線性代數(shù)試題庫(kù)

線性代數(shù)題庫(kù)

一、填空題.

1.排列632514的逆序數(shù)為10；排列〃(〃—1)(〃—2)…321的逆序數(shù)為.丁).

排歹U632514排歹！Jnn-1n-2321

解JJ

tj012142tj012n—3n—2n-1

2.偶排列經(jīng)過(guò)一次對(duì)換變成奇排列,奇排列經(jīng)過(guò)兩次對(duì)換變成奇排列.

1

3.已知％4a2心31a42是四階行列式中的一項(xiàng)，貝J/=__3__；該項(xiàng)所帶符號(hào)為負(fù).

排列4312

解JJJJ,奇排列，所以帶負(fù)號(hào)。

0122

123

4.行列式0=201中的元素3的代數(shù)余子式為」,元素—3的代數(shù)余子式為-4.

24-3

“心20—12

解A=(-1)1+3=8,43=(一1)=-.

13243320

4a5

5.已知行列式0=267中元素的i=2的代數(shù)余子式41=5,則。=_一5__.

32-1

5

解A,1=(—I)?”“=a+10=5,所以，a=-5.

212-1

6.已知四階行列式。的第3行元素依次為2,2,L-1,它們的余子式依次為5,2,3,4,則行列式。=

13.

解

D〃31^^31+Q32'^^32+^33,^^33+〃34'^^34

3+33+4

=(—1)3+&也31+(T)"2a32M32+(-1)a33M33+(-1)a34M34

—

—6Z31A/31—+〃33人133^34-^34?

=2x5-2x2+lx3-(-1)x4

二13

7.四階行列式。的值為91,它的第一行元素為2,31+3,-5,第一行元素的余子式依次為-L0,6,9,

則t=.

解因?yàn)?/p>

D—%]A”+%2A12+413Al3+414Al4

=(—1嚴(yán)+(—I)"?又監(jiān)2+(一1嚴(yán)%3監(jiān)3+(-1嚴(yán)%4監(jiān)4

=%]"]]—Af12+%3”13—%4”14，

=2x(-1)-3x0+(/+3)x6-(-5)x9

=91

所以，t=5

8.設(shè)4為kx/矩陣，5為mx”矩陣.如果有意義，則矩陣C的行、列數(shù)分別為_機(jī)行.

列.

9.設(shè)4是"階方陣，且0,貝力A'|=a,|=

一a

T2

IA*|=—a11」，|2A|=__2na_,|A4|=_a_，\AA~1\=_I

\AA^\=_an__,||A|A|=_an+1,|-2AAT|=_(-2)na2—,|(3A)2|=_9na2

10.設(shè)是〃階方陣，則A?—^2=(4+B)(A—8)的充分必要條件是_AB=BA

11.設(shè)矩陣A是5階方陣，且|A|=2,則卜|A|A|=__—2。.

|-|A|A|=|-2^=(-2)5-2=-26

」23、

12.設(shè)A=,且R(A)=1,貝!Jf=__4__,s=_6

、2ts)

123M-2“123、

解：A=,R(A)=1,貝卜一4=0,s—6=0,即，=4,s=6。

(2s)I。t-4s-6,

1234、'2301

13.設(shè)A=0111，B=1122,且A與5等價(jià)，則1=_4_.

00023

o>、3t7

解：A(A)=2,且4與5等價(jià),A(B)=2,

/2301、1122、q122、

々一八々-2八

B=1122230101-4-3

G一3八

3t233t23,t-3-4-3

7、o7

所以當(dāng)R(B)=2,二、三兩行對(duì)應(yīng)成比例,即可得，=4。

14.若向量2a+36=(1,2,3,4尸,a+4=(1,2,2,-l)T,則a=,P=

解：J3=(2a+3j8)-2(。+/?)=(1,2,3,4)，-2(l,2,2,-l)r=(-1-2-1,6)r

a=H、一B=(122,-1尸-(-l,-2,-l,6)r=(2,4,3,—7/

15.已知a=(-L,0,2)r,￡=(2,1,—3)「A=aT=,則砥4)=.

解:A=aT/3=(—1,0,2)(2,1,—3尸=-6,R(A)=1

16.若向量組q=(L—1,2,。)\&2=(2,—2,。,—8尸線性相關(guān)，則。=,b=

解:%,4線性相關(guān),則對(duì)應(yīng)分量成比例，。=-4,b=4

17.當(dāng)a時(shí),向量組名=(3,l,a)T，4=(4,a,0)T,%=(1,0,a)1線性無(wú)關(guān).

