2021人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第四章數(shù)列（能力提升）單元測(cè)試（含解析）

第四章數(shù)列單元檢測(cè)（能力提升）

注：本檢測(cè)滿分150分。其中8道單選題，4道多選題，4道填空題，6道解答題

一、單選題

1.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,若%,生，4成等比數(shù)列，則生二（）

A.-4B.-6C.-8D.-10

,0,0

2.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，2530-（2+l）520+S10=0,則公比4等于（）

111c

A.-B.-C.-D.2

234

,、—S,,〃+5%

3.已知等差數(shù)列｛4｝,也｝的前〃項(xiàng)和分別為5〃和（，且十二斤=丁則才=（）

'n"6

6121816

A.-B.—C.—D.—

7112521

4.若數(shù)列｛4｝滿足：4=19,4+1二q「3（〃wN"），而數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和最大時(shí)，〃的值為（）

A.6B.7C.8D.9

5.著名物理學(xué)家李政道說：“科學(xué)和藝術(shù)是不可分割的”.音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的，

它們是按照嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法確定的.我國(guó)明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一

個(gè)利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個(gè)半音,

使相鄰兩個(gè)半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表所示，其中4,生，…，63表示這些半音的頻率，它們

滿足log2蟲=1（，=1,2,…,12）.若某一半音與D#的頻率之比為次，則該半音為（）

頻率a\生〃3*%4%%%4。%〃I2

半音CcnDD"EF尸GG#AA*BC（八度）

A.F*B.GC.G#D.A

6.若數(shù)列｛〃“｝滿足：對(duì)任意的〃￡N*（〃23）,總存在z,jsN",使an=4+勺。工&v,

則稱｛叫是“F數(shù)列現(xiàn)有以下數(shù)列也〃｝：①=2〃；②%=心③4=3"；④勺=（上乎）；

其中是產(chǎn)數(shù)列的有（）.

A.①③B.②?C.②③D.①?

7.已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項(xiàng)是2°，接下來的

兩項(xiàng)是2°、2、再接下來的三項(xiàng)是2°、2、2?，以此類推，若N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2

的整數(shù)箱，則N的最小值為（）

A.440B.330C.220D.110

8.等差數(shù)列4，。2,…，％（〃N3,〃￡N'），滿足

I"|+|?1+…+1?I=I4+11+16+11+…+1q+11=1%-2|+|出一2|+…+|4-2|=2019

，則（）

A.〃的最大值為50B.八的最小值為50

C.〃的最大值為51D.〃的最小值為51

二、多選題

9.首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列｛atl｝,其前〃項(xiàng)和為S”，現(xiàn)有下列4個(gè)命題中正確的有（）

A.若S[o=0,則Sz+Sg=0；

B.若54=兀，則使S〃>0的最大的〃為15

c.若$5>0,SI6<0,則｛S〃｝中$8最大

D.若S7Vs8,則S8Vs9

10.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為其前〃項(xiàng)和為5,，前〃項(xiàng)積為7；,并且滿足條件4>1,

生即）>1，馬二<°則下列結(jié)論正確的是（）

A.0<^r<lB.>1

C.S”的最大值為SoD.7；的最大值為4

2

11.意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)

列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列｛4｝滿足：4=1,%=1，q

若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為1,記前〃項(xiàng)所占的格子的面積之

和為s“，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為C”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.sn+l=^+[+an+canB-4+4+/++凡=%+2一1

C.4+%+6+D.4（%_%）=44_2?用

12.如圖，已知點(diǎn)后是4BC力的邊AB的中點(diǎn)，居（〃cN"）為邊8C上的一列點(diǎn)，連接A工交8力

于G“，點(diǎn)G,（〃tN*）滿足6,。=%/&/-2（2q+3）6”石，其中數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)

數(shù)列，S”是數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，貝!下列結(jié)論正確的是（）

A.%=13B.數(shù)列｛《,+3｝是等比數(shù)列

C.〃“=4〃-3D.S“=2"|-〃-2

三、填空題

13.已知數(shù)列｛q｝滿足4=1,。用則%）=.

14.設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，若《=-—且4=一:，則一一=________.

SnI*J口+12?019

15.已知函數(shù)/（司=黃7（xwR）,正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝滿足60=1，貝U

）+/（/〃4）+...+于（1嗎）等于.

