江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南

江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南

劉蔣巍編著

序

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，新高考主要解決三個(gè)問題：一是，擴(kuò)大學(xué)生和高校雙向選擇

權(quán)。二是，推進(jìn)綜合評(píng)價(jià)選拔。力求做到高考與學(xué)業(yè)水平考試、必考與選考相結(jié)合。三是,

弱化一考定終身現(xiàn)象，實(shí)現(xiàn)“考其所長(zhǎng)，考其所好”。

新課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂，強(qiáng)調(diào)中國(guó)學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)。在數(shù)學(xué)學(xué)科方面，基于核心素養(yǎng)

的高考教學(xué)命題要求學(xué)生應(yīng)具備數(shù)學(xué)的眼光（包括數(shù)學(xué)抽象、直觀想象）、數(shù)學(xué)的思維思

考（包括：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算）、數(shù)學(xué)的語言表達(dá)（包括數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析）。

江蘇高考自2004年自主命題以來，命題工作經(jīng)歷了探索與發(fā)展之路，命題質(zhì)量和水

平逐年提高。2018年是江蘇省高考自主命題的第15年，為幫助考生復(fù)習(xí)備考，應(yīng)邀在CNKI

大成講壇開設(shè)了《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)系列講座——熱點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)各個(gè)擊破》，本書由該

系列講座講稿整理而成。

本書的編寫依據(jù)最新的高考考試說明，力求每一章節(jié)、每一道試題的分析能夠滲透數(shù)

學(xué)核心素養(yǎng)。本書的主要內(nèi)容有：高考數(shù)學(xué)題型分析、重難點(diǎn)講解、考點(diǎn)解析、真題講析

以及應(yīng)考方法。題型分析部分包括命題指導(dǎo)思想、具體題型按難易度分析。重難點(diǎn)講解部

分包括高考數(shù)學(xué)的六大專題：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、向量與三角、數(shù)列與不等式、平面解析幾何、

空間向量與立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)?？键c(diǎn)解析部分包括高中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)度、高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)解

析。真題講析部分，采取定性分析與定量分析相結(jié)合的方法，介紹了每道題的命題立意、

考察的知識(shí)內(nèi)容、解題思路等，并給出了復(fù)習(xí)建議。應(yīng)考方法部分包括草稿紙的使用、難

題破解的方法以及解題三部曲，其中滲透講解了心理疏導(dǎo)的有關(guān)內(nèi)容。

本書主要面向準(zhǔn)備參加高考的學(xué)生、中學(xué)教師以及基礎(chǔ)教育教學(xué)研究人員。希望廣大

師生通過研讀本書，進(jìn)一步了解和熟悉學(xué)科命題思路，準(zhǔn)確理解命題意圖，把握高考試題

的考查目標(biāo)和要求，加強(qiáng)對(duì)學(xué)科知識(shí)、學(xué)科關(guān)鍵能力的理解與運(yùn)用，提高復(fù)習(xí)課效率，改

進(jìn)教學(xué)工作，舉一反三，觸類旁通。

總之，高考數(shù)學(xué)是對(duì)學(xué)生知識(shí)、邏輯、心理、答題策略的綜合考察。本書幫助學(xué)生細(xì)

化高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)，辨析高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)，分析高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)，把握高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)，了解試

題來源，理解命題背景，調(diào)整考試心理，優(yōu)化答題策略，以最佳競(jìng)技狀態(tài)去面對(duì)高考。限

于精力與水平，不妥之處，敬請(qǐng)指正。

劉蔣巍

2018年4月于常州

目錄

第一章江蘇高考數(shù)學(xué)題型分析.................................................4

1.命題指導(dǎo)思想............................................................4

2.題型分析................................................................4

第二章江蘇高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)講解..............................................18

1.專題復(fù)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容.....................................................18

2.專題重難點(diǎn)講解.........................................................18

2.1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)...........................................................18

2.2向量與三角..........................................................22

2.3數(shù)列與不等式........................................................23

2.4平面解析幾何........................................................25

2.5空間向量與立體幾何..................................................25

2.6概率統(tǒng)計(jì)............................................................26

第三章江蘇高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)解析................................................28

1.高中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)度.......................................................28

2.高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)解析.......................................................28

第四章江蘇高考數(shù)學(xué)真題講析................................................36

1、培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化能力.........................................36

2、引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教材中的基本模型...........................................37

3、注重學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生思考簡(jiǎn)捷的算法.........................39