341

解：M=1a0=2a(a-2)w0時(shí)，線性無(wú)關(guān)，即aw0且aw2時(shí)線性無(wú)關(guān)。

a0a

18.若向量組4=(a,0,0)T,%=(L3,2)T線性相關(guān)，則。力滿足

lai

解：⑶=1o3=a—2b=0時(shí)，線性相關(guān)。

1b2

,12

19.當(dāng)。=,方程組23a+23有無(wú)窮個(gè)解.

Ja-2

’1210<121

f(?+l)(?-3)=0

解：入=23〃+23—>0—1a時(shí)，方程組有

a—3=0

Ja-20J100(t?+l)(t?-3)a-3)

無(wú)窮個(gè)解，即。=3

20.設(shè)％為方陣A的特征值，g為A對(duì)應(yīng)X的特征向量，則方陣24+E的特征值為2征+1,對(duì)應(yīng)的

特征向量為q.

解q為A對(duì)應(yīng)/的特征向量，則4^=24，故(2A+E)q=2Aq+￡q=2/lq+q=(22+l)q.

21.設(shè)分別為實(shí)對(duì)稱矩陣4的兩個(gè)不同特征值，名,以為所對(duì)應(yīng)的特征向量，則

4,42]=—Q-.

解實(shí)對(duì)稱矩陣A的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交.

22.設(shè)矩陣4的三個(gè)特征值分別為1,2,3,則A+2E的特征值分別為3,4,5；A*的特征值分別為

632.

解g為A對(duì)應(yīng)2的特征向量，Aq^Aq,則故4^的特征值為工=1—；

AX23

(A+2E)q=Aq+2Eq=Xq+2q=(X+2)q,故A+2E的特征值為X+2=3,4,5；

A*q=\A\A-'q^q,且岡=444=6,故A*的特征值為@=6,3,2.

23.若3階方陣A的特征值為1,—1,2,5=42—5A+2E,貝/A|=二2,5的特征值為—2,8,—4,

151=64.

解|A|=444=-2；

令0(x)=x2—5x+2,則3=0(A)=A2—5A+2E,故6的特征值為雙㈤=下—54+2,從而

可得6的特征值為。⑴=—2,以-1)=8,0(2)=T,于是6的行列式為I5I=-2x8x(-4)=64.

24.已知3階矩陣A有特征值—1,2,4,則2A*的特征值為16,—8,4.

2A*?=2同4%=冽4,

解q為A對(duì)應(yīng)4的特征向量，Aq=lq,則人一匕二：q,且

A

2A

回=4%4=~8,故24*的特征值為q=16,-8,4.

2

q-33、

25.若4=3a3的特征值為—2,—2,4,則a=q,b=4

、6-6b,

1-33

解|A|=3ai=ab-k9-

6-6b

ab-lSa+9b-106=0

因?yàn)閨A|=444,4+4+4=〃1]+〃22+〃33，所以得到方程組<

a+b+l=0

解得，=—5"=4或者a=—23"=22.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)〃=一23"=22時(shí)矩陣A的特征值不是—2,—2,4,

當(dāng)a=—5,6=4時(shí)矩陣A的特征值是—2,—2,4,故。二-5,8=4.

(1—24)(5ooA

26.若矩陣4=—2x—2與5=0-40相似，則元=----,y=一

3737

-4-2100y)

...,17x+20y=81225

解矩陣4與3相似，貝|4=國(guó)且"4=療3,得方程組17，解得％=—丁，

[%-丁二一13737

"101、

27、二次型/區(qū),9,%)=%：+2%巧一4X2巧+3x；的實(shí)對(duì)稱矩陣為00-2,它的規(guī)范形為

I-3,

<101、1-201

解二次型的矩陣4=00-2)|(A-E)|=0-2-2=-23+4A2+22-4=0RT

U-23,1-23-2

以判斷方程有兩個(gè)負(fù)根，一個(gè)正根，即矩陣A的絕對(duì)值兩負(fù)一正，故二次型的正慣性指數(shù)為1,負(fù)慣性指

數(shù)為2.它的規(guī)范形為/=$—￡—￡.

28.已知二次型/(%],%2，巧)=5x；+5%；+c4一2%]%2-6%2巧+6再％3的秩為2，則c=3.

