理論力學(xué)-課件第16章

第十六章機械振動基礎(chǔ)01振動系統(tǒng)的最簡單力學(xué)模型02單自由度系統(tǒng)的自由振動目錄03計算單自由度系統(tǒng)固有頻率的能量法04單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動05單自由度系統(tǒng)的無阻尼強迫振動06單自由度系統(tǒng)的無阻尼強迫振動07隔振第一節(jié)振動系統(tǒng)的最簡單力學(xué)模型振動系統(tǒng)的最簡單力學(xué)模型實際的振動系統(tǒng)往往是很復(fù)雜的，為研究該系統(tǒng)的某些動力學(xué)特性，必須使其簡化為某種理想的力學(xué)模型，通常簡化為由若干個無質(zhì)量的彈簧和無彈性的質(zhì)量所組成的質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)。其中僅有一個質(zhì)量—彈簧的系統(tǒng)是振動系統(tǒng)最簡單的力學(xué)模型，如圖16-2所示，質(zhì)量塊可在鉛垂方向上做上下運動。質(zhì)量塊的位置可由一個獨立坐標x確定，通常稱這類系統(tǒng)為單自由度振動系統(tǒng)。

圖16-2工程中許多問題可簡化成這種力學(xué)模型，如圖16-3（a）所示為簡支梁振動實驗裝置，電動機固定在簡支梁上，現(xiàn)在研究電動機隨梁的變形所產(chǎn)生的上下振動，如果電動機的質(zhì)量遠遠大于梁的質(zhì)量，我們就可視電動機為無彈性只有質(zhì)量的質(zhì)點，視梁為無質(zhì)量只有彈性的彈簧，其力學(xué)模型與圖16-2的相似，質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)如圖16-3（b）所示。（a）

（b）圖16-3（a）（b）（c）（d）圖16-4（a）

（b）圖16-5例16-1（a）

（b）

（c）圖16-6例題解析解等效彈簧是指在相同力作用下，振動體產(chǎn)生的靜位移相等時的一個代替彈簧，常稱該代替彈簧為原來彈簧組的等效彈簧，如圖16-6（c）所示。（1）兩彈簧串聯(lián)（a）由靜力平衡條件可得（b）由此又可得到，

（c）將式（c）代入式（a）得到由此得到等效彈簧剛度系數(shù)為（2）兩彈簧并聯(lián)（d）由靜力平衡條件，可得（e）將式（d）代入式（e），得由此得到等效彈簧剛度系數(shù)為這一結(jié)果可推廣到n個彈簧并聯(lián)，此時等效彈簧剛度系數(shù)為第二節(jié)基本方程的應(yīng)用舉例自由振動微分方程或如果給重物以初始擾動（偏離平衡位置或初速度），則重物將在平衡位置附近發(fā)生振動。重物偏離平衡位置后，因彈簧變形而產(chǎn)生彈性恢復(fù)力將它拉回到平衡位置；而當重物回到平衡位置時，又因為自身的慣性（因重物具有質(zhì)量）使它繼續(xù)運動，從而又偏離了平衡位置，如此不斷重復(fù)就形成了振動。振動系統(tǒng)在受到初擾動（初位移或初速度）后，僅在恢復(fù)力作用下，在其平衡位置附近所做的振動，稱為自由振動。圖16-7圖16-7（16-1）在小變形情況下，我們認為彈性恢復(fù)力與變形的關(guān)系為線性的，即彈性力的大小正比于變形的大小，所以（16-2）將式（16-2）代入式（16-1），可得即（16-3）令（16-4）則有

（16-5）式（16-5）就是無阻尼自由振動微分方程的標準形式，它是一個二階齊次線性常微分方程。其解的形式為式中，r為待定常數(shù)，通常稱為特征根。特征方程的兩個特征根為（16-6）（16-7）式（16-6）或式（16-7）均為表示物體的自由振動方程。圖16-8無阻尼自由振動的動態(tài)特性固有頻率、振幅和初相位是表示振動系統(tǒng)動態(tài)特性的重要物理參數(shù)，常稱為振動三要素。1．固有頻率（16-8）由此得自由振動的周期為（16-9）則（16-10）（16-11）式（16-11）表明，對于上述振動系統(tǒng)，只要知道在重力作用下系統(tǒng)的靜變形，就可以求得系統(tǒng)的固有頻率。振動系統(tǒng)的靜變形可用材料力學(xué)公式計算，也可以通過實驗直接測量。2．振幅和初相位（16-12）三、其他類型的單自由度振動系統(tǒng)（a）

（b）圖16-9根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程，可得到扭振系統(tǒng)的運動微分方程運動微分方程與質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的振動微分方程的形式完全相同，因此它們的解，即系統(tǒng)運動方程的形式完全相同。例16-2例題解析（a）

