湖南省長(zhǎng)沙市2024屆中考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2024年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)。本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．2．我國(guó)近年來(lái)大力推進(jìn)國(guó)家教育數(shù)字化戰(zhàn)略行動(dòng)，截至2024年6月上旬，上線慕課數(shù)量超過(guò)7.8萬(wàn)門(mén)，學(xué)習(xí)人次達(dá)1290000000，建設(shè)和應(yīng)用規(guī)模居世界第一．用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為（）A．1.29×108 B．12.9×108 C．1.29×109 D．129×1073．“玉兔號(hào)”是我國(guó)首輛月球車(chē)，它和著陸器共同組成“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器．“玉兔號(hào)”月球車(chē)能夠耐受月球表面的最低溫度是﹣180℃、最高溫度是150℃，則它能夠耐受的溫差是（）A．﹣180℃ B．150℃ C．30℃ D．330℃4．下列計(jì)算正確的是（）A．x6÷x4＝x2 B．5+C．（x3）2＝x5 D．（x+y）2＝x2+y25．為慶祝五四青年節(jié)，某學(xué)校舉辦班級(jí)合唱比賽，甲班演唱后七位評(píng)委給出的分?jǐn)?shù)為：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．9.2 B．9.4 C．9.5 D．9.66．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（3，5）向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（）A．（1，5） B．（5，5） C．（3，3） D．（3，7）7．對(duì)于一次函數(shù)y＝2x﹣1，下列結(jié)論正確的是（）A．它的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，﹣1） B．y隨x的增大而減小 C．當(dāng)x＞12時(shí)，yD．它的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限8．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°9．如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8，圓心O到AB的距離OE＝4，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（）A．4 B．42 C．5 D．10．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，DE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F．設(shè)DE＝x，AF＝y(tǒng)，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（）A．y=9x B．y=12x C．y=18二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．為了比較甲、乙、丙三種水稻秧苗的長(zhǎng)勢(shì)，每種秧苗各隨機(jī)抽取40株，分別量出每株高度，計(jì)算發(fā)現(xiàn)三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8，由此可知種秧苗長(zhǎng)勢(shì)更整齊（填“甲”、“乙”或“丙”）．12．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)組織“新農(nóng)村，新氣象”春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)，進(jìn)入抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)．抽獎(jiǎng)方案如下：不透明的箱子里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有2個(gè)，黃球有3個(gè)，藍(lán)球有5個(gè)，每次搖勻后從中隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到紅球獲一等獎(jiǎng)，摸到黃球獲二等獎(jiǎng)，摸到藍(lán)球獲三等獎(jiǎng)，每個(gè)家庭有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．小明家參與抽獎(jiǎng)，獲得一等獎(jiǎng)的概率為．13．要使分式6x-19有意義，則x需滿足的條件是14．半徑為4，圓心角為90°的扇形的面積為（結(jié)果保留π）．15．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，連接DE．若DE＝12，則AB的長(zhǎng)為．16．為慶祝中國(guó)改革開(kāi)放46周年，某中學(xué)舉辦了一場(chǎng)精彩紛呈的慶?；顒?dòng)，現(xiàn)場(chǎng)參與者均為在校中學(xué)生，其中有一個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目是“選數(shù)字猜出生年份”，該活動(dòng)項(xiàng)目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字，先乘以10，再加上4.6，將此時(shí)的運(yùn)算結(jié)果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個(gè)四位數(shù)，比如2010年對(duì)應(yīng)的四位數(shù)是2010），得到最終的運(yùn)算結(jié)果．只要參與者報(bào)出最終的運(yùn)算結(jié)果，主持人立馬就知道參與者的出生年份．若某位參與者報(bào)出的最終的運(yùn)算結(jié)果是915，則這位參與者的出生年份是．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（6分）計(jì)算：（14）﹣1+|-3|﹣2cos30°﹣（π﹣6.8）18．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m=519．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，AC＝2，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和N，作直線MN分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，連接CD，AE（1）求CD的長(zhǎng)；（2）求△ACE的周長(zhǎng)．20．（8分）中國(guó)新能產(chǎn)業(yè)異軍突起．中