全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷7（共249題）

全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷7（共9套）（共249題）全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第1套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)A=，當(dāng)x與y滿(mǎn)足_________時(shí)，有AB=BA．()A、2x=7B、2y=xC、y=x+1D、y=x一1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于解得y=x+1．答案為C。2、已知是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)解，則矩陣A可為()A、(5，一3，一1)B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：將四個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證Ax=0是否成立即可．答案為A。3、齊次線性方程組的自由未知量是()A、x1，x2B、x2，x3C、x2，x4D、x1，x4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)系數(shù)矩陣作初等變換得：即故所以x2，x4為自由未知量．答案為C.4、若只有零解的充要條件是a≠A、－1B、－2C、－3D、﹣4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：方程組只有零解的充要條件．因方程組只有零解，故｜A｜≠0，即r(A)＝3，則－a－4≠0，得a≠﹣4．5、若齊次線性方程組只有零解，則A應(yīng)為()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程組Ax=0只有零解→｜A｜≠0｜A｜==1一λ+2λ=λ+1故λ≠一1時(shí)題中齊次線性方程組只有零解．答案為B。6、設(shè)3階矩陣其中α，β，γ2，γ3均為3維行向量，且已知行列式|A|=18，|B|=2，則行列式|A-B|等于()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：選B．7、已知A、B為n階方陣，且滿(mǎn)足A2＝B2，則必有A、｜A｜＝｜B｜B、｜A｜2＝｜B｜2C、A＝BD、﹣A=B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由A2＝B2，得｜A2｜＝｜B2｜，即｜A｜2﹦｜B｜2，故B項(xiàng)正確．8、設(shè)λ1，λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，α與β是A的分別屬于特征值λ1，λ2的特征向量，則α與β()A、對(duì)應(yīng)分量成比例B、線性無(wú)關(guān)C、可能有零向量D、線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因λ1≠λ2，α與β是A的特征向量，則α≠β，則由定理5.2.4得α，β線性無(wú)關(guān)。9、如果A，B是同階對(duì)稱(chēng)矩陣，則A.B()A、是對(duì)稱(chēng)矩陣B、是非對(duì)稱(chēng)矩陣C、是反對(duì)稱(chēng)矩陣D、不一定是對(duì)稱(chēng)矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)A與B均為對(duì)稱(chēng)矩陣但A.B=不是對(duì)稱(chēng)矩陣．答案選D。10、設(shè)λ0是n階矩陣A的特征值，且齊次線性方程組(λ0E-A)x=0的基礎(chǔ)解系為η1和η2，則A的屬于λ0的全部特征向量是()A、η1和η2B、C1η1+C2η2+C2(C1，C2為任意常數(shù))C、C1η1+C2η2(C1，C2為不全為零的任意常數(shù))D、η1或η2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)任意常數(shù)C1，C2，都有(λ0E—A)(C1η1+C2η2)=C1(λ0E—A)η1+C2(λ0E—A)η2=0．即有A(C1η1+C2η2)=λ0(C1η1+C2η2)．但又由于零向量不是特征向量．故屬于λ0的全部特征向量即為C1η1+C2η2，(C12+C22≠0)，故選C．11、已知向量組α1＝(1，－1，1)T，α2＝(－1，1，1)T，α3＝(1，1，－1)T，此向量組的秩為A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由A＝(α1，α2，α3)，則r(A)＝3，故此向量組的秩為3．12、沒(méi)A是n階方陣，且｜A｜=5，則｜(5AT)-1｜=()A、5n+1B、5n—1C、5-n—1D、5-n標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：13、已知是三元齊次線性方程組Ax＝0的解，則系數(shù)矩陣A可為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題知是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則該Ax＝0的基礎(chǔ)解系中至少含有2個(gè)自由向量，即3－r(A)≥2，得r(A)≤1，顯然只有A項(xiàng)的秩為1≤l，故選A項(xiàng)．14、設(shè)A是n階方陣，且｜A｜=5，則｜(5AT)-1｜=()A、5n+1B、5n-1C、5-n-1D、5-n標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麬｜=5，所以答案為C15、齊次線性方程組的解的個(gè)數(shù)為()A、有惟一的零解B、有無(wú)窮多個(gè)解C、無(wú)解D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程系數(shù)矩陣A的秩為：r(A)=3＜4，故齊次線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解．答案為B。16、當(dāng)t為_(kāi)_____，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3是正定的．()A、｜t｜>2B、｜t｜<3C、D、｜t｜>1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣各階順序主子式為2＞0，即即因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，答案為C17、設(shè)矩陣，則()A、a=3，b=一1，c=1，d=3B、a=一1，b=3，c=1，d=3C、a=3，b=一1，c=0，d=3D、a=一1，b=3，c=0，d=3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：。答案為C。18、設(shè)m×n矩陣A的秩r(A)=n一3(n＞3)，α，β，γ是齊次線性方程組Ax=0的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為()A、α，β，α+βB、β，γ，γ一βC、α一β，β一γ，γ一αD、α，α+β，α+β+γ標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：基礎(chǔ)解系必須是線性無(wú)關(guān)的向量組，四個(gè)選項(xiàng)中只有D中三個(gè)向量線性無(wú)關(guān)．答案為D。19、設(shè)A，B為同階對(duì)稱(chēng)矩陣，則AB()A、不一定是對(duì)稱(chēng)矩陣B、一定是反對(duì)稱(chēng)矩陣C、一定是非對(duì)稱(chēng)矩陣D、一定是對(duì)稱(chēng)矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：20、設(shè)A為n階方陣，E為n階單位矩陣，若A2=E，則一定有()A、r(A-E)=0B、r(A+E)=0C、r(A)=nD、r(A)＜n標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由(A—E)(A+E)=O得A2=E，由于A2=E，故|A2|=|A|2=1，|A|≠0，A可逆，所以r(A)=n．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、行列式=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：22、行列式.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：按定義計(jì)算，可得結(jié)果為0．23、已知A=，二次型f(x)=xTAx的矩陣為_(kāi)_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槎涡蚮(x1，x2，x3)=x12+6x1x2+10x1x3+5x22+14x2x3+9x32，故由二次型矩陣的定義知矩陣為．24、的根為_(kāi)_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=3x+3+12—27+2x+2=5x-10=→x=2.25、已知A～，則r(A－E)＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因A～，故A的特征值為1，-1，2．故A－E～，則r(A-E)＝2．26、用初等變換將矩陣A=化為標(biāo)準(zhǔn)型為_(kāi)_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)A進(jìn)行初等變換，有27、n階方陣A=(aii)的每一行元素之和同為a．則屬于a的特征向量p為_(kāi)_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：取因此a是矩陣A的一個(gè)特征值，則p是A屬于特征值a的特征向量．28、設(shè)向量α＝為單位向量且a>0，則a＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：29、設(shè)矩陣，則A的全部特征值為_(kāi)_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一1，1知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程｜λE一A｜30、FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：三、計(jì)算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、用配方法求f(x1，x2)=x12一4x1x2+x22的標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：用配方法把所給的二次型改寫(xiě)成f(x1，x2)=x12一4x1x2+x22=(x1—x2)2一3x22，作可逆線性變換即立刻得到標(biāo)準(zhǔn)形f=y12一3y22．需要注意的是，由于所用的是一般的可逆變換，不一定是正交變換，所以不能說(shuō)所得到的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)1，一3就是此二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值．