2022屆上海市民辦南模中學(xué)高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題解析版

2022屆上海市民辦南模中學(xué)高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知是平面，l、m、n是空間三條不同的直線，則下列命題中正確的個數(shù)（

）．①若，，，，則；②若，，則；③若點A、B不在直線l上，且到l的距離相等，則直線；④若三條直線l、m、n兩兩相交，則直線l、m、n共面；⑤若，，，則；⑥若，，，則．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用線面，面面平行垂直關(guān)系的判定定理及性質(zhì)定理進行判斷【詳解】對于①，該項中當是相交直線才成立，錯誤；對于②，空間中兩條直線垂直于同一條直線時這兩條直線可平行、相交或異面，錯誤；對于③，兩點到一條直線的距離相同，這兩點可以在直線的兩側(cè)，此時不成立，錯誤；對于④，若三條直線兩兩相交于一點，則它們可確定一個平面或三個平面，錯誤；對于⑤，若，可以推出，但是無法推出，兩者還可以異面，錯誤；對于⑥，兩條直線同時垂直于同一平面兩直線平行，即，利用平行線的傳遞性可以得到，正確綜上只有⑥正確故選：B2．函數(shù)的反函數(shù)圖像向左平移1個單位，得到曲線，函數(shù)的圖像與曲線關(guān)于成軸對稱，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平移得到曲線：，再根據(jù)是的反函數(shù)，計算得到答案.【詳解】函數(shù)的反函數(shù)為，向左平移一個單位得到曲線：函數(shù)的圖像與曲線關(guān)于成軸對稱，則是的反函數(shù)即故選【點睛】本題考查了反函數(shù)的計算，意在考查學(xué)生對于反函數(shù)知識的掌握情況.3．德國數(shù)學(xué)家狄利克雷是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名狄利克雷函數(shù)的解析式為，關(guān)于狄利克雷函數(shù)，下列說法不正確的是（

）．A．對任意，B．函數(shù)是偶函數(shù)C．任意一個非零實數(shù)T都是的周期D．存在三個點、、，使得為正三角形【答案】C【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義結(jié)合偶函數(shù)的定義、周期函數(shù)的定義等逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】任意，或，故，故A正確.任意，因此同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，故，即是偶函數(shù)，故B正確.取，則，故，故不是周期函數(shù)，故C錯誤.取，則，則，故，故為正三角形，故D正確.故選：C.4．已知數(shù)列滿足：當時，；當時，；對于任意實數(shù)，則集合的元素個數(shù)為（

）A．0個 B．有限個 C．無數(shù)個 D．不能確定，與的取值有關(guān)【答案】C【分析】討論，，和且三種情況，根據(jù)題意可以得到：若，則；若，則；若，則；若，則.不妨從時開始討論，得到的符號，最后得到答案.【詳解】當時，根據(jù)題意，則，則集合的元素有無數(shù)個；當時，則，根據(jù)題意，則，則集合的元素有無數(shù)個；當且時，，若，則；若，則；若，則；若，則.而，則時，數(shù)列遞減且無下限（※）；時，數(shù)列遞增且無上限（）.（1）若，則，根據(jù)（※）可知，在求解的迭代過程中，終有一項會首次小于0，不妨設(shè)為；（2）若，則；①若，則，接下來進入（2）或（3）；②若，接下來進入（3）；（3）若，則，接下來進入（1）或（4）；（4）若，則，接下來進入（2）或（3）.若，則進入（4）.若，則進入②.若，則進入①.如此會無限循環(huán)下去，會出現(xiàn)無限個負數(shù)項.綜上：集合的元素個數(shù)為無數(shù)個.故選：C.【點睛】本題比較復(fù)雜，剛開始的，容易想到，當且時，注意要對的四種情況進行分類，然后從某一種情況開始進行推理，其它情況可以以此類推，類似這樣的題目一定要細心.二、填空題5．若，則實數(shù)a的取值集合為______．【答案】【分析】根據(jù)元素的確定性和互異性可求實數(shù)a的取值.【詳解】因為，故或或，當時，，與元素的互異性矛盾，舍；當時，，符合；當時，或，根據(jù)元素的互異性，符合，故a的取值集合為.故答案為：6．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是______．【答案】，【分析】根據(jù)絕對值的定義去絕對值，寫成分段函數(shù)形式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】去絕對值，得函數(shù)當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為綜上，函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：，7．已知數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【分析】利用通項和前n項和的關(guān)系可求的通項公式.【詳解】，整理得到，故答案為：.8．函數(shù)，的反函數(shù)為______．【答案】，【分析】根據(jù)反函數(shù)的概念直接得解.【詳解】由函數(shù)在的圖象與上的圖象關(guān)于直線對稱，且，又時，函數(shù)的反函數(shù)為，，故時，函數(shù)的反函數(shù)為，，故答案為：，.9．若滿足，，的恰有一個，則實數(shù)k的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)條件由正弦定理表示，判斷唯一解時的范圍【詳解】已知，則由正弦定理，則，又，當時，有兩解；當或時，有唯一解，故．故答案為：10．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，若數(shù)列單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】．【分析】分段函數(shù)型數(shù)列是遞增數(shù)列，需要每段是遞增函數(shù)，且分段端點滿足后一項大于前一項，聯(lián)立不等式解出實數(shù)即可.【詳解】數(shù)列是遞增數(shù)列，又，，且，，解得或，故實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．11．正項等比數(shù)列滿足：，則的最小值為______．【答案】24【分析】用公比表示，結(jié)合基本不等式可求最小值.【詳解】設(shè)公比為，則可化為，故，因為為正項等比數(shù)列，故即，而，當且僅當時等號成立，故的最小值為24，故答案為：24.12．若方程，若方程無解，則實數(shù)t的取值范圍是______．【答案】【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)依次討論,,,時，解的情況，計算即可.【詳解】當時，時，，當時，方程，方程無解,當時，時，，方程有解,不符合題意.當時，時，,無解，當時，方程時，方程有解,不符合題意.當時，時，,無解，當時，方程時，方程無解.綜上，方程無解，則實數(shù)t的取值范圍是.故答案為：13．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，下列命題中為真命題的序號是______．①；

