2022屆湖南省益陽市高三下學(xué)期3月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題解析版

2022屆湖南省益陽市高三下學(xué)期3月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可；【詳解】解：因?yàn)椋詮?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第四象限，故選：D2．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】由可求出，比較與的關(guān)系可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，顯然由推不出，由可推出，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.3．已知，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】，，，所以．故選：B．4．若，則A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求得tanα，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求得sin2α﹣sinαcosα﹣3cos2α的值．【詳解】由可知：∴，∴，又==.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．5．為迎接新年到來，某中學(xué)2022作“唱響時代強(qiáng)音，放飛青春夢想”元旦文藝晚會如期舉行.校文娛組委員會要在原定排好的8個學(xué)生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，若保持原來的8個節(jié)目的出場順序不變，則不同排法的種數(shù)為(

)A．36 B．45 C．72 D．90【答案】D【分析】采用插空法即可求解.【詳解】采用插空法即可：第1步：原來排好的8個學(xué)生節(jié)目產(chǎn)生9個空隙，插入1個教師節(jié)目有9種排法；第2步：排好的8個學(xué)生節(jié)目和1個教師節(jié)目產(chǎn)生10個空隙，插入1個教師節(jié)目共有10種排法，故共有9×10＝90種排法.故選：D.6．如圖，已知等腰中，，，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，則（

）A．為定值10 B．為定值6C．最大值為18 D．與P的位置有關(guān)【答案】A【解析】設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量的加法的幾何意義、余弦定理、平面向量的數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè).，因?yàn)?，，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，考查了平面向量數(shù)量積的定義，考查了平面向量的加法的幾何意義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7．甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋此賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為i的方框表示第i場比賽，方框中是進(jìn)行該場此賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙，丙、丁之間相互比賽，每人勝負(fù)的可能性相同.則甲獲得冠軍的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】甲獲得冠軍，有三種途徑，第一種連勝三場，第二種先勝一場，然后輸一場勝兩場，第三種先輸一場，再連贏三場，求三種情況的概率之和即可．【詳解】甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：1勝3勝6勝；1勝3負(fù)5勝6勝；1負(fù)4勝5勝6勝；所以甲獲得冠軍的概率為,故選：D8．若雙曲線：，，分別為左?右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是在雙曲線上且在第一象限的動點(diǎn)，點(diǎn)為△的內(nèi)心，，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為雙曲線的一部分C．若，，則D．不存在點(diǎn)，使得取得最小值【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程直接寫出漸近線方程判定A；由圓的切線長定理和雙曲線的定義可求得的橫坐標(biāo)，可判定B；由雙曲線的定義和余弦定理，利用等面積法求得的縱坐標(biāo)，由正弦和求交點(diǎn)，求得的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，可得，可判定C；若與關(guān)于y軸對稱，結(jié)合雙曲線的定義及對稱性可得，可判定D.【詳解】由題意，雙曲線，可知其漸近線方程為，A錯誤；設(shè)，△的內(nèi)切圓與、、分別切于、、，可得，由雙曲線的定義可得：，即，又，解得，則的橫坐標(biāo)為，由與的橫坐標(biāo)相同，即的橫坐標(biāo)為，故在定直線上運(yùn)動，B錯誤；由且，解得：，∴，則，∴，同理可得：，設(shè)直線，直線，聯(lián)立方程得，設(shè)△的內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，即，∴，由，可得，解得，故，C正確；若與關(guān)于y軸對稱，則且，而，∴，故要使的最小，只需三點(diǎn)共線即可，易知：，故存在使得取最小值，D錯誤.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：D選項(xiàng)求動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離最值，應(yīng)用雙曲線的定義及對稱性將動點(diǎn)轉(zhuǎn)移到兩定點(diǎn)之間的某條曲線上，結(jié)合兩定點(diǎn)間的線段最短求最小值．二、多選題9．據(jù)新華社報(bào)道，“十三五”以來，中國建成了全球規(guī)模最大的信息通信網(wǎng)絡(luò)，光纖寬帶用戶占比從2015年底的56%提升至94%，行政村通光纖和4G的比例均超過了99%；中國移動網(wǎng)絡(luò)速率在全球139個國家和地區(qū)中排名第4位；在5G網(wǎng)絡(luò)方面，中國已初步建成全球最大規(guī)模的5G移動網(wǎng)絡(luò)．如圖是某科研機(jī)構(gòu)對我國2021-2029年5G用戶規(guī)模和年增長率發(fā)展的預(yù)測圖，則下列結(jié)論正確的是（