（b）圖16-10解

（1）選罐籠為研究對象，如圖16-10（b）所示選取坐標系。（4）應(yīng)用自由振動系統(tǒng)的基本公式，建立罐籠的運動方程并求鋼索的最大張力。則系統(tǒng)的固有頻率為利用自由振動系統(tǒng)的振幅和初相位表達式（16-12）可得到振幅為初相位為于是，根據(jù)式（16-7）可得到罐籠自由振動的運動方程為例題解析（a）

（b）圖16-11解

（1）選取整個系統(tǒng)為研究對象。此式即為彈簧擺的自由振動微分方程，系統(tǒng)的固有頻率應(yīng)為對于復(fù)雜系統(tǒng)，特別是由較多個元件組成的單自由度系統(tǒng)或多自由度系統(tǒng)，常用拉格朗日方程來建立系統(tǒng)的振動微分方程例題解析圖16-12解

（a）（3）計算勢能V及拉格朗日函數(shù)L。（b）又在平衡時，應(yīng)有

在整理勢能V的表達式時，考慮式（c），最后得到勢能表達式（d）（c）則拉格朗日函數(shù)L為

（e）（5）利用拉格朗日方程建立振動微分方程。得到 所以系統(tǒng)的振動微分方程為

（f）或

（g）則 （h）第三節(jié)計算單自由度系統(tǒng)固有頻率的能量法固有頻率是振動系統(tǒng)的重要參數(shù)。對于單自由度振動系統(tǒng)，只要能建立系統(tǒng)的振動微分方程，就可以求出系統(tǒng)的固有頻率。但對于某些復(fù)雜的系統(tǒng)，建立系統(tǒng)的振動微分方程也不是很容易的。對于保守系統(tǒng)，如果僅需要求固有頻率，應(yīng)用能量法比較方便。能量法的理論依據(jù)是機械能守恒定律。如圖16-13所示為一單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)，由于在振動過程中沒有能量損失，則根據(jù)機械能守衡定律，應(yīng)有圖16-13式中，T為動能，V為勢能?，F(xiàn)取系統(tǒng)平衡位置為勢能

零點，系統(tǒng)在任一位置時，有（16-13）

（16-14）根據(jù)簡諧振動規(guī)律

可以計算出任意位置時，質(zhì)量塊速度由此得到，偏離平衡位置最大值

通過平衡位置時最大速度

由式（16-13）得到代入式（16-14）后，得 從而得固有頻率為與式（16-4）的結(jié)果相同。應(yīng)用能量法計算振動系統(tǒng)固有頻率的步驟如下。（1）假設(shè)系統(tǒng)的振動形式；（2）計算系統(tǒng)的最大動能與最大勢能；（3）應(yīng)用機械能守恒定律求解固有頻率。例題解析（a）

（b）圖16-14解

（1）選系統(tǒng)為研究對象。（2）因系統(tǒng)運動是單自由度無阻尼自由振動，即為簡諧振動，故設(shè)小球M的運動規(guī)律為（3）計算系統(tǒng)的最大動能。小球重心自平衡位置下降的距離為所以小球勢能的最大值為系統(tǒng)勢能的最大值為因此，系統(tǒng)的固有頻率為（5）應(yīng)用機械能守恒定律，計算固有頻率。第四節(jié)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動一、阻尼實際觀察表明，自由振動的振幅總是不斷衰減，直到最后振動停止。這是因為我們在前面的討論中，略去了阻力的影響。事實上任何振動系統(tǒng)總是存在著阻力，它將不斷消耗系統(tǒng)的振動能量，使振動振幅不斷衰減。振動過程中的阻力習(xí)慣上稱為阻尼黏性阻尼、干摩擦阻尼及由于結(jié)構(gòu)材料變形而產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)阻尼等（16-15）阻尼對自由振動的影響于是系統(tǒng)的運動微分方程為

（a）

（b）圖16-15（16-16）式（16-16）就是單自由度有阻尼自由振動系統(tǒng)的運動微分方程。解得特征方程的兩個根為因此方程（16-16）的通解為（16-17）阻尼對自由振動的影響這時微分方程（16-16）的解（16-17）可根據(jù)歐拉公式寫成（16-18）（16-19）（16-20）式（16-18）是在小阻尼情形下的自由振動表達式，這種振動的振幅在阻尼力的作用下不斷衰減，所以這種振動又稱為衰減振動，其運動如圖16-16所示，阻尼對自由振動的影響可表現(xiàn)為以下兩個方面。（1）振動周期變大（16-21）（16-22）（2）振幅按等比級數(shù)衰減（16-23）式中，d為減幅因數(shù)則上式表明，每振動一次振幅將減小27%。如果將這一結(jié)果與前面（1）中的計算結(jié)果進行比較，不難看出，在小阻尼的情況下，雖然周期增大的很微小，但振幅卻按等比級數(shù)迅速地衰減。對式（16-23）的兩邊取自然對數(shù)，得到（16-24）在這種情形下，特征方程的根為兩個相等的負實根，即得微分方程（16-16）的解為（16-26）式（16-26）表明，在臨界阻尼情形下，物體的運動是隨時間的增長而無限地趨向平衡位置，因而此時的運動已不具有振動的特點。在這種情形下，特征方程的根為兩個不等的實根，即所以微分方程（16-16）的解為（16-27）大阻尼情形的集中運動曲線。（a） （b）(c)圖16-17阻尼對單自由度自由振動系統(tǒng)的影響例題解析解所以