4、掌握通性通法的同時(shí)，了解試題的高等數(shù)學(xué)背景.............................40

5、抓住基本概念，破解新定義題.............................................43

6、復(fù)習(xí)建議...............................................................45

第五章江蘇高考數(shù)學(xué)應(yīng)考方法................................................46

1、用好草稿，規(guī)范答題.....................................................46

L1草稿紙書寫三步驟.....................................................46

1.2草稿紙上重新繪圖.....................................................47

2、難題破解的方法——回歸簡(jiǎn)單.............................................47

3、高考數(shù)學(xué)解題三步曲.....................................................48

第一章江蘇高考數(shù)學(xué)題型分析

了解命題指導(dǎo)思想，分析高考數(shù)學(xué)題型，熟悉難度梯度，合理選擇復(fù)習(xí)方法，對(duì)高三

復(fù)習(xí)大有裨益！

1.命題指導(dǎo)思想

2018年江蘇高考數(shù)學(xué)命題指導(dǎo)思想：

（1）突出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的考查；做到支撐學(xué)科知識(shí)體系的重

點(diǎn)內(nèi)容在試卷中要占有較大的比例，但不刻意追求知識(shí)的覆蓋面。

（2）重視數(shù)學(xué)基本能力和綜合能力的考查；能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和

數(shù)據(jù)處理。

（3）注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的考查。能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。

2.題型分析

高考是應(yīng)試考試。應(yīng)試考試是針對(duì)高考必考的知識(shí)點(diǎn)與方法進(jìn)行有針對(duì)性和有效性的

訓(xùn)練，而不是反復(fù)地、大量地做練習(xí)，卻不需栗考慮練習(xí)題的質(zhì)量，作低水平的重復(fù)。因

此，了解高考數(shù)學(xué)題型的難易度顯得尤為重要。

第一級(jí)難度

江蘇高考數(shù)學(xué)填空題前6題，屬于送分題，為第一級(jí)難度，僅作單一知識(shí)點(diǎn)的考查。

考查的知識(shí)點(diǎn)覆蓋了集合基本運(yùn)算（如2017年江蘇卷第1題，為2010年江蘇高考數(shù)學(xué)第

1題的改編）、復(fù)數(shù)運(yùn)算（如2017年江蘇卷第2題，考查復(fù)數(shù)的模。2015年考查復(fù)數(shù)的

模，2016年考察復(fù)數(shù)的實(shí)部，2017年還回歸復(fù)數(shù)模的考察。）、統(tǒng)計(jì)知識(shí)（如2017年江蘇

卷第3題，考查樣本關(guān)系。該類問題，初中生也會(huì)解答，2012年江蘇卷也考過類似問題一

—2012年江蘇卷第2題。）、流程圖（如2017年江蘇卷第4題，考查流程圖，考查的比較

純粹。Yes或No,選一個(gè)解析式帶入即可。比往年考循環(huán)語句較容易。）、函數(shù)基本性質(zhì)

或公式（如2017年江蘇卷第5題為單一公式的考查，考查內(nèi)容：兩角差的正切公式，直接

套用公式即可得解）、立體幾何中的體積計(jì)算（如2017年江蘇卷第6題，考查圓柱體積公

式、球的體積公式）等知識(shí)點(diǎn)。當(dāng)然前6題還可能考查統(tǒng)計(jì)知識(shí)（直方圖）、簡(jiǎn)單概率計(jì)

算。2017年沒有考直方圖，概率放到了第7題，與函數(shù)的定義域、一元二次不等式綜合考

查，屬于第二級(jí)難度。

案例分析：

(2017.1).已知集合A={1,2},8=伍,/+3},若AcB={l},則實(shí)數(shù)a的值為

解析：Ac8={l},而顯然"+3N3,所以只能a=l

題源分析：研究者可以從教材找到本題的影子。但我認(rèn)為，本題也可能是2010年江蘇高

考數(shù)學(xué)第1題的改編，因?yàn)樗鼈冇邢嗤目挤ā?/p>

【2010年江蘇高考第1題】設(shè)集合A={—1,1,3},8={a+2,/+4},Ac8={3},則實(shí)數(shù)

a=_____

解法類似，顯然/+424,只能a+2=3,所以a=l

至此，讀者可能發(fā)現(xiàn)連答案都是一樣的。所以，改編關(guān)系不言而喻。

(2016.1)已知集合4={-1,2,3,6},B={x]-2<x<3},則ACB=.

解析：由交集的定義可得ACB={_1,2}.

