2023年人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式 重點難點題（高分突破）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

2.1等式與不等式性質(zhì).....................................................

2.2基本不等式..........................................................16

2.3.1一元二次不等式的解法（含參數(shù)及恒成立問題）.......................33

2.3.2二次函數(shù)與一元二次方程、不等式...................................48

2.1等式與不等式性質(zhì)

一、單選題

I.下列運用等式的性質(zhì)，變形不正確的是（）

A.若心乎則x+5=），+5

B.若訴力，則

C.若3=匕,則

cc

D.若尸y,則±=2

aa

【答案】D

【解析】對于選項A,由等式的性質(zhì)知，若產(chǎn)），，則x+5=y+5,A正確；

對于選項B,由等式的性質(zhì)知，若斫b,則ac=bc,B正確；

對于選項C,由等式的性質(zhì)知，若q=則eb,C正確；

cc

對于選項D,由等式的性質(zhì)知，若華斗則？=2的前提條件為。和，D錯誤.

aa

2.已知則以下不等式不正確的是（）

nba

C.a~>ab>b~D.

ab

【答案】D

221

【解析】a>b>O>cfc>0,ac>be,故A正確；

IICCCC「斗〃4-71

*/a>b>0>c,-->0,—<—,—i-l>—+1,即---->----，故B正確;

ababahabab

由a>b>0可得，a2>ab,ab>b2：：.a1>ab>護,故C正確；

因為所以/>從，_L>o,所以即:>2.故D錯誤.

abababba

3.下列命題正確的是(）

A.若ac>be,則〃>〃

B.若ac=be,則a=b

C.若a>b,jjllj-<—

ab

D.若ac?>be?,則a>Z>

【答案】D

【解析】對于A,若c<0,由ac>歷可得：a<b,A錯誤；

對于B,若c=0,貝ij公=bc=O,此時a=b未必成立，B錯誤;

對于C,當(dāng)。>0>人時，->0>-,C錯誤；

ah

對于D,當(dāng)a/>從2時，由不等式性質(zhì)知：0>b,D正確.

4.已知。，力為實數(shù)，貝上〃>〃>1"是“々<，”的()

a-1b-\

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【解析】由a>b>1na—I>力一1>0n----<------.

a-\b-\

當(dāng)a=0,人=2時，--—<---(,ci>b>l

a-\b-lt

故是“人<上”的充分不必要條件.

a-\b-\

5.已知，=2+?,s=a2+2b+\,則()

A.t>sB.t>sC.t<s

【答案】C

【解析］r-5=(2fl+2Z>)-(6f2+2Z?+l)=-(?-l)2<0,

故，4s,當(dāng)a=l時，t=s.

6.已知xw2,yH-1,M=x2-^-y2-4x+2y,N=—5,則M與N的大小關(guān)系是（）

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能確定

【答案】A

【解析】因為M-N=x2+y2-4x+2y+5=(x-21+(y+l)2,且工工2,尸一1,

所以M-N>0,所以M>N,

7.若mb,c,d均為實數(shù)，則下列不等關(guān)系中一定成立的是()

A.若a>b,c<d,則a+c>6+dB.若a>b,c>d,貝ljac>比

C.^bc-ad>0,--—>0,貝ij/<0D.a>b>O,c>d>0,貝

ab

【答案】D

【解析】對于A,如3>2,-3<0,顯然3+(-3)<2+0,A不正確；

對于B,如3>2,?4>-5,顯然3x(-4)<2x(-5),B不正確；

對于C,因bc—ad>0,而￡—<="也>0,則">(),C不正確：

abab

對于D,因c>d>0,則]>4>0,又a>b>0,于是得:>2>0,所以艮>口,D正確.

dcacNdNc

8.已知外、Oye(l,-Ko),設(shè)尸,Q=-----+1,則尸與。的大小關(guān)系為()

一\/4出a\a2

A.P>QB.P<QC.〃=QD.不確定

【答案】B

【解析】解析:

P_Q/_L+_L]/_Lq+4]+4%_414-t72(1—O])_(4]—1)(1—

Ma2JIa\a2Cl^dyCl^Qy

因為4、①?1,田>),所以4一1>0,a{a,>0,所以「一。=色一叢L^vO,

的2

所以PvQ.