事實(shí)上，它的特征值為1，1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、計(jì)算D＝的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知線性方程組33、討論λ為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有惟一解、有無(wú)窮多個(gè)解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時(shí)，r(A)=2，，方程組無(wú)解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時(shí)，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時(shí)，，方程組有無(wú)窮多個(gè)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、在方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時(shí),同解方程組為x1=一2一x2一x3．對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個(gè)特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、將向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化．標(biāo)準(zhǔn)答案：再將β1，β2，β3單位化得γ1，γ2，γ3即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交基．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、解矩陣方程標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，證明：向量組α1+α2，α2+α3，α3+α1也線性無(wú)關(guān).標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0，則有(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0．因?yàn)棣?，α2，α3線性無(wú)關(guān)，故有=2≠0，所以，k1=k2=k3=0，所以，向量組α1+α2，α2+α3，α3+α1也線性無(wú)關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第2套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A為3階方陣且｜A｜=，則｜一2A｜=()A、一4B、4C、一1D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：｜一2A｜=(一2)3｜A｜=一8×=一4．答案為A。2、若AB=AC，能推出B=C，其中A，B，C為同階方陣，則A應(yīng)滿(mǎn)足條件()A、A≠0B、A=0C、｜A｜=0D、｜A｜≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若AB=AC，則A(B—C)=0，故當(dāng)A可逆，即｜A｜≠0時(shí)B=C．答案為D。3、設(shè)矩陣Am×n的秩為r(A)=m＜n，Im為m階單位矩陣，下述結(jié)論中正確的是()A、A的任意m個(gè)列向量必線性無(wú)關(guān)B、A的任意一個(gè)m階子式不等于零C、若矩陣B滿(mǎn)足BA=O，則B=OD、A通過(guò)初等行變換，必可以化為(ImO)的形式標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行滿(mǎn)秩，列不滿(mǎn)秩，A的m個(gè)列向量可能線性無(wú)關(guān)也可能線性相關(guān)，且A通過(guò)初等行變換，可以化為(ImO)形式，故選D．答案為D。4、若α1，α2，α3是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列答案中也是Ax=0的基礎(chǔ)解系的為()A、α1一α2，α2一α3，α3—α1B、α1，α2，α3的任意三個(gè)線性組合C、α1，α1一α2，α1—α2—α3D、α1，2α1，3α1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查基礎(chǔ)解系的定義，基礎(chǔ)解系必須線性無(wú)關(guān)，且與α1，α2，α3等價(jià)．答案為C。5、設(shè)A=，則A的屬于特征值0的特征向量是()A、(1，1，2)TB、(1，2，3)TC、(1，0，1)TD、(1，1，1)T標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：用定義Ax=λx來(lái)判斷，這時(shí)λ=0，故計(jì)算Ax的值，使Ax=0的向量x就是A的屬于特征值0的特征向量．當(dāng)x=(1，2，3)T時(shí)，有Ax=0．答案為B。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、行列式=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：按定義計(jì)算，可得結(jié)果為0．7、設(shè)A為n階方陣，且｜A｜=2，則=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)矩陣A=，則AT．A__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：AT．A=．9、分塊矩陣A=，則AT=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：AT=知識(shí)點(diǎn)解析：由轉(zhuǎn)置矩陣的定義知．10、已知α1，α2線性無(wú)關(guān)而α1，α2，α3線性相關(guān)，則向量組α1，3α2，7α3的極大無(wú)關(guān)組為_(kāi)_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：α1，3α2知識(shí)點(diǎn)解析：由于α1與3α2線性無(wú)關(guān)，并且7α3可由α1，3α2線性表示．11、設(shè)矩陣A為4×6矩陣，如果秩A=3，則齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：由于AX=0是6個(gè)未知量的齊次線性方程組．6一r(A)=6—3=3，所以基礎(chǔ)解系中含有3個(gè)解向量．12、設(shè)λ=2是n階方陣A的一個(gè)特征且｜A｜≠0，則n階方陣B=A3一3E+A-1必有特征值__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜≠0，因此A可逆，又λ=2是A的特征值，因此存在非零向量α使得Aα=2α，所以A2α=A2(Aα)=α2(2α)=2A(Aα)=4Aα=8α，A-1α=α，所以Bα=A3α一3Eα+A-1α=8α一3α+．13、設(shè)3階方陣A的特征值為λ1=1，λ2=1，λ3=2，則｜A｜=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=λ1．λ2．λ3=一2．14、已知三階矩陣A=，則x=__________，y=__________，p所對(duì)應(yīng)的特征值λ=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：x=一2，y=6，λ=—4知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)矩陣A的特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值為λ，則有(λI一A)p=0，即解得x=一2，y=6，λ=一4．15、已知A=，二次型f(x)=xTAx的矩陣為_(kāi)_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槎涡蚮(x1，x2，x3)=x12+6x1x2+10x1x3+5x22+14x2x3+9x32，故由二次型矩陣的定義知矩陣為．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算D=．標(biāo)準(zhǔn)答案：將各行乘1加到第一行上，提取公因子3a+b，再利用行列式的性質(zhì)化為三角形，從而得結(jié)果為(3a+b)(b一a)3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)矩陣A=，并且AX=2X+B，求矩陣X．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于(A—2E)X=B，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)矩陣A=，求(A*)-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)向量組α1=的秩為2，求a的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：以α1，α2，α3為列向量的矩陣作初等行變換，有因?yàn)楫?dāng)a一2=0即a=2時(shí)，α1，α2，α3的秩為2，而a一2≠0即a≠2，α1，α2，α3的秩為3，所以a=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)三元非齊次線性方程組Ax=b的r(A)=2，α1=(1，2，2)T，α2=(3，2，1)T是Ax=b的兩個(gè)解，求該方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：α1一α2=(—2，0，1)T是Ax=0是基礎(chǔ)解系．所以通解為(1，2，2)T+c(一2，0，1)T(c為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)n階可逆陣A的每行元素和均為a(a≠0)，求2A-1+E的一個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知所以a為A的一個(gè)特征值且a≠0，從而+1為2A-1+E的一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)A=是正交陣，求a，b，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)α1=因?yàn)锳是正交陣，所以(α1，α2)=0，(α1，α4)=0，(α2，α3)=0解得a=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)A，B是n階正交矩陣，證明：AB也是正交矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件AAT=ATA=I，BBT=BTB=I，則(AB)(AB)T=AB．BTAT=A(BBT)AT=I，所以AB也是正交矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第3套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A，B，A+B以及A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1=()A、A-1+B-1B、A(A+B)-1BC、(A+B)-1D、A+B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：一一代入，可發(fā)現(xiàn)只有選項(xiàng)B滿(mǎn)足條件．