蘇科版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊2.8 等腰三角形的軸對稱性（專項練習(xí)）（培優(yōu)練）（含答案）

專題2.8等腰三角形的軸對稱性（專項練習(xí)）（培優(yōu)練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（18-19八年級下·全國·課后作業(yè)）三角形的三邊滿足，則這個三角形的形狀是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）如圖，在中，，AB的垂直平分線分別交于點(diǎn)E，D，AD平分，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．72°3．（22-23九年級上·重慶綦江·期中）如圖，，平行線間有一點(diǎn)C，使得平分，平分，連接交于點(diǎn)E．若E為的中點(diǎn)，且,則等于（）A． B． C． D．4．（23-24八年級下·陜西西安·期中）如圖，在中，，，，交于點(diǎn)D，，則的長為（

）A．8 B．10 C．12 D．145．（23-24七年級下·山東淄博·期末）如圖，，以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)A，D，再以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫弧，與弧交于點(diǎn)B，連接、，的延長線交于點(diǎn)C，若，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（19-20八年級上·河北邢臺·期末）已知邊、的垂直平分線、相交于，、在邊上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．7．（22-23八年級下·天津和平·期中）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，，，為網(wǎng)格線交點(diǎn)，則(

)A． B． C． D．8．（23-24七年級下·河北張家口·期末）數(shù)學(xué)活動課上，小亮同學(xué)用四根相同的火柴棒在桌面上擺成如圖所示的圖形，其中點(diǎn)A，C，E在同一直線上，，若，則點(diǎn)B，D到直線的距離之和為（

）A．6 B．8 C． D．109．（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，中，，，為的中點(diǎn)，，分別在，上，且，若，，則（

）

A． B． C． D．10．（2024·河南南陽·一模）如圖1，在中，于點(diǎn)D（）．動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線方向運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)C停止．設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動路程為x，的面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2，則的長為（）A．6 B．8 C．10 D．13二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（23-24八年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為11，則它的周長為．12．（22-23八年級上·甘肅蘭州·期末）如圖，在中，，為中點(diǎn)，，則的度數(shù)為．13．（23-24八年級上·吉林·階段練習(xí)）如圖，，，，，，則．14．（23-24八年級上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，動點(diǎn)在射線上，交于，的平分線交于．則當(dāng)時，．15．（23-24七年級下·山東煙臺·期末）如圖，，為，的中點(diǎn)，，，則的長為．16．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，若的面積為32，則長為．17．（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，，，射線于點(diǎn)．若點(diǎn)，分別是射線，邊上的動點(diǎn)，，連接，，連接，當(dāng)時，則的度數(shù)為．

18．（22-23八年級下·安徽宿州·期中）如圖，在中，，，是內(nèi)的兩點(diǎn)，平分，．（1）°；（2）若，，則的長為cm．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）19．（22-23八年級上·河南商丘·開學(xué)考試）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，CB為半徑作弧，交于點(diǎn)，連接BD．（1）若，求的度數(shù)；（2）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．20．（8分）（23-24七年級下·陜西漢中·期末）如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，垂是為E．（1）若，求的度數(shù)；（2）試說明：．21．（10分）（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，在和中，，，，且點(diǎn)D在線段上（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．22．（10分）（23-24八年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平分．求證：（1)平分(2)23．（10分）（22-23八年級上·湖北荊門·期末）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，AP＝4，Q是射線PE上的動點(diǎn)．（1）求證：：（2）若△APQ為直角三角形，求PQ的值；（3）當(dāng)△APQ為鈍角三角形時，直接寫出PQ的取值范圍．24．（12分）（23-24八年級上·河南鄭州·開學(xué)考試）已知，在中，，，點(diǎn)D為直線上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接，使，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時，與的數(shù)量關(guān)系是，與的位置關(guān)系是，、、三條線段的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長線上時，其他條件不變，求、、三條線段的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，當(dāng)D運(yùn)動到的延長線上，且A、E分別在直線的兩側(cè)，，，求的長．參考答案：1．A【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用以及等腰三角形的定義，正確的分解因式，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．先把等式的左邊分解因式，再根據(jù)幾個數(shù)相乘得0，至少有一個為0，根據(jù)等腰三角形的定義求解即可得答案．【詳解】解：∵，∴∴∴或，∴或，∴這個三角形的形狀是等腰三角形，故選：A．2．D【分析】題目主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)題意得出相應(yīng)的方程是解題關(guān)鍵；設(shè)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及等邊對等角確定，再由角平分線及三角形內(nèi)角和得出方程求解即可【詳解】解：設(shè)，∵DE是AB的垂直平分線，∴，∴，∵AD平分，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，∴，故選：D．3．C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，過點(diǎn)C作交AD于點(diǎn)N，證明三角形全等，進(jìn)而判斷出，再根據(jù)直角三角形兩個銳角互余，結(jié)合角平分線定義求出，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等求出，進(jìn)而求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)N，，為的中點(diǎn)，，，，平分，，，，，平分，，，，，平分，，，，，故選：C．4．C【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得出，，可得，即．中，根據(jù)角所對直角邊等于斜邊的一半，可求得，由此可求得的長．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∠DAB=∠B，∴，∴，故選：C．5．B【分析】由題意得，則可得是等邊三角形，則，進(jìn)而可得，則可得．本題主要考查這了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，是等邊三角形，，，，，．故選：B6．A【分析】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得，，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得，即可求解．【詳解】解：∵、分別垂直平分、，∴，，∴，，又∵，，∴，∴．故選：A．7．A【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)、三角形外角和內(nèi)角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)圖形可知，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可以得到的度數(shù)，從而可以求得的度數(shù)．【詳解】解：由圖可得，，，，，，故選：A．8．A【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，作于M，于N，由等腰三角形的性質(zhì)推出，，由余角的性質(zhì)推出，由證明，得到，，于是得到．【詳解】解：作于M，于N，∵，∴，同理：，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∴，，∴，∴點(diǎn)B，D到直線的距離之和為6．故選：A．9．A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線合一定理，同角的余角相等，連接，由，為的中點(diǎn)，得，根據(jù)同角的余角相等得出，證明即可求解，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】連接，如圖所示，