【題源分析】(蘇教版教材必修1第14頁思考運(yùn)用第11題)設(shè)。=/?,A={x|l<x<3},

8={x|2<x<4},分別求AcB,ADB,AUCUB

【改編設(shè)計(jì)】(改編1)已知集合4={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},則;

Q(AnB)=;Cfi(AnB)=;

(改編2)已知集合4={-1,2,3,6},B={x\-2<ex<3},則ACB=

其中，集合8中的/可以換成其他符合條件的函數(shù)，只要你喜歡都可以。

(改編3)已知集合4={-1,2,3,6},B={X|X2-X-6<0},則ACB=

(2017.2)已知復(fù)數(shù)2=(1+i)(l+2i),其中i是虛數(shù)單位，則z的模是

解析：積的模，等于模的積。所以，z=g^=如

題源分析：本題可以說是課本選修2-2第108頁練習(xí)題第2題的改編；也可以說是2016

年第2題的改編?！?016年江蘇高考第2題】復(fù)數(shù)z=(l+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)單位，則

z的實(shí)部是

注：不可能連續(xù)幾年考虛數(shù)的實(shí)部；2015考的模，2016考實(shí)部，2017還回歸模。

(2016.2).復(fù)數(shù)z=(l+2D(3-i),其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是.

5

解析：Z的實(shí)部為l+2i與3-i實(shí)部之積與虛部之積的和，為lx3+(2i)x(-i),為5,則z的實(shí)

部是5.

【題源分析】

(蘇教版教材選修系列數(shù)學(xué)2-2P128復(fù)習(xí)題感受理解1(3))(-3+/)(2-4/)

【改編設(shè)計(jì)】

(改編1)復(fù)數(shù)z=(l+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部是.

(改編2)復(fù)數(shù)z=(l+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)單位，則z的模是.

(改編3)復(fù)數(shù)z=(l+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)單位，則的值為.

(2017.3).某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件,

為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)

從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取件

解析：分層抽樣，18件。該類問題，初中生也會(huì)解答，這里不作過多解釋。2012年江蘇

卷也考過類似問題——2012年江蘇卷第2題。

(2016.4).已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,則該組數(shù)據(jù)的方差是.

解析：7=5.1,52=-(0.42+0.32+02+0.32+0.42)=0.1.

【題源分析】蘇教版教材必修3P70例4

【改編設(shè)計(jì)】已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是.

(2017.4).右圖是一個(gè)算法流程圖，若輸入x的值為工，則輸出的y的值是

16

解析：y=2+\og^-)=2-4=-2

16

該題放在第4題考查的比較純粹，Yes或No,選

一個(gè)解析式帶入即可。比往年考循環(huán)語句較易。

6

(2016.6).如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出°的值是.

(開始)

?<—1

_A_

b—9

<b-b—2

\N*

a>b—a<—〃+4

輸出a

丁

結(jié)束

解析：流程圖顯示，a以4為步長(zhǎng)遞增，匕以2為步長(zhǎng)遞減，9,7,5,...o當(dāng)a>b時(shí),

輸出a=9

【題源分析】2013年江蘇高考第5題改編。

【改編設(shè)計(jì)】將“8―9”改為“人―2017”，則輸出a的值是

改編1解題思路：。=4〃+1;/?=-2/1+2017;a>h,即4〃+1>—2/+2017;解得：n>336,

故〃=337,此時(shí)a=1349,b=1343;故，輸出a的值是1349

jrI

(2017.5)用tan(a—J)=±〃tana=

46

解析：兩角差的正切公式，tan(a_M)」anaT=L解得：tana=二

41+tana65

也可以將a看成a-生與巳的和，進(jìn)行計(jì)算，運(yùn)算均不復(fù)雜。

44

題源分析：蘇教版必修4第115頁練習(xí)1.(1)有類似問題：

、71

已知tana=3,求tan(a---);

4

編題思路：將條件與結(jié)論互換，再把數(shù)據(jù)改一下。這種命題方法，稱為：改題。

(2017.6)如圖，在圓柱0/02內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下面及母線均相切。記圓

柱0/。2的體積為力，球O的體積為丫2,則乜的值是

解析：考查體積公式，圓柱體積公式乃"2x〃，

球體積公式&萬這里〃=2r,所以乜值為3

3匕2

7

第二級(jí)難度

第7至第9題以及解答題的第15題、第16題屬于基本題，其中的立體幾何題(第15

題，考查直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系)也是容易題，是期望所有的考

生可以準(zhǔn)確解答的問題。如2017年江蘇卷第7題為“二次根式有意義的條件、一元二次

不等式、幾何概型”的綜合，如2017年江蘇卷第8題為“雙曲線的準(zhǔn)線和漸進(jìn)線方程”