因(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=E(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B=B-1B(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1.B=E．2、設(shè)A，B為同階對(duì)稱(chēng)矩陣，則AB()A、不一定是對(duì)稱(chēng)矩陣B、一定是反對(duì)稱(chēng)矩陣C、一定是非對(duì)稱(chēng)矩陣D、一定是對(duì)稱(chēng)矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：3、n個(gè)未知量的齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A的秩為r，則方程組有非零解的充要條件是()A、r＞nB、r＜nC、r=nD、r≥n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)r＜n時(shí)，Ax=0有n—r≥1個(gè)自由未知量，因此有非零解；反之，Ax=0有非零解，則Ax=0至少有一個(gè)自由未知量，因此n—r≥1，所以n＞r．4、λ1，λ2都是n階矩陣A的特征值，λ1≠λ2，且x1與x2分別是對(duì)應(yīng)于λ1與λ2的特征向量，當(dāng)______時(shí)，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量．()A、k1≠0且k2≠0B、k1≠0而k2=0C、k1=0且k2=0D、k1.k2=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A的特征向量不能是零向量，所以k1，k2不同時(shí)為零，所以C，D不對(duì)；x1，x2是兩個(gè)不同的方程組的解，兩個(gè)方程的兩個(gè)非零向量解之和，不再是其中一個(gè)方程的解．所以A的特征向量不是A選項(xiàng)．選項(xiàng)B，因?yàn)閗2=0，k1≠0，x=k1x2仍然是A的特征向量．5、已知A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣且正交，則()A、A2=InB、A相似于InC、A合同于InD、A=In標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：正交的對(duì)角矩陣不一定是單位矩陣(如一In)，因此D不對(duì)．因?yàn)楹蛦挝痪仃囅嗨频木仃囍荒苁菃挝痪仃囎约?，因此B也不對(duì)，D也不對(duì)，比如一In是正交實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣但和單位矩陣不同，于是應(yīng)該選A，事實(shí)上由ATA=In及A是對(duì)稱(chēng)陣即得A2=In．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、設(shè)α1，α2，α3，α，β均為4維列向量，A=(α1，α2，α3，α)，B=(α1，α2，α3，β)，且|A|=2，|B|=3，則|A-3B|=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：56知識(shí)點(diǎn)解析：|A一3B|=|(一2α1，一2α2，一2α3，α一3β)(一2α1，一2α2，一2α3，α)|+|(一2α1，一2α2，一2α3，一3β)|=一8|A|+24|B|=一16+72=56．7、設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則當(dāng)a=______，且b=_______時(shí),FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0，0知識(shí)點(diǎn)解析：將行列式按最后一列展開(kāi)，得=一(a2+b2)=0，得a=0，b=0．8、若對(duì)任意的n×1矩陣x，均有Ax=0，則A=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：分別取i=1，2，…，n，得aij=0(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，故A=0．9、在n階行列式D=|aij|中，當(dāng)i＜j時(shí)，aij=0(i，j=1，2，…，n)，則D=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：a11a32…ann知識(shí)點(diǎn)解析：該行列式為下三角形，故D=a11a22…ann．10、設(shè)A為n階矩陣，則存在兩個(gè)不相等的n階矩陣B，C，使AB=AC的充要條件為Ax=0有非零解，則|A|=_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：考慮Ax=0有非零解，即|A|=0．設(shè)其一個(gè)解為x*，則2x*同樣是它的一個(gè)解，構(gòu)造B，C，令x*與2x*分別為B與C的一個(gè)列向量，其余元素都取0，于是有AB=AC=0，但B≠C故所求答案即為|A|=0．11、設(shè)A為4×4矩陣，B為5×5矩陣，且|A|=2，|B|=一2，則|—|A|B|=_________，|—|B|A|=______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：64，32知識(shí)點(diǎn)解析：|—|A|B|=|一2B|=(一2)5|B|=(一2)6=26=64．|一|B|A|=|2A|=24|A|=25=32．12、設(shè)，則(A+3E)-1(A2一9E)=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因A2-9E=(A+3E)(A一3E)，故原式=(A+3E)-1(A+3E)(A一3E)=A—3E=13、設(shè)A為3×3矩陣，|A|=一2，把A按行分塊為A=．其中Aj(j=1，2，3)是A的第j行，則行列式FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)n階方陣A滿(mǎn)足A2一A-2En=0，則A-1=_______，(A-En)-1=________，(A+2En)-1=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由A(A—En)=2En，得15、設(shè)A，B均為n階矩陣，|A|=2，|B|=一3，則|2A*B-1|=_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：AA*=|A|E，即|A|.|A*|=|A|n|E"=2n．得|A*|=2n-1．而B(niǎo)B-1=E，得|B-1|=所以|2A*B-1|=2n|A*|.|B-1|=2n.2n-1.三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算行列式標(biāo)準(zhǔn)答案：D=(1+a1+a2+a3)=(1+a1+a2+a3)=1+a1+a2+a3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)，求矩陣X使得AX=B.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)β=(0，k，k2)T可由α1=(1+k，1，1)T，α2=(1，1+k，1)T，α3=(1，1，1+k)T唯一地線性表出，求k滿(mǎn)足的條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x1α1+x2α2+x3α3=β，方程組的系數(shù)矩陣A=(α1，α2，α3)為三階方陣，所以x1α1+x2α2+x3α=3β有唯一解的充分必要條件是r(A)=r(A，β)=3，則|A|≠0，而|A|==(k+3)k2≠0，即k≠一3且k≠0，所以當(dāng)k≠-3且k≠0時(shí)，β能由α1，α2，α3唯一地線性表示．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、已知二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+Cx32一2x1x2+6x1x3—6x2x3的秩為2，求參數(shù)C及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：此二次型對(duì)應(yīng)矩陣為因秩(A)=2，故故所求特征值為λ1=0，λ2=4，λ3=9．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知三階矩陣B≠0且B的每一個(gè)列向量都是方程組的解．(1)求λ的值；(2)求|B|．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)對(duì)線性方程組的矩陣進(jìn)行初等變換，因?yàn)榉橇憔仃嘊的每一個(gè)列向量都是方程組的解，所以=5λ一5=0，所以λ=1，方程組系數(shù)矩陣的秩為2．(2)因?yàn)榉匠探M系數(shù)矩陣的秩為2，所以方程組的基礎(chǔ)解系只有1個(gè)解向量，3個(gè)解向量必線性相關(guān)，而B(niǎo)的列向量都是方程組的解向量，所以B的列向量組線性相關(guān)，所以|B|=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)求A的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：矩陣A的特征多項(xiàng)式為得特征值λ1=λ2=λ3=1．對(duì)于特征值λ1=λ2=λ3=1，解齊次線性方程組(E—A)x=0，即求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣A屬于特征值1的全部特征向量為k1α1+k2α2=，其中k1，k2是不全為零的任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)矩陣，且矩陣B滿(mǎn)足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩陣B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由ABA-1=4A-1+BA-1得(A—E)BA-1=4A-1，從而(A—E)B=4E，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)n維列向量α，β=E+2ααT，證明：B是對(duì)稱(chēng)矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：BT=(E+2ααT)T=ET+(2ααT)T=ET+2(αT)TαT=E+2ααT=B．所以B是對(duì)稱(chēng)矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第4套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、若A，B均為n階方陣，且AB=0，則()A、A=0或B=0B、A+B=0C、｜A｜=0或｜B｜=0D、｜A｜+｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：AB=0→｜AB｜→0→｜A｜．