16.如圖，在楊輝三角形中，斜線1的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1,3,3,

4,6,5,10,記其前幾項(xiàng)和為S.,則$21

四、解答題

17.在①對(duì)任意〃>1,滿足S〃+I+S〃_|=2(S“+1),②S〃+]-2=S“+〃“，③S〃=nan+｝-72(72+1)

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.

問題：已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，出=4,,若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，求數(shù)列｛《,｝的

通項(xiàng)公式；若數(shù)列｛4｝不一定是等差數(shù)列，說明理由.

4

18.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.,q=l,且S3=202+1.

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛叫為遞增數(shù)列，數(shù)列也｝滿足勿=杯」(〃￡4)，求數(shù)列或的前〃項(xiàng)和小

(3)在條件(2)下，若不等式力/北一3；1〃+”<()對(duì)任意正整數(shù)〃都成立，求4的取值范圍.

19.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足4=2,4X=2S“+3”(〃￡N.).

(1)求5“(用〃表示);

S.S,S3n5

(2)求證：當(dāng)〃之2時(shí)，不等式一+p+LT+—n-三成立.

%s2%27

20.市民小張計(jì)劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本

金：每月的還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②

等額本息：每個(gè)月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（若2019年7

月7口貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.

已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年，月利率為0.004.

（1）若小張采取等額本金的還款方式，現(xiàn)已得知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還

2510元，試計(jì)算小張?jiān)摴P貸款的總利息；

（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已

知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張?jiān)摴P貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；

（3）對(duì)比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式.

參考數(shù)據(jù)：LOCH?」。。2.61.

6

21.已知數(shù)列｛q｝滿足q=g，4討=意7，〃cN?

(1)若;1=1.

①求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

〃(〃+5)

②證明：對(duì)V〃EN*，aaa+aaa++《"〃+〃+：

A23234M-12(〃+2)(〃+3)

壺+1

(2)若4=2,且對(duì)W〃wN?，有證明：c

22.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，q=l,且％為與與S2的等差中項(xiàng)，當(dāng)〃N2時(shí)，總有

2S”「3S”+Si=0.

（1）求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）記①為在區(qū)間（0,4m[wM）內(nèi)的個(gè)數(shù)，記數(shù)列｛（一1）'"可｝的前拉項(xiàng)和為叱”，求

、n，

W

“20?

8

【新教材】2021人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

第四章數(shù)列單元測(cè)試(解析版)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

注：本檢測(cè)滿分150分。其中8道單選題，4道多選題，4道填空題，6道解答題

一、單選題

1.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,若外,%，%成等比數(shù)列，則出=()

A.-4B.-6C.-8D.-10

【答案】B

【解析】

【分析】

把火，。4用%和公差2表示，根據(jù)4，%，對(duì)成等比數(shù)列，得到

解得.

【詳解】

解：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛〃“｝的公差為2,若%，％，4成等比數(shù)列，

2

=a｝a4

即(q+4)2=4(%+6)

解得4=-8

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，與等比中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

,O,O

2.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列伍"的前〃項(xiàng)和為S.,2S3O-(2+1)S2O+S10=0,則公比4等于()

11

A--B.c.-D.2

34

【答案】A

【解析】

【分析】

S^o—S201

由條件可得;°_：。=旅即可求出0

—^10N

【詳解】

因?yàn)?1°53。一(21°+1)52。+5|0=0,所以210(030—S2G)—(S2G—，。)=0

山i、［Sw-§20_1Hr,々21+々22++030_?101

所以《—［一彳而，即—;—:—；——q2io

SR一‘u2〃”+avl++a”

因?yàn)?>0,所以q=；

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查的是等比數(shù)列的知識(shí)，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，較簡(jiǎn)單.

S〃+5a.

3.己知等差數(shù)列｛4｝,｛〃｝的前〃項(xiàng)和分別為S〃和7；,且亍二~~7,則,=()

2”14

6121816

A.-B.—C.D.——

7112521

【答案】A

【解析】

【分析】

由條件可設(shè)Sn=kn(n+5),Tn=kn(2n-1),然后計(jì)算出的和優(yōu)即可.