的綜合，如2017年江蘇卷第9題為“等比數(shù)列”，如2017年江蘇卷第16題為“向量平

行，向量的數(shù)量積；兩角和的余弦公式”的綜合。

(2017.7.)記函數(shù)/(x)=j6+x-x2的定義域?yàn)镈.在區(qū)間［-4,5］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則xeD

的概率是

解析：該題是用“移花接木、組合嫁接”的方法命制的一道題?？疾槎胃接幸饬x的條

件、一元二次不等式、幾何概型；xeD的概率為°

9

題源分析：【2016年江蘇高考第5題】函數(shù)y=j3-2x-f的定義域是

第7題為2016年江蘇高考第5題與另一道教材習(xí)題的組合嫁接。

(2016.5).函數(shù)y=j3-2x-f的定義域是.

解析：3-2X-X2^O,解得-因此定義域?yàn)椋?3』］.

【題源分析】(蘇教版教材必修5P80習(xí)題3.2感受理解第4題第(2)題)求下列函數(shù)的

定義域：(2)y=J12+X-/

【改編設(shè)計(jì)】

(改編1)函數(shù)y=y］3-2x-x2的值域是.

(改編2)函數(shù)y=03-2x+o?的值域?yàn)椋?,2］,則。的值為

改編2解題思路：(1)若a=0,則yf_2x值域?yàn)椋?,+8),不符合題意；

(2)若。>0,而此二次函數(shù)"=3-2x+ax2開口方向向上，不存在最大值，不符合題意

(3)若a<0,此二次函數(shù)〃=3-2%+以2開口方向向下，值域?yàn)?2］,則此二次函數(shù)最大

值3-工等于4,故。=-1

a

(2016.7).將一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)為正方體玩具)先

后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是.

解析：將先后兩次點(diǎn)數(shù)記為(x,y),則共有6x6=36個(gè)等可能基本事件，其中點(diǎn)數(shù)之和大于

等于10有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5卜(6,6)六種,則點(diǎn)數(shù)之和小于10共有30種,概率為

8

30_5

36~6,

【題源分析】（蘇教版教材必修3P120復(fù)習(xí)題感受理解第8題）連續(xù)拋擲1顆骰子2次,

分別求擲出的點(diǎn)數(shù)和為2,3,12的概率.

2

（2017.8）.在平面直角坐標(biāo)系My中，雙曲線、r一丁=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交

于點(diǎn)P,Q,其焦點(diǎn)是Fi,F2,則四邊形FiPF2Q的面積是

2Q2?

解析：右準(zhǔn)線％=2=義，漸近線土一丁=0,即：y=+_LX

cV103V3

題目中描述的四邊形FiPF2Q為類似菱形的圖形，

故它的面積為工x2J15x（2xxJ=r）=2-V3

2V10V3

22

（2016.3）.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線/-q=1的焦距是

解析：c=+護(hù)=>/10,因此焦距為2c=2JiO.

【題源分析】（蘇教版教材選修2-1P46練習(xí)1）雙曲線］=1的實(shí)軸長(zhǎng)為;虛軸長(zhǎng)為

;焦點(diǎn)坐標(biāo)是;頂點(diǎn)坐標(biāo)是;離心率是;漸進(jìn)線方程為.

【改編設(shè)計(jì)】

?>2

（改編1）在平面直角坐標(biāo)系X0X中，雙曲線三一21=1的實(shí)軸長(zhǎng)為;虛軸長(zhǎng)為;

■73

焦點(diǎn)坐標(biāo)是;頂點(diǎn)坐標(biāo)是;離心率是;漸進(jìn)線方程為;準(zhǔn)線方程為

（改編2）在平面直角坐標(biāo)系xO），中，橢圓］+千=1的焦距是;長(zhǎng)軸長(zhǎng)為;短軸

長(zhǎng)為;焦點(diǎn)坐標(biāo)是;長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)為;短軸端點(diǎn)坐標(biāo)為；離心率是;

準(zhǔn)線方程為.

（改編3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線土-f=l的焦點(diǎn)坐標(biāo)是；頂點(diǎn)坐標(biāo)是

73

離心率是；準(zhǔn)線方程為.

9

22?

（2016.10）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓「+春■=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)，直線y=g

與橢圓交于8,C兩點(diǎn)，且NW7c=90。，則該橢圓的離心率是.

/魚

力

解析：由題意得尸（c,0）,直線y=g與橢圓方程聯(lián)立可得華］H-

由NBFC=90°可得8廣CF=O,BF=|c+—CF=\c--.--\,

I22JI22J

則d—3〃+_!_廿=0由從=/-c2可得3c2=_L/則e=￡=、E=@.

