投影曲線消去x，聯(lián)立x＝0，得曲線在Oyz平面上的投影曲線知識點解析：暫無解析18、設(shè)z＝f（x＋y，exy），f是可微函數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)z＝f(u，v)，u＝x＋y，v＝exy，則知識點解析：暫無解析求下列函數(shù)的定義域：19、z＝標(biāo)準(zhǔn)答案：令2x－x2－y2＞0得（x－1）2＋y2＜1．故定義域D＝{(x，y)｜(x－1)2＋y2＜1)，為一圓內(nèi)部的區(qū)域(不包括邊界)．知識點解析：暫無解析20、z＝＋ln(x＋y)；標(biāo)準(zhǔn)答案：D＝{(x，y)｜x＞0且x＋y＞0)．知識點解析：暫無解析21、z＝arcsin(x－2y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D＝{(x，y)｜－1≤x－2y≤1}．知識點解析：暫無解析22、在所有周長等于6的直角三角形中，求出斜邊最小的三角形標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)直角三角形的兩直角邊為x，y，斜邊為z，則有構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x，y)＝＋λ（x＋y＋z－6）＝（1＋λ）＋λ（x＋y－6），解方程組當(dāng)λ＝－1時，方程組的前兩個式子都不成立，故λ≠－1．解得x＝y(tǒng)＝3(2－)．由于實際情況必存在斜邊最小值，故當(dāng)直角三角形的兩直角邊長均為3(2－)時，斜邊最?。R點解析：暫無解析23、求函數(shù)u＝[*]在點(1，2，1)處的梯度標(biāo)準(zhǔn)答案：gardu（1，2，1）＝｛e6，2e6，2e6｝．知識點解析：暫無解析24、求函數(shù)u(x，y，z)＝x2＋2xy＋z2在點P(1，2，0)處沿方向l＝﹛2，－1，2﹜的方向?qū)?shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：因為＝2x＋2y，＝2x，＝2z，cosα＝2／3，cosβ＝－1／3，cosy＝2／3．所以＝10／3．知識點解析：暫無解析25、求空間曲線L：x＝31nΘ，y＝2sinΘ，z＝Θ，(一∞＜Θ＜＋∞)在點P(3lnπ，0，π)處的法平面方程及切線標(biāo)準(zhǔn)答案：xˊ(Θ)＝3／Θ，yˊ(Θ)＝2cosΘ，zˊ(Θ)＝1，于是點P（3lnπ，0，π）處的法平面方程為xˊ（π）（x－3lnx）＋yˊ（π）y＋zˊ（π）（z－π）＝0，即3（x－3lnx）／π－2y＋z－π＝0．點P(3lnx，0，π)處的切線方程為（x－3lnπ）／xˊ（π）＝y(tǒng)／yˊ（π）＝（z－π）／zˊ（π），即π（x－3lnπ）／3＝y(tǒng)／－2＝（z－π）／1．知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)26、在xy平面上求一點，使它到三直線x＝0，y＝0，2x＋y－6＝0的距離平方和最小標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求點為(x，y)，該點到三直線的距離平方和為z＝x2＋y2（2x＋y－6）2／5由得駐點（6／5，3／5）由于Zxx＝15／8＞0，Zyy＝12／5，則△＝Z2xy－ZxxZyy＝16／5－18／5·12／5＜0，因此（6／5，3／5）是z的極小值點．由實際意義知，在點（6／5，3／5）處z取得最小值．知識點解析：暫無解析27、求曲面z＝xy包含在圓柱x2＋y2＝1內(nèi)部分的曲面面積S標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求曲面∑面積為S，該曲面在Oxy坐標(biāo)面上的投影D：x2＋y2≤1．知識點解析：暫無解析28、將函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)展開成(x－1)的冪級數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：對原函數(shù)求導(dǎo)fˊ(x)＝1／（1＋x）1／（1＋x）＝1／2·1／1－［－（x－1）／2］＝1／2［－（x－1）／2］n｜（x－1）／2｜＜1＝（－1）n（x－1）n／2n＋1，｜x－1｜＜2對上式等式兩邊積分f(x)＝ln（1＋x）＝｜x－1｜＜2．知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第9套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、比較與的大小，其中D：1≤x≤2，0≤y≤1，則()A、I12B、I1=I2C、I1≤I2D、無法比較標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由積分區(qū)域D：1≤z≤2，0≤y≤1，可得1≤x+y≤3，則x+y≤(x+y)2．由二重積分的單調(diào)性得，2、設(shè)f(x，y)是連續(xù)函數(shù)，則累次積分f(x，y)dx=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由外層積分可知0≤y≤1,由內(nèi)層積分可知y一1≤x≤，即積分區(qū)域在直線y一1=x與圓x2+y2=1(x>0，y>0)之間，積分