）2021—2029年中國5G用戶規(guī)模和年增長率發(fā)展預(yù)測圖A．2021-2029年，我國5G用戶規(guī)模逐年增加B．2022-2029年，我國5G用戶規(guī)模后4年的方差小于前4年的方差C．2022-2026年，我國5G用戶規(guī)模的年增長率逐年下降D．2021-2029年，我國5G用戶規(guī)模年增長最多的是2022年【答案】ABC【分析】根據(jù)預(yù)測圖對選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題圖可知，2021-2029年，我國5G用戶規(guī)模逐年增加，故A正確；2022-2029年，我國5G用戶規(guī)模前4年比后4年的分散，方差比后4年的大，故B正確；2022-2026年，我國5G用戶規(guī)模的年增長率逐年下降，故C正確；2021-2029年，我國5G用戶規(guī)模年增長最多的是2023年，增加了37499.9萬人，而2022年我國5G用戶規(guī)模增加了20498.1萬人，所以D錯誤．故選：ABC10．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若f(x1)＝f(x2)＝0，則x1x2是π的整數(shù)倍B．函數(shù)的遞減區(qū)間是（）C．函數(shù)圖象關(guān)于對稱D．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】BC【分析】求出函數(shù)的零點(diǎn)，從而可判斷A；令，求出的范圍，從而可判斷B；判斷是否為函數(shù)的最值，即可判斷C；求出，即可判斷D.【詳解】解：對于A，由函數(shù)，令，則，，因?yàn)閒(x1)＝f(x2)＝0，所以，所以是的整數(shù)倍，故A錯誤；對于B，令，則，即函數(shù)的遞減區(qū)間是，故B正確；對于C，，所以函數(shù)圖象關(guān)于對稱，故C正確；對于D，，所以點(diǎn)不是函數(shù)圖象的對稱中心，故D錯誤.故選：BC.11．函數(shù)的取值可以為（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由題得，再利用數(shù)形結(jié)合分析求解.【詳解】解：由題得可理解為單位圓上動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和.如圖所示，點(diǎn)處于位置時，三點(diǎn)共線取到最小值，當(dāng)位于時，，此時.過了點(diǎn)逆時針運(yùn)動時，都在逐步增加，當(dāng)位于時，，此時.故選：CD12．已知正方體的棱長為2，點(diǎn)E、F分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)P在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，則下列說法正確的是（