4442aV33

【題源分析】（蘇教版教材選修2-1P37習(xí)題2.2（2）思考運(yùn)用第10題第（1）問）已知

橢圓與+方=1（。>方>°）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為6，E，短袖的一個(gè)端點(diǎn)為P.（1）若/片尸乙為

直角，求橢圓的離心率：

【改編設(shè)計(jì)】

22

（改編1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是雙曲線「一斗=1（。>人>0）的右焦點(diǎn)，直線y=2Z?

a~b~

與雙曲線交于8,C兩點(diǎn)，_ELZBFC=90°,則該雙曲線的離心率是.e=-y-

（改編2）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，F(xiàn)是橢圓J+/=l（a>6>0）的右焦點(diǎn)，直線y=g與

橢圓交于民C兩點(diǎn)，且NB尸。為鈍角，則該橢圓的離心率取值范圍為_?（0,竽）

22

（改編3）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，尸是雙曲線斗-與=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)，直線y=2/>

a~b~

與雙曲線交于3,C兩點(diǎn)，且N8產(chǎn)。為鈍角，則該雙曲線的離心率取值范圍為（1,1）

（2017.9）等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)的和為S“，已知邑=?,56=—,則%=

10

33

解析：S6=S3(1+^);即：—=-(1+7)；9=1+夕3,4=2;又q(l+q+/)=N；

444

71?7

所以7。［=),q=a；6=4=2、=32

(2016.8).已知｛〃〃｝是等差數(shù)列，S”是其前〃項(xiàng)和.若4+〃；=-3,S5=10,則為的值是.

解析：設(shè)公差為d,則由題意可得q+(%+d)2=-3,54+104=10,解得q=T,d=3,則

%=—4+8x3=20.

【題源分析】原創(chuàng)

【改編設(shè)計(jì)】已知數(shù)列｛%｝,S,,是其前”項(xiàng)和.若q+W=-3,S5=10,求證：｛叫不能構(gòu)

成等比數(shù)列。

第三級(jí)難度

第三級(jí)難度題是第10和11題，解答題的第17題；如2017年江蘇卷第10題為“基本

不等式的應(yīng)用”；如2017年江蘇卷第11題為“導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、一元二次

不等式的解法”的綜合；如2017年江蘇卷第17題為“直線方程、直線與直線的位置關(guān)系、

橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)”的綜合；

(2017.10).某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存

儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小，則x的值是

解析：總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和0)=旦？x6+4x>—X6x4x,

當(dāng)且僅當(dāng)竺9X6=4X,即：x=30

x

(2017.11).已知函數(shù)/(x)=x3-2x+e*-L,其中e是自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)，若

ex

f(a-1)+/(2?2)<0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是o

解析：易得/(x)為奇函數(shù)，且為增函數(shù)。(因?yàn)閺V(%)=/-2+/+二20,當(dāng)且僅當(dāng)x=0

取等號(hào))

利用奇偶性、單調(diào)性去掉“/"，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解。

/(a-1)<-f(2a2)=/(-2?2),即〃一14一2a2,解得：-iMawg,即

11

(2017.17).(本小題滿分14分)

22

如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，橢圓E:=+2=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,

ab~

F2,離心率為,，兩準(zhǔn)線之間的距離為8。點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn)Fi作

2

直線PFi的垂線力過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線在

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線4，/2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：

22

(1)由基本量法，可得：土+匕=1

43

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(隨,土互)

77

思考：將第(2)問改為：若直線/i,/2的交點(diǎn)Q,點(diǎn)P為在橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q的

軌跡方程。

題源分析：2014全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西省預(yù)賽第11題。

第四級(jí)難度

第四級(jí)難度題是第12,13題，第18題；第12題為“向量、兩角和的正余弦公式、正

余弦定理”的綜合；第13題為“向量的數(shù)量積，圓的方程，線形規(guī)劃”；第18題為“正

棱柱、正棱臺(tái)的概念，正弦定理、余弦定理”的應(yīng)用題。

(2017.12)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量/，而，萬，的模分別為1,1,V2,而與灰的夾

角為a,且tan=7,5與%的夾角為45°0若■OC=m0A弋nOB(m,neR),則m+n=

解析：將“如平移，與加小、0c構(gòu)成一個(gè)三角形。

用正弦定理，求解即可。

tana=7,

V505V25V2

V2_m_n

sin(45"+a)sin45〃sina

12

V^{sin45°+sina)A/2-(sin45°+sina)

則m十n==3

sin(45°+a)sin45°cosa+cos450sina1.71、

/雅運(yùn))

（2016.13）.如圖，在△ABC中，￡）是BC的中點(diǎn)，E,尸是4）上兩個(gè)三等分點(diǎn)，BACA=4,

BFCF=-\,則8必CE的值是

7

解析：-

8

【試題命制】（1稿）如圖，在A4BC中，。是8c的中點(diǎn)，E,尸是4）上兩個(gè)三等分點(diǎn),

AD1BC,BACA=4,BFCF=-\,則屁.段的值是.

