蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.12 三角形全等幾何模型（手拉手）（專項(xiàng)練習(xí)）（含答案）

專題1.12三角形全等幾何模型（手拉手）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP2．如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM，下列結(jié)論：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．13．如圖，已知△ABC與△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，AD與BE相交于點(diǎn)G，BE與AC相交于點(diǎn)F，AD與CE相交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論①△ACD≌△BCE②∠AGB＝60°③BF＝AH④△CFH是等邊三角形⑤連CG，則∠BGC＝∠DGC．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題4．如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連接．以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤．恒成立的結(jié)論有．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）5．已知：如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，連接EF，則EF的長(zhǎng)為．6．在△ABC中，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線的右側(cè)作等邊，連接CE，當(dāng)線段CE的長(zhǎng)度最小時(shí)，線段的長(zhǎng)度為．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)D為三角形右側(cè)外一點(diǎn)．且∠BDC＝45°．連接AD，若△ACD的面積為，則線段CD的長(zhǎng)度為．8．如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，則∠CHE=．9．如圖，，，，和相交于，和相交于，則的度數(shù)是°.10．在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC．其中正確的是．三、解答題11．如圖，已知，，，求證：．12．如圖，△ABC和△EBD都是等邊三角形，連接AE，CD．求證：AE＝CD．13．如圖，已知是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)在斜邊所在的直線上，以為直角邊作等腰直角，其中，探究并解決下列問題：(1)如圖1，若點(diǎn)在線段上時(shí)，猜想，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，在（1）中所猜想的，，三者之間的數(shù)量關(guān)系仍然成立，請(qǐng)利用圖2進(jìn)行證明．14．如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，連接BE．（1）求證：AD=BE；（2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的長(zhǎng)．15．在中，，點(diǎn)D是直線上一點(diǎn)，連接，以為邊向右作，使得，，連接CE．(1)①如圖1，求證：；②當(dāng)點(diǎn)D在邊上時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，的面積（，，）所滿足的關(guān)系；(2)當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究，，的面積（，，）所滿足的關(guān)系，并說明理由．16．如圖，在中，，，點(diǎn)O是中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，的兩邊分別與射線、交于點(diǎn)D、E．(1)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖一所示的位置時(shí)，連接，求證：；(2)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖二所示的位置時(shí)，線段、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．17．如圖，和都是等邊三角形，直線，交于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)A，C，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的度數(shù)為______，線段與的數(shù)量關(guān)系為______．(2)如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若不成立，請(qǐng)說明理由：若成立，請(qǐng)就圖2給予證明．(3)若，，當(dāng)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，請(qǐng)直接寫出長(zhǎng)的取值范圍．18．已知在中，，過點(diǎn)B引一條射線，D是上一點(diǎn)【問題解決】(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學(xué)展示的做法是：在上取一點(diǎn)E使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請(qǐng)你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當(dāng)射線在內(nèi)，求的度數(shù)②當(dāng)射線在下方，如圖3所示，請(qǐng)問的度數(shù)會(huì)變化嗎?若不變，請(qǐng)說明理由，若改變，請(qǐng)求出的度數(shù)；參考答案：1．D【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正確；根據(jù)△CQB≌△CPA（ASA），得出B正確；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得出C正確；根據(jù)∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D錯(cuò)誤．【詳解】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD與△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，在△CQB與△CPA中，，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故C正確，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故B正確，∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故D錯(cuò)誤；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等邊△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故A正確．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性，解題的關(guān)鍵是找到不變量．2．A【分析】由題意易得∠AOC=∠BOD，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角平分線的判定定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∠AOD是公共角，∴∠COD+∠AOD=∠BOA+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠ODB=∠OCA，故①②正確；過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，OF⊥BD于點(diǎn)F，BD與OA相交于點(diǎn)H，如圖所示：∵∠AHM=∠OHB，∠AMB=180°-∠AHM-∠OAC，∠BOA=180°-∠OHB-∠OBD，∴∠AMB=∠BOA=40°，∴∠OEC=∠OFD=90°，∵OC=OD，∠OCA=∠ODB，∴△OEC≌△OFD（AAS），∴OE=OF，∴OM平分∠BMC，故③④正確；所以正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)；故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及角平分線的判定定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定及角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．D【詳解】試題分析：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，∵BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，∴△BCE≌△ACD（SAS）；故①正確；∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠BFC=∠AFG，∴∠AGB=∠ACB=60°，故②正確；在△BCF和△ACH中，∠CBF=∠CAH，BC=AC，∠BCF=∠ACH，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH，BF=AH；故③正確；∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等邊三角形；故④正確；連接CG，過C點(diǎn)作CM⊥BE，作CN⊥AD，∵△BCE≌△ACD，CM⊥BE，CN⊥AD，∴CM=CN，∴GC平分∠BGD，∴∠BGC=∠DGC，故⑤正確．故選：D．考點(diǎn)：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．等邊三角形的判定與性質(zhì)．4．