9.設(shè)〃eN*，>/〃+4-J〃+3與J〃+2-J〃+l的大小關(guān)系是

A.\fn+4-yfn+3>Jn+2—J/z+1B.J〃+4-J〃+3<J〃+2—+1

C.J〃+4—5/〃+3=J〃+2—J〃+lD.不能確定

【答案】B

【解析】

(J〃+4-J〃+3)l：J〃+4+J〃+3)(J〃+4)-(J〃+3)

J〃+4-J〃+3=

1x(J〃+4+J〃+3)Vw+4+\/n+3J〃+4+J〃+3

刀+刀+

(J〃+2—J1)(J2+J〃+l)(J〃+2)_(J〃+1)I

J〃+2-J〃+l=

1x(y/n+2+J〃+I)yJn+2+J〃+l5/〃+2+J〃+1

neN"〃+4>〃+2,〃+3>〃+l根據(jù)不等式的開方性質(zhì)可以得出J〃+4>J/i+2

Jn+3>y[n+\再根據(jù)不等式相加性質(zhì)可以得出J〃+4++3>J”+2+4^

顯然可以得到即g〈后-后

成立，因此本題選B.

10.已知l<a+〃<4,-\<a-h<2,則4。一26的取值范圍是（）

A.[-4,10]B.[-3,6]C.[-2,14]D.[-2,10]

【答案】D

x+y=4%=1

___t解得‘y—3’

{xy2

:.4a-2b=[a+b）+3（^a-b）,

Ql<^+b<4,-\<a-b<2f:.-3<3（a-b）<61

由不等式的性質(zhì)可得-2?a+b）+3（a-b）W10,即-2?4a-2<10,

因此，的取值范圍是[-2,10],故選D.

11.已知M8C的三邊長分別為。、b、c,有以下4個命題：

（1）以G、4b>G為邊長的二角形一定存在；

（2）以“2、及、°?為邊長的三角形一定存在；

（3）以竽、殍、不為邊長的三角形一定存在；

乙乙J

（4）以彷、be,或為邊長的三角形一定存在；其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】的三邊長分別為。、b、c,不妨設(shè)aNhNc,則6+c>a,

對于（1）：（%+正）—（G）=b+c-a+2\fbc>0,所以北+五>石，所以以后、匹、

正為邊長的三角形一定存在；故（1）正確；

對于（2）：/一。2=（力+c）2-2/>。一。2>0不一定成立，因此以小、/、/為邊長的三角

形不一定存在；故（2）不正確;

4十/-、b+cc+aa+b八e”…〃+bb+c

對于（3）：—-----=c>0,因此以中為邊長的三角形一定存在;

22222

故（3）正確;

對于（4）：取a=5,b=4,c=2,b+c>a,因此〃、b、。，能構(gòu)成一個三角形的三邊，而

ac+hc<ab,因此以出?、be為邊長的三角形不一定存在，故（4）不正確,

所以正確的命題有2個,

12.已知以〃滿足則a+3〃的取值范圍是

1<?+2^<3,

A.\<a+3fi<7B.-5<a+3?<13

C.-5Wa+3/7W7D.lWa+36W13

【答案】A

【解析】設(shè)a+3Q=；l(a+￡)+N(a+20)=(/i+u)a+(；l+2^)￡.

比較a，6的系數(shù)，得：=從而解得

[A+2V=3,[u=2,

即a+34=-(a+￡)+2(a+2￡),

由題得一1&-(a+￡)Wl,2W2(a+2￡)W6,

兩式相加，得l?a+34<7.