【詳解】

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝,｛勿｝的前"項(xiàng)和分別為5“和7；,且關(guān)3

所以可設(shè)5“=如(〃+5),Tn=kn(2n-1),

a-,6

所以。7=S7-S6=18k,bft=Tf>-Ti=2\kt所以丁=,.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查的是等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

4.若數(shù)列｛〃〃｝滿足：％=19q+|=4一3(〃￡N)，而數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和最大時(shí)，〃的值為()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】

方法一：

Van+1=an-3,

io

?』+「an=-3(ncN*),

???數(shù)列｛aj是首項(xiàng)為19,公差為-3的等差數(shù)列.

milcinn(n-l)3,413(41V1681

則Sn=19n+-----x(-3)=——rr+—n=——n----H------------

2v722216J24

所以n=7時(shí)，Sn取最大值.選B.

方法二：

??&+產(chǎn)a》,

-,-an+1-an=-3(neN*),

???數(shù)列｛aj是首項(xiàng)為19,公差為-3的等差數(shù)列.

/.an=\9-3(/1-1)=-3n+22,

???當(dāng)〃47時(shí)，。〃>0；當(dāng)〃之8時(shí)，見<。.

所以n=7時(shí)，S。取最大值.選B.

點(diǎn)睛：求等差數(shù)列前〃項(xiàng)和最值的常用方法：

①利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；

②利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；

③I等等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和S〃=A/+加（A、6為常數(shù)）看作關(guān)于項(xiàng)數(shù)〃的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)

的性質(zhì)求最值.

5.著名物理學(xué)家李政道說：“科學(xué)和藝術(shù)是不可分割的”.音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的,

它們是按照嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法確定的.我國(guó)明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一

個(gè)利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個(gè)半音,

使相鄰兩個(gè)半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表所示，其中4,電，…，43表示這些半音的頻率，它們

/\12

滿足Iog2也=1（，=1,2,…,12）.若某一半音與D#的頻率之比為啦，則該半音為（）

頻率%生%牝。6%A%4。%%小

半音CC"DD"EF尸GG#AA/BC（八度）

A.F*B.GC.G#D.A

【答案】B

【解析】

【分析】

利用對(duì)數(shù)與指數(shù)的轉(zhuǎn)化，得到數(shù)列4M2,…，《3為等比數(shù)列，公比g=25，然后求得所求半音對(duì)應(yīng)

的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，從而得到答案.

【詳解】

依題意可知q>0(〃=1,2,...,13).

(\12/\121

由于對(duì)。2…,，％3滿足log2—=1(/=1,2,...,12),則也=2,二.也=2日，

I4JI"生

所以數(shù)列4,4，…，43為等比數(shù)列，公比q=2上，￡>/對(duì)應(yīng)的頻率為?！}目所求半音與O#的頻率

2(_i_\4

之比為#5=2^=2>2,

\/

所以所求半音對(duì)應(yīng)的頻率為%212=%，即對(duì)應(yīng)的半音為G.

\/

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考杳等比數(shù)列的應(yīng)用，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算，等比數(shù)列的判定，等比數(shù)列的性質(zhì)，屬中檔題.

6.若數(shù)列｛4｝滿足：對(duì)任意的〃￡N，(〃N3),總存在/,/eN*,使an=q+a.(i^j,i<nj<n)t

則稱｛an｝是“F數(shù)列”.現(xiàn)有以下數(shù)列㈤｝:①%=2〃；②可="；③4=3"；④%=(與；

其中是尸數(shù)列的有().

A.①@B.②④C.②③D.①④

【答案】D

【解析】

【分析】

利用特殊值的方法可以否定②③，再根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)證明①④即可

【詳解】

①％=2,廁q=2,%=2(〃-1)二2〃-2,則為=4+an_1(〃23),故①是“尸數(shù)列”；

②=〃'則6=3?=9、若an=4+%(iw<n)，則i,j只能是1,2,但

12

22a

=1=1,tz2=2=4，此時(shí)/。+2，故②不是“F數(shù)列”；

③=3",則。3=3'=27,若4=4十勺只能是1,2,但q=3,4=32=9,

此時(shí)％工4+a2，故③不是“F數(shù)列”；

(此3),故④是“尸數(shù)列”

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,考查為新定義的理解，考查分析閱讀能力，考查推理論證能力

7.已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項(xiàng)是2°，接下來的

兩項(xiàng)是2°、2、再接下來的三項(xiàng)是2°、2、2?，以此類推，若N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2

的整數(shù)塞，則N的最小值為()

A.440B.330C.220D.110

【答案】A

【解析】

【分析】

把題設(shè)中的數(shù)列分成如下的組：(1),(1,2),(1,2,4),(1,2,4,8),,記前上組的和為■，算出［后

結(jié)合前N項(xiàng)和為2的整數(shù)嘉可得N的最小值.