②若，則；③若，則；

④；⑤，則；

⑥；⑦兩個共軛復(fù)數(shù)的差是純虛數(shù)；⑧若，則z必為實數(shù)．【答案】①⑤⑧【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則以及模長公式逐一判斷，判斷一個真命題需要證明，判斷一個假命題需要舉反例.【詳解】①設(shè)，則，所以①正確②設(shè)，，但與不能比較大小所以②不正確③設(shè)，，則所以③不正確④設(shè)，則，所以④不正確⑤設(shè)，則，⑥當，時，，所以⑥不正確⑦如果兩個復(fù)數(shù)是實數(shù)，差值也是實數(shù)，所以⑦不正確⑧設(shè)（，），則，所以⑧正確故答案為：①⑤⑧14．若函數(shù)在區(qū)間上恰有14個零點，則符合條件的所有的取值范圍是______．【答案】【分析】先求出零點的一般形式，從而可求的取值范圍.【詳解】由可得，故或，其中.連續(xù)的14個零點為：，；，；，，，若，則，此時.若，則，此時，故.故答案為：.15．對于定義域為D的函數(shù)，若對任意的，當時都有，則稱函數(shù)為“不嚴格單調(diào)增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域為，則函數(shù)為“不嚴格單調(diào)增函數(shù)”的概率是______．【答案】0.04【分析】考慮把D中的5個數(shù)分成三堆：①1，1，3②1，2，2，計算概率得到答案.【詳解】基本事件總數(shù)為：把D中的5個數(shù)分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,則總共有種，求函數(shù)是“不嚴格單調(diào)增函數(shù)”的情況，等價于在1，2，3，4，5中間有4個空，插入2塊板分成3組，分別從小到大對應(yīng)6,7,8共有種情況，函數(shù)是“不嚴格單調(diào)增函數(shù)”的概率是故答案為：.16．已知定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，對于任意的，都有，且恒成立，則______．【答案】9【分析】令，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知，求出的值，通過歸納的思想求出時，的表達式，最后代入求值即可.【詳解】令，則有，若，則有，顯然矛盾；若，則有，顯然與已知矛盾，當大于3的整數(shù)時，與已知函數(shù)是單調(diào)遞增相矛盾，故，所以有；令時，；令時，，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知：；令時，；令時，；令時，；令時，；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知：；令時，；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知：；令時，；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知：，令時，；令時，；令時，；令時，；所以歸納得到當時，所以故答案為：9三、解答題17．如圖，在中，，斜邊，是的中點．現(xiàn)將以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，點為圓錐底面圓周上的一點，且，求：（1）圓錐的側(cè)面積；（2）直線與平面所成的角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）【答案】(1)(2)（）【分析】(1)直接代入圓錐側(cè)面積公式即可.(2)先作出,進而得到為直線與平面所成的角，解三角形即可.【詳解】解:（1）;（2）取的中點，連接、,則，所以，所以是直線與平面所成的角,在中，，,所以,所以直線與平面所成的角的大小為（）【點睛】本題主要考查空間幾何體、點、直線、平面的位置關(guān)系,是中檔題.18．已知△中，，，設(shè)，記；（1）求函數(shù)的解析式及定義域；（2）試寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求方程的解；【答案】（1），；（2）遞增區(qū)間，；【分析】（1）由條件利用正弦定理，兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變化化簡函數(shù)的解析式。