蘇科版2024-2025學年八年級數學上冊2.8 等腰三角形的軸對稱性（專項練習）（培優(yōu)練）（含答案）

專題2.8等腰三角形的軸對稱性（專項練習）（培優(yōu)練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（18-19八年級下·全國·課后作業(yè)）三角形的三邊滿足，則這個三角形的形狀是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）如圖，在中，，AB的垂直平分線分別交于點E，D，AD平分，則的度數是（）A． B． C． D．72°3．（22-23九年級上·重慶綦江·期中）如圖，，平行線間有一點C，使得平分，平分，連接交于點E．若E為的中點，且,則等于（）A． B． C． D．4．（23-24八年級下·陜西西安·期中）如圖，在中，，，，交于點D，，則的長為（

）A．8 B．10 C．12 D．145．（23-24七年級下·山東淄博·期末）如圖，，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點A，D，再以點A為圓心，長為半徑畫弧，與弧交于點B，連接、，的延長線交于點C，若，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（19-20八年級上·河北邢臺·期末）已知邊、的垂直平分線、相交于，、在邊上，若，則的度數為（）A． B． C． D．7．（22-23八年級下·天津和平·期中）如圖所示的網格是正方形網格，，，為網格線交點，則(

)A． B． C． D．8．（23-24七年級下·河北張家口·期末）數學活動課上，小亮同學用四根相同的火柴棒在桌面上擺成如圖所示的圖形，其中點A，C，E在同一直線上，，若，則點B，D到直線的距離之和為（

）A．6 B．8 C． D．109．（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，中，，，為的中點，，分別在，上，且，若，，則（

）

A． B． C． D．10．（2024·河南南陽·一模）如圖1，在中，于點D（）．動點M從A點出發(fā)，沿折線方向運動，運動到點C停止．設點M的運動路程為x，的面積為y，y與x的函數圖象如圖2，則的長為（）A．6 B．8 C．10 D．13二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（23-24八年級上·江蘇蘇州·階段練習）等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為11，則它的周長為．12．（22-23八年級上·甘肅蘭州·期末）如圖，在中，，為中點，，則的度數為．13．（23-24八年級上·吉林·階段練習）如圖，，，，，，則．14．（23-24八年級上·福建泉州·階段練習）如圖，在中，，，動點在射線上，交于，的平分線交于．則當時，．15．（23-24七年級下·山東煙臺·期末）如圖，，為，的中點，，，則的長為．16．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，四邊形中，，，，若的面積為32，則長為．17．（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，，，射線于點．若點，分別是射線，邊上的動點，，連接，，連接，當時，則的度數為．

18．（22-23八年級下·安徽宿州·期中）如圖，在中，，，是內的兩點，平分，．（1）°；（2）若，，則的長為cm．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）19．（22-23八年級上·河南商丘·開學考試）如圖，在中，，以點為圓心，CB為半徑作弧，交于點，連接BD．（1）若，求的度數；（2）猜想與的數量關系，并證明你的猜想．20．（8分）（23-24七年級下·陜西漢中·期末）如圖，在中，，點D是的中點，過點D作，垂是為E．（1）若，求的度數；（2）試說明：．21．（10分）（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，在和中，，，，且點D在線段上（1）求證：；（2）若，求的度數．22．（10分）（23-24八年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，在四邊形中，，點為的中點，且平分．求證：（1)平分(2)23．（10分）（22-23八年級上·湖北荊門·期末）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別是BC、AC邊上的點，BD＝CE，AD與BE相交于點P，AP＝4，Q是射線PE上的動點．（1）求證：：（2）若△APQ為直角三角形，求PQ的值；（3）當△APQ為鈍角三角形時，直接寫出PQ的取值范圍．24．（12分）（23-24八年級上·河南鄭州·開學考試）已知，在中，，，點D為直線上一動點（點D不與點B、C重合），連接，使，．（1）如圖1，當點D在線段上時，與的數量關系是，與的位置關系是，、、三條線段的數量關系是．（2）如圖2，當點D在線段的延長線上時，其他條件不變，求、、三條線段的數量關系．（3）如圖3，當D運動到的延長線上，且A、E分別在直線的兩側，，，求的長．參考答案：1．A【分析】本題考查了因式分解的應用以及等腰三角形的定義，正確的分解因式，熟練掌握因式分解是解題的關鍵．先把等式的左邊分解因式，再根據幾個數相乘得0，至少有一個為0，根據等腰三角形的定義求解即可得答案．【詳解】解：∵，∴∴∴或，∴或，∴這個三角形的形狀是等腰三角形，故選：A．2．D【分析】題目主要考查線段垂直平分線的性質，等邊對等角及一元一次方程的應用，理解題意，根據題意得出相應的方程是解題關鍵；設，根據線段垂直平分線的性質及等邊對等角確定，再由角平分線及三角形內角和得出方程求解即可【詳解】解：設，∵DE是AB的垂直平分線，∴，∴，∵AD平分，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，∴，故選：D．3．C【分析】本題考查了平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，過點C作交AD于點N，證明三角形全等，進而判斷出，再根據直角三角形兩個銳角互余，結合角平分線定義求出，利用兩直線平行內錯角相等求出，進而求出結果即可．【詳解】解：如圖，過點C作交于點N，，為的中點，，，，平分，，，，，平分，，，，，平分，，，，，故選：C．4．C【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質、等腰三角形的性質，由等腰三角形的性質得出，，可得，即．中，根據角所對直角邊等于斜邊的一半，可求得，由此可求得的長．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∠DAB=∠B，∴，∴，故選：C．5．B【分析】由題意得，則可得是等邊三角形，則，進而可得，則可得．本題主要考查這了等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質．熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，是等邊三角形，，，，，．故選：B6．A【分析】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形內角和定理等知識，掌握線段的垂直平分線的性質是解題的關鍵．根據垂直平分線的性質及等腰三角形的性質可得，，利用三角形的內角和定理即可求得，即可求解．【詳解】解：∵、分別垂直平分、，∴，，∴，，又∵，，∴，∴．故選：A．7．A【分析】本題考查直角三角形的性質、三角形外角和內角的關系、等腰三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．根據圖形可知，再根據等腰三角形的性質，可以得到的度數，從而可以求得的度數．【詳解】解：由圖可得，，，，，，故選：A．8．A【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，點到直線的距離，作于M，于N，由等腰三角形的性質推出，，由余角的性質推出，由證明，得到，，于是得到．【詳解】解：作于M，于N，∵，∴，同理：，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∴，，∴，∴點B，D到直線的距離之和為6．故選：A．9．A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的三線合一定理，同角的余角相等，連接，由，為的中點，得，根據同角的余角相等得出，證明即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】連接，如圖所示，