（2稿）刪除“ADLBC”

(2017.13).在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，A(-12,0),B(0,6)，點(diǎn)P在。O:%2+/=50±,

若丑4.圖＜20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是:

解析：設(shè)P(x,y),病=50

則R4.P8=(-i2-x,-y)-(-x,6-y)=x2+y2+12x-6y^l2x-6y+50＜20

2x—y+5-0,

即：2x—y+5K0,聯(lián)立＜,,消y,整理得：f+4x-5=0,解得：x,=l,x,=-5;

x+y~=50

結(jié)合同=5后得：一5五WxWl,即：[一5五,1]

（2017.18）.（本小題滿分16分）

如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱臺(tái)形玻璃容器H的高均為32cm,容器I

的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為1077cm,容器II的兩底面對(duì)角線EG,E/G/的長(zhǎng)分別為14cm和

62cm.分別在容器I和容器H中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒/，其長(zhǎng)度為40cm.

（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）

13

(1)將/放在容器I中，/的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CG上，求/沒入水中部

分的長(zhǎng)度；

(2)將/放在容器H中，/的一端置于點(diǎn)￡處，另一端置于側(cè)棱GGi上，求/沒入水中部

分的長(zhǎng)度.

容SHI

圖6

分析：(1)玻璃棒與CG的交點(diǎn)記為M,與水面的交點(diǎn)記為N,過N作CG平行線，構(gòu)造

相似，由初中平面幾何知識(shí)，得：/沒入水中部分的長(zhǎng)度為16c、加

(2)構(gòu)造三角形，輔助線如右圖，

運(yùn)用正弦定理與兩角和的正弦公式

或者余弦定理均可得：

/沒入水中部分的長(zhǎng)度為20cm。

點(diǎn)評(píng)：本題來源于生活，背景對(duì)學(xué)生來說非常熟悉、公平，也符合新課程標(biāo)準(zhǔn)中倡導(dǎo)的“發(fā)

展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”的理念，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，數(shù)學(xué)與日常

生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。

復(fù)習(xí)建議：(1)強(qiáng)化審題能力。數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般文字?jǐn)⑹鲚^多，應(yīng)該抓住題目中的關(guān)鍵

字、詞、句，弄清題目中的已知事項(xiàng)，將題目中的條件、一些量之間的關(guān)系標(biāo)注在圖形中，

了解題中敘述的是什么事情，要求的結(jié)果是什么。

(2)注重模型的選擇。解數(shù)學(xué)應(yīng)用題就是一個(gè)建模、解模的過程，建模的過程就是將文

字語言、符號(hào)語言、圖表語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言的過程。一道題目可能有較多的建模思路，

應(yīng)選擇自己最熟悉或運(yùn)算過程少、技巧性不太強(qiáng)的數(shù)學(xué)模型。

(3)注重表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)。要注意實(shí)際問題的限制條件，注意解的嚴(yán)謹(jǐn)性和完備性。

(4)注意總結(jié)應(yīng)用題中一些常見的數(shù)學(xué)模型和解題方法。

14

第五級(jí)難度

第五級(jí)難度題是第14題，第19和20題，這里是從題目的整體性來說的。第14題為

“周期函數(shù)、分段函數(shù)”的綜合。需要特別指出的是：第18題的前一半的問題(考察正

棱柱的概念、三角函數(shù)或相似三角形)、第19題與第20題中第一問的難度(第19題第

(1)問考察等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式；第20題第(1)問考察利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)

的單調(diào)性、極值點(diǎn)及零點(diǎn)問題)僅是第三級(jí)難度，一般僅需認(rèn)真讀題，將題干中的基本數(shù)

據(jù)代入便可得到解答。

xEiD

(2017.14).設(shè)/(幻是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間［0,1)上，/1)='其

