2021-2022學年北師大版必修5-3.3.1基本不等式-教案3-

課題：根本不等式教學設計教材：北師大版必修5修第3章第三節(jié)第一課時一、教學目標：〔1〕知識目標：學會推導并掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個重要定理理解這個定理的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥〞取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等〔2〕能力目標：通過掌握公式的結構特點，運用公式的適當變形，提高學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，進一步加強學生的實踐能力〔3〕情感目標：通過探索與發(fā)現(xiàn)的過程，使學生親臨數(shù)學研究的成功與快樂，感悟數(shù)學樸實無華的內在美；學會提出問題，分析問題和解決問題；激發(fā)學生勇于探索，敢于創(chuàng)新的精神，優(yōu)化學生的思維品質。二、教學重點和難點重點：均值定理證明難點：等號成立條件三、教學方法與手段采用問題式教學為主線，輔以啟發(fā)式，探究式，自主式，討論式的教學方式，激發(fā)學生積極參與，在知識的發(fā)生開展中滲透類比，化歸的數(shù)學思想。同時借助多媒體教學，創(chuàng)設問題情境，為使學生樂學，想學，好學數(shù)學提供豐富的資源。教學程序教學環(huán)節(jié)教學程序設計意圖1、創(chuàng)設情境、引入課題。先讓學生用已經(jīng)準備好的四個全等的直角三角形拼成各種圖形，選出三小組代表拼出了三種具有代表的圖形：風車形狀，國際數(shù)學大會的會標，正方形等等。從學生身邊熟悉的實際問題出發(fā)，讓學生體會數(shù)學來源于生活又應用于生活，對材料中的問題從而引入課題。2通過探究實例，觀察歸納，形成概念。通過國際數(shù)學大會的會標中圖形的面積關系引入新課：1．重要不等式：如果從拼圖中觀察出圖形的面積得到結論另一方面從數(shù)的角度證明：當所以，，即引導學生充分討論，深入探究，通過觀察國際數(shù)學大會的會標中正方形的面積與四個直角三角形的面積之和的關系引出重要不等式，又用做差比擬法從數(shù)的角度證明此不等式，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想。換元代換，數(shù)形結合，深化概念。接著，由上面的結論，我們又可得到2．定理：如果a,b是正數(shù)，那么證明：∵，即顯然，當且僅當說明：ⅰ〕我們稱的算術平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可表達為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)ⅱ〕成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數(shù)，而后者要求a,b都是非負數(shù)?！场爱斍覂H當〞的含義是充要條件再從幾何的角度證明均值不等式：如圖：以長為a+b的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C，使AC=a,CB=b過點C作垂直于直徑AB的弦DD′,那么，即這個圓的半徑為，顯然，它不小于CD，即，其中當且僅當點C與圓心重合；即a=b時，等號成立歸納均值不等式幾何特征和代數(shù)特征，并得出根本不等式的其它幾種變形。師生互動，層層設問，采用換元的思想得出均值不等式，并強調不等式中a,b需要滿足的條件及等號成立的條件。培養(yǎng)學生換元的思想，整體與局部的思想。講解中始終貫穿數(shù)形結合的數(shù)學思想方法,從形與數(shù)兩個角度來證明根本不等式，并說明等號成立的條件。4、學以致用，培養(yǎng)能力例1．試判斷〔x>0與2的大小關系？如果將條件“x>0〞去掉，上述結論是否仍然成立？與2的大小關系？

在結論成立的根底上，條件“a>0,b>0〞可以變化嗎？為能及時將新知識納入已有的知識系統(tǒng)，強化概念的理解，領會概念間的內在聯(lián)系將此例題和學生一起完成。5、知識延伸、自主探究變式2．試判斷與1的大小關系？

變式的最小值求函數(shù)的最大值歸納總結出利用均值不等式求函數(shù)最值的條件及取等的條件。接下來共同探究例題2及例題2的再問，進一步深化知識。這時把時間交給學生，即能及時讓學生穩(wěn)固新知識，又能使他們品嘗到成功的喜悅，樹立信心繼續(xù)解決問題，這也正表達了數(shù)學教學中充分發(fā)揮學生的主觀能動性的教學理念。設置這兩個練習是兩個極易混淆的背景，需要學生課下充分討論，探究，深思熟慮后再解決，是課堂教學的延伸，同時也可以激發(fā)學生的潛力，進一步培養(yǎng)他們自主探究，團結協(xié)作，勇于探索的精神。6、解決實際問題通過講解例題2及再問問題，總結解決此類問題的方法規(guī)律，要注意的問題。進一步培養(yǎng)學生探究意識及創(chuàng)新意識，提高學生分析問題,解決問題的能力，并能利用所學數(shù)學知識，解決一些簡單的實際問題，同時認識到生活中蘊含著大量的數(shù)學信息。7、總結反思，提高認識本堂課你學到了什么？兩個重要的不等式:以上不等式中都是當且僅當a=b的時候等號成立。2.思想方法技巧：