即 則由式（16-23）兩邊同時取自然對數(shù)，得所以 所以使系統(tǒng)不發(fā)生振動的阻力系數(shù)為第五節(jié)單自由度系統(tǒng)的無阻尼強迫振動系統(tǒng)除了在恢復(fù)力的作用下可發(fā)生自由振動之外，在隨時間變化力的作用下也可以發(fā)生振動。這種隨時間變化的力稱為激振力，由激振力引起的振動稱為強迫振動。激振力的類型有很多，一般可分為周期變化的和非周期變化的兩類。周期變化的激振力在工程中是最常見的，一般回轉(zhuǎn)機械、往復(fù)機械等都會引起周期激振力。下面將要研究的是在簡諧激振力作用下發(fā)生的強迫振動，簡諧激振力是周期變化的激振力中一種最典型的情況，它的表達式為（16-28）強迫振動微分方程及其解圖16-18

（a）（b）（16-29）式（16-29）是無阻尼強迫振動微分方程的標準形式。該方程是二階線性非齊次常微分方程。由微分方程理論可知，它的解由兩部分組成，即齊次方程通解為設(shè)方程（16-29）的特解為其中，B為待定系數(shù)，代入式（16-29），得解得待定系數(shù) 于是方程（16-29）的特解為

（16-30）方程（16-29）的全解為（16-31）在實際振動系統(tǒng)中總是有阻尼存在的，在阻尼的影響下，使自由振動部分很快衰減下去，因此，我們只須深入討論強迫振動的一些動態(tài)特征。激振力頻率對強迫振動振幅的影響強迫振動的振幅為（16-32）圖16-19共振現(xiàn)象將其代入式（16-29）后可得則共振時強迫振動的運動規(guī)律為（16-33）它的幅值為例題解析（a）

（b）圖16-20（1）選研究對象及系統(tǒng)簡化。選電機和梁為研究對象，將它們簡化為質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)。取電機的靜平衡位置為坐標原點O，x軸鉛垂向下為正，如圖16-20（b）所示。解（4）建立運動微分方程并求解。應(yīng)用達朗貝爾原理，在x軸上的投影方程為可得

或利用式（16-12），可得到系統(tǒng)的固有頻率激振力頻率 單位質(zhì)量激振力幅所以強迫振動的振幅為則

（a）

（b）圖16-21（1）選研究對象。取重物K為研究對象。取重物K的靜平衡位置O為坐標原點，x軸鉛垂向下為正，如圖16-21（b）所示。解（3）列運動微分方程并求解。根據(jù)動力學(xué)基本方程可列出重物k的運動微分方程為或可見，彈簧端點A的簡諧位移干擾相當于在重物上施加一簡諧激振力。由式（16-30）可得重物的強迫振動的運動方程為其振幅為（4）分析討論。若略去自由振動部分，則測振儀所記錄的振動是重物對于框架的相對運動應(yīng)為或第六節(jié)單自由度系統(tǒng)的有阻尼強迫振動振動微分方程（a）

（b）圖16-22（16-34）這是有阻尼強迫振動微分方程的標準形式，它是二階線性常系數(shù)非齊次微分方程，根據(jù)微分方程理論，其解由兩部分組成（16-35）（16-36）將上式代入方程（16-34），可得式中常數(shù)（16-37）（16-38）于是得方程（16-34）的通解為(16-39）式（16-39）表明，有阻尼強迫振動系統(tǒng)的運動由兩部分組成。第一部分為衰減振動，如圖16-23（a）所示，第二部分為強迫振動，如圖16-23（b）所示。其中衰減振動部分，經(jīng)過一定的時間后即可消失，以后只剩下強迫振動部分。振動開始后兩部分同時存在的過程稱為瞬態(tài)過程，僅剩下強迫振動的過程為穩(wěn)態(tài)過程，如圖16-23（c）所示。圖16-23阻尼對強迫振動振幅的影響在前節(jié)的討論里，沒有考慮