【詳解】

把題設(shè)中的數(shù)列分成如下的組：(1),(1,2),(1,2,4),(1,Z4,8),,記前上組的和為，。

則(=1+(1+2)++(1+2+4++2”)

=1+(22-1)++(2A-1)=2A+,-^-2.

令1+2+3++左>100即2(&+1)>200,故攵之14.

故當(dāng)N>100時(shí)，數(shù)列至少包括前13組且含有第14組的前9個(gè)元素.

設(shè)前N項(xiàng)和為2的整數(shù)寡且第N項(xiàng)為第k組的第I個(gè)元素，則N=絲二D+/,

2

且前N項(xiàng)和SN=￡T+1+2++2^=2k-k-2+21,其中k>\4.

下證：當(dāng)AN14時(shí)，總有2J>2.

記g(k)=2=—攵，則當(dāng)&N14時(shí)，有g(shù)(攵)一g("l)=2"2-i>0,

故｛g(初為單調(diào)增數(shù)列，而g(14)=2"-14>0,故g(Z)Ng(14)>0即2->h

所以2"-2-2+2，>2k-l+2*7-2>2z,2/-％—2+2,<2"+2"=2日，

由5處為2的整數(shù)幕，故S'=2",從而4+2=2,，

當(dāng)左=14時(shí)，/=4,與/210矛盾；

30x29

當(dāng)上=30時(shí).，1=5,此時(shí)N=------+5=44(),

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查分組數(shù)列的和以及與不定方程的整數(shù)解，對(duì)于分組數(shù)列的前〃項(xiàng)和的問題，一般采用計(jì)算

“大組”和，再計(jì)算“小組”和，而不定方程的整數(shù)解問題，則需把和式放縮為2的正整數(shù)需的形

式，從而確定和的表達(dá)式，本題屬于難題.

8.等差數(shù)列4M2,…，凡(〃之3,〃WN)滿足

1〃11+1/1+…+14I=+1|+16+1|+…+U+1|=Iq-2|+|出-21+…+|〃"一2|=2019

，則()

A.〃的最大值為50B.〃的最小值為50

C.〃的最大值為51D.〃的最小值為51

【答案】A

【解析】

【分析】

,、[a.,>0

首先數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)一定滿足既有正項(xiàng)，又有負(fù)項(xiàng)，不妨設(shè)J；k[。，由此判斷出數(shù)列為偶數(shù)項(xiàng)，

利用配湊法和關(guān)系式的變換求出n的最大值.

【詳解】

｛6｝為等差數(shù)列,則使

14

=|?i+1|+|?2+1|+---+|??+1|=|^-2|+|a2-2|+---+|aZJ-2|=2019,所以

數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)一定有正有負(fù)，不妨設(shè)％<0,4>0,因?yàn)?/p>

aa=

|^iH2h---nI|4+l|+|a2+lp----F|4-11=1^]—2|+|a2—2p---2|=2019為定

a...>0[a,.,-2>0....

值，故設(shè)〈八，且〈,八，解得d〉3.若q<0且4+1<0,則同一4+1=1,同理

1111

ak<0&+1<0

若l*o,則何+i卜聞=1.所以勿《.|-之河+1|=￡何+1卜之同=攵，所以數(shù)列｛叫的

/=11=1/=*+1r=i+l

項(xiàng)數(shù)為24，所以

|q[+同+…+|?！▅=-?1-a2--ak+ak+l+ak+2++a2k

=-2(q+g++4)+(4+%+

=&2d=2019，由于d〉3,所以公1=2019>3公，解得公<673，故kV25/W50,故選A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查

化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

二、多選題

9.首項(xiàng)為正數(shù),公差不為0的等差數(shù)列｛4｝,其前〃項(xiàng)和為S“,現(xiàn)有下列4個(gè)命題中正確的有()

A.若S[0=。，則S?+Sg=。；

B.若S,=S12,則使5“>0的最大的n為15

C.若S15>0,sl6<0,則｛sj中$8最大

D.若S7Vs8,則S8Vs9

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的求和公式，逐項(xiàng)判斷，即可得答案.