二、多選題

13.已知a,b,c,d均為實數(shù)，則下列命題正確的是()

A.若a>b,c>d,則a-心防-。B.若a>b,c>d則ac>bd

C.若ab>0,bc-ad>0,j/PJ—>—D.若a>b,c>d>0,則色>2

abdc

【答案】AC

【解析】解：由不等式性質(zhì)逐項分析：

A選項：由c>d,故Y<-d,根據(jù)不等式同向相加的原則a-d>b-c,故A正確

B選項：若。>0>〃，0>c>d則ac</?d,故B錯誤；

C選項：ab>0,A—ad>0,則竺㈣>0,化簡得￡一?>0,故C正確；

abab

D選項：a=-l,b=-2,c=2,d=l則二=2=-1,故D錯誤.

ac

14.下列命題正確的是()

A.3a,/?G/?,|a-2|+(/?+l)2<0B.WaeR,HreR,使得ar>2

C.R>=0是/+從=o的充要條件D.d>b>—\?則'T27^7

a+1b+\

【答案】AD

【解析】對A,a=2,b=-l時，(a-2尸+(6+1)2=0,A正確；

對B,a=0時，對任意xwR,ar=O,公>2不成立，B錯；

對C,。=1為=0時滿足"=0,但此時/+從=1W0,c錯；

對D,a^b>-\,則a+12b+l>0,a(\+b)=a+ab>b+ab=b(l+a),則D

\+a\+b

正確.

15.設(shè)。、。為正實數(shù)下列命題正確的是()

A.若萬一從=1,則4一bvl

B.若■；---=1,WJa-h<\

ba

C.若出一兩=1,則卜一4<1

D.若卜區(qū)1,網(wǎng)W1,則,一月W”崗

E.若a>b,則a|d>〃|d

【答案】AD

【解析】利用不等式的性質(zhì)以及反證法證明。-力<1成立即可判斷A選項；

取a=5,6=:判斷8選項；

6

取。=4,人=1判斷C選項；

利用不等式的性質(zhì)以及作差法判斷D選項；

取。=0,判斷E選項：

【解析】對于A,若。，^a2-b2=l^a-b=-^—^a-b>0=>a>b>0,故

a+b

a+b>a-b>0a-b>\,則一17之1=>a+K1,這與a+力>。一力>0矛盾，故a-bvl成

a+b

立，所以A正確；

對于B,取a=5,b=3，則?一1=1,(Ha-Z?=5--|>l,所以B不正確；

6ba6

對于C,取a=4,b=l,則2-網(wǎng)=1,但|。-4=3<1不成立，所以C不正確；

對于D,(a-b)2-(l-ab)2=a2+b2-l-a2b2=(a2-1)(1-b2)<0,即,一身引1一崗，所以D

正確；

對于E,取c=0,則a|d=U4，所以E不正確.故選AD.

16.已知必況的角A5,C所對邊長分別為。，仇c,A>B,(a-?(c-力)<0,"4c-乩=0,則

()

A.a>cB.5<a<9

C.b>5D.c>5

【答案】AC

【解析】在348c中，\A>B,:.a>b,又，(a-b)(c-/?)<0,

：?c<b<a,故A正確；

41

?1b+4c—bc=0,即一+—=1,

bc

當(dāng)人=8時，c=2,此時8vavl0,故B錯誤;

.'.b>5,c<5,故C正確，D錯誤.

17.甲、乙兩個項目組完成一項工程，甲項目組在做工程的前一半時間內(nèi)用速率〃工作，后

一半用速率v工作；乙項目組在完成工程量的前一半中用速率〃工作，在后一半用速率v工作,

則()

A.如果〃=叭則兩個項目組同時完工B.如果〃=~則甲項目組先完工

C.如果〃工八則甲項目組先完工D.如果“Hu,則乙項目組先完工

【答案】AC

【解析】設(shè)總工程量為1,

甲項目組在做工程的前一半時間內(nèi)用速率”工作，后一半用速率丫二作，

〃?巫+史如=1,=二_

22u+v

乙項目組在完成工程量的前一半中用速率〃工作，在后一半用速率共工作,

1

u+v,

乙=2+

U2MV

當(dāng)"=v時，Z=—=—,，乙=一，??，乙二加，即甲、乙項目組同時完工；

lfJ2〃u2iru

wa2u+v

當(dāng)〃Wu時，加=----,1乙=——,

u+v2uv

.?川二一宇.?“<*即甲項目組先完工,

u+v2uvUV(U+V)+v)

18.已知a,b,ceR,^a2+b2+c2=l,且(a—1)S—l)(c—1)=出改，則下列結(jié)論正確的是

A.a+b+c=lB.ab+bc+ca<\

C.c的最大值為1D.。的最小值為-1

【答案】ABC

【解析】由題可得必+從?+at=a+Z?+e-l,設(shè)a+b+c=x,則可得丁-2。-1)=1,即可解

出a+〃+c=l,ab+hc+ca=O,判斷AB正確；將條件轉(zhuǎn)化為從+(。-1)〃+“2-a=0,利用

判別式可求出"的范圍，同理求出c的范圍.