5-13、(201

解二次型的矩陣4=-15-3f02-1因?yàn)镠(A)=2,所以c=3.

3-30c-3

cJ(°7

29.當(dāng)f滿足一2</<1時(shí),二次型/(%1；%2,%3)=x；+4%2+2/XJX2-2%巧+4X2X3+4X；

為正定二次型.

(It-1、

解二次型的矩陣為4=t42,其三個(gè)順序主子式為

、T

1t-1

%=1,/%2=1r=4—/，|A|=t42=-4(r-l)(r+2),

a2la22t4

當(dāng)三個(gè)順序主子式均大于零時(shí)二次型是正定的，由4-產(chǎn)>0,—1)?+2)>0,解得-2</<1.所

以當(dāng)-2<1<1時(shí)，二次型是正定的；

30.二次型f(x1,x2,x3)=x；+5xf+9xj-4%JX2+2版：2七為正定的充分必要條件是網(wǎng)<3.

‘1-20、

解二次型的矩陣為A=-25k,實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是4的各階順序主子式

10k9j

121-20

都大于零，即?！?1>0,如包=一=i>o,⑷=—25左=9—左2〉0,解得|左|<3.

%a22-250k9

二、選擇題.

1.〃階行列式展開式中%2a23a34…4-1,0的符號(hào)為D

(A)正；(B)負(fù)；(C)(-1)"；(D)(—1產(chǎn).

排歹U234■■■n-11

解JJJJJJ

,0000n-1

2.六階行列式列的展開式共有B項(xiàng).

(A)62；(B)6!；(C)12；(D)24.

3.下列排列是偶排列的是」

(A)13524876；(B)51324867；(C)38124657；(D)76154283.

k12

4.行列式20=0的充分條件是B

11-1

(A)左=2；(B)k=—2；(C)左=0；(D)k=-3.

12

12k1

解按第二行展開,20k=(-1產(chǎn)2+(-D2+3k=6-k(k-D=O,

1-111

11-1

所以，k=3,k=-2.

aa

nn〃132a2i2a222a23

5.若口=a2i〃22〃23二aw0,則3ali3aI23a13A

a〃

3i。32334a3i4a324a33

(A)-24。；(B)24。；(C)8a；(D)12a.

aaaaa

2a2i2a222a23212223\\n43

解3ali3a*3a13=2-3-4ailai2ai3=-24〃21^22=-24a.

aa

4a3i4a324a333132a33〃31〃32〃33

a〃〃〃a

n121321a2223

6.若D“21“22023=aw0,則￡)]=〃3]2Q]]a32~2。12。33—2〃]3A

〃

31。32。333an3.3

(A)3a；(B)—a;(C)6a；(D)-6a.

解

〃21Cl22〃23a21Cl22〃23a2l〃22〃23

〃-2〃13—〃〃263

D：=“32-242333132。33■2ali2an

3。“3/23%33ali3%23〃133〃n3623%3

aa

%“23出1。23\\!2

=3。32“33232%i2al22%=3%“23=3a

aa

ni2“133an3%3“31。32“33

氏x+y+z=0

7.若齊次線性方程組x+ky-z=G有非零解,則左C

2x-y+z=0

(A)左。一1或左。4；(B)左w—1且左w4；(C)左=一1或%=4；(D)左=—1且女=4.

解

k1111

D=1k-1-11

2-111-12

11k

0k+1k+1=(左-2)(左+1)-2(左+1)=(左+1)(匕4)

0-22-k

所以系數(shù)矩陣。=0時(shí)有非零解，k=-l,k=4.

8.已知〃階方陣4和常數(shù)左，且|A|=d,則卜411的值為_(D)

(A)kd2；(B)k2d?；(C)knd；(D)k"d~.

解：,心[=9網(wǎng),[=左22

9.設(shè)矩陣A?*s，Bsxn,Cnxn,下列—(B)運(yùn)算可行?

(A)AC；(B)BC；(C)ACB；(D)AB-BC.

解：兩矩陣相乘，左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)。

10.設(shè)A為”階方陣，且|4|=aw0,貝”A*|=—(C).

(A)a；(B)-；(C)a"'(D)an.

a

解：A4*=網(wǎng)區(qū)兩邊取行列式，|A4*|=|A||A*|=W同=8，14*1=4。"=a"T

n

11.設(shè)A,3均為九階方陣，則下列結(jié)論中正確的是—(D).