〔1〕數(shù)形結合思想、整體與局部

〔2〕換元法、比擬法、分析法

〔3〕配湊等技巧不會反思就不會學習，通過反思，深化知識理解，完善認知結構，領悟思想方法。8、作業(yè)布置1.1.課本94頁業(yè)A組3題和B組1題2.預習3.3節(jié)根本不等式和最大〔小〕值。3.課外題及思考。為下節(jié)課埋下伏筆。作業(yè)1能保證全體學生對知識的穩(wěn)固應用，作業(yè)2，3能兼顧學有余地的學生，同時將探究的問題延伸到課外，滲透類比思想，讓不同的學生在數(shù)學上得到不同的開展，也表達了數(shù)學教學中遵循教學相長的教學原那么。教學反思本節(jié)教材主要研究：本節(jié)課，我們學習了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數(shù)a、b的算術平均數(shù)〔〕，幾何平均數(shù)〔〕及它們的關系〔≥〕它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù)它們既是不等式變形的根本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具它是本章的一個根底知識。所以無論從知識的結構上，還是對學生能力的培養(yǎng)上，本節(jié)課都有十分重要的作用?；谝陨辖滩乃幍牡匚缓妥饔?。我力求到達以下的教學目標：知識目標：學會推導并掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個重要定理理解這個定理的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥〞取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等能力目標：通過誘導，探索得出結論，培養(yǎng)學生抽象概括能力和邏輯思維能力；通過知識應用培養(yǎng)學生的分析和解決問題的能力。情感目標：通過探索與發(fā)現(xiàn)的過程，使學生親臨數(shù)學研究的成功與快樂，感悟數(shù)學樸實無華的內在美，學會提出問題分析問題解決問題，激發(fā)學生勇于探索，敢于創(chuàng)新的精神，優(yōu)化學生的思維品質。本節(jié)課教學注重表達以學生為本的理念，力求使培養(yǎng)學生的“知識與技能，過程與方法，情感態(tài)度與價值觀〞的三維目標落實于課堂實踐中。為了突出重點突破難點，本課的教學設計改變傳統(tǒng)的老師講授，學生接受的模式，采用學生動手，動腦，討論，探索，老師指導嘗試的方法。充分地調動學生的積極性，發(fā)揮了學生的主體地位，使教學過程成為一個再發(fā)現(xiàn)，再創(chuàng)造的認識過程。推廣到一般形式，由簡單到復雜，由特殊到一般，螺旋上升，符合學生學習的心理特點。充分利用教材中的“思考〞、“探究〞問題，還適當補充一些問題，通過實例，讓學生總結歸納，引導學生合作探討，調動學生獲取新知識的興趣，更好地在課堂上展現(xiàn)師生互動。同時在教學過程中重視培養(yǎng)學生類比、化歸的數(shù)學思想，培養(yǎng)他們用運動變化的觀點和類比的方法來探索新問題，激發(fā)他們勇于探索，敢于創(chuàng)新的精神，進一步把所學知識轉化為解決問題的能力。事實上，到了高三以后，有些學生還是很難準確地兩個根本不等式的使用條件及取等的條件。所以對于高二階段的學生，教學中始終牢牢把握這一難點，教學中我首先創(chuàng)設情境，激發(fā)學生的學習興趣，把問題作為教學的出發(fā)點，接著鼓勵學生觀察歸納，初步形成分類加法計數(shù)原理的概念，再類比歸納出分步乘法計數(shù)原理的概念，為了進一步深化概念，讓學生更好地區(qū)分兩個原理，我不失時機地將一組訓練題及變式題請同學自己完成，在講解例題中也是圍繞怎樣使用均值不等式來講解，為了進一步培養(yǎng)能力，還設置了一個變式問題，并鼓勵學生自己歸納出兩個原理的異同點。在知識延伸，自主