｜B｜=0→｜A｜=0或｜B｜=0．答案為C2、若方程組，有非零解，則λ＝A、－2／5B、0C、2/5D、-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)矩陣的行列式3、若齊次線性方程組只有零解，則A應(yīng)為()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程組Ax=0只有零解→｜A｜≠0｜A｜==1一λ+2λ=λ+1故λ≠一1時(shí)題中齊次線性方程組只有零解．答案為B。4、設(shè)A為n階方陣，B是A經(jīng)過(guò)若干次矩陣的初等變換后所得的矩陣，則有()A、|A|=|B|B、|A|≠|(zhì)B|C、若|A|=0，則一定有|B|=0D、若|A|＞0，則一定有|B|＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)B=PAQ，其中P，Q為可逆矩陣，于是當(dāng)|A|=0時(shí)，|B|=|PAQ|=|P|.|A|.|Q|=0．故選C．5、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，則()A、α1線性相關(guān)B、α1，α2線性相關(guān)C、α1，α2，α3線性相關(guān)D、α1，α2，α4線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：?jiǎn)蝹€(gè)非零向量是線性無(wú)關(guān)的，∴選項(xiàng)A不對(duì)，而(α1，α2，α3)→因?yàn)楹辛阆蛄康南蛄拷M一定線性相關(guān)，所以C是正確．答案為C6、已知三階矩陣A與B相似，且已知A的特征值為1，2，4，則｜B－1｜﹦A、1／8B、8C、1／7D、7標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：相似矩陣必有相同的特征值，因A～B，則A與B有相同的特征值，即B的特征值為1，2，4，則｜B｜＝，即｜B｜＝1×2×4＝8，而｜B-1｜＝，故選A．7、若α1，α2，α3是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列答案中也是Ax=0的基礎(chǔ)解系的為()A、α1一α2，α2一α3，α3—α1B、α1，α2，α3的任意三個(gè)線性組合C、α1，α1一α2，α1—α2—α3D、α1，2α1，3α1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查基礎(chǔ)解系的定義，基礎(chǔ)解系必須線性無(wú)關(guān)，且與α1，α2，α3等價(jià)．答案為C。8、的充要條件為()A、k≠0B、k≠±1C、k≠0且k≠士1D、k≠0或k≠±1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：答案為C9、設(shè)二階矩陣A＝，則A*＝A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由二階矩陣的伴隨矩陣的特點(diǎn)知，若A＝，則A*＝，即主對(duì)角線元素互換，次對(duì)角線元素乘以(－1)．故A＝的伴隨矩陣A*＝10、設(shè)A，B是兩個(gè)同階的上三角矩陣，那么AT．BT是矩陣．()A、上三角B、下三角C、對(duì)角形D、即非三角也非下三角標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：AT，BT均為下三角陣，因此AT．BT也是下三角陣．答案為B。11、設(shè)A是n階方陣，且｜A｜=5，則｜(5AT)-1｜=()A、5n+1B、5n-1C、5-n-1D、5-n標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麬｜=5，所以答案為C12、矩陣A＝的非零特征值為A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE－A｜＝＝0，得λ1＝0，λ2＝λ3＝2，故A的非零特征值為2．13、齊次線性方程組的解的個(gè)數(shù)為()A、有惟一的零解B、有無(wú)窮多個(gè)解C、無(wú)解D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程系數(shù)矩陣A的秩為：r(A)=3＜4，故齊次線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解．答案為B。14、若矩陣A與B等價(jià)，則()A、|A|=|B|B、A與B相似C、A與B合同D、r(A)=r(B)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A與B等價(jià)的充分必要條件為A，B為同階方陣，且r(A)=r(B)．15、設(shè)A，B是n階正定矩陣，則_______是正定矩陣．()A、A*.B*B、A*+B*C、k1A*+k2B*D、A*一B*標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳，B是n階正定階陣，則A*，B*也是n階正定矩陣，所以對(duì)于任何非零實(shí)列向量x都有xTA*x＞0，xTB*x＞0，二式相加xTA*x+xTB*x=xT(A*+B*)x＞0對(duì)任何非零實(shí)列向量都成立，由定義知，A*+B*為正定矩陣．答案為B16、行列式()A、48B、84C、一48D、一84標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：答案為A17、設(shè)A，B，A+B以及A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1=()A、A-1+B-1B、A(A+B)-1BC、(A+B)-1D、A+B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：一一代入，可發(fā)現(xiàn)只有選項(xiàng)B滿(mǎn)足條件．因(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=E(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B=B-1B(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1.B=E．18、設(shè)矩陣A=(2，1，3)T，B=(一1，2)，則AB=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：19、設(shè)則以矩陣A為對(duì)應(yīng)的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+2x2x3B、f(x1，x2，x3)=x12+x22=x32C、f(x1，x2，x3)=x32+2x1x2D、f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A的主對(duì)角線元素1對(duì)應(yīng)x22系數(shù)；a13=1，a31=1，之和對(duì)應(yīng)系數(shù)2．答案為D.20、下列矩陣中不是初等方陣的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：初等方陣即由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、設(shè)A﹦且A可逆，則k______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：≠0知識(shí)點(diǎn)解析：n階矩陣A可逆｜A｜≠0，則｜A｜＝－k≠0，即k≠0時(shí)，A可逆．22、已知方陣A與方陣相似，則A的特征值為_(kāi)______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：λ1=λ2=2，λ3=一2知識(shí)點(diǎn)解析：由于B的特征多項(xiàng)式為因此B的特征值為λ1=λ2=2，λ3=一2，而A與B相似，因此有相同的特征值．23、二次型的矩陣為A=，則規(guī)范型為_(kāi)_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：y12+2y22—y32．知識(shí)點(diǎn)解析：作可逆線性變換二次型化為規(guī)范型y12+2y22—y32．24、向量空間V＝{α＝(0，a1，a2)｜a1，a2為任意實(shí)數(shù)}的維數(shù)為_(kāi)_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因向量空間的維數(shù)就是此向量空間的基中的基向量的個(gè)數(shù)，即極大無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)．由a1，a2的任意性，得α＝a1(0，1，0)＋a2(0，0，1)．而e1＝(0，1，0)與e2＝(0，0，1)線性無(wú)關(guān)，故向量空間V的維數(shù)為2．25、已知α1=(1，1，2，2，1)，α2=(0，2，1，5，一1)，α3=(2，0，3，一1，3)，α4=(1，1，0，4，一1)，則秩(α1T，α2T，α3T，α4T)=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：26、設(shè)則(A+B)2一(A2+AB+B2)=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：(A+B)2一(A2+AB+B2)=(A+B)(A+B)一(A2+AB+B2)=A2+B2+AB+BA—A2一AB—B2=BA27、設(shè)矩陣A＝，則行列式｜2A*A－1｜＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：由A＝，得｜A｜＝－1，又因｜A*｜＝｜A｜2-1＝｜A｜，｜A-1｜＝，所以｜2A*A-1｜＝22｜A-1｜＝22·｜A｜·＝4．28、行列式=0的根為_(kāi)______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0和一a1一a2一a3一a4知識(shí)點(diǎn)解析：將第2，3，4列加到第1列后得=(a1+a2+a3+a4+x)=(a1+a2+a3+a4+x)=(a1+a2+a3+a4+x)x3=0，所以x=0和x=一a1—a2一a3一a4．29、設(shè)A為n階方陣，已知A有一個(gè)特征值為－2，則(AT)－1必有一個(gè)特征值為_(kāi)______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-1/2知識(shí)點(diǎn)解析：因A有一個(gè)特征值為－2，又由A與AT有相同的特征值，則AT有一個(gè)特征值為－2，且(AT)－1有一個(gè)特征值為－1／2．30、已知3階矩陣A的3個(gè)特征值為1，2，3，則｜A*｜=_________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：36知識(shí)點(diǎn)解析：而λ1=1，λ2=2，λ3=3∴｜A｜=1×2×3=6∵AA*=｜A｜E∴AA*=6E兩邊同時(shí)求行列式有，｜AA*｜=｜6E｜=63→｜A｜｜A*｜=63∴｜A*｜=36．三、計(jì)算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、計(jì)算下列行列式標(biāo)準(zhǔn)答案：用對(duì)角線法展開(kāi)．