）A．若P是線段的中點(diǎn)，則平面平面B．若P在線段上，則異面直線與所成角的范圍是C．若平面，則點(diǎn)P的軌跡長度為D．若平面，則長度的取值范圍是【答案】ACD【分析】對于A，先證明，，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理即可判斷；對于B，由可將與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，結(jié)合為正三角形可得與所成角的取值范圍；對于C，先利用線面位置關(guān)系得到點(diǎn)的軌跡，然后求解即可；對于D，先由線線平行證明線面平行，進(jìn)而得面面平行，可確定點(diǎn)的軌跡為線段，然后結(jié)合勾股定理求解長度的最值即可求解．【詳解】對于A：因?yàn)?、分別是線段、的中點(diǎn)，所以，則，則，所以，又由平面，所以，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，即選項(xiàng)A正確；對于B：在正方體中，，所以與所成的角為與所成的角，連接、，則為正三角形，所以與所成角的取值范圍為，即選項(xiàng)B錯誤；對于C：設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，由，所以平面，同理可得平面，又因?yàn)?，所以平面平面，又由平面，所以直線平面，故點(diǎn)的軌跡是線段，易得，即選項(xiàng)C正確；對于D：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，連接、，則，又因?yàn)?，所以，所以平面，連接、，由，且，得，故、、、四點(diǎn)共面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，由知、，連接，，在中，，所以，所以，則，故線段長度的最小值為，線段長度的最大值為，所以長度的取值范圍是，即選項(xiàng)D正確．故選：ACD．三、填空題13．二項(xiàng)式的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是____________.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】首先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，再令，解出，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，故展開式中項(xiàng)的系數(shù)為；故答案為：14．已知直線，若P為l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線，切點(diǎn)為A、B，當(dāng)最小時，直線的方程為__________.【答案】【分析】由已知結(jié)合四邊形面積公式及三角形面積公式可得，說明要使最小，則需最小，此時與直線垂直，寫出所在直線方程，與直線的方程聯(lián)立，求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫出以為直徑的圓的方程，再與圓的方程聯(lián)立可得所在直線方程．【詳解】解：的圓心，半徑，四邊形面積，要使最小，則需最小，當(dāng)與直線垂直時，最小，此時直線的方程為，聯(lián)立，解得，則以為直徑的圓的方程為，則兩圓方程相減可得直線的方程為．故答案為：．15．已知函數(shù)，若且，則的最小值為_________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖形，即可得到，再根據(jù)將轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，即可得解；【詳解】解：由，可得函數(shù)圖象如下所示：因?yàn)榍?，所以，且，所以，令，，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；故答案為：16．已知數(shù)列中，，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_______.【答案】【分析】根據(jù)條件，先構(gòu)造等比數(shù)列求出，再由得，從而可求和.【詳解】由，有，；兩式相除得到，所以是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，，，從而.所以.故答案為：四、解答題17．在①；②；③，這三個條作中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，求的中線長度的最小值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）若選①，則根據(jù)正弦定理，邊化角，再利用余弦定理即可求得答案；若選②，則根據(jù)正弦定理，邊化角，再利用兩角和的正弦公式化簡，求得答案；若選③，則根據(jù)正弦定理，邊化角，再利用誘導(dǎo)公式結(jié)合倍角公式化簡，求得答案；（2）根據(jù)可得，利用余弦定理得到，在三角形中，由余弦定理求得，即可求得答案.【詳解】(1)選擇條件①：由及正弦定理，得：，即，由余弦定理，得,因?yàn)?，所以；選擇條件②：由及正弦定理，得：，即.即.在中，，所以，即，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以；選擇條件③：由及正弦定理，得：，因?yàn)?，所以.在中，，則，故.因?yàn)?，所以，則，故；(2)因?yàn)椋?，整理得，在三角形中，由余弦定理?因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，所以，即，即長度的最小值為.18．為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列依次為：，2、，，，，，，，，，，，，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)的和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用得出數(shù)列的遞推關(guān)系，得其為等差數(shù)列，再求得后可得通項(xiàng)公式；（2）由數(shù)列的生成規(guī)律得出其前50項(xiàng)中含有的中的項(xiàng)（數(shù)）和數(shù)列的中的項(xiàng)（數(shù)），然后由分組求和法計(jì)算．【詳解】(1)，解得（舍去），由得時，，兩式相減得，，因?yàn)?，所以，是等差?shù)列，公差為2，所以；(2)由于，，，因此數(shù)列的前50項(xiàng)中含有的前9項(xiàng)，含有中的前41項(xiàng)，所求和為．19．如圖，四棱錐中，，，，，為線段上一點(diǎn)，平面，平面平面.(1)求；(2)若三棱錐體積為，求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）連接交于，求出，由線面平行的性質(zhì)定理得，從而得結(jié)論；（2）證明平面，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【詳解】(1)連接交于，由，，得，所以，，即，，，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，所以?2)因?yàn)?，，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，由?）得，所以，即，，平面即為平面，如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個法向量是，則，取得，平面一個法向量是，．二面角為銳二面角，所以其余弦值為．20．從2019年的11月份開始，新冠肺炎疫情逐漸在全球開始蔓延，目前，國內(nèi)外疫情防控形勢仍嚴(yán)峻復(fù)雜.(1)為有效控制疫情傳播，需對特殊人群進(jìn)行核酸檢測，為提高檢測效率，多采用混合檢測模式.“k合1”“混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測，如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則每人的檢測結(jié)果均為陰性，檢測結(jié)束；如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進(jìn)行1次檢測，得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確，若將這100人隨平均分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測試.求兩名感染者不在同一組的概率.(2)2021年12月來，西安市爆發(fā)了新冠局部疫情，受疫情影響，餐飲和旅游都受到了影響.某網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)了西安“面”在2022年1月7至11日的網(wǎng)絡(luò)售量y（單位：百件），得到以下數(shù)據(jù)：日期x7891011銷售量y（百件）1012111220根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)r加以判斷，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？若可以，求出y關(guān)于x之間的線性回歸方程；若不可以，請說明理由.參考數(shù)據(jù)：，參考公式：相關(guān)系數(shù).回歸直線的方程是：，其中，.【答案】(1)(2)可以，【分析】（1）先求得兩名感染者在同一組的概率，再求不在同一組的概率即可；（2）根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得相關(guān)系數(shù)，再求回歸直線方程即可.【詳解】(1)若兩名感染者在同一組，則該組還需從另外的98人中抽取3人，故兩名感染者在同一組的概率為.故所求兩名感染者不在同一組的概率為；(2)由已知得：，，，，，因?yàn)?，說明y與x的線性相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，∴，則y關(guān)于x的線性回歸方程為：.21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓A：（x－1）2＋y2＝16，點(diǎn)B（－1，0），過B的直線l與圓A交于點(diǎn)C，D，過B作直線BE平行AC交AD于點(diǎn)E.(1)求點(diǎn)E的軌跡τ的方程；(2)過A的直線與τ交于H，G兩點(diǎn)，若線段HG的中點(diǎn)為M，且＝2，求四邊形OHNG面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）畫出圖形，轉(zhuǎn)化可得，結(jié)合橢圓第一定義可求τ的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線為x＝ty＋1，聯(lián)立直線與橢圓方程得關(guān)于的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，結(jié)合化簡得，結(jié)合換元法和基本不等式可求，再由轉(zhuǎn)化得即可求解.【詳解】(1)如圖，因?yàn)?，所以＝，|AC|＝|AD|＝4，所以|EB|＝|ED|，所以|EB|＋|EA|＝|ED|＋|EA|＝|AD|＝4>|AB|＝2，所以E的軌跡是焦點(diǎn)為A，B，長軸長為4的橢圓的一部分，設(shè)橢圓方程為，則2a＝4，2c＝2，所以a2＝4，b