(A)若45=4。，則5=。；(8)若45=0,則4=0或5=0；

(C)若貝力A|#0；(D)若|A|WO,則4/0.

12.設(shè)A,6均為〃階方陣，且滿足A5=0,則—(C).

(A)4=0或5=0；(B)det(4)=0且det(5)=0；

(C)det(A)=0或det(5)=0；(D)上述結(jié)論均不正確.

13.設(shè)4,6均為〃階方陣，左為正整數(shù)，下列結(jié)論中不正確的是―(B).

(A)?AT+BTHA+B|；(B)IAT+BTHAI+IBI；

(C)\{AB}k|=|AP-IB|A；(D)IAB|=|BA|.

14.設(shè)A,5,C均為〃階方陣，則下列結(jié)論中不正確的是—(D).

(A)若A5C=E,則A,B,C都可逆；(B)若A5=AC,且A可逆，則5=C；

(C)若45=AC,且4可逆，則5A=C4；(D)若A5=0,且4/0,則5=0.

15.設(shè)4,6都是〃階可逆矩陣，則下列結(jié)論中不正確的是(A)—.

(A)(A+B)-1=A-l+B-\(B)((AB)1"尸=(A-1)T(B')T；

(C)(Akyl=(A-l)k(左為正整數(shù))；(D)|(一尸|=左-|41T(左為非零常數(shù)).

16.設(shè)A,B,C都是〃階可逆矩陣，且A5C=E,則下列結(jié)論必成立的是_(B)

(A)ACB=E；(B)BCA=E；(C)CBA=E；(D)BAC=E.

aw%2〃13。31〃32Q33

17.設(shè)A=〃21〃22。23,B=a22?dy2a23+013

。32。33J<a\\a12“13/

「001、「100、

4=010P2=110,則有—(A)

J0、001,

(A)尸]P,A=B；(B)P^P1A=B；(C)AP{P^=B；(D)AP2Pl=B.

解：PXP,A=B,先把A的第一行的一倍加到第二行,再交換、三兩行，即

/\、/

[[C^l]?]3ajja]2a13〃31〃32。33

G+4心—G

A=〃2122〃23。21+1。22+。12^3^23+^^13"21?^^22^^12^^23^^13O

l“31”32033JIa3\a31。33)\a\\%2。13J

18.設(shè)A為”階可逆矩陣，則有—(A).

(A)A總可以經(jīng)過(guò)初等行變換化為單位矩陣E；

(B)對(duì)(A|E)經(jīng)過(guò)若干次初等變換，當(dāng)4化為E時(shí)，相應(yīng)的E一定化為A-1；

(C)由AX=B4得X=6；(D)以上三個(gè)結(jié)論都不正確.

19.設(shè)A為九階方陣，且有人2=4成立，則下面命題中正確的是_(D).

(A)4=0；(B)A=E,

(C)若4不可逆，則4=0；(D)若4可逆，則A=E.

解：由人2=人，A2-A=0,即A(A-E)=0,若A-E可逆，則4=0；若A可逆，則A-E=0,

即A=E

20.設(shè)A,6均為〃階可逆矩陣，下列結(jié)論中正確的是_(D).

(A)AB=BA；(B)存在可逆矩陣P,使AP=6；

(C)存在可逆矩陣。，使O'AC=5；(D)存在可逆矩陣P,0,使。4。=5.

21.已知向量組織,。2，。3線性無(wú)關(guān)，則下列向量組中線性相關(guān)的是.

(A)a{-a2,a2-a3,a3-ax；(B)ax+a2,a2+a3,a3+ax；

(C)%—2%,%一2%%一2q；(D)%+2a2，%+2%%+20.

1-10110

解：(A)|A|=01--1=0；(B)A=011=2

-101101

1-20120

(C)A=01-2=-7；(D)A=012=9

-201201

22.若向量組名=(l,0,0)T,4=(1,1,0尸。3=3"c)T線性無(wú)關(guān)，則有?

(A)a=b=c；(B)b=c=0；(C)c=0；(D)c20.

11a

解：A=01b=cwO

00c

23.如果向量用可由向量組名,線性表示，則一D—?

(A)存在一組不全為零的數(shù)自，左2,…，心，使得萬(wàn)=&%+左2a2T—+左"。"，成立；

(B)存在一組全為零的數(shù)々，左2,…，心，使得用=左］q+左2%+…+成立；

(C)存在唯一的一組數(shù)自，左2,…，匕"使得6=左1%+左2%+…+尢”%,成立；

(D)向量組力,名以2,…,％”線性相關(guān).