D=3xy(x+y)一x3一y3一(x+y)3=一2(x3+y3)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、求向量組α1＝(2，3，1)T，α2＝(1，－1，3)T，α3＝(3，2，4)T的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組表示出來(lái)．標(biāo)準(zhǔn)答案：，故此向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為α1，α2(或α1，α3)，且α3＝α1＋α2(或α2＝α3－α1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、設(shè)α1=(2，3，5)，α2=(3，7，8)，α3=(1，一6，1)，求λ使β=（7,2，λ）可用向量α1,α2,α3線性表示。標(biāo)準(zhǔn)答案：求解非齊次線性方程組據(jù)此可知當(dāng)λ=15時(shí)，β=11α1一5α2+0α3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、設(shè)β=(0，k，k2)T可由α1=(1+k，1，1)T，α2=(1，1+k，1)T，α3=(1，1，1+k)T唯一地線性表出，求k滿(mǎn)足的條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x1α1+x2α2+x3α3=β，方程組的系數(shù)矩陣A=(α1，α2，α3)為三階方陣，所以x1α1+x2α2+x3α=3β有唯一解的充分必要條件是r(A)=r(A，β)=3，則|A|≠0，而|A|==(k+3)k2≠0，即k≠一3且k≠0，所以當(dāng)k≠-3且k≠0時(shí)，β能由α1，α2，α3唯一地線性表示．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知線性方程組35、討論λ為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有惟一解、有無(wú)窮多個(gè)解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時(shí)，r(A)=2，，方程組無(wú)解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時(shí)，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時(shí)，，方程組有無(wú)窮多個(gè)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、在方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時(shí),同解方程組為x1=一2一x2一x3．對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個(gè)特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、已知向量β=(一1，2，s)可由α1=(1，一1，2)，α2=(0，1，一1)，α3=(2，一3，t)惟一地線性表示，求證：t≠5．標(biāo)準(zhǔn)答案：α1，α2，α3是3個(gè)3維向量，如果它們線性無(wú)關(guān)，則任意一個(gè)3維向量均可惟一地由它們線性表示．反之，若它們線性相關(guān)，則或者不能表示，或者表示不惟一，而α1，α2，α3要線性無(wú)關(guān)，由它們組成的矩陣必須是非奇異矩陣，即≠0通過(guò)計(jì)算得t≠5．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第5套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、若方程組，有非零解，則λ＝A、－2／5B、0C、2/5D、-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)矩陣的行列式2、下列矩陣中與A＝合同的矩陣是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：合同性質(zhì)：若兩個(gè)矩陣合同，則它們有相同的正慣性指數(shù)．，故A的正慣性指數(shù)為2．顯然C項(xiàng)的正慣性指數(shù)為2，故C項(xiàng)正確．3、二次型f=x*Ax經(jīng)過(guò)滿(mǎn)秩線性變換x=Py可化為二次型y*By，則矩陣A與B()A、一定合同B、一定相似C、即相似又合同D、即不相似也不合同標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：f=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即B=PTAP，所以矩陣A與B一定合同．只有當(dāng)P是正交矩陣時(shí)，由于PT=P-1，所以A與B既相似義合同．答案為A。4、設(shè)A為n階方陣，B是A經(jīng)過(guò)若干次矩陣的初等變換后所得的矩陣，則有()A、|A|=|B|B、|A|≠|(zhì)B|C、若|A|=0，則一定有|B|=0D、若|A|＞0，則一定有|B|＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)B=PAQ，其中P，Q為可逆矩陣，于是當(dāng)|A|=0時(shí)，|B|=|PAQ|=|P|.|A|.|Q|=0．故選C．5、方程組的一組基礎(chǔ)解系由_________個(gè)向量組成．()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：該方程組的系數(shù)矩陣秩等于1，有3個(gè)未知數(shù)，因此基礎(chǔ)解系由2個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組成．答案為B。6、設(shè)矩陣A與對(duì)角矩陣D＝相似，則A2＝A、－EB、EC、DD、A標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于A～D，則存在可逆矩陣P，使D＝P-1AP．所以A＝PDP-1，A2＝PDP-1·PDP-1＝PEP-1，由D2＝＝E，得A2﹦PE2P-1＝E．故本題選B．7、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，則()A、α1線性相關(guān)B、α1，α2線性相關(guān)C、α1，α2，α3線性相關(guān)D、α1，α2，α4線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：?jiǎn)蝹€(gè)非零向量是線性無(wú)關(guān)的．∴選項(xiàng)A不對(duì)．而(α1,α2,α3)→因?yàn)楹辛阆蛄康南蛄拷M一定線性相關(guān)，所以C是正確．答案為C8、向量組α1，α2，…，αs，(s≥2)的秩為零的充要條件是A、α1，α2，…，αs全是零向量B、α1，α2，…，αs中沒(méi)有線性相關(guān)的部分組C、α1，α2，…，αs中可以有非零向量D、α1，α2，…，αs可以全是非零向量標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：只有零矩陣的秩才是0，故此向量組應(yīng)全是零向量，因此A項(xiàng)正確．9、設(shè)A與B是兩個(gè)相似n階矩陣，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A、r(A)＝r(B)B、λE一A＝λE一BC、｜A｜＝｜B｜D、存在可逆矩陣P，使P－1AP＝B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、≠0的充要條件為()A、k≠0B、k≠±1C、k≠0且k≠±1D、k≠0或k≠±1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：≠0→k(k2一1)≠0→k≠0且k≠±1．答案為C。11、設(shè)＝A、6mB、－6mC、5mD、-m標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)A、B、C均為n階方陣，且滿(mǎn)足AB＝BA，BC=CB，則CAB＝A、ABCB、ACBC、BCAD、BAC標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因AB＝BA，BC＝CB，所以CAB＝CBA＝BCA．故C項(xiàng)正確．13、設(shè)A為m×n矩陣，秩為r，C為n階可逆矩陣，矩陣B=AC，秩(B)=r1，則()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1與C有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∵C為可逆陣，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案為C。14、設(shè)A為n(n≥2)階矩陣，且A2＝E，則必有A、A的特征值均為1B、A的秩等于nC、A的逆矩陣等于ED、A的行列式等于1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A2E(A－E)(A＋E)＝OA＝E或A＝－Er(A)＝n，｜A｜＝±1．15、齊次線性方程組的解的個(gè)數(shù)為()A、有惟一的零解B、有無(wú)窮多個(gè)解C、無(wú)解D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程系數(shù)矩陣A的秩為：r(A)=3＜4，故齊次線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解．答案為B。16、以下結(jié)論中不正確的是()A、二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22；是正定二次型B、若存在可逆實(shí)矩陣C，使A=C’C，則A是正定矩陣C、n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A正定的充分必要條件是A的特征值全為正數(shù)D、n元實(shí)二次型正定的充分必要條件是f的正慣性指數(shù)為n標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：f(x1，x2，x3)=x12+x22，對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)任何實(shí)列向量x，都有xTAx≥0，故f為半正定二次型，答案為A.17、設(shè)有向量組α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，則該向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是()A、α1，α2，α3B、α1，α2，α4，α5C、α1，α2，α4D、α1，α2，α5標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(α1T，α2T，α3T，α4T，α5T)=故α1T，α2T，α4T線性無(wú)關(guān)，從而α1，α2，α4是極大線性無(wú)關(guān)組．18、若矩陣A與B等價(jià)，則()A、|A|=|B|B、A與B相似C、A與B合同D、r(A)=r(B)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A與B等價(jià)的充分必要條件為A，B為同階方陣，且r(A)=r(B)．