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文檔簡介
第=page11頁,共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河南省鄭州市中牟第一高級(jí)中學(xué)高二(上)月考數(shù)學(xué)試卷(9月份)一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知a=(2,?1,3),b=(?4,2,x),且a/?/b,則A.103 B.?103 C.62.若{a,b,c}A.a B.a+2b C.a+23.已知三棱錐P?ABC,點(diǎn)M,N分別為BC,PA的中點(diǎn),且PA=a,PB=b,PC=c,用a,A.12(a+b?c) 4.三棱錐O?ABC中,點(diǎn)P∈面ABC,且OP=12OA+kA.?12 B.12 C.15.已知點(diǎn)Pn(1,2,3)是法向量為n=(1,1,1)的平面ABC內(nèi)的一點(diǎn),則下列各點(diǎn)中,不在平面ABC內(nèi)的是A.(3,2,1) B.(?2,5,4) C.(?3,4,5) D.(2,?4,8)6.已知正方體ABCD?A1B1C1D1中,E是AA.155 B.105 C.7.如圖,已知二面角α?l?β的大小為60°,A∈α,B∈β,C,D∈l,AC⊥l,BD⊥l且AC=BD=3,CD=5,則AB=(
)A.34B.6C.2138.如圖,正三棱柱ABC?A1B1C1的棱長都是1,M是BC的中點(diǎn),CN=λA.12
B.13
C.14二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知向量m=(?1,?1,1),n=(1,1,?1)分別為平面α,β的法向量,c=(1,0,1)為直線l的方向向量,且l?β,則A.m⊥β B.1//β C.1⊥α D.10.若平面α,β的法向量分別是n1=(3,?4,2),n2=(?2,0,3),直線l的方向向量為a=(2,0,?3),直線m的方向向量為A.α⊥β B.l//α
C.l與m為相交直線 D.a在b上的投影向量為(0,11.如圖,長方體ABCD?A1B1C1D1中,CC1=C1A.13
B.45
C.23三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.在空間直角坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn)A(3,2,?1),B(2,1,2),C(3,1,?1),則點(diǎn)C到直線AB的距離為______.13.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,若點(diǎn)P(a,b,2a)關(guān)于平面xOz對稱的點(diǎn)為Q(2?a,?b,b+5),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.14.在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中,已知點(diǎn)A(1,0,2),B(0,2,1),點(diǎn)C,D分別在x軸,y軸上,且AD⊥BC,那么|CD|的最小值是______.四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)
如圖,在正四面體ABCD中,M,N分別為棱BC,AB的中點(diǎn),設(shè)AB=a,AC=b,AD=c.
(1)用a,b,c分別表示向量DM,CN;
(2)求異面直線16.(本小題15分)
已知正三棱柱ABC?A1B1C1,底面邊長AB=2,AB1⊥BC1,點(diǎn)O、O1分別是邊AC,A1C1的中點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.17.(本小題15分)
在三棱錐P?ABC中,PC=AB=AC=22BC=1,PC⊥平面ABC,點(diǎn)M是棱PA上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是棱BC上的動(dòng)點(diǎn),且PM=CN=x(0<x<2).
(1)當(dāng)x=22時(shí),求證:18.(本小題17分)
如圖,在四棱錐P?ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).證明:
(1)BE//平面PAD;
(2)平面PCD⊥平面PAD.19.(本小題17分)
如圖所示的幾何體是圓錐的一部分,其中PO是圓錐的高,AB是圓錐底面的一條直徑,PO=2,OA=1,C是AB的中點(diǎn).
(1)求直線BC與PA所成角的余弦值;
(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值.
參考答案1.D
2.B
3.D
4.D
5.B
6.A
7.A
8.C
9.AB
10.AD
11.BD
12.11013.(1,?3,2)
14.215.解:如圖,∵M(jìn)為棱BC的中點(diǎn),AB=a.AC=b,AD=c,
∴DM=12(DB+DC)=12[(AB?AD)+(AC?AD)]=12(a+b?2c),
又N為棱AB的中點(diǎn),∴CN16.解:(Ⅰ)設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為?,
由題意得
A(0,?1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,?1,?),B1(3,0,?),C1(0,1,?).
AB1=(3,1,?),BC1=(?3,1,?),
AB117.證明:(1)在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)C作CD⊥AC,使得點(diǎn)D與點(diǎn)B在AC同側(cè),
∵PC⊥平面ABC,CD?平面ABC,AC?平面ABC,
∴PC⊥AC,PC⊥CD,則PC,AC,CD兩兩互相垂直.
以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CD,CP正方向?yàn)閤,y,z軸,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則C(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,1);
由AB=AC=22BC得,AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC,
∴△ABC為等腰直角三角形,∴B(1,1,0);
同理可得:△APC為等腰直角三角形,
當(dāng)x=22時(shí),AM=12AP,CN=12CB,∴M,N分別是AP,CB中點(diǎn),
∴M(12,0,12),N(12,12,0),∴MN=(0,12,?12),CA=(1,0,0),
∴MN?CA=0×1+12×0+(?12)×0=0,∴MN⊥AC;
(2)由(1)可得:A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),△ABC,△APC為等腰直角三角形,
∴M(22x,0,1?22x),N(22x,22x,0),
則M18.解:(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,且AB?平面ABCD,所以AB⊥PA,
又因?yàn)锳B⊥AD,且PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD,所以AB⊥平面PAD,
依題意,以點(diǎn)A為原點(diǎn),以AB,AD,AP分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),
由E為棱PC的中點(diǎn),得E(1,1,1),則BE=(0,1,1),
所以AB=(1,0,0)為平面PAD的一個(gè)法向量,
又BE?AB=(0,1,1)?(1,0,0)=0,所以BE⊥AB,
又BE?平面PAD,所以BE//平面PAD.
(2)由(1)知平面PAD的法向量AB=(1,0,0),PD=(0,2,?2),DC=(2,0,0),
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
則n?PD=0n?DC=0,即2y?2z=02x=0,令y=1,可得z=119.解:(1)以O(shè)為原點(diǎn),OC,OB,OP的方向分別作為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,?1,0),B(0,1,0),P(0,0,2),C(1,0,0),
所以PA=(0,?1,?2),BC
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