（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得的單調(diào)區(qū)間，并求出的值?！驹斀狻浚?）由正弦定理有所以，所以（2）單增區(qū)間：，所以，又，所以單增區(qū)間為，因為所以解得【點睛】此題考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，整體法解決求得的范圍，屬于簡單題目。19．如圖，A、B是橢圓長軸的兩個端點，M、N是橢圓上與A、B均不重合的相異兩點，設(shè)直線AM、BN、AN的斜率分別是、、．(1)若直線MN過點，求證：為定值；(2)設(shè)直線MN與x軸的交點為(t為常數(shù)且)，試探究直線AM與直線BN的交點Q是否落在某條定直線上？若是，請求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)是，.【分析】(1)設(shè)直線MN為：，，，聯(lián)立MN方程和橢圓方程，根據(jù)韋達定理和斜率計算公式計算即可；(2)設(shè)MN：，，.聯(lián)立MN方程和橢圓方程，求得根與系數(shù)關(guān)系.聯(lián)立AM與BN方程，消去y，求解x，將根與系數(shù)關(guān)系代入化簡即可求解.【詳解】(1)設(shè)直線MN為：，，，由得，0，∴，，∴，∴為定值；(2)設(shè)MN：，，.，，，∴，則，，AM和BN方程聯(lián)立得，，即，即，即直線AM與直線BN的交點Q是否落在某條定直線上.20．己知函數(shù)的定義域是D，若對于任意的，，當時，都有，則稱函數(shù)在D上為不減函數(shù)．現(xiàn)有定義在上的函數(shù)滿足下述條件：①對于，總有，且，；②對于，若，則．試證明下列結(jié)論：(1)對于，若，則；(2)a）在上為不減函數(shù)；b）對，都有；(3)當時，有．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由，可得的圖象關(guān)于直線對稱，則根據(jù)②可證得結(jié)論，（2）先利用單調(diào)性的定義證明在上是不減函數(shù)，利用，進行放縮結(jié)合等比數(shù)列的求和即可得結(jié)果，（3）對于任意，則必存在正整數(shù)，使得，因為在是不減函數(shù)，所以，由（2）可知，結(jié)合題中的條件，利用賦值法及不等式的性質(zhì)可證得結(jié)果【詳解】(1)證明：因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以根據(jù)②，可知對于，若，用分別代替②中的，則可得(2)證明：a）設(shè)，且，則，因為，所以，所以在上為不減函數(shù)，b）因為，所以……(3)證明：對于任意，則必存在正整數(shù)，使得，因為在上為不減函數(shù)，所以，由（2）知，由①可得，在②中，令，得，所以，而，所以，所以，所以時，，因為時，，且，所以【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的證明，考查數(shù)列知識與函數(shù)知識的綜合問題，解題的關(guān)鍵是在于對賦值的應(yīng)用和對新定義的理解，屬于較難題21．設(shè)自然數(shù)，若由n個不同的正整數(shù)，，…，構(gòu)成的集合滿足：對集合S的任何兩個不同的非空子集A、B，A中所有元素之和與B中所有元素之和均不相等，則稱集合S具有性質(zhì)P．(1)試分別判斷在集合與是否具有性質(zhì)P，不必說明理由；(2)已知集合具有性質(zhì)P．①記，求證：對于任意正整數(shù)，都有；②令，，求證：；(3)在（2）的條件下，求的最大值．【答案】(1)不具有性質(zhì).具有性質(zhì).(2)見解析(3)的最大值為.【分析】（1）根據(jù)集合S具有性質(zhì)P的定義結(jié)合反例可判斷兩個集合是否具有性質(zhì).（2）①根據(jù)也具有性質(zhì)及其子集的個數(shù)可證；②根據(jù)①可證.（3）不妨設(shè)，利用（2）的結(jié)論可證，從而可求最大值.【詳解】(1)對于集合，因為，故集合的元素和相等，故不具有性質(zhì).對于，其共有15個非空子集：，，各集合的和分別為：，