【詳解】

1()x9

A選項(xiàng)，若Eo=lOq+^—d=0,則2q+9d=0,

那么S?+Sg=（2q+d）+（8q+28d）=lOq+29d=-16dr0.故A不正確：

B選項(xiàng)，若SA=Sc，則％+4+L+4+《2=4（4+%）=。，

又因?yàn)?>0,所以前8項(xiàng)為正，從第9項(xiàng)開始為負(fù)，

因?yàn)镾y二（a；；%）=8（6+%）=。，

所以使Sn>0的最大的〃為15.故B正確；

C選項(xiàng)，若兒」51+4）=15%>0,q=16（4+%）=8（4+%）<0,

則例>0,。9<°，則｛S〃｝中Sg最大.故C正確；

D選項(xiàng)，若S?<Sg,則/>0,而S<,-S8=的，不能判斷出正負(fù)情況?故D不正確.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的求和公式，屬于?？碱}型.

10.設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4,其前〃項(xiàng)和為s“，前〃項(xiàng)積為并旦滿足條件q>l,

%4o>1，一」［<°則下列結(jié)論正確的是（）

60-1

A.0<<7<1B.al0an>1

C.S“的最大值為A。D,7；的最大值為7；

【答案】AD

【解析】

【分析】

利用等比數(shù)列｛%｝,得數(shù)列｛Igaj為等差數(shù)列，用等差數(shù)列的性質(zhì)得出0和。的大小關(guān)系

【詳解】

解：因?yàn)榈缺葦?shù)列｛4｝的公比為4,由佝《。>1得4>。，所以數(shù)列｛1g%｝為等差數(shù)列，公差為

d=lgq,

由于4>1,>1,則4>0且得于4>0,Ig%+lg/o〉。,

16

〃。一1八

由-----；<°,得。9>1，4。<1，

4n—?

a—1

若則4>1，而4>1,則％=41d1>1,則為>1,?10>1,此時(shí)——7<°不成立,

所以9<1,所以O(shè)vqvl,所以A正確；

由佝>1,?10<1,得lg%>O,lg4<0,又因?yàn)閘gq>0,所以數(shù)列｛Igaj為遞減數(shù)列，從第

10項(xiàng)開始小于零，故前9項(xiàng)和IgT；最大，即可7；的最大值為所以D正確，

因?yàn)閘gqo+lg《i<0,所以即）知<1,所以B不正確,

因?yàn)镺vqvl,4>1,所以數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以S“沒有最大值，所以C不正確，

故選：AD

【點(diǎn)睛】

此題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)和前"項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題

11.意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)

列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列｛與｝滿足：6=1，。2=1，4=qi+a“-2（〃N3,〃￡N+）.

若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為1,記前〃項(xiàng)所占的格子的面積

之和為S“，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為c“，則下列結(jié)論正確的是（）

A.Sn+l=a^+an+canB.4+/+%++/=°”+2-1

C.4+%+6++出,1=%”一1D.4（?！耙弧?）=44_2.《網(wǎng)

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)題中遞推公式，求出s“，c?,數(shù)列的前〃項(xiàng)和，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和，與選項(xiàng)對(duì)比即可.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列總滿足an=%+?！ㄒ?(〃之3,〃￡N)

所以,

生2=a2a2=4(%—卬)=出生-a2a},

a=aaaa

=a3a=/(。4~2)34~32，

aaaa

類似的有，a；=anan=%(a〃+i—)=n,i+\~nn-\?

累加得af+a1+aj++〃；=〃”?an_},

+a

由題知5W+I=d+d+d++WLi=%4+2=q，

故選項(xiàng)A正確，

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)閝=q,出=。3-。1，%=%-。2，

類似的有%

累加得4+生+%++4=%+4川一4二g+2-1，

故選項(xiàng)B正確，

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?=%,a3=a4-a2ta5=ah-a4,

類似的有42".|=。2〃-4吁2，

累加得4+。3++。2〃-1=4+a2n-%=4〃，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,

2

對(duì)于D選項(xiàng)，可知扇形面積’,二生含

故4(q,_q-)=4=?

故選項(xiàng)D正確，

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的性質(zhì)，屬于一般題.