①②③⑤【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定以及性質(zhì)．①由于和是等邊三角形，可知，，，從而利用證出，可推知；②由得，，，得到，再根據(jù)推出為等邊三角形，又由，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知②正確；③由①和②可得出，，即可證；④根據(jù)，，可知，，且，得出，可知④錯(cuò)誤；⑤利用等邊三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，于是，可知⑤正確．【詳解】解：①∵正和正，∴，，，∵，，∴，在和中，∴，∴，，故①正確；②又∵，，，∴．∴，∴，∴，∴，故②正確；③∵，∴，∵∴，∴，∴，故③正確；④∵，且，∴，故④錯(cuò)誤；⑤∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴∴，故⑤正確．∴正確的有：①②③⑤．故答案為：①②③⑤．5．5cm/5厘米【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及各角之間的關(guān)系得出∠AOE=∠DOF，∠EOD=∠COF，利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出?AEO??DFO，?DEO??CFO，DE=FC=3cm，DF=AE=4cm，再由勾股定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，∴∠AOD=∠COD=90°，∠DAO=∠ADO=∠ODC=∠OCD=45°，AO=DO=CO，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∴∠AOE+∠EOD=∠EOD+∠DOF=90°，∠DOF+∠EOD=∠DOF+∠COF=90°，∴∠AOE=∠DOF，∠EOD=∠COF，在?AEO與?DFO中，，∴?AEO??DFO，同理?DEO??CFO，∴DE=FC=3cm，DF=AE=4cm，連接EF，cm，故答案為：5cm．【點(diǎn)撥】題目主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6．【分析】在的左側(cè)作等邊三角形，連接、、、，再證明可得再利用時(shí)，最短，從而可得答案.【詳解】解：在的左側(cè)作等邊三角形，連接、、、，則則，故點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，則，，均為等邊三角形，，，，，，當(dāng)時(shí)，最小，由故，故的長(zhǎng)度為，故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，含的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用以上知識(shí)解題是解題的關(guān)鍵.7．【分析】過點(diǎn)B作BE⊥BD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，由題意易得△EBD是等腰直角三角形，然后可證△BCD≌△BEA，則有∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式可進(jìn)行求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作BE⊥BD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，如圖所示：∵∠ABC＝90°，∴，∴，∵∠BDC＝45°，∠EBD＝90°，∴△EBD是等腰直角三角形，∴∠BDC=∠BED=45°，BE=BD，∵AB＝BC，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，∴，∵，∴，∴；故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等，抓住等腰直角三角形的特征．8．65°【分析】先判斷出，再判斷出即可得到平分，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，，，在和中，；過點(diǎn)作于，于，，，在和中，，，在與中，，平分；，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9．120【分析】先得出∠DAC=∠EAB，進(jìn)而利用ASA得出△ADC≌△AEB，進(jìn)而得出∠E=∠ACD，再利用三角形內(nèi)角和定理得出∠EAF=∠COF=60°，即可得出答案．【詳解】如圖所示：∵∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC，∴∠DAC=∠EAB，在△ADC和△AEB中，,∴△ADC≌△ABE（SAS），∴∠E=∠ACD，又∵∠AFE=∠OFC，∴∠EAF=∠COF=60°，∴∠DOE=120°．故答案是：120．【點(diǎn)撥】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出△ADC≌△AEB是解題關(guān)鍵．10．①②③④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明△ABG≌△AEC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，AC、BG相交于點(diǎn)K，如圖1，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判斷②；過點(diǎn)E作EP⊥HA的延長(zhǎng)線于P，過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，如圖2，根據(jù)余角的性質(zhì)即可判斷④；利用AAS即可證明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可證GQ＝AH，從而得到EP＝GQ，再利用AAS可證明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，從而可判斷③，于是可得答案．【詳解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正確；設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，AC、BG相交于點(diǎn)K，如圖1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正確；過點(diǎn)E作EP⊥HA的延長(zhǎng)線于P，過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，如圖2，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正確；∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH≌△EAP（AAS），∴EP＝AH，同理可得GQ＝AH，∴EP＝GQ，∵在△EPM和△GQM中，，∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM＝GM，∴AM是△AEG的中線，故③正確．綜上所述，①②③④結(jié)論都正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．11．見解析【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．利用判定，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，即可證得．【詳解】證明：∵，∴．在和中，，∴．∴．12．見解析【分析】證明△ABE≌△CBD即可解決．【詳解】∵△ABC和△EBD都是等邊三角形，∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握這兩部分知識(shí)是關(guān)鍵．13．(1)(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得到，進(jìn)而得到，，在中利用勾股定理即可得到三邊的關(guān)系；（2）連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得到，進(jìn)而得到，，在中利用勾股定理即可得到三邊的關(guān)系；【詳解】（1）解：結(jié)論：，理由如下：如圖，連接，∵、均為等腰直角三角形，，∴，，∵∴在和中，，∴∴，，∴，在中，∵∴；（2）如圖，連接，∵、均為等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，在和中，，∴∴，，∴，即：在中，∵∴．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形下的全等模型，等腰直角三角形的性質(zhì)，等角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，合理構(gòu)造輔助線是解決本題的關(guān)鍵．14．（1）見解析；（2）8【分析】（1）直接證明，即可得出結(jié)論；（2）由（1）可進(jìn)一步推出為直角三角形，且，從而由求解即可．【詳解】（1）△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，,在與中，，；（2）是等腰直角三角形，，由（1）可知，，,，，則在中，，．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，及含角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)“手拉手”模型證明全等，并推導(dǎo)出直角三角形是解題關(guān)鍵．15．(1)①證明見解析；②，理由見解析(2)，理由見解析【分析】（1）①先證明，再利用證即可；②利用全等三角形的性質(zhì)得到，再由即可得到結(jié)論；（2）由已知條件可得證出，，推出，再由，即可得到．【詳解】（1）證明：①∵，∴，即．在和中，?！啵冢碛扇缦拢骸?，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，即．在和中，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的判定定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．(1)見解析(2)CE﹣CD＝AC．理由見解析【分析】（1）結(jié)論：．連接．證明；（2）結(jié)論：，證明方法類似（1）．【詳解】（1）證明