19、設(shè)m×n矩陣A的秩r(A)=n一3(n＞3)，α，β，γ是齊次線性方程組Ax=0的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為()A、α，β，α+βB、β，γ，γ一βC、α一β，β一γ，γ一αD、α，α+β，α+β+γ標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：基礎(chǔ)解系必須是線性無(wú)關(guān)的向量組，四個(gè)選項(xiàng)中只有D中三個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，答案為D20、λ1，λ2都是n階矩陣A的特征值，λ1≠λ2，且x1與x2分別是對(duì)應(yīng)于λ1與λ2的特征向量，當(dāng)______時(shí)，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量．()A、k1≠0且k2≠0B、k1≠0而k2=0C、k1=0且k2=0D、k1.k2=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A的特征向量不能是零向量，所以k1，k2不同時(shí)為零，所以C，D不對(duì)；x1，x2是兩個(gè)不同的方程組的解，兩個(gè)方程的兩個(gè)非零向量解之和，不再是其中一個(gè)方程的解．所以A的特征向量不是A選項(xiàng)．選項(xiàng)B，因?yàn)閗2=0，k1≠0，x=k1x2仍然是A的特征向量．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、行列式=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：22、設(shè)λ=2是n階方陣A的一個(gè)特征且｜A｜≠0，則n階方陣B=A3一3E+A-1必有特征值_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜≠0，因此A可逆，又λ=2是A的特征值，因此存在非零向量α得Aα=2α，所以Aα=2α．A2(Aα)=α2(2α)=2A(2α)=4Aα=8α，A-1α=α，所以Bα=A2α－3Eα+A-1α=80α－3α+，所以B有特征值．23、=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識(shí)點(diǎn)解析：24、已知向量p1=，方陣A滿(mǎn)足Ap1=p1，Ap2=0，Ap3=一p3，則A5=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由特征值和特征向量的定義和已知條件知，3階方陣A有特征值1，0，一1，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為p1，p2，p3，方陣A有不同的特征值，故A相似于對(duì)角矩陣，令矩陣P=(p1，p2，p3)=，則有P-1AP=D，故A=PDP-1A5=(PDP-1)(PDP-1)…(PDP-1)=PD5P-1=PDP-1=A．25、已知方陣A相似于對(duì)角矩陣，則A10=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：E知識(shí)點(diǎn)解析：存在可逆矩陣P使P-1AP=P-1，26、已知方陣A相似于對(duì)角矩陣，則A10=__________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：E知識(shí)點(diǎn)解析：存在可逆矩陣P使因此A=P所以27、設(shè)向量組I的秩為r1，向量組Ⅱ的秩為r2，且Ⅰ可由Ⅱ表出，則r1、r2的關(guān)系為_(kāi)_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：r1≤r2知識(shí)點(diǎn)解析：向量組Ⅰ可由Ⅱ表出，故向量組Ⅰ的秩≤向量組Ⅱ的秩，即r1≤r2．28、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為_(kāi)_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T知識(shí)點(diǎn)解析：29、FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：30、函數(shù)f(x)=中，x3的系數(shù)為_(kāi)_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：只有主對(duì)角線上都含有z項(xiàng)，由行列式的性質(zhì)得2x×(一x)×(一x)=2x3，x3的系數(shù)是2．三、計(jì)算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、設(shè)有n元實(shí)二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)為實(shí)數(shù)，試問(wèn)：當(dāng)a1，a2，…，an滿(mǎn)足何種條件時(shí)，二次型f(x1，x2，…，xn)為正定二次型?標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件知，對(duì)任意的x1，x2，…，xn，恒有f(x1，x2，…，xn)≥0，其中等號(hào)成立的充分必要條件是根據(jù)正定的定義，只要x≠0，恒有xTAx＞0，則xTAx是正定二次型，為此，只要方程組①僅有零解，就必有當(dāng)x≠0時(shí)，x1+a1x2，x2+a2x3，…不全為0，從而f(x1，x2，…，xn)＞0，亦即f是正定二次型．而方程組①中只有零解的充分必要條件是系數(shù)行列式即當(dāng)a1a2…an≠(一1)n時(shí)，二次型f(x1，x2，…，xn)為正定二次型．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)矩陣，且矩陣B滿(mǎn)足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩陣B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由ABA-1=4A-1+BA-1得(A—E)BA-1=4A-1，從而(A—E)B=4E，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、計(jì)算行列式標(biāo)準(zhǔn)答案：把第二行的(一1)倍加到第一行，第四行的(一1)倍加到第三行得把第一列的(一1)倍加到第二列，第三列的(一1)倍加到第四列得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知線性方程組34、討論λ為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有惟一解、有無(wú)窮多個(gè)解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時(shí)，r(A)=2，，方程組無(wú)解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時(shí)，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時(shí)，，方程組有無(wú)窮多個(gè)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、在方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時(shí),同解方程組為x1=一2一x2一x3．對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個(gè)特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、求矩陣的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以r(A)=3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、任意一個(gè)實(shí)方陣A都可以惟一地表示為一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣與一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣之和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第6套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)當(dāng)x與y滿(mǎn)足_______時(shí)，有AB=BA.()A、2x一7B、2y=xC、y=x+1D、y=x一1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于解得y=x+1．答案為C.2、如果n階方陣A滿(mǎn)足AT.A=A.AT=I，則A的行列式｜A｜為()A、｜A｜=1B、｜A｜=一1C、｜A｜=1或一1D、｜A｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：｜A.AT｜=｜A｜．｜AT｜=｜A｜2=｜I｜=1，所以｜A｜=±1．答案為C.3、設(shè)A是n階方陣，已知A2一2A一2I=0，則(A+I)-1=()A、3I—AB、3I+AC、A一3ID、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：把已知關(guān)系式A2-2A-2I=0寫(xiě)成(A+I)M=I的形式，則M是(A+I)的逆方陣．由題設(shè)關(guān)系式A2一2A一21=0，可得A(A+I)一3(A+I)=一I，即(A+I)(3I一A)=I，故(A+I)-1=3I.A答案為A.4、已知是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)解，則矩陣A可為()A、(5，一3，一1)B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：將四個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證Ax=O是否成立Ax=I．答案為A.5、齊次線性方程組的自由未知量是()A、x1，x2B、x2，x3C、x2，x4D、x1，x4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)系數(shù)矩陣作初等變換得：即故所以x2，x4為自由未知量．答案為C.二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、已知矩陣的(1，2)元素的代數(shù)余子式A12=1，則A的行列式｜A｜=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：7知識(shí)點(diǎn)解析：由于因此x=一1．所以7、設(shè)矩陣則3AT—BT=_______.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)，則a的代數(shù)余子式為_(kāi)______。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：α為行列式D的α23項(xiàng)，故α的代數(shù)余子式為A23，且9、k=_______時(shí)，向量組α1=(6，k+1，7)，α2=(k，2，2)，α3=(k，1，0)線性相關(guān)．