24.已知向量組…,的秩為r,則下述論斷中不正確的是A.

(A)ax,a2,-,am中任意廠個(gè)向量線性無(wú)關(guān)；

(B)名，a2，…,％■中至少有廠個(gè)向量線性無(wú)關(guān)；

(C)中任何r個(gè)線性無(wú)關(guān)部分向量組與區(qū),4等價(jià)；

(D)中任意c+1個(gè)向量(若有的話)線性相關(guān).

25.若名,a2，％均為“維向量，則下述結(jié)論中不正確的是B.

(A)若對(duì)任意一組不全為零的數(shù)3左2,…/s，都有匕氏+&%+???+左,,03#0，則

%,%,,,,,見線性無(wú)關(guān)；

(B)若名,。2,…,名,線性相關(guān)，則對(duì)任意一組不全為零的數(shù)匕/2,…，心，都有

匕%+左2%+…+4"%"=0；

(C)向量組名,a?，…,4線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為S；

(D)向量組必,a2，…,見線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān).

26.向量％,。2,…，a,(S22)線性相關(guān)的充分必要條件是D.

(A)/,。2,…,冬中至少有一個(gè)零向量；

(B)ava2,-,as中至少有兩個(gè)向量的分量對(duì)應(yīng)成比例；

(C)名,外，…,％中每個(gè)向量都能由其余向量線性表出；

(D)al,a2,--,as中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表出.

27.若向量組織,4,4線性無(wú)關(guān)，向量組%,%，%線性相關(guān)，則C.

(A)%一定可由。2。3。4線性表示；(B)%一定不能由%，％，%線性表示;

(C)。4一定可由線性表示；(D)%一定不能由4。2。3線性表示.

28.若非齊次線性方程組心=力中方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，4x=0是它的導(dǎo)出組，那么B.

(A)Ar=力必有無(wú)窮多解；(B)4x=0必有非零解；

(C)4x=0僅有零解；(D)4x=0一定無(wú)解.

29.設(shè)非齊次線性方程組=8中，系數(shù)矩陣A為根義"矩陣，且矩陣A的秩為R(A)=r,則

A.

(A)廠=7〃時(shí)，方程組有解；(B)r=〃時(shí)，方程組Ar=辦有唯一解；

(C)相=”時(shí)，方程組Ar=力有唯一解；(D)廠＜“時(shí)，方程組Ar=)有無(wú)窮解.

30.設(shè)A為機(jī)義〃矩陣，8=0是線性方程組心=。的導(dǎo)出組，則下列結(jié)論正確的是D.

(A)若4x=0僅有零解，則=8有唯一解；(B)若4x=O有非零解，則有無(wú)窮多解；

(C)若4x=Z?有無(wú)窮多解，則4x=O僅有零解；(D)若4x=)有無(wú)窮多解，則4x=O有非零解.

31.已知^，區(qū)是非齊次線性方程組加=力的兩個(gè)不同的解向量，%,%是其導(dǎo)出組加=。的基

礎(chǔ)解系，左，自是任意常數(shù)，則AK=辦的通解是③.

2(%+(,1—2(%—

(A)左]%+左6z2)+—02)；(B)4]%+左a,)+—(Bl+02)；

(C)氏1%+左2(,1_,2)+5(夕1_夕2)；(D)左1%+左2(,|_,2)+萬(wàn)(￡]+,2).

A

32.設(shè)二階方陣A的特征值為。和2,則一的特征值為A

2

(A)0,1；(B)0,2；(C)0,4；(D)0,8.

A21(A-2E)=^|(A-2E)|,得：的特征值為

解二階方陣4的特征值為4=0,2,由萬(wàn)石

33.設(shè)〃階方陣A滿足A?=E，則B.

(A)A的特征值是1；(B)A的秩是“；(C)|A|=1；(D)A一定是對(duì)稱矩陣.

解A2=￡,則|A|=±JI]=土洞=±1,故4的秩是〃.

34.”階方陣4與某對(duì)角矩陣相似，則D.

(A)A的秩是“；(B)A有"個(gè)不同的特征值；

(C)A一定是對(duì)稱矩陣；(D)A有九個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.

35.設(shè)4是“階方陣，2,.。=1,2,…)是A的特征值，則必有D.