任D

中集合D={x|x=H.,〃eN+1,則方程/(x)—lg(x)=0的解的個(gè)數(shù)是

123456789

解析:由題意。={0,

2,3,4,5,6,7,8,9，10

因?yàn)?(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，

所以，當(dāng)攵eZ時(shí)，左也是函數(shù)f(x)的周期。若用人表示區(qū)間伙,Z+1),則表示區(qū)間OD；

因?yàn)閤e4時(shí)，X-Ze/(),所以/(x)=/(x-女)=<"k)‘xkeD

x-k,x-k^D

因?yàn)楫?dāng)XE/。時(shí)，即工￡[0,1)時(shí)，1gx<0,而/(x)N0,方程/(x)-lg(x)=0無解；

當(dāng)x"時(shí)，即：X€[l,2)時(shí)，/(尤)='一1)'le，

x—1,x-1任D

又因?yàn)?⑴=0,1g1=0,所以x=l是方程/(x)—lg(x)=O的一個(gè)根。

(V—9)2x—9￡D

當(dāng)xe/g時(shí)，即：xe[9,10)時(shí)，f(x)=<',且/(x)<l

x—9,x—9eD

又因?yàn)?(10)=0,lgl0=l>0,所以反映在4區(qū)間上為“1。一9,10-9定。“但％=10取不

到，所以A舍去。

又因?yàn)镮gx為定義域內(nèi)連續(xù)的增函數(shù)，

所以在，2、八、4、15、，6、乙、A上方程/(幻―lg(X)=O均有且僅有一根。

綜上，方程/(X)-lg(x)=O的解的個(gè)數(shù)是8個(gè).

x+a,-1<x<0,

(2016.11).設(shè)〃x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間［-1,1)上I

——x,0n?x<1,

,圖,則”5。)的值是.

其中a￡R,若/

解析：由題意得/?(一|)=f(一￡)=_；+〃,

15

由d-升佃可得-”卡則嗎

32

則/(5a)=/(3)=/(-l)=-l+a=-l+1=--.

【題源分析】原創(chuàng)。

(2017.19)對(duì)于給定的正整數(shù)Z,若數(shù)列滿足

+...+a“_i+a”+i+…++&+*=23對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)總成立,則稱數(shù)列

｛%｝是“P(k)數(shù)列”.

(1)證明：等差數(shù)列｛??)是“P(3)數(shù)列“；

(2)若數(shù)列｛?！埃仁恰癙(2)數(shù)列“，又是“P(3)數(shù)列“，證明：｛《,｝是等差數(shù)列.

解析：(1)因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，

所以，時(shí)，％_3+4+3=2。"(*),4.2+/+2=2?！?**),a,i+/+i=2a,(***);

(*)、(**)、(***)三式相加，得：an_3+an_2+an_x+an+i+an+2+an+3=6a?

故，等差數(shù)列｛/｝是“P(3)數(shù)列”

(2)當(dāng)“24時(shí)，因?yàn)閿?shù)列｛%｝是“P(3)數(shù)列“，

所以滿足：an_3+a,,_2++??+|+an+2+an+3=6a“①

又因?yàn)閿?shù)列｛凡｝是“P⑵數(shù)列"，所以，a?_2+an_,+an+]+an+2=4an(****)

還可寫成：a“一3+an_2+a?+an+]=4an^②；an_i+an+a?+2+an+3=4a?+1③

由②+③-①式，得：2an=4(??,)+an+l)-6an,即：an_1+all+i=2an(n>4)

故，｛a,J從第三項(xiàng)起為等差數(shù)列。

又因?yàn)閿?shù)列｛a“｝是“P(2)數(shù)列“，(****)式中，令〃=4,得：/+%+%+4=44

另斤以，g=%=4%—(%+%+4)=4(生+d)—(%+%+2d+%+3d)=%—d

(****)式中，令〃=3,得：4+。2+。4+。5=4%，

故，4=4%一(％+%+%)=4(%+〃)-Q+4+2d+4+3d)-a2-d

綜上，｛a,J是等差數(shù)列.

題源分析：本題解法與2011年江蘇高考數(shù)學(xué)第20題第(2)問方法一致?？梢姡耙皇?/p>

習(xí)得三遍熟”，熟悉往年試題很重栗。

(2017.20)已知函/(x)=*3+a/+笈+l(a〉0,beR)有極值，且導(dǎo)函數(shù)((x)的極值點(diǎn)是/(%)

的零點(diǎn)。(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)

(1)求匕關(guān)于4的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

(2)證明：〃>3a;

16

7

(3)若/(x),/'(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于-(，求a的取值范圍。

分析:(1)b=+—,aG(3,+oo)

9a

(2)即亍正：—?4+-^--a>0o—a6--a3+9>0,令/=f(f>27),I正明略

81a23813

(3){a\3<a<6}

復(fù)習(xí)建議：(1)在導(dǎo)數(shù)問題中，作出函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合，往往解題效果事半功倍。

