2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

第二章平面解析幾何橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握橢圓的定義;2.掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程;3.能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1橢圓的定義集合表示{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}如果F1,F2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn),a是一個(gè)常數(shù),且

,則平面內(nèi)滿足|PF1|+|PF2|=2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為橢圓,其中,兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2稱為橢圓的

,兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|稱為橢圓的

.2a>|F1F2|焦點(diǎn)

焦距

過關(guān)自診1.到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-7,0)和F2(7,0)的距離之和為14的點(diǎn)P的軌跡是(

)A.橢圓

B.線段C.圓

D.以上都不對(duì)2.橢圓的定義中,若2a≤|F1F2|,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡還是橢圓嗎?B解析

∵點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之和為14,等于|F1F2|,∴軌跡是一條線段.解

不是.當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在.當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段F1F2.知識(shí)點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程

=1(a>b>0)

=1(a>b>0)圖示焦點(diǎn)坐標(biāo)

a,b,c的關(guān)系

F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)b2=a2-c2名師點(diǎn)睛1.在已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí),應(yīng)特別注意a>b>0這個(gè)條件.2.焦點(diǎn)三角形中常用的關(guān)系式(1)|PF1|+|PF2|=2a.(3)|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.(4)|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|.過關(guān)自診1.a=6,c=1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)D2.橢圓4x2+9y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(

)C3.[人教A版教材習(xí)題]如果橢圓

=1上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)F1的距離等于6,那么點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離是

.14重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一橢圓定義的理解【例1】

如圖所示,已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A(-3,0),并且在定圓B:(x-3)2+y2=64的內(nèi)部與其內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.解

設(shè)動(dòng)圓P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M,動(dòng)圓圓心P到兩定點(diǎn)A(-3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以動(dòng)圓圓心P的軌跡是以A,B為左、右焦點(diǎn)的橢圓,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,故動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為規(guī)律方法

利用橢圓定義求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的三個(gè)步驟

變式訓(xùn)練1[北師大版教材習(xí)題]如圖,兩個(gè)定圓圓C1和圓C2內(nèi)切,且半徑分別為r1=1,r2=3,動(dòng)圓M與圓C1外切且與圓C2內(nèi)切,那么動(dòng)圓圓心M的軌跡是什么?并說明理由.解

設(shè)動(dòng)圓M半徑為R,因?yàn)閳AM與圓C1外切,所以|MC1|=1+R.又因?yàn)閳AM與圓C2內(nèi)切,所以|MC2|=3-R,所以|MC1|+|MC2|=4.又圓C1和圓C2內(nèi)切,所以|C1C2|=2.所以動(dòng)圓圓心M的軌跡是以C1,C2為焦點(diǎn)的橢圓(除掉圓C1和圓C2的切點(diǎn)).變式訓(xùn)練2[北師大版教材例題]已知△ABC的周長為10,且|BC|=4,則△ABC的頂點(diǎn)A的軌跡是什么?并說明理由.解

因?yàn)椤鰽BC的周長為10,且|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6,且|AB|+|AC|>|BC|.根據(jù)橢圓的定義可知,△ABC的頂點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn),焦距長為4的橢圓(不含橢圓與直線BC的交點(diǎn)).探究點(diǎn)二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程角度1.待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.∵橢圓過點(diǎn)A(-1,-2),規(guī)律方法

1.利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,有下面幾種情況:如果明確橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,那么設(shè)所求的橢圓方程為

=1(a>b>0);如果明確橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,那么設(shè)所求的橢圓方程為=1(a>b>0);如果中心在原點(diǎn),但焦點(diǎn)的位置不能明確是在x軸上,還是在y軸上,那么方程可以設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),進(jìn)而求解.2.待定系數(shù)法求橢圓方程能有力地明晰數(shù)學(xué)運(yùn)算的目標(biāo)性和方向性,能較好地體現(xiàn)運(yùn)用解析法進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).角度2.定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例3】

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是解

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,規(guī)律方法

用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,先根據(jù)橢圓定義,確定a2,b2的值,再結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式訓(xùn)練4已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,5),(0,-5),橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為26,求滿足條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,因?yàn)?a=26,所以a=13,又因?yàn)閏=5,所以b2=a2-c2=144,探究點(diǎn)三橢圓定義的應(yīng)用【例4】

已知P為橢圓

=1上一點(diǎn),F1,F2是橢圓的左、右焦點(diǎn),∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos

60°,即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|.①即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|.②由①②得|PF1||PF2|=4,變式探究若將例4中“∠F1PF2=60°”變?yōu)椤啊螾F1F2=90°”,求△F1PF2的面積.規(guī)律方法

1.橢圓上一點(diǎn)P(不與焦點(diǎn)共線)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形.解關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形的問題,通常要利用橢圓的定義,再結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識(shí)求解.2.焦點(diǎn)三角形的常用公式(1)焦點(diǎn)三角形的周長L=2a+2c.(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.變式訓(xùn)練5(1)P是橢圓

=1上一點(diǎn),F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),若|PF1||PF2|=12,則∠F1PF2的大小為(

)A.60°

B.30° C.120° D.150°A∵0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=60°.(2)已知F1,F2為橢圓

=1的兩個(gè)焦點(diǎn),過F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若|F2A|+|F2B|=12,則|AB|=

.

8解析

由直線AB過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20.又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.(3)[人教A版教材習(xí)題]如果點(diǎn)M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過程中,總滿足關(guān)系式

=10,那么點(diǎn)M的軌跡是什么曲線?為什么?寫出它的方程.解

點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.∵點(diǎn)M(x,y)到兩定點(diǎn)(0,-3),(0,3)的距離之和為10,且大于兩定點(diǎn)間的距離6,成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練12345678910111213141516171.[探究點(diǎn)二(角度1)]若橢圓C:

=1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),則實(shí)數(shù)m的值為(

)A.9 B.6

C.4

D.1C解析

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)(-1,0)在x軸上,所以a2=5,b2=m,所以c2=a2-b2=5-m,即5-m=1,解得m=4.12345678910111213141516172.[探究點(diǎn)一](多選題)已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(-3,0),B(3,0),點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn),且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列說法中正確的是(

)A.當(dāng)a=2時(shí),點(diǎn)P的軌跡不存在B.當(dāng)a=4時(shí),點(diǎn)P的軌跡是橢圓,且焦距為3C.當(dāng)a=4時(shí),點(diǎn)P的軌跡是橢圓,且焦距為6D.當(dāng)a=3時(shí),點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓AC解析

當(dāng)a=2時(shí),2a=4<|AB|,故點(diǎn)P的軌跡不存在,A正確;當(dāng)a=4時(shí),2a=8>|AB|,故點(diǎn)P的軌跡是橢圓,且焦距為|AB|=6,B錯(cuò)誤,C正確;當(dāng)a=3時(shí),2a=6=|AB|,故點(diǎn)P的軌跡為線段AB,D錯(cuò)誤.12345678910111213141516173.[探究點(diǎn)二(角度1)]已知命題p:方程

=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則使命題p成立的充分不必要條件是(

)A.3<m<5 B.4<m<5C.1<m<5 D.m>1B則m-1>5-m>0,解得3<m<5,所以p成立的充要條件是3<m<5.結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知,p成立的充分不必要條件是4<m<5.故選B.1234567891011121314151617C1234567891011121314151617B12345678910111213141516176.[探究點(diǎn)二(角度2)]已知橢圓的焦點(diǎn)為(-1,0)和(1,0),點(diǎn)P(2,0)在橢圓上,則橢圓的方程為(

)A解析

由題可知c=1.由點(diǎn)P(2,0)在橢圓上,可得a=2,12345678910111213141516177.[探究點(diǎn)三]已知F1,F2為橢圓C:

+y2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,∠F1PF2=60°,則|PF1||PF2|=

.解析

由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|=4,利用余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos

60°=|F1F2|2,所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=|F1F2|2=12,解得3|PF1||PF2|=4,即12345678910111213141516178.[探究點(diǎn)一]若△ABC的三邊長a,b,c滿足2b=a+c,A(-1,0),C(1,0),則頂點(diǎn)B的軌跡方程是

.

解析

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y).∵2b=a+c,即|BC|+|BA|=2|AC|,又A(-1,0),C(1,0),∴|BC|+|BA|=4>2,根據(jù)橢圓的定義可知,點(diǎn)B的軌跡是以A(-1,0),C(1,0)為焦點(diǎn),以4為長軸長的橢圓,12345678910111213141516179.[探究點(diǎn)二(角度1)]求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)在y軸上,焦距是4,且經(jīng)過點(diǎn)M(3,2);(2)c∶a=5∶13,且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為26.解

(1)由焦距是4可得c=2,1234567891011121314151617(2)由題意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-1234567891011121314151617B級(jí)關(guān)鍵能力提升練B1234567891011121314151617C1234567891011121314151617CD123