【解析】由(a-l)S-1)(c-l)=a)c,^abc-ab-bc-ca+a+b+c-\=abc,

:.ab+bc+ca=a+b+c-\,

設(shè)a+b+c=x,則ab+bc+ca=x-l.

?<,a2+b2+e2=(a+力+c>-2(ab+bc+ca)=I,

:.x2-2(x-l)=\,解得％=1,即q+力+c=l,ab+bc+ca=O,故AB正確；

:.ab+(a+b)c=Q,即ab+(a+b)(\-a-b')=O.

a2+h2+ah-a-h=Q>即b2+(a-\)b+a2-67=0.

由a,OeR知，A=(?-l)2-4(a:-6f)>0.

2a-1?0，解得4a41,同理可得4c41,故C正確，D錯誤.

三、填空題

19.用“〉”或y填空：

(1)x+5x+2；(2)a<b=>3a3b；

(3)a<b=>-5a-5b；(4)當(dāng)c0時,a>b=>ac<be\

(5)a>h=>a-\b-2；(6)a>b>O,c<d<0=>acbd.

【答案】><><><

【解析】解：(1)V5>2,???x+5>x+2；

(2)-：a<b,3>Qf：.3a<3b；

(3)Va<Z>,-5<0,：.-5a>-5bt

(4)當(dāng)c<0時，a>b=ac<bc；

9

(5)：a>b-l>-2t：.a-\>b-2；

(6)Va>b>O,c<d<0,/.-c>_j>o,則一ac>-6d,BPac<bd.

故答案為：(1)>(2)<(3)>(4)<(5)>(6)<.

20.“a+c<力+d”是“avb且evd”的條件.

【答案】必要非充分

【解析】若"avb且evd”,則a+cvb+cvb+d,故“a+cU+d”成立;

若a=10,c=-100,b=-20,d=-60,

則a+c=-90<Z?+d=-80,但a>b,c<d,

所以“a+cyb+d”是“a<〃且c,<d”成立的必要不充分條件.

故填必要非充分.

21.已知⑷<1,則「一與1一。的大小關(guān)系為______.

\+a

【答案】---21一。

\+a

【解析】由同<1,得一Ivavl,

1+a>0,l-a>0,

/.0<1—a2<[?

21,

\+a

故答案為：---

\+a

22.若x,a,bwR,下列4個命題：①f+3>2x;@a5+b5>a3b2+a'b3:③

/+〃22(a+6-1)；?-+y>2,其中正確的序號是_____

ab

【答案】①③

【解析】對于①，作差可得丁+3-2*=(%-1)2+2>0,即f+3>2x，正確:

對于②作差并因式分解+/-a%?一/尸=(/叫儂一/)

=(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2),因。,b符號而變,錯誤；

對于③，作差配方可得/+6一2.+?！?)=(〃—I)?+伍一1)220,正確；

對于④，由于符號不定，顯然當(dāng)小于。不成立.

故答案為：①③

23.若實數(shù)%夕滿足一14。+?41,140+2夕43,則a+3夕的取值范圍為.

【答案】[1,7]

【解析】設(shè)。+34="a+/)+4(a+2月)，解得2=-1,"=2

所以。+3/=一(。+/)+2(。+2夕).

又一lKa+￡Kl,l<a+2/7<3,/.-I<-(?+/7)<1,2<2(a+2/?)<6

所以l?a+3/?47.

故答案為：[L7].

24.已知a+b+c=O,a>b>c,則￡的取值范圍是.

a

【答案】卜2,-；)

【解析】解：???。+力+。=0,

：.a>0,c<0①

.\b=-a-c,且。>0,c<0

,?a>b>c

:.-a-c<af即2a>-c@

解得上>-2,

將8=-a-c代入〃>c,得-a-c>c,UPa<-2c(3)

解得小V，

2

故答案為：(一2,-￡).

