2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測35對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用習(xí)題課含解析新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE5對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用(習(xí)題課)[A級基礎(chǔ)鞏固]1．已知函數(shù)y＝log2(x2－2kx＋k)的值域?yàn)镽，則k的取值范圍是()A．0<k<1 B．0≤k<1C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1解析：選C令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域?yàn)镽，得函數(shù)t＝x2－2kx＋k的圖象肯定恒與x軸有交點(diǎn)，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.2．(多選)設(shè)集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{y|y＝lgx}，則下列關(guān)系中不正確的有()A．A∪B＝B B．A∩B＝?C．A＝B D．A?B解析：選BC由題意知集合A＝{x|x>0}，B＝{y|y∈R}，所以A?B.3．已知函數(shù)f(x)＝lg(x2＋1)，則()A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)是R上的增函數(shù)D．f(x)是R上的減函數(shù)解析：選A因?yàn)閒(－x)＝lg[(－x)2＋1]＝lg(x2＋1)＝f(x)，且定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f(x)是偶函數(shù)．故選A.4．(2024·浙江杭州西湖區(qū)高一月考)若定義運(yùn)算f(a?b)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b，))則函數(shù)f(log2(1＋x)?log2(1－x))的值域是()A．(－1，1) B．[0，1)C．[0，＋∞) D．[0，1]解析：選B∵f(a?b)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b，))∴y＝f(log2(1＋x)?log2(1－x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（1＋x），0≤x<1，,log2（1－x），－1<x<0.))當(dāng)0≤x<1時(shí)，函數(shù)y＝log2(1＋x)，因?yàn)閥＝log2(1＋x)在[0，1)上為增函數(shù)，所以y∈[0，1)．當(dāng)－1<x<0時(shí)，函數(shù)y＝log2(1－x)，因?yàn)閥＝log2(1－x)在(－1，0)上為減函數(shù)，所以y∈(0，1)．綜上可得y∈[0，1)，所以函數(shù)f(log2(1＋x)?log2(1－x))的值域?yàn)閇0，1)，故選B.5．函數(shù)f(x)＝|logeq\s\do9(\f(2,3))x|的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B．(0，1]C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)解析：選Df(x)的圖象如圖所示，由圖象可知單調(diào)遞增區(qū)間為[1，＋∞)．6．假如函數(shù)f(x)＝(3－a)x與g(x)＝logax的增減性相同，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：若f(x)，g(x)均為增函數(shù)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－a>1，,a>1，))即1<a<2；若f(x)，g(x)均為減函數(shù)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<3－a<1，,0<a<1.))無解，故1<a<2.答案：(1，2)7．函數(shù)y＝log0.3(3－2x)在其定義域內(nèi)是________函數(shù)(填“增”或“減”)．解析：由3－2x>0，解得x<eq\f(3,2).設(shè)t＝3－2x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).因?yàn)楹瘮?shù)y＝log0.3t是減函數(shù)，且函數(shù)t＝3－2x是減函數(shù)，所以函數(shù)y＝log0.3(3－2x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函數(shù)．答案：增8．已知函數(shù)f(x)＝|lgx|＋2，若實(shí)數(shù)a，b滿意b>a>0，且f(a)＝f(b)，則a＋2b的取值范圍是________．解析：由f(x)的圖象可知，0<a<1<b，又f(a)＝f(b)，因此|lga|＝|lgb|，于是lga＝－lgb，則b＝eq\f(1,a)，所以a＋2b＝a＋eq\f(2,a)，設(shè)g(a)＝a＋eq\f(2,a)(0<a<1)．因?yàn)間(a)在(0，1)上為減函數(shù)，所以g(a)>g(1)＝3，即a＋eq\f(2,a)>3，所以a＋2b的取值范圍是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)9．設(shè)函數(shù)f(x)＝lgeq\f(a,x＋1)(a∈R)，且f(1)＝0.(1)求a的值；(2)推斷f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．解：(1)函數(shù)f(x)＝lgeq\f(a,x＋1)(a∈R)，且f(1)＝0，則f(1)＝lgeq\f(a,2)＝0.則eq\f(a,2)＝1，解得a＝2.(2)f(x)＝lgeq\f(2,x＋1)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減．證明：設(shè)0<x1<x2，f(x1)－f(x2)＝lgeq\f(2,x1＋1)－lgeq\f(2,x2＋1)＝lgeq\f(x2＋1,x1＋1)＝lg(x2＋1)－lg(x1＋1)，因?yàn)?<x1<x2，所以lg(x2＋1)>lg(x1＋1)，即f(x1)>f(x2)，即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．10．已知函數(shù)f(x)＝log2x.(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范圍；(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值．解：函數(shù)f(x)＝log2x的圖象如圖所示．(1)∵f(x)＝log2x為增函數(shù)，f(a)>f(2)，∴l(xiāng)og2a>log22.∴a>2，即a的取值范圍是(2，＋∞)．(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27.∴l(xiāng)og23≤log2(2x－1)≤log227.