12.如圖，已知點(diǎn)E是ABC力的邊的中點(diǎn)，工(〃￡N")為邊8C上的一列點(diǎn)，連接AF“交BO

于G”,點(diǎn)G,(〃￡N*)滿足6O=a〃/G〃A—2(2?〃+3>GE，其中數(shù)列{4}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)

18

數(shù)列，s“是數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）

A.%=13B.數(shù)列｛丹+3｝是等比數(shù)列

C.—4??—3D.S'=2""一"一2

【答案】AB

【解析】

【分析】

化簡(jiǎn)得到&￡>=（。川一應(yīng)-3>G/-（2a〃+3>G〃B,根據(jù)共線得到。用一2勺-3二0,即

。出+3=2（。〃+3）,計(jì)算勺=2皿-3,依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】

G.Q=1.G“A-2（24+3）［（G“A+GtlB）,

故GQ=（q川—〃一3）G.A—（24+3）G/,G“D,G”B共線,故。用一2?！ㄒ?二0,

即4川+3=2（4+3）,4=1,故4+3=4x21,故〃“=2向一3.

%=24-3=13,4正確；數(shù)列｛%+3｝是等比數(shù)列，8正確；

%=2h一3,。錯(cuò)誤；s=4^^-3〃=2"+2-3〃-4,故O錯(cuò)誤.

“1-2

故選：AB.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量運(yùn)算，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)

用能力.

三、填空題

13.已知數(shù)列也｝滿足4=1,%+L系，（"N*）,則。2。=.

【解析】

【分析】

利用已知條件證得數(shù)列《一1卜是等差數(shù)列，由此先求得1一，再求得/()?

qj"20

【詳解】

依題意數(shù)列｛為｝滿足q=1,q+I=B^5WN"),

11c

所以一=一+2,

—4

11,

所以數(shù)列《一卜是以一二1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，

所以-^-=1+19x2=39no”=工.

出039

故答案為：—

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.

14.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若[([-1]=」一(〃￡.),且4二一4，則——=_______.

“S”J4+12>2019

【答案】-2020

【解析】

【分析】

變形可得一—一!二一1，說明

用。用=s〃x—s〃，代入已知等式，得S“M—S”=S“+|-S〃，

，+1，[Sn

是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，可得「的值.

^2019

【詳解】

1f111

a”+i=S〃+i—S",--1=-----=-一二^-，整理可得S“+[-S“=S“+i?S",

3八3“//+i3"+i一，

則S,1即^_一]=-1,

?W+l%%+1%+13〃

20

111

所以，是以T為公差的等差數(shù)列，又丁=一二一2，

=-2+(w-1)(-1)=-(/?+1),則一!一=_2U20.

S0,^2019

故答案為：-2020.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的判定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題.

15.已知函數(shù)“X)二黃工，(XG/?),正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃〃｝滿足須=1,則

/(歷4)+/(/“)+...+/(/心)等于

【答案】々99

2

【解析】

試題分析：因?yàn)?(%)=黃V］，所以f(x)+/(_x)=§、V+黃3幣T＞=1.因?yàn)閿?shù)列｛〃“｝是等比數(shù)

歹|J,所以4%=42a98==々49%1=3)=1，即

In"+ln〃99=Ina2+ln%8==lna49+ln(75l=0.設(shè)

S99=/(Inai)+/(Ina2)+/(Inay)++/(lna99)①，又S9=/=%)珈GS如

+...+/(lnaI)②，①+②，得2s99=99,所以為二萬.

考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的性質(zhì)；2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算；3、數(shù)列求和.

【知識(shí)點(diǎn)睛】如果一個(gè)數(shù)列｛4｝,與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和(都相等，為定

值)，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒

序相加法.如等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.

16.如圖，在楊輝三角形中，斜線1的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1,3,3,

4,6,5,10,…，記其前〃項(xiàng)和為S,,則“

【答案】361

【解析】

【分析】

〃+4+4〃+3

將〃按照奇偶分別計(jì)算%:當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a=--；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，a

nn8

11個(gè)10個(gè)

S”=3|+。3+..%)+(。2+。4+??為)"算得到答案，

【詳解】

解法一：根據(jù)楊輝三角形的生成過程，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，。”二學(xué)，

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，4=1,2=3,=q+〃〃-1”

2

CQn+\n+4/24-3

o,一q=2,3%=3,an-an_2=—,an=——-——

Lo

“個(gè)10個(gè)

S2i=(q+。3+…%)+(%+4+??/)