四、解答題

25.下列結(jié)論是否成立？若成立，試說明理由；若不成立，試舉出反例.

⑴如果。一。>。一人，那么。<力；

(2)若ab>c,b>Ot則—

b

(3)^rac>bc,則a>8；

(4)若a>b,c>d,貝ija-c>6—d.

【答案】(1)成立，理由見解析；

(2)成立，理由見解析；

(3)不成立，理由見解析；

(4)不成立，理由見解析；

【分析】由不等式的性質(zhì)判斷(D(2)成立，取特殊值判斷(3)(4)不成立.

(1)

vc-a>c-b,

-a>-b.

:.a<b,

故成立.

(2)

ab>ctb>0,

即

b

(3)

取〃=1,6=2,C=-1時，滿足ac>歷，但是a>b不成立.

(4)

取"=1,。=0"=3,〃=一1,滿足a>6,c>d,但是不成立.

26.(1)已知a>b,c<d,求證：a-c>b-d；

(2)已知瓦。)>0,求證：-<7；

ab

(3)已知a>b>O,O<c<d,求證：->4?

cd

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)c<d不等號左右兩邊同時乘以一個負數(shù)，不等號方向改變得到-c>-df

再用同向可加性法則即可得出結(jié)果.

(2)根據(jù)正數(shù)的倒數(shù)大于0可得，■>(),再用同向同正可乘性得出結(jié)果.

ab

(3)因為0<c<4,根據(jù)(2)的結(jié)論，得工再用同向同正可乘性得出結(jié)果.

ca

【解析】證明：(1)因為所以a>b,—c>—d.

則a-c>b-d.

(2)因為油>0,所以二>0.

ab

又因為所以

1,1

a>b,

abab

即因此

baab

(3)因為Ovcvd,根據(jù)(2)的結(jié)論，得

11八

->—>0.

cd

又因為

則a—>b—,

cd

即

ca

27.一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小

于10%,而且這個比值越大，采光效果越好.設(shè)某所公寓的窗戶面積為加？，地板面積為。n?,

(1)若這所公寓窗戶面積與地板面積的總和為330m2,則這所公寓的窗戶面積至少為多少平方

米？

(2)若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，設(shè)增加的面積為m?,則公寓的采光效果是變好

了還是變壞了？請說明理由.

【答案】⑴30平方米

⑵變好了

【分析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于。，力的等量關(guān)系和不等量關(guān)系，化簡求解即可

(2)分式的分子分母同時增加乙通過作差法比較新的分式與原來分式的大小，從而判斷采

光效果變好了還是變壞了

(I)

。+6=330

根據(jù)題意可得：a,則力=330—所以J—N10%,解得：a之30,所以這所

—210%330-tz

[h

公寓的窗戶面積至少為30平方米

(2)

同時增加窗戶面積和地板面積后，比值為詈]，則因

b+tb+tb="+b：(，b；+』t：)一%黑b(b+t)

為b>0j>0,b>a,所以?=絢4>0,所以答>:，所以同時增加相同的窗戶面

b+tbb(b+f)b+tb

積和地板面積后，公寓的采光效果變好了

28.1.已知帆x=m4-m3n>y=nym-n4,比較x與y的大小.

【答案】工>>

【分析】運用作差法，進而分解因式，討論每個因式的符號，最后得到答案.

【解析】x-y=-n4)=m3n)=(m-n)(m3-n31

=(/n-n)2(tn1+mn+r).

因為7WW〃，所以(旅-n)2>0,62+〃?〃+〃2=(〃?+])+.>0,

所以(加一〃)2(m2+6〃+〃2)>0,所以X—y>0,所以x>y.

29.比較下列各題中兩個代數(shù)式值的大?。?/p>

⑴(而-1)與(而+1)；

(2乂X?+y/2,X+—y/2,X+1)與+%+1—X+1).

【答案】(1)(右一1)2?(而+1尸

(2)(A：2+y/2x+1)(X2->/2x+1)<(^+%+1)(^-x+1)

【分析】利用作差法得出大小關(guān)系.

