4.2.2等差數(shù)列的性質(zhì)（課件）高二數(shù)學(xué)課件（人教A版2019選擇性）

等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解等差數(shù)列的性質(zhì)．(邏輯推理)2．等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．(數(shù)學(xué)建模)3．能靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)1.等差數(shù)列的定義：2.通項(xiàng)公式：an-an-1=d

（n≥2）或

an+1-an=d

(n∈N*)an

=a1+(n-1)d

由三個數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列,則稱A叫做a與b的等差中項(xiàng).3.等差中項(xiàng)：這三個數(shù)滿足關(guān)系式：

知識回顧

(1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式法：an＝an＋b(a，b是常數(shù)，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．a(chǎn)n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．4、如何判斷一個數(shù)列為等差數(shù)列思考：幾何意義是什么？等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，那么性質(zhì)1an

=a1+(n-1)d

性質(zhì)3

an

=am+(n-m)d

a1、d、n、an中知三求一推導(dǎo)公式:任意兩項(xiàng)an和am之間的關(guān)系:考點(diǎn)1：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及其推廣即：①可以由等差數(shù)列中任意一項(xiàng)及公差直接得到通項(xiàng)公式，不必求a1。②可以由等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)求公差。等差數(shù)列中角標(biāo)和的秘密已知{an}是等差數(shù)列，用首項(xiàng)a1,公差d來表示下列各項(xiàng)①a1+a5②a2+a4③a3+a3=2a1+4d=2a1+4d=2a1+4d你有什么發(fā)現(xiàn)？①中兩項(xiàng)角標(biāo)和等于②中兩項(xiàng)角標(biāo)和等于③中兩項(xiàng)角標(biāo)和：1+5=2+4=3+3，所以①=②=③大膽假設(shè)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq考點(diǎn)1：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及其推廣am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)dap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)dam+an=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=2a1+(p+q-2)d因?yàn)閙+n=p+q所以am+an=ap+aq結(jié)論：在等差數(shù)列中對任意四項(xiàng)，當(dāng)m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq思考：當(dāng)m+n+t=p+q+r時，am+an+at=ap+aq+ar成立嗎？同樣成立若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq特別地：若m+n=2p(m,n,p∈N*),則am+an=2ap[注]等式兩邊作和的項(xiàng)數(shù)必須一樣多！

特例：常數(shù)列結(jié)論：在等差數(shù)列中對任意四項(xiàng)，當(dāng)m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq推論等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，那么性質(zhì)1an

=a1+(n-1)d

性質(zhì)3

an

=am+(n-m)d

性質(zhì)5

m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq性質(zhì)6

m,n,p∈N*，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8，∴a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.等差數(shù)列運(yùn)算的兩條常用思路

(1)根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量．

(2)利用性質(zhì)巧解，觀察等差數(shù)列中項(xiàng)的序號，若滿足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ar.考點(diǎn)2：等差數(shù)列中對稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用已知一個等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為da1，a2，a3，……an（1）將前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，他的首項(xiàng)與公差與項(xiàng)數(shù)分別是多少？am+1，am+2，……an是等差數(shù)列首項(xiàng)為am+1，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n-m考點(diǎn)3：等差數(shù)列的性質(zhì)已知一個等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，a1，a2，a3，……an（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個數(shù)列，是等差數(shù)列嗎？如果是，他的首項(xiàng)與公差分別是多少？a1，a3，a5，……是等差數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為2d取出的是所有偶數(shù)項(xiàng)呢？a2，a4，a6，……是等差數(shù)列首項(xiàng)為a2，公差為2d思考：已知一個等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，a1，a2，a3，……ana7，a14，a21，……是等差數(shù)列首項(xiàng)為a7，公差為7d取出的是所有k倍數(shù)的項(xiàng)呢？ak，a2k，a3k，……是等差數(shù)列首項(xiàng)為ak，公差為kd（3）取出數(shù)列中所有項(xiàng)是7的倍數(shù)的各項(xiàng)，組成一個數(shù)列，是等差數(shù)列嗎？如果是，他的首項(xiàng)與公差是多少？

已知一個等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，a1，a2，a3，……an（4）數(shù)列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差數(shù)列嗎？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差數(shù)列，公差為4d

數(shù)列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差數(shù)列嗎？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差數(shù)列，公差為3d。已知兩個等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，b1,公差為d1，d2a1，a2，a3，……an

;b1,b2,b3.......bn則數(shù)列an,bn相同項(xiàng)的公差為d1和d2的最小公倍數(shù)，首項(xiàng)為第一個相同項(xiàng)。例：an:1,2,3,4,5...bn:2,4,6,8,10...請寫出數(shù)列an,bn相同項(xiàng)的通項(xiàng)公式。1．若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有等差數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列結(jié)論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為

的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*){pan＋qbn}公差為

的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))2dpd＋qd′BCC35考點(diǎn)4：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例5：(1)《周髀算經(jīng)》中有一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則冬至的日影子長為(

)A．12.5尺

B．10.5尺C．15.5尺

D．9.5尺考點(diǎn)4：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用解：

設(shè)此等差數(shù)列{an}的公差為d，則a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝37.5，a1＋11d＝4.5，解得d＝－1，a1＝15.5.[答案]

C(2)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，a5＝3，則a3a7的最大值為________．[答案]

91．解決數(shù)列綜合問題的方法策略(1)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)或利用等差中項(xiàng)．(2)利用通項(xiàng)公式，得到一個以首項(xiàng)a1和公差d為未知數(shù)的方程或不等式．(3)利用函數(shù)或不等式的有關(guān)方法解決．2．解決等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟請您根據(jù)提供的信息說明，求：(1)第2年養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)；(2)到第6年這個縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年是擴(kuò)大了還是縮小了？請說明理由；(3)哪一年的規(guī)模最大？請說明理由．[點(diǎn)撥]

首先認(rèn)真閱讀題目中給出的條件，尋找有用的信息，然后根據(jù)給出的數(shù)據(jù)和圖象建立等差數(shù)列，進(jìn)行求解，得出結(jié)論．解：

由題圖可知，從第1年到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)的雞只數(shù)成等差數(shù)列，記為數(shù)列{an}，公差為d1，且a1＝1，a6＝2；從第1年到第6年的養(yǎng)雞場個數(shù)也成等差數(shù)列，記為數(shù)列{bn}，公差為d2，且b1＝30，b6＝10；從第1年到第6年全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)