(A)4(i=1,2,)互異；(B)2,(z=)均異于零；

(C)422'''n=。11。22‘'；(D)X]+力2+，，，+X”=+。22+。@

36.n階方陣A有〃個(gè)不同的特征值是4可對(duì)角化的A.

(A)充分條件；(B)必要條件；(C)充要條件；(D)既不充分也非必要條件.

37.設(shè)；1=2是可逆矩陣4的一個(gè)特征值，則下面B是矩陣2E+AT的一個(gè)特征值.

i52

(A)—；(B)—；(C)5;(D)一.

425

解設(shè)q是A對(duì)應(yīng)于特征值2=2的特征向量，則A4=2q，4一%=；4，

故(2E+A-%=2Eq+A~'q=2q+—q-—q.

38.下述說(shuō)法正確的是B.

(A)A與有相同的特征值和相同的特征向量；(B)A與有相同的特征多項(xiàng)式；

(C)設(shè)名,以為A的兩個(gè)特征向量，則左必+七以(左1，后不全為零)也是4的特征向量；

(D)齊次線性方程(A-XE)x=0的每一個(gè)解向量都是對(duì)應(yīng)于特征值X的特征向量.

解設(shè)q是4對(duì)應(yīng)于特征值2的特征向量，則為=%.

(A)不正確.A與有相同的特征值，而特征向量不一定相同.

(B)正確.|萬(wàn)一2目=(A—2石)[=](A—2￡)卜

(C)不正確.Aqx=\qx,A%=4%,當(dāng)4=4時(shí)，有

A(klql+k2q2)=k1Aqi+k2Aq2=klAlql+k2X2q2=\(kAqx+k2q2),此時(shí)kxqY+k2q2(k1,k2不全為

零)是A的特征向量；

當(dāng)時(shí)，0應(yīng)2線性無(wú)關(guān)，假設(shè)%%+七。2(匕/2不全為零)是4的對(duì)應(yīng)于特征值幾的特征

向量，有勺彳⑼十左&〃虧H左1由左切亍彳(k和1,得(幾一%比]0+(X—42K〃2=，從而

4=4=4,矛盾?綜上，只有當(dāng)41，?2為A的同一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征向量時(shí)，左M+左2。2(左1，左2

不全為零)才是4的特征向量；

(D)不正確.零向量是齊次線性方程組(A-/LE)x=O的解，但不是4的特征向量；

39.設(shè)A,5均為〃階方陣，并且4與6相似，下述說(shuō)法正確的是A.

(A)V與5T相似；(B)4與6有相同的特征值和相同的特征向量；

(C)A1=Bl；(D)存在對(duì)角矩陣Z>,使4、5都與。相似.

解矩陣4與6相似，即存在可逆矩陣0,使0TA0=5,故

(A)正確.對(duì)于可逆矩陣。，0也可逆，令尸=(°T尸，則

5T=(Q-'AQ)^=eTAT(eTr*=PAJP,由定義知AT與5T相似；

(B)不正確.因|8—XEH0T40—XE|=I0T40—九0-10|

=\Q-\A-AE)Q\=\Q-'\\A-AE\\Q\=\A-AE\,

故A與6的特征多項(xiàng)式相同，從而4與6的特征值也相同.但是對(duì)應(yīng)的特征向量不一定相同.因?yàn)?，?/p>

力是方陣A的特征值，向量q是方陣A對(duì)應(yīng)于特征值2的特征向量，則Aq=Xq.而0TA0=5即

A=QBQ1,所以050Tq=幾4,兩邊左乘BQ'q^AQ^q,即方陣6對(duì)應(yīng)于特征值2的特

征向量為0Tg.

(C)不正確.B=(Q-lAQYl=QrAjQ豐A-1；

(D)不正確.因?yàn)锳與6不一定可以對(duì)角化.

40.若矩陣A與矩陣6相似，則下列說(shuō)法正確的是C.

(A)AE-A=AE-B；(B)A與5均相似于同一對(duì)角矩陣；

(C)H(A)=R(5)；(D)對(duì)于相同的特征值X,4與6有相同的特征向量.

解(A)不正確.當(dāng)且僅當(dāng)矩陣4與6相同時(shí)/IE—A=4E—B成立；

(B)不正確.因?yàn)?與5不一定可以對(duì)角化；

(C)正確.由A與6相似的定義可知，當(dāng)A與6相似時(shí)，A與6一定等價(jià)，從而R(A)=A(b).