(1)

-I)-CJm+1j=^in-2\[m+\\-^in+2y/m+\j=-4yfin

因為機NO,所以(人-1)2—(6+1)2?o,當(dāng)且僅當(dāng)〃?=0時，取等號.

即(右一1)24(5+1)2

(2)

(丁+&1+1)任一&x+])-(x2+1+1)(/一1+])

=[(f+了-2d]一[任+1)2一/]=_/

因為工之0,所以[任+1)2-2fH任+1)2-刁40,當(dāng)且僅當(dāng)x=o時，取等號.

故12+缶+1六2一缶+尢+1)(/7+])

30.(1)設(shè)^VO,試比較1+力(％7)與(%2_y2"x+y)的大??；

(2)已知1<。+力<3,-2<a-b<2,求助+3b的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；(2)；<2〃+36<二.

【分析】(1)通過作差化簡原式等價于-2孫(》-以通過分為">)，和工。兩種情形得結(jié)果;

(2)將為+3匕用。+6,線性表示，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得結(jié)果.

【解析】(1)(丁+丁)(工-)，)-(丁-丁)(工+丁)

=(x-y)[x2+y2-(x+y)2'\

=-2xy(x-y).

V^<0,.,.當(dāng)x>y時，x-y>0,

-2xyU-y)>0,

得(f+y2)(X_y)>[2-y2)*+))；

當(dāng)xvy時，x-y<o,-2xy^x-y)<0t

得W+y2)(x-y)<(V-y2)(x+y).

(2)設(shè)24/+3。=〃7(4十加十〃(4一力)，

in+n=2,

{m-n=3,

解得勿=g,〃=_g.

則2a+3b=—(a+b)-1(a-b).

22

V1<a+b<3,-2<a-b<2,

?55/215,I,八,

..—<—(a+b)<一,-1<——(a-b)<1.

2222

.35,21,八17

,—<—(a+b)——(a-b)<——.

t2222

即3廣2a+36<m17.

31.若實數(shù)x,J,機滿足1彳一叫>1)，-訓(xùn)，則稱x比，遠離機.

(1)若X比g遠離1,求實數(shù)X的取值范圍；

⑵若〃?￡1,x+y=2,試問：X與9+),2哪一個更遠離機，并說明理由.

【答案】(l)(Y°，；)Uq，+0°)；

(2)f+y2比4更遠離小,理由見解析.

【分析】(1)由絕對值的幾何意義可得卜-即可求x的取值范圍；

(2)只需比較|W+y2-Mjx7”|的大小，討論x<,〃、xNm分別判斷代數(shù)式的大小關(guān)系，即

知X與f+y2哪一個更遠離m.

(1)

由％比3遠離I,,3p|^-i|>1.

,x-l>g或工一1<一；，得：或x>'|.

13

:.X的取值范圍是(―3)、.(-，-HX>).

(2)

因為x2+y22(x+y)=2?/〃,有|父+y2-m\=x2+y2-tn,

因為X+y=2,所以/+/=2*2-4x+4.

22

從而Ix+y-/n|-1x-ZM|=2%2-4x+4-m-\x-m\t

①當(dāng)XN〃?時，

|x2+y2-/?|>|x-w|；

②當(dāng)E”時，

323

\x2+y2-ni\-\x-rn\=2x2-4x+4-m+(x-m)=2x2-3x+4-22n=2(x—)2+---2m,

48

又,〃￡1,貝lj---2m>0.

8

323

2(x——y+---2m>0,即lx2+y1-m\>\x-m\.

48

t2

綜上，\x+y-m^x-m\f即d+1比%更遠離一.

32.對在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點作如下定義：若？＞彳,那么稱點（mb）是

bd

點（c,cl）的、、上位點“，問時點（c,d）是點（a,b）的“下位點”

（1）試寫出點（3,5）的一個“上位點”坐標(biāo)和一個“下位點”坐標(biāo)；

（2）已知點（〃，b）是點（c,d）的“上位點”，判斷是否一定存在點P.滿足既是點（c,d）

的“上位點，又是點（mb）的“下位點”，若存在，寫出一個點P坐標(biāo)，并證明；若不存在,

則說明理由：

【答案】⑴點（3,5）的一個“上位點”坐標(biāo)是（3,4）和一個“下位點”坐標(biāo)是（3,6）（答案

不唯一）：

（2）存在，證明詳見解析.