∵，為的中點，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，為的中點，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故選：．10．A【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質、三角形的面積公式、判斷出和點M和點B重合時，的面積為3是解本題的關鍵．先根據結合圖2得出，進而利用勾股定理得，再由運動結合的面積的變化，得出點M和點B重合時，的面積最大，其值為3，即，進而建立方程組求解，即可．【詳解】解：由圖2知，，∵，∴，∵，∴，在中，①，設點M到的距離為h，∴，∵動點M從A點出發(fā)，沿折線方向運動，∴當點M運動到點B時，的面積最大，即，由圖2知，的面積最大為3，∴，∴②，得，，∴，∴（負值舍去），∴③，將③代入②得，，∴或，∵，∴，∴．故選：A．11．27【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論．因為邊為5和11，沒說是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．【詳解】解：當5為底時，其它兩邊都為11，而11、5、11可以構成三角形，周長為27；當5為腰時，其它兩邊為11和5．因為，所以不能構成三角形，故舍去，∴答案只有27．故答案為：27．12．/65度【分析】本題考查了等腰三角形的性質、三角形內角和定理，由等腰三角形的性質得出，再由三角形內角和定理計算即可得出答案．【詳解】解：∵在中，，為中點，∴，∴，故答案為：．13．【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形的外角，等邊對等角，先證明，得到，三角形的外角求出，再根據等邊對等角，結合三角形的內角和定理，求出的度數即可．【詳解】解：∵，∴，即，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴故答案為：．14．【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，等角對等邊，全等三角形的判定和性質，延長交于點，由平行線的性質可得，由角平分線的定義可得，得到，即得，進而得到，再證明，得到，據此即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：延長交于點，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：．15．2【分析】本題考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質，熟練掌握等腰三角形的判定是解答的關鍵．先證明得到，，再根據等角對等邊得到，，設，由結合已知列方程求解x值即可．【詳解】解：∵為，的中點，∴,，又，∴∴，，∵，∴，∴，，設，∵，，∴，，∴，解得，∴，故答案為：2．16．8【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質，作交的延長線于，連接，則為等腰直角三角形，證明，得出，，證明，結合的面積為32，得出，計算即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖，作交的延長線于，連接，

∵，∴為等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，，∵在，，，∴，∴，即，∵的面積為32，∴，∵，∴故答案為：8．17．【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，平行線的性質，根據等腰三角形的性質，得出，得出，根據等腰三角形的判定得出，即可證明，得出，根據平行線的性質得出，證明，根據即可得出答案，解題的關鍵是掌握知識點的應用.【詳解】延長交于點，

∵在中，，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．18．3016【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，理解等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，熟練掌握直角三角形中，的角所對的直角邊等于斜邊的一半是解決問題的關鍵．（1）設與交于，的延長線交于，證為等邊三角形得，根據等腰三角形的性質得，，然后再中由三角形的內角和定理可得出的度數，進而可得的度數，（2）先根據等邊三角形的性質得，則，在中根據得，由此可得，，由此可得的長．【詳解】解：（1）設與交于，的延長線交于，如圖所示：為等邊三角形，，在中，，平分，，，為直角三角形，，，故答案為：30．（2）為等邊三角形，，，，，在中，，，，，．故答案為：16．19．(1)；(2)，見解析．【分析】（）由直角三角形的兩銳角互余得，再根據等腰三角形的性質得，最后由三角形的內角和定理即可求解；（）由，得，則，最后由三角形的內角和定理即可得出結論；本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，角度和差，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵，，∴，由作圖痕跡可知，∴，∴；（2）解：猜想：，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，即．20．(1)(2)見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，解題的關鍵是掌握等邊對等角，直角三角形兩個銳角互余．（1）根據等腰三角形的性質得出，求出其角度，再根據直角三角形兩個銳角互余，即可求出的度數；（2）根據等腰三角形的性質得出，則，再根據直角三角形兩個銳角互余得出，等量代換即可得出結論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．21．(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，三角形的內角和定理，掌握全等三角形的判定條件是解題的關鍵．（1）由可得，再結合，即可解題；（2）根據，，可得，從而求得的值，再根據可得到，從而求得的度數．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）解：，，和均為等腰直角三角形，，，，由（1）可知：，，．22．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質、角平分線的定義、等腰三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識點，添加適當的輔助線，構造三角形全等是解此題的關鍵．（）延長交延長線于點，證明得到，利用等腰三角形判