(D)不正確.由上題可知.

41.下列結(jié)論正確的是D.

(A)實(shí)數(shù)域上的”階方陣4一定有〃個(gè)特征值；(B)A與有相同的特征值和特征向量；

(C)若刈是A的特征值，則齊次線性方程組(4-%E)x=O的解就是A對(duì)應(yīng)于兒的特征向量;

(D)若兒不是A的特征值，則矩陣A-可逆.

解設(shè)q是4對(duì)應(yīng)于特征值2的特征向量，則=

(A)不正確.在實(shí)數(shù)域上討論方陣A的特征值和特征向量，則〃階矩陣4可能沒(méi)有特征值或特征值

r0—2、

個(gè)數(shù)小于”.如矩陣4=的特征值4=2。4=-2,均為虛數(shù)；

20

(B)不正確.

(C)不正確.零向量是齊次線性方程組(A-%E)x=0的解，但不是A的特征向量;

(D)正確.若兒不是A的特征值，貝4目20,故矩陣A—可逆.

42.設(shè)〃階方陣A可逆，q是4對(duì)應(yīng)于4的特征向量，則下列結(jié)論不正確的是D

(B)q是矩陣［ga?］對(duì)應(yīng)于京的特征向量;

(A)q是矩陣3A對(duì)應(yīng)于32的特征向量;

1

(C)q是矩陣A*對(duì)應(yīng)于一|A|的特征向量；(D)0是矩陣對(duì)T應(yīng)于2的特征向量.

A

解因?yàn)閝是A對(duì)應(yīng)于特征值2的特征向量，所以Aq=.

(A)正確.(3A)q=3(Aq)=3(W)=(3X)q；

因?yàn)?5A2)q=/(A2q)=gq，所以；

(B)正確.

(C)正確.又因?yàn)榉疥嘇是可逆的，所以XwO，于是得0=4一|叔，即_lq=LA*q,故

4IA|

=所以號(hào)為方陣A*的特征值，且q為方陣A*對(duì)應(yīng)于特征值號(hào)的特征向量.

(D)不正確.因?yàn)锳Tq=Aq不一定成立，所以=不一定成立.

43.設(shè)〃階方陣A相似于對(duì)角矩陣，則下列說(shuō)法正確的是D.

(A)A必為可逆矩陣；(B)4有〃個(gè)不同的特征值；

(C)A必為實(shí)對(duì)稱矩陣；(D)A必有〃個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.

44.二次型2%；+5%2+4%］/一4%巧一8%兀3+5%；的標(biāo)準(zhǔn)形是B

(A)10y；；(B)y:+y￡+10y；；

(c)(D)y：一貨一10y，

(22-2、2-22-2

解二次型的矩陣為A=25-4,\A-AE\=25-2-4=-(4-1)2(4-10)

「2-45；-2-45-2

(\、

故A的特征值是4=4=1,4=10,由題意知A可以對(duì)角化為1,則二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

才+貢+10y.

45.設(shè)4為〃階正定矩陣，如果矩陣4與6相似，則6必為B

(A)實(shí)對(duì)稱矩陣；(B)可逆矩陣；(C)正定矩陣；(D)正交矩陣.

解4為”階正定矩陣，則A可逆.矩陣A與5相似，即存在可逆矩陣。，使0TA0=5,故

(A)不正確.3T=(0TAQ)T=QTA(Q-I)T,由于0不一定是正交矩陣，故5不一定是實(shí)對(duì)稱矩陣;

(B)正確.3T=(QTAQ)T=QTATQ,故5必為可逆矩陣；

(C)不正確.由于5不一定是實(shí)對(duì)稱矩陣，故不能確定是否正定;

T

(D)不正確.5B=QTA(Q-I)TQ-1AQ,由于。不一定是正交矩陣，故5不一定是正交矩陣.

(ab\,

46.設(shè)矩陣4=,其中a>Z?>0,且則4為D.

、b-a.

(A)正定矩陣；(B)負(fù)定矩陣；(C)初等矩陣;(D)正交矩陣.

_(ab\(ab\(a2+b201_/10、_

解A7==12

3一。八。-a)0a+b^]o1)

ab+30、

47.矩陣A=a-1a0為正定矩陣，則a滿足B.

、00a,

(1)a>2；(B)a>~；(C)a<-；(D)與b有關(guān)不能確定.