【分析】（1）利用"上位點''和一個"下位點”的定義求解；

（2）利用“上位點”和一個“下位點”的定義證明；

（1）

解：因為對在宜角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點作如下定義:

若那么稱點（。，b）是點（c,d）的“上位點”，同時點（c,d）是點（a,b）的“下

bd

位點”，

所以點（3,5）的一個“上位點”坐標(biāo)是（3,4）和一個“下位點”坐標(biāo)是（3,6）；

⑵

因為點（a,b）是點（c,d）的“上位點”，

所以一定存在點P（a+c,b+d）滿足既是點（c,d）的“上位點，又是點（a,b）的“下位點”，

證明如下：

因為點（。，b）是點（c,d）的“上位點”，

所以？>三，Wad>bc,

bd

ruea+ccad+cd-bc-dcad-be?

所以-------=---------；---=----->0,

b+ddbd+d'bd+d27

即所以點夕（a+八加⑺是點（C，d）的“上位點，

b+ca

a+cQab+cb-ab-adbe-ad八

所以~~J-T=——73—^——=―/〈O'

b+dbbd+b~bd+d~

即洛<:，所以點尸（a+c,b+d）是點（a,b）的“下位點,

b+db

綜上：點尸Ca+c,b+d）滿足既是點（c,d）的“上位點，又是點（a,b）的“下位點

2.2基本不等式

一、單選題

1.下列不等式恒成立的是（

A.a2+b2<2abB.a2+b2>-2ab

C.a+b>-2yJ\ab\D.a+h<2yj\a/^

【答案】B

【解析】由基本不等式可知故A不正確；

a2+b2>-2ab,可得。？+從+2而20,即（a+b）2Ao恒成立，故B正確；

當(dāng)。=7,6=-1時，不等式不成立，故C不正確；

當(dāng)。=0.6=1時，不等式不成立，故。不正確.

2

2.已知x>0,則x+—的最小值為（）

x

A.41B.2C.2及D.4

【答案】C

【解析】因為x>0,則x+：N2g=2&,當(dāng)且僅當(dāng)彳=：,即x=0時取

所以X+4的最小值為2后.

x

3.已知。>0,b>0,a+b=4,則下列各式中正確的是（）

A.—+—B.—+C.\/ab..2D.--..1

ab4abab

【答案】B

【解析】解：因為。>0,b>0,a+b=4f

a+ba+b

所以L廠7

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號，B正確,A錯誤；

由基本不等式可知的,（等J=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號,

故疝,29錯誤；；.二，O錯誤.

ab4

4.">0是2+f>2的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】解法一：當(dāng)々=6=1時，滿足"=1>0,但。+：=2,2+￡>2不成立，故H>>0是

abab

々+￡>2的不充分條件；

ab

當(dāng)"vO時勺+f<0<2,々+f>2不成立，當(dāng)M=0時2+：無意義，即2+f>2不成立，

abahabab

故必>0是2+f>2的必要條件；

ab

綜上，H>0是2+：>2的必要不充分條件.

ab

解法二：當(dāng)">0時，!>0^>0,1+^>2^1=2,當(dāng)且僅當(dāng)。=6時取等號，

所以小。是河>2的不充分條件;

若%》2,%+AM"所以小。，故而>。是勺?2的必要條件;

綜上，H>0是2+：>2的必要不充分條件.

ab

4r

5.已知x>0,J>0,x+—=8,則二的最大值為（）

yy

A.2V2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】因為8=x+±N2、叵=4,口所以從而二W4.

yVy\yVvy

4

當(dāng)且僅當(dāng)％=—=>工=4,），=1時等號成立.

y

6.若a>0,z?>o,且〃翔，則（）

A.聆爾尸B.爾哈笄

c.G腎目D.呼〈向〈學(xué)

【答案】B

（解析】Va,b￡R+,且a*b,

a+b

a+b>2\/ab,4ab<

2

而?迎=史組>0.

