2025屆黑龍江省哈爾濱市松北區(qū)八年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆黑龍江省哈爾濱市松北區(qū)八年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．計算，結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）A． B． C． D．2．下列各組數(shù)，能夠作為直角三角形的三邊長的是（）A．2，3，4 B．4，5，7 C．0.5，1.2，1.3 D．12，36，393．在中，，若，，則AB等于A．2 B．3 C．4 D．4．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當(dāng)PC與PE的和最小時，∠CPE的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．將一塊直角三角板ABC按如圖方式放置，其中∠ABC＝30°，A、B兩點分別落在直線m、n上，∠1＝20°，添加下列哪一個條件可使直線m∥n()A．∠2＝20° B．∠2＝30° C．∠2＝45° D．∠2＝50°6．已知(m－n)2＝38，(m＋n)2＝4000，則m2＋n2的值為()A．2017 B．2018 C．2019 D．40387．如圖，已知直角三角板中，，頂點，分別在直線，上，邊交線于點．若，且，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．8．一汽艇保持發(fā)動機的功率不變，它在相距30千米的兩碼頭之間流動的河水中往返一次（其中汽艇的速度大于河水流動的速度）所用的時間是t1，它在平靜的河水中行駛60千米所用的時間是t2，則t1與t2的關(guān)系是（）A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．t1=t2 D．以上均有可能9．小明的媽媽在菜市場買回2斤蘿卜、1斤排骨共花了41.4元，而兩個月前買同重量的這兩樣菜只要36元，與兩個月前相比，這次蘿卜的單價下降了10%，但排骨單價卻上漲了20%，設(shè)兩個月前買的蘿卜和排骨的單價分別為x元/斤，y元/斤，則可列方程為（）A． B．C． D．10．下列命題是假命題的是（）A．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形B．等邊三角形有3條對稱軸C．有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等D．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等11．小亮對一組數(shù)據(jù)16，18，20，20，3■，34進行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)其中一個兩位數(shù)的個位數(shù)字被墨水涂污看不到了，但小亮依然還能準(zhǔn)確獲得這組數(shù)據(jù)的（）A．眾數(shù) B．方差 C．中位數(shù) D．平均數(shù)12．在平面直角坐標(biāo)系中，將點P(1，4)向左平移3個單位長度得到點Q，則點Q所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，的三條角平分線交于點O，O到AB的距離為3，且的周長為18，則的面積為______．14．已知：，，則__________.15．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為20°，則該等腰三角形的底角的度為______.16．勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其中蘊含著豐富的科學(xué)知識和人文價值．如圖所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定規(guī)律長成的勾股樹，樹的主干自下而上第一個正方形和第一個直角三角形的面積之和為，第二個正方形和第二個直角三角形的面積之和為，…，第個正方形和第個直角三角形的面積之和為．設(shè)第一個正方形的邊長為1．請解答下列問題：（1）______．（2）通過探究，用含的代數(shù)式表示，則______．17．如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P是OA上的一動點，點N（3，0）是OB上的一定點，點M是ON的中點，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點P的坐標(biāo)為______．18．因式分解：______．三、解答題（共78分）19．（8分）某班要購買一批籃球和足球．已知籃球的單價比足球的單價貴40元，花1500元購買的籃球的個數(shù)與花900元購買的足球的個數(shù)恰好相等．（1）籃球和足球的單價各是多少元？（2）若該班恰好用完1000元購買的籃球和足球，則購買的方案有哪幾種？20．（8分）已知百合酒店的三人間和雙人間客房標(biāo)價為：三人間為每人每天200元，雙人間為每人每天300元，為吸引客源，促進旅游，在“十?一”黃金周期間酒店進行優(yōu)惠大酬賓，凡團體入住一律五折優(yōu)惠.一個50人的旅游團在十月二號到該酒店住宿，租住了一些三人間、雙人間客房．（1）如果租住的每個客房正好住滿，并且一天一共花去住宿費6300元.求租住了三人間、雙人間客房各多少間？（2）設(shè)三人間共住了x人，這個團一天一共花去住宿費y元，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）一天6300元的住宿費是否為最低？如果不是，請設(shè)計一種方案：要求租住的房間正好被住滿的，并使住宿費用最低，請寫出設(shè)計方案，并求出最低的費用．21．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，求證：BD平分∠ADC．22．（10分）某公司購買了一批、型芯片，其中型芯片的單價比型芯片的單價少9元，已知該公司用3120元購買型芯片的條數(shù)與用4200元購買型芯片的條數(shù)相等．（1）求該公司購買的、型芯片的單價各是多少元？（2）若兩種芯片共購買了200條，且購買的總費用為6280元，求購買了多少條型芯片？23．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（5，0），B（1，4）．（1）求這個一次函數(shù)的表達式；（2）直線AB、直線y＝2x﹣4與y軸所圍成的三角形的面積為．24．（10分）如圖，和都是等腰直角三角形，，，連接．試猜想線段和之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．25．（12分）先化簡，再求值，其中滿足26．已知：如圖，在中，是的平分線交于點，垂足為.(1)求證：.(2)若，求的長.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】把2與5相乘、10-4與10-2相乘，后者根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則得到10-4-2，然后寫成a×10n（1≤a＜10，n為整數(shù)）的形式即可．【詳解】===．故選：B．【點睛】考查了同底數(shù)冪的乘法，解題關(guān)鍵利用了：am?an=am+n（其中a≠0，m、n為整數(shù)）進行計算．2、C【解析】試題分析：欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．解：A、32+22≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故選項錯誤；B、42+52≠72，不能構(gòu)成直角三角形，故選項錯誤；C、0.52+1.22=1.32，能構(gòu)成直角三角形，故選項正確；D、122+362≠392，不能構(gòu)成直角三角形，故選項錯誤．故選C．考點：勾股定理的逆定理．3、C【解析】利用勾股定理計算即可．【詳解】解：在中，，，，，故選：C．【點睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是記住勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．4、C【分析】連接BE，則BE的長度即為PE與PC和的最小值．再利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解決問題；【詳解】解：如連接BE，與AD交于點P，此時PE+PC最小，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，故選：C．【點睛】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵．5、D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠2=∠ABC+∠1，即可得出結(jié)論．【詳解】∵直線EF∥GH，

∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，

故選D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6、C【分析】根據(jù)完全平方公式的變形，即可解答．【詳解】（m?n）2＝38，m2?2mn＋n2＝38①，（m＋n）2＝4000，m2＋2mn＋n2＝4000②，①＋②得：2m2＋2n2＝4038，m2＋n2＝1．故選：C．【點睛】本題考查了完全平方公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記完全平方公式．7、B【分析】根據(jù)直角三角形的特點、平行線的性質(zhì)及平角的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵直角三角板中，，∴∵∴∵∴故=故選B．【點睛】此題主要考查三角形的角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知平行線的性質(zhì)．8、A【分析】設(shè)汽艇在靜水中的速度為a千米/小時，水速為b千米/小時，根據(jù)題意列出算式，然后再比較大小即可．【詳解】汽艇在靜水中所用時間t1．汽艇在河水中所用時間t1．∵t1－t1=0，∴，∴t1＞t1．故選A．【點睛】本題考查了分式的減法，根據(jù)題意列出汽艇在靜水中和河水中所用時間的代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．9、A【分析】根據(jù)題目中設(shè)的兩個月前的蘿卜和排骨的單價，先列出兩個月前的式子，再根據(jù)降價和漲價列出現(xiàn)在的式子，得到方程組．【詳解】解：兩個月前買菜的情況列式：，現(xiàn)在蘿卜的價格下降了10%，就是，排骨的價格上漲了20%，就是，那么這次買菜的情況列式：，∴方程組可以列為．故選：A．【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程組．10、C【分析】根據(jù)等邊三角形的判定方法、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】A．正確；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；B．正確．等邊三角形有3條對稱軸；C．錯誤，SSA無法判斷兩個三角形全等；D．正確．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．故選：C．【點睛】本題考查了命題與定理，等邊三角形的判定方法、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念，屬于中考?？碱}型．11、C【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、方差和眾數(shù)的定義對各選項進行判斷．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、方差和平均數(shù)都與第5個數(shù)有關(guān)，而這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為20與20的平均數(shù)，與第5個數(shù)無關(guān)．

故選：C．【點睛】本題考查了方差：它描述了數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離散程度．也考查了中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)的概念．12、B【分析】向左平移，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)減3即可．【詳解】解：平移后點Q的坐標(biāo)為（1﹣3，4），即Q（﹣2，4），∴點Q所在的象限是第二象限，故選擇：B．【點睛】本題考查點在象限問題，關(guān)鍵上掌握平移特征，左右平移縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)減去或加上平移距離．二、填空題（每題4分，共24分）13、27【分析】作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D、E、F，將△ABC的面積分為：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三個小三角形的高OD=OE=OF，它們的底邊和就是△ABC的周長，可計算△ABC的面積．【詳解】如圖，作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D、E、F，∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴OD=OE=OF=3，∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB=AB?OD+AC?OE+BC?OF=OD（AB+BC+AC）=×3×18=27，故答案為27.【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積；利用三角形的三條角平分線交于一點，將三角形面積分為三個小三角形面積求和，發(fā)現(xiàn)并利用三個小三角形等高是正確解答本題的關(guān)鍵．14、【分析】將轉(zhuǎn)化為，再把轉(zhuǎn)化為，則問題可解【詳解】解：∵【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法和冪的乘方的逆運算，解答關(guān)鍵是將不同底數(shù)的冪運算轉(zhuǎn)化成同底數(shù)冪進行計算.15、55°或35°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理進行分析，注意分類討論思想的運用．【詳解】如圖①，∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC于D，∴∠A=70°，∴∠ABC=∠C=（180°-70°）÷2=55°；如圖②，∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC于D，∴∠BAC=20°+90°=110°，∴∠ABC=∠C=（180°-110°）÷2=35°．故答案為55°或35°．【點睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，進行分類討論是解題的關(guān)鍵．16、（為整數(shù)）【分析】根據(jù)正方形的面積公式求出面積，再根據(jù)直角三角形三條邊的關(guān)系運用勾股定理求出三角形的直角邊，求出S1，然后利用正方形與三角形面積擴大與縮小的規(guī)律推導(dǎo)出公式．【詳解】解：（1）∵第一個正方形的邊長為1，