∵，為的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，為的中點(diǎn)，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故選：．10．A【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式、判斷出和點(diǎn)M和點(diǎn)B重合時，的面積為3是解本題的關(guān)鍵．先根據(jù)結(jié)合圖2得出，進(jìn)而利用勾股定理得，再由運(yùn)動結(jié)合的面積的變化，得出點(diǎn)M和點(diǎn)B重合時，的面積最大，其值為3，即，進(jìn)而建立方程組求解，即可．【詳解】解：由圖2知，，∵，∴，∵，∴，在中，①，設(shè)點(diǎn)M到的距離為h，∴，∵動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線方向運(yùn)動，∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)B時，的面積最大，即，由圖2知，的面積最大為3，∴，∴②，得，，∴，∴（負(fù)值舍去），∴③，將③代入②得，，∴或，∵，∴，∴．故選：A．11．27【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．因?yàn)檫厼?和11，沒說是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．【詳解】解：當(dāng)5為底時，其它兩邊都為11，而11、5、11可以構(gòu)成三角形，周長為27；當(dāng)5為腰時，其它兩邊為11和5．因?yàn)?，所以不能?gòu)成三角形，故舍去，∴答案只有27．故答案為：27．12．/65度【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，由等腰三角形的性質(zhì)得出，再由三角形內(nèi)角和定理計算即可得出答案．【詳解】解：∵在中，，為中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：．13．【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角，等邊對等角，先證明，得到，三角形的外角求出，再根據(jù)等邊對等角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，即，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴故答案為：．14．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊，全等三角形的判定和性質(zhì)，延長交于點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)可得，由角平分線的定義可得，得到，即得，進(jìn)而得到，再證明，得到，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：延長交于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：．15．2【分析】本題考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定是解答的關(guān)鍵．先證明得到，，再根據(jù)等角對等邊得到，，設(shè)，由結(jié)合已知列方程求解x值即可．【詳解】解：∵為，的中點(diǎn)，∴,，又，∴∴，，∵，∴，∴，，設(shè)，∵，，∴，，∴，解得，∴，故答案為：2．16．8【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，作交的延長線于，連接，則為等腰直角三角形，證明，得出，，證明，結(jié)合的面積為32，得出，計算即可得出答案，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作交的延長線于，連接，

∵，∴為等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，，∵在，，，∴，∴，即，∵的面積為32，∴，∵，∴故答案為：8．17．【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，得出，根據(jù)等腰三角形的判定得出，即可證明，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，證明，根據(jù)即可得出答案，解題的關(guān)鍵是掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用.【詳解】延長交于點(diǎn)，

∵在中，，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．18．3016【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，理解等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，的角所對的直角邊等于斜邊的一半是解決問題的關(guān)鍵．（1）設(shè)與交于，的延長線交于，證為等邊三角形得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，，然后再中由三角形的內(nèi)角和定理可得出的度數(shù)，進(jìn)而可得的度數(shù)，（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，則，在中根據(jù)得，由此可得，，由此可得的長．【詳解】解：（1）設(shè)與交于，的延長線交于，如圖所示：為等邊三角形，，在中，，平分，，，為直角三角形，，，故答案為：30．（2）為等邊三角形，，，，，在中，，，，，．故答案為：16．19．(1)；(2)，見解析．【分析】（）由直角三角形的兩銳角互余得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，最后由三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（）由，得，則，最后由三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角度和差，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，，∴，由作圖痕跡可知，∴，∴；（2）解：猜想：，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，即．20．(1)(2)見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握等邊對等角，直角三角形兩個銳角互余．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，求出其角度，再根據(jù)直角三角形兩個銳角互余，即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，則，再根據(jù)直角三角形兩個銳角互余得出，等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．21．(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．（1）由可得，再結(jié)合，即可解題；（2）根據(jù)，，可得，從而求得的值，再根據(jù)可得到，從而求得的度數(shù)．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）解：，，和均為等腰直角三角形，，，，由（1）可知：，，．22．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造三角形全等是解此題的關(guān)鍵．（）延長交延長線于點(diǎn)，證明得到，利用等腰三角形判