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：k=4或知識(shí)點(diǎn)解析：解得k=4或10、已知是R3的一組基，則β在這里基下的坐標(biāo)為_(kāi)______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：以α1,α2,α3，β為列向量的矩陣作初等行變換，有因此即β在α1,α2,α3下的坐標(biāo)為11、若線性方程組無(wú)解，則λ=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有當(dāng)λ一2≠0時(shí)，增廣矩陣的秩=系數(shù)矩陣的秩=2，因此方程有解；當(dāng)λ一2=0時(shí)，增廣矩陣的秩=2，而系數(shù)矩陣的秩=1，方程無(wú)解，所以λ一2=0，即λ=2．12、設(shè)矩陣，則A的全部特征值為_(kāi)_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一1，1知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程｜λE一A｜13、已知方陣A相似于對(duì)角矩陣，則A10=__________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：E知識(shí)點(diǎn)解析：存在可逆矩陣P使因此A=P所以14、二次型f(x1，x2，x3)一(2x1－x2+3x3)2的矩陣為_(kāi)_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x1，x2，x3)=(2x1－x2+3x3)2=4x12－4x2x+12x2x3+x22一6x2x3+9x3215、設(shè)矩陣為正定矩陣，則a的最大取值范圍是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣A正定，因此順序主子式大于0，所以a的最大取值范圍是三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：直接按對(duì)角線法則展開(kāi)，并整理化簡(jiǎn)得4a2b2c2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、計(jì)算行列式標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)求(2E+A)-1(A2－4E)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2E+A)-1(A2一4E)=(2E+A)-1(A+2E)(A一2E)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、已知向量組．又β滿(mǎn)足3(α1一β)+2(α3+β)=5(α2+β)，求β．標(biāo)準(zhǔn)答案：3α1—3β+2α3+2=5α2+5，6=3α1—5α2+2α3，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知α=(1，1，一1)T是的特征向量，求a，b.標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)對(duì)應(yīng)于特征向量口的特征值為入，則有得a=2b=一3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)矩陣的三個(gè)特征值分別為1，2，5，求正常數(shù)a的值，及可逆矩陣P，使標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜A｜=2(9一a2)=1×2×5，得a=2．解方程組(E一A)x=0得基礎(chǔ)解系ξ=(0，一1，1)T；解方程組(2E－A)x=0得基礎(chǔ)解系ξ=(1，0，0)T；解方程組(5E一A)x=0得基礎(chǔ)解系ξ=(0，1，1)T；所求的可逆矩陣P可取為則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+4x32+2tx1x2+2x1x3+2tx2x3正定，求t的范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型的矩陣為需即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)A，B是n階正交矩陣，證明：AB也是正交矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件AAT=ATA=I，BBT=BTB=I，則(AB)(AB)T=AB.BTAT=A(BBT)AT=I，所以AB也是正交矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第7套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A、B為n階方陣，滿(mǎn)足A2=B2，則必有()A、A=BB、A=一BC、｜A｜=｜B｜D、｜A｜2=｜B｜2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∵A2=B2A2=AA=BB=B2∴｜A｜=｜B｜，｜AA｜=｜BB｜．∴｜AA｜=｜A｜｜A｜=｜A｜2，｜BB｜=｜B｜｜B｜=｜B｜2∴｜A｜2=｜B｜2．答案為D。2、設(shè)A是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與A等價(jià)的矩陣是()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∵A是2階可逆矩陣∴A的秩為2，由于兩矩陣等價(jià)則矩陣的秩相等，由題知D答案中矩陣秩為2，所以選D。答案為D。3、線性方程組無(wú)解，則λ=()A、0B、1C、一1D、任意實(shí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)λ≠0且λ≠一1時(shí)有惟一解，當(dāng)λ=一1時(shí)有無(wú)窮多解．當(dāng)λ=0時(shí)無(wú)解．答案為A。4、設(shè)A是n階矩陣，C是n階正交陣，且B=C’AC，則下述結(jié)論_______不成立．()A、A與B相似B、A與B等價(jià)C、A與B有相同的特征值D、A與B有相同的特征向量標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∵c是正交陣∴c=c-1，B=C-1AC，因此A與B相似．A對(duì)．c是正交陣｜C｜≠0，CTAC相當(dāng)對(duì)A實(shí)行若干次初等行變換和初等列變換，A與B等價(jià)，B對(duì)．兩個(gè)相似矩陣A、B有相同的特征值，C對(duì)．(λI—A)X=0與(λI—B)X=0是兩個(gè)不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個(gè)方程的非零解常常不同，所以只有D不對(duì)，選D答案為D。5、當(dāng)t為_(kāi)_____，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3是正定的．()A、｜t｜>2B、｜t｜<3C、D、｜t｜>1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣各階順序主子式為2＞0，即即因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，答案為C二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、已知齊次線性方程組有非零解，則λ的值為_(kāi)_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：λ=1或λ=一2知識(shí)點(diǎn)解析：由于齊次線性方程度組有非零解．因此系數(shù)行列式所以λ=1或λ=一2．7、設(shè)矩陣則A+2B=________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：答案為8、設(shè)B為三階非零矩陣，且AB=0，則t=________。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識(shí)點(diǎn)解析：AB=0，故r(A)+r(B)≤3又∵B為三階非零矩陣，故r(B)≥l所以r(A)＜3，｜A｜=09、設(shè)向量α1=(1，1，1)T，α2=(1，1，0)T，α3=(1，0，0)T，β=(0，1，1)T，則β由α1,α2,α3線性表示的表示式為_(kāi)________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：β=α1+0α2一α3知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)線性方程組為x1α1+x2α2+x3α3=β，對(duì)它的增廣矩陣施行初等變換，得：顯然x1α1+x2α2+x3α3=β的同解方程組Tx=d就是它的惟一解就是x1=1，x2=0，2x3=一1．∴β可以惟一表示成α1,α2,α3的線性組合是β=α+0α2一α3．10、方程組中有_________個(gè)自由未知量．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由于系數(shù)矩陣的秩為2，所以有3—2=1個(gè)自由未知量．11、三階矩陣A的特征值為一1，1，2，則B=E+A*的特征值為_(kāi)______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3，一1，0知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)λ為三階矩陣A的特征值，｜A｜=一1×1×2=一2．A-1的特征值為一1，1，，A*的特征值為2，一2，一1，故得：B的特征值為：3，一1，0．12、設(shè)3階方陣的特征值為1，一1，2，則｜A一5E｜=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一72知識(shí)點(diǎn)解析：如果λ0是A的特征值，則存在非零向量α使Aα=λ0α，因此(A一5E)α=Aα一5α=(λ0—5)α，所以λ0一5是A一5E的特征值，由此可知A一5E的三個(gè)特征值為1—5=一4，一1—5=一6，2—5=一3，所以｜A一5E｜=(一4)×(一6)×(一3)=一72．13、已知4階方陣A相似于B，A的特征值為2，3，4，5，則｜B—E｜=_______。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：24知識(shí)點(diǎn)解析：由于B與A相似，故有相同的特征值，并且存在可逆矩陣P，使所以｜B—E｜=｜P-1｜—E｜.｜B－P｜=｜P-1BP－P-1.P｜=14、設(shè)二次型f(x1，x2，x3x4，x5，)的秩為4，而正慣性指數(shù)為3，則二次型的規(guī)范型為_(kāi)________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：y12+y22+y32一y42知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、矩陣對(duì)應(yīng)的二次型為_(kāi)________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：x12+k4x2x2+8x1x3+2x22－2x2x3+3x32知識(shí)點(diǎn)解析：由二次型矩陣的定義知所求的二次型為：x12+4x1x2+8x1x3+2x22一2x2x3+3x32．