∴正方形的面積為1，

又∵直角三角形一個角為30°，

∴三角形的一條直角邊為，另一條直角邊就是，

∴三角形的面積為，

∴S1=；

（2）∵第二個正方形的邊長為，它的面積就是，也就是第一個正方形面積的，

同理，第二個三角形的面積也是第一個三角形的面積的，

∴S2=（）?，依此類推，S3=（）??，即S3=（）?，

Sn=（n為整數(shù)）．故答案為：（1）；（2）（為整數(shù)）【點睛】本題考查勾股定理的運用，正方形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．能夠發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形和直角三角形的面積與原正方形和直角三角形的面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17、（，）．【解析】解：作N關(guān)于OA的對稱點N′，連接N′M交OA于P，則此時，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等邊三角形，∵點M是ON的中點，∴N′M⊥ON，∵點N（3，0），∴ON=3，∵點M是ON的中點，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（，）．故答案為：（，）．點睛：本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是確定P的位置．18、【分析】利用平方差公式進行因式分解．【詳解】解：．故答案是：．【點睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法．三、解答題（共78分）19、（1）足球的單價為60元，籃球的單價為100元；（2）學(xué)校共有3種購買方案，方案1：購買7個籃球，5個足球；方案2：購買4個籃球，10個足球；方案3：購買1個籃球，15個足球．【分析】（1）設(shè)足球的單價為元，則籃球的單價為元，根據(jù)“花1500元購買的籃球的個數(shù)與花900元購買的足球的個數(shù)恰好相等”列出分式方程即可求出結(jié)論；（2）設(shè)購買籃球個，足球個，根據(jù)“該班恰好用完1000元購買的籃球和足球”列出二元一次方程，然后求出所有正整數(shù)解即可．【詳解】解：（1）設(shè)足球的單價為元，則籃球的單價為元依題意，得：解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意．答：足球的單價為60元，籃球的單價為100元．（2）設(shè)購買籃球個，足球個，依題意，得：，．，均為正整數(shù)，為5的倍數(shù)，或10或15，或4或1．答：學(xué)校共有3種購買方案，方案1：購買7個籃球，5個足球；方案2：購買4個籃球，10個足球；方案3：購買1個籃球，15個足球．【點睛】此題考查的是分式方程的應(yīng)用和二元一次方程的應(yīng)用，掌握實際問題中的等量關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．20、（1）8間，13間（2）（3）不是；三人客房16間，雙人客房1間時費用最低，最低費用為5100元．【分析】(1)設(shè)三人間有間，雙人間有間．注意凡團體入住一律五折優(yōu)惠，根據(jù)①客房人數(shù)=50；②住宿費6300列方程組求解；

(2)根據(jù)題意，三人間住了人，則雙人間住了()人，住宿費=100×三人間的人數(shù)+150×雙人間的人數(shù)；

(3)根據(jù)的取值范圍及實際情況，運用函數(shù)的性質(zhì)解答．【詳解】(1)設(shè)三人間有間，雙人間有間，

根據(jù)題意得：，

解得：，

答：租住了三人間8間，雙人間13間；(2)根據(jù)題意，三人間住了人，住宿費每人100元，則雙人間住了()人，住宿費每人150元，∴；(3)因為，所以隨的增大而減小，

故當(dāng)滿足、為整數(shù)，且最大時，

即時，住宿費用最低，

此時，

答：一天6300元的住宿費不是最低；若48人入住三人間，則費用最低，為5100元．

所以住宿費用最低的設(shè)計方案為：48人住3人間，2人住2人間．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用函數(shù)和方程的思想解答．21、見解析【分析】由AB＝AD可得出∠ADB＝∠ABD，由AB∥DC，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可找出∠ABD＝∠BDC，結(jié)合∠ADB＝∠ABD可得出∠ADB＝∠BDC，進而可證出BD平分∠ADC．【詳解】證明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，又∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC，∴∠ADB＝∠BDC，即BD平分∠ADC．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22、（1）A型芯片的單價為2元/條，B型芯片的單價為35元/條；（2）1．【解析】（1）設(shè)B型芯片的單價為x元/條，則A型芯片的單價為（x﹣9）元/條，根據(jù)數(shù)量=總價÷單價結(jié)合用3120元購買A型芯片的條數(shù)與用4200元購買B型芯片的條數(shù)相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買a條A型芯片，則購買（200﹣a）條B型芯片，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)B型芯片的單價為x元/條，則A型芯片的單價為（x﹣9）元/條，根據(jù)題意得：，解得：x＝35，經(jīng)檢驗，x＝35是原方程的解，∴x﹣9＝2．答：A型芯片的單價為2元/條，B型芯片的單價為35元/條．（2）設(shè)購買a條A型芯片，則購買（200﹣a）條B型芯片，根據(jù)題意得：2a+35（200﹣a）＝621，解得：a＝1．答：購買了1條