∴函數(shù)f(x)＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值為log23，最大值為log227.[B級綜合運(yùn)用]11．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3a－1）x＋4a，x<1，,logax，x≥1))對隨意x1≠x2，都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0，1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(1,3)))解析：選D由條件知，分段函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,0<a<1，,（3a－1）×1＋4a≥loga1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,3)，,0<a<1，,a≥\f(1,7)，))所以eq\f(1,7)≤a<eq\f(1,3)，故選D.12．(多選)已知函數(shù)f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，則下列說法正確的是()A．f(4)＝－3B．函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)C．函數(shù)y＝f(x)的最小值為－4D．函數(shù)y＝f(x)的最大值為4解析：選ABCA正確，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正確，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝eq\f(1,2)或x＝8，即f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；C正確，因?yàn)閒(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以當(dāng)log2x＝1，即x＝2時(shí)，f(x)取最小值－4；D錯(cuò)誤，f(x)沒有最大值．13．已知函數(shù)y＝loga(2－ax)在[0，1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：令u＝2－ax，則y＝logau，因?yàn)閍＞0，所以u＝2－ax遞減，由題意知y＝logau在[0，1]內(nèi)遞增，所以a＞1.又u＝2－ax在x∈[0，1]上恒大于0，所以2－a＞0，即a＜2，綜上，1＜a＜2.答案：(1，2)14．已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為1.(1)求a的值；(2)解不等式logeq\s\do9(\f(1,3))(x－1)>logeq\s\do9(\f(1,3))(a－x)；(3)求函數(shù)g(x)＝|logax－1|的單調(diào)區(qū)間．解：(1)∵loga3>loga2，∴a>1，∴y＝logax在[a，2a]上為增函數(shù)，∴l(xiāng)oga(2a)－logaa＝loga2＝1，∴a＝2.(2)依題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1<2－x，,x－1>0，))解得1<x<eq\f(3,2)，∴不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(3)g(x)＝|log2x－1|，∴當(dāng)x＝2時(shí)，g(x)＝0，則g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－log2x，0<x≤2，,log2x－1，x>2.))∴函數(shù)g(x)在(0，2]上為減函數(shù)，在(2，＋∞)上為增函數(shù)，∴g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2]，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)．[C級拓展探究]15．某學(xué)校為了加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，熬煉學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的實(shí)力，他們以函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)為基本素材，探討該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，取得部分探討成果如下：①同學(xué)甲發(fā)覺：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1，1)；②同學(xué)乙發(fā)覺：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；③同學(xué)丙發(fā)覺：對于隨意的x∈(－1，1)都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,x2＋1)))＝2f(x)；④同學(xué)丁發(fā)覺：對于隨意的a，b∈(－1，1)，都有f(a)＋f(b)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,1＋ab)))；⑤同學(xué)戊發(fā)覺：對于函數(shù)f(x)定義域中隨意的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)x1，x2，總滿意eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0.其中全部正確探討成果的序號是__________．解析：在①中，因?yàn)閒(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，所以eq\f(1－x,1＋x)＞0，解得函數(shù)的定義域?yàn)?－1，1)，所以①是正確的；在②中，f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)＝－lgeq\f(1＋x,1－x)＝－f(－x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以②是錯(cuò)誤的；在③中，對于隨意x∈(－1，1)，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,x2＋1)))＝lgeq\f(1－\f(2x,x2＋1),1＋\f(2x,x2＋1))＝lgeq\f(x2－2x＋1,x2＋2x＋1)＝lgeq\f(（x－1）2,（x＋1）2)，又2f(x)＝2lgeq\f(1－x,1＋x)＝lgeq\f(（x－1）2,（x＋1）2)，所以③是正確的；在④中，對于隨意的a，b∈(－1，1)，有f(a)＋f(b)＝lgeq\f(1－a,1＋a)＋lgeq\f(1－b,1＋b)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－a,1＋a)·\f(1－b,1＋b)))＝lgeq\f(1－a－b＋ab,1＋a＋b＋ab)，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,1＋ab)))＝lgeq\f(1－\