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：將各行乘1加到第一行上，提取公因子3a+b，再利用行列式的性質(zhì)化為三角形，從而得結(jié)果為(3a+b)(b一a)3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)矩陣并且AX=2X+B，求矩陣X．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于(A一2E)x=B，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)矩陣求(A*)-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：因此A可逆并且所以A*=｜A｜．A-1，(A*)-1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)向量組的秩為2，求a的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：以α1,α2,α3為列向量的矩陣作初等行變換，有,因?yàn)楫?dāng)a一2=0即a=2時(shí)，α1,α2,α3的秩為2，而α一2≠0即a≠2，α1,α2,α3的秩為3，所以a=2.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)三元非齊次線性方程組Ax=b的r(A)=2，α1=(1，2，2)T，α2=(3，2，1)T是Ax=b的兩個(gè)解，求該方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：[提示]α1一α2=(一2，0，1)T是Ax=0是基礎(chǔ)解系．所以通解為(1，2，2)T+c(一2，0，1)T(c為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)n階可逆陣A的每行元素和均為a(a≠0)，求2A-1+E的一個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知所以a為A的一個(gè)特征值且a≠0，從而為2A-1+E的一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)是正交陣，求a，b，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)因?yàn)锳是正交陣，所以(α1,α2)=0，(α1,α4)=0，(α2,α3)=0解得a=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)向量組α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)，證明：向量組β1=α1，β2=α1。+α2，β2=α1+α2+α3也線性無(wú)關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令k1β1+k2β2+k3β3=0，則k1α1+k2(α1+α2)+k3(α1+α2+α3)=0，(k1+k2+k3)α1+(k2+k3)α2+k3α3=0，由于α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)，所以線性方程組的系數(shù)行列式因此僅有0解，即k1=k2=k3=0，所以β1，β2，β3線性無(wú)關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第8套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、若A，B均為n階方陣，且AB=0，則()A、A=O或B=OB、A+B=OC、｜A｜=0或｜B｜=0D、｜A｜+｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：AB=0→｜AB｜=0→｜A｜．｜B｜=0→｜A｜=0或｜B｜=0．答案為C。2、若n階方陣A可逆，且伴隨矩陣A*也可逆，則A*的逆矩陣為()A、AB、｜A｜．2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于A可逆，因此｜A｜≠0，又A．A*=A*．A=｜A｜．I，所以．答案為C。3、設(shè)α1=，則α3=_________時(shí)，有α1，α2，α3為R3的基．()A、(2，1，2)TB、(1，0，1)TC、(0，1，0)TD、(0，0，1)T標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：首先已知α1，α2線性無(wú)關(guān)(其坐標(biāo)不成比例)，又令A(yù)=(α1，α2，α3)，則α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)→｜A｜≠0由于A的左上角2階主子式(記為｜A11｜)不等于0，故選α3=即可。(此時(shí)｜A｜*==｜A11｜．1≠0)．答案為D。4、設(shè)A=，則Ax=0的基礎(chǔ)解系含有_________個(gè)解向量．()A、1B、2C、3D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于V(A)=3，所以基礎(chǔ)解集含有4—3=1個(gè)向量．答案為A。5、設(shè)A=，則以矩陣A為對(duì)應(yīng)的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32B、f(x1，x2，x3)=x12+x2x3C、f(x1，x2，x3)=x22+x1x3D、f(x1，x2，x3)=x32+x1+x2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A的主對(duì)角線元素1對(duì)應(yīng)x2系數(shù)；a13=1，a31=1，之和對(duì)應(yīng)x1x3系數(shù)2．答案為C。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、已知矩陣A=的(1，2)元素的代數(shù)余子式A12=1，則A的行列式｜A｜=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：7知識(shí)點(diǎn)解析：由于A12=(一1)1+2=一x=1，因此x=一1．所以｜A｜==一1+2+6=7．7、設(shè)矩陣A=，則3AT一BT=________。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：3AT—BT=3．8、設(shè)D=，則A的代數(shù)余子式為_(kāi)_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：a為行列式D的a23項(xiàng)，故a的代數(shù)余子式為A23，且A23=(—1)2+3=3．9、k=________時(shí)，向量組α1=(6，k+1，7)，α2=(k，2，2)，α3=(k，1，0)線性相關(guān)．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：k=4或k=一．知識(shí)點(diǎn)解析：10、已知α1=是R3的一組基，則β在這里基下的坐標(biāo)為_(kāi)_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：以α1，α2，α3，β為列向量的矩陣作初等行變換，有11、若線性方程組無(wú)解，則λ=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有，當(dāng)λ一2≠0時(shí)，增廣矩陣的秩=系數(shù)矩陣的秩=2，因此方程有解；當(dāng)λ一2=0時(shí)，增廣矩陣的秩=2，而系數(shù)矩陣的秩=1，方程無(wú)解，所以λ一2=0，即λ=2．12、設(shè)矩陣A=，則A的全部特征值為_(kāi)_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一1，1知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程｜λE—A｜==0∴λ1=—1，λ2=1．13、已知方陣A相似于對(duì)角矩陣，則A10=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：E知識(shí)點(diǎn)解析：存在可逆矩陣P使P-1AP=P-1，14、二次型f(x1，x2，x3)=(2x1—x2+3x3)2的矩陣為_(kāi)_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x1，x2，x3)=(2x1—x2+3x3)2=4x12一4x1x+12x1x3+x22一6x2x3+9x32，由二次型矩陣的定義知，矩陣為．15、設(shè)矩陣A=為正定矩陣，則a的最大取值范圍是________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣A正定，因此順序主子式大于0，｜1｜=1＞0，=1一5a2＞0，所以a的最大取值范圍是．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算行列式D=標(biāo)準(zhǔn)答案：第1列乘(一a1)加到第二列上，第1列乘(一a2)加到第二列上，第一列乘(一a3)加到第三列上，得D=b1b2b3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、已知A=且A2一AB=E，求矩陣B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于AB=A2一E，又｜A｜==一1≠0．所以A可逆，因此B=A-1(A2一E)=A—A-1而A-1=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)A=，且A*X=A-1+2X，求X．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳*=｜A｜A-1所以｜A｜-1X=A-1+2XX=(｜A｜A-1一2E)-1A-1=[A(｜A｜A-1一2E)]-1=(A｜E一2A)-1=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)α1=(2，3，5)，α2=(3，7，8)，α3=(1，一6，1)，求λ使β=(7，一2，λ)可用向量α1，α2，α3線性表示．標(biāo)準(zhǔn)答案：求解非齊次線性方程組據(jù)此可知當(dāng)λ=15時(shí)，β=11α1一5α2+0α3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知矩陣A=．(1)求A-1；(2)解矩陣方程AX=B。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于｜A｜=1≠0，所以矩陣A可逆，經(jīng)計(jì)算知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)方程A有特征值λ1=2，λ2=一1，又α1=是A屬于λ1=2和λ2=一1的特征向量，向量β=．(1)將β表示成α1，α2的線性組合；(2)求Aβ．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)以α1，α2，β為列向量的矩陣作初等行變換，有所以β=3α1+α2．(2)Aβ=A(3α1+α2)=3Aα1+Aα2=3(2α1)+(一α2)=6α1—α2=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)A=(a