=(l+3+6+...+66)+(3+4+5+...4-12)=286+75=361

2

解法二：當(dāng)〃二26一1(mwN")時(shí)，〃”=*=皿1+加nr

2

當(dāng)〃=2m(mwN.)時(shí)，an=a2m=tn+2,

11個(gè)io個(gè)

S21=(q+a3+...〃2])+(〃2+4+???%))

12c2112、c110,(34-12)

=-[r(/1+2+...11)+(Z1+2+…+11)]+---------

22

111x12x23+-xH211Z75253+33+75=361

=-x+=

2622

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列的前N項(xiàng)和，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和解決問題的能九

四、解答題

22

17.在①對(duì)任意/2>1,滿足Sn+l+S〃_]=2（Sn+1）,②S“+|-2=S〃+a”，③S〃=叫用一〃（〃+1）

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.

問題：已知數(shù)列&｝的前〃項(xiàng)和為S“，生=4,,若數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，求數(shù)列｛q｝的

通項(xiàng)公式；若數(shù)列｛4｝不一定是等差數(shù)列，說明理由.

【答案】選擇條件①，數(shù)列｛〃〃｝不一定是等差數(shù)列，理由見解析；選擇條件②，數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公

式為《,=2"；選擇條件③，=2+2（〃-1）=2兒

【解析】

【分析】

若選擇條件①，可得S"1-S“=S〃-S“T+2,即見a”=2,由于無法確定外的值，即可判斷；

若選擇條件②：可得。2-q=2,〃tN?，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算得解；

若選擇條件③：利用4=1。?？傻?+1-4=2,HGN4.再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公

式計(jì)算得解；

【詳解】

解：選擇條件①：

因?yàn)閷?duì)任意〃〉1,滿足S〃+aS“一|=2（S〃+l）,

所以Sn+i-Sn=Sn-Sn_t+2,所以％=2.

因?yàn)闊o法確定4的值，所以見一4不一定等于2.

所以數(shù)列｛a,,｝不一定是等差數(shù)列.

選擇條件②：

由S“+i-2=S”+%,得5〃+]-S〃一=2,即。*-an=2，N*.

又因?yàn)?=4,所以4=2.

所以數(shù)列｛嗎是等差數(shù)列，其公差為2.

因此，數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為4=2”.

選擇條件③：

因?yàn)镾”=陷川一

所以S〃_]=(n-l)aw-n(n-l)(n>2),

兩式相減得an=-l)a〃一2〃(〃>2),BPan+i-an=2(〃>2).

又S|=4-2,即生一4=2,所以能“一4=2,〃GN*，

又〃2=4,生一4=2,所以4=2：

所以數(shù)列｛為｝是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

所以4=2+2(〃-1)=2〃.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，根據(jù)S“求通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=1,且S'3=2S2+1.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，數(shù)列｛〃｝滿足n二號(hào)二(〃cN*),求數(shù)列么的前〃項(xiàng)和小

(3)在條件(2)下，若不等式3/1〃+"<0對(duì)任意正整數(shù)〃都成立，求2的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)夕=2時(shí)：氏=2?。划?dāng)4=一1時(shí)：a?=(-\y-[

【解析】

【分析】

<1)直接利用等比數(shù)列公式得到答案.

(2)利用錯(cuò)位相減法得到答案.

2fl—1

(3)將不等式力?7；-3；1〃+2<0轉(zhuǎn)化為2,，根據(jù)雙勾函數(shù)求數(shù)列的最大值得到答案?

2〃?+3n

【詳解】

2

(1)S3=2s2+1=%+axq+axq-24+2a闖+1=q=2,q=-l

當(dāng)4=2時(shí)：an=

nl

當(dāng)q=—1時(shí)：an=(-\)-

(2)數(shù)列｛凡｝為遞增數(shù)列，。〃=22,^=-^=(2n-l)(-r

T=lx—+3x(-)2+5x(—)34-...+(2M-1)(—)rt

2222

24

5=嗎嶺+5嗎、.*2〃一嗎嚴(yán)

兩式相加，化簡(jiǎn)得到

+,

/=92x夕+2x夕+2x(1/+...+2x/一(2〃—1)(1)"

Z,=3一(；尸一(2”1)(夕=3一竽

(3)7；,=3-(1)fl-2-(2n-1)(1)H<3

bQI)])”

2w-l_2n-l