(2)注意對(duì)函數(shù)性態(tài)的研究。應(yīng)該對(duì)函數(shù)中的單調(diào)性問題、最值問題、恒成立問題、存

在性問題、零點(diǎn)問題等做系統(tǒng)分析和研究，掌握研究這類問題的常用技巧和思維方法。

(3)注重強(qiáng)化解決函數(shù)問題的相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練。在解答題中，對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考

察要求有所提高，尤其涉及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想、特

殊與一般等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，思維層次要求較高。因此在復(fù)習(xí)中例題的選擇及訓(xùn)練題的配備一

定要放在學(xué)科整體高度上把握函數(shù)及其他模塊知識(shí)的橫向關(guān)系。

17

第二章江蘇高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)講解

把提高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)，突破高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)，揭示試題命制背景，點(diǎn)撥難題破解方法，對(duì)

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大有裨益！

1.專題復(fù)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容

高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)應(yīng)覆蓋6道解答題的相關(guān)內(nèi)容：①函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(包括二次函數(shù)與抽

象代數(shù)證明，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用)；②向量與三角(數(shù)、角、形，恒等變換)；③數(shù)列與不等式

(歸納、猜想、探索、論證)；④平面解析幾何(包括曲線位置與參數(shù)討論、平面向量)；

⑤空間向量與立體幾何(包括四直角三角形四面體，應(yīng)突出空間向量)；⑥概率統(tǒng)計(jì)。

2.專題重難點(diǎn)講解

2.1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

(根的存在性定理)：如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［a,加上連續(xù)，且/(a>/(b)<0,那么在開

區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)百,使f(&)=0

問題1:設(shè)函數(shù)/(x)=x-ln(x+M,其中常數(shù)m為整數(shù).

(1)當(dāng)m為何值時(shí)，/(x)>0

(2)當(dāng)m>l時(shí)，方程/(x)=0在九e2"-川內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

分析：解答本題第(2)問的實(shí)質(zhì)是應(yīng)用根的存在性定理。

(凸函數(shù)的性質(zhì))：設(shè)函數(shù)/(X)在閉區(qū)間［a,。］上連續(xù)，在(a,力內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，

如果/"(x)>0,那么/(x)在［a,切上的圖像是嚴(yán)格下凸的；反之，如果/(x)<0,那么/(x)

在［a,b\上的圖像是嚴(yán)格上凸的。

問題2:已知函數(shù)/(》)=36皿

1-X

(1)設(shè)a>0,討論y=/(x)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意xe(0,1),恒有/(x)>l,求a的取值范圍.

分析：本題主要考察利用導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性、左端點(diǎn)求右極限的知識(shí)。在此基

18

礎(chǔ)上結(jié)合嚴(yán)格上凸函數(shù)圖像的特性，根據(jù)求使不等式成立的條件，進(jìn)而求出a的取值范圍。

崖(>?)

(兩個(gè)不等式)：cm

m—n2

其對(duì)數(shù)形式：V^<h~a<—(b>a>0),

]nb-]na2

~祜，人▼1In/?-In。2/,八、

又等價(jià)于：—r=>-------->-----(Z?>>0)

yjabb-aa+b

,1?11

弓I申：當(dāng)ZEN*時(shí)，----<---------<ln(Z+1)—InAv)v一,

k+lk+(k+1)Jk(k+1)k

則￡—!—<f[in(攵+1)—lnZ]<t，，即：<ln(?+l)<^-,不難發(fā)現(xiàn)調(diào)和級(jí)數(shù)

是發(fā)散的。

問題3:已知函數(shù)/(x)=e"-。光，其次。>0,在函數(shù)/(x)的圖像上取兩定點(diǎn)AgJ。1))，

5(X2,/(X2))(X,<x2),記直線AB的斜率為攵，證明：存在工。金區(qū),、),使/。)=%恒

成立.

分析：k=-———-=---------a,令(p(x)=k—f(x)=--------e”,由不守

孫一曲X7-Xi孫一必

xx

m+n產(chǎn)_〃產(chǎn)+j*?,、,e2ei乂

式：e2<----<-----(機(jī)>〃)，可知：e2—e<(p(x)<---+-----e,

因?yàn)閮?nèi)<X2，所以，<P(X2)<0,<p(xj>0,考慮到函數(shù)的連續(xù)性，由零點(diǎn)存在定理，命題

得證！

問題4：設(shè)函數(shù)/(%)=e]-o