244

.嚀<腎,

7.已知x>0,j>0,2x+5y=l,則不+二的最小值是()

2x5y

A.2B.8C.4D.6

【答案】C

【解析】解析：由2%+5y=l得

11(11"u、5y2x6-/5y2x__「.

-----F—=1(2x4-5y)=—1-2^2/k2=2+2=4.

2x5y5yJv72x5y5y

5v?vI111

當(dāng)且僅當(dāng)黃=丁，即％=：，丁=2時，等號成立，所以丁+丁的最小值是4.

2x5y4102x5y

8.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理

問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之

為無字證明.下圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)作的弦圖，弦圖由四個全等的直角三角形與一個

小正方形拼成的一個大正方形.若直角三角形的直角邊長分別為。和6,則該圖形可以完成

的無字證明為().

【答案】B

【解析】解：因為直角三角形的直角邊長分別為。和b,所以大正方形的面積為/+從

由圖可知大正方形的面積大于等于4個直角三角形的面積和，

所以/+/24乂j"=2。8(a>0,Z?>0)

2

9.下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)x>0,y>0且x+2y=l時，-+-<4y/2

xy

L4

B.當(dāng)x>0時，《+耳24

2

C.當(dāng)xN2時，x+—的最小值是2加

x

D.當(dāng)。>0時，a+一1的最小值為1

【答案】B

【解析】解：因為x>0,y>0且x+2y=l,

所以，+1=主包+上也=1+2+女+223+2戶d=3+2&,當(dāng)且僅當(dāng)為=土,

xyxyxy

x+2y=l,即1=&—1，了=1_巫時等號成立，所以1+，23+26，故A錯誤：

2%y

?+卡之2樸卡=4,當(dāng)且僅當(dāng)?=白

當(dāng)x>0時,即x=4時等號成立，故B正確:

當(dāng)、>°時‘后陪=2五,當(dāng)且僅當(dāng)即心血時等號成立，但已知條件中X”

故C錯誤;

當(dāng)。+1>0時，ClH----=4+14-----1N2+1）------1=2-1=1,當(dāng)且僅當(dāng)。+1=---,

a+1a4-1Va+la+\

即a=0時等號成立，但已知條件中a>0,故D錯誤.

10.已知a>0,b>0,若不等式±之/）恒成立，則機的最大值為（）

aba-\-b

A.10B.12C.16D.9

【答案】D

【解析】由已知a>0,6>0,若不等式±+?2*7恒成立,

aba+b

所以mK（3+\）（a+。）恒成立，

轉(zhuǎn)化成求y=（3+胃3+6的最小值，

T濤"=5+河"+2焉=9,

當(dāng)且僅當(dāng)絲=1時取等

ab

所以mK9.

11.若Q1,則廠-2"+2有（）

2x—2

A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-1

【答案】A

【解析】因心>1,則(：-1)+1/卜_])當(dāng)且僅

2%-22(x-1)2「7x-ljV'，x-1

當(dāng)X-1=」一，即x=2時取等號.

x-\

所以3-21+2有最小值為]

2x-2

12.設(shè)a,力，c,d均為大于零的實數(shù)，5,abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,則〃+〃+機

的最小值為()

A.8B.4+26C.5+2退D.4退

【答案】B

【解析】解：“，b,c,d均大于零且而cd=l,m=ag+c+d)+Nc+d)+cd,

/.a2-i-b2+m=a2+b2+(a+b)(c+d)+ab+cd

..2ab+2y/cib?2\/cd+ab+cd=4+3ab-cd

..4+2,3abed=4+26,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b,C=d,3ab=cd,即a=6=(g)；,‘=4=3：時取等號，

/.a2+h2+m的最小值為4+26.

二、多選題

13.（多選題）下列不等式不一定成立的是（）

,1V+2廠-,1-4

A.x~\—>2B.I—\/2C.xH—22D.2-3x--->2

xVX2+2xx

【答案】AD

【解析】對于選項A：當(dāng)％<0時，x+l<0<2,故A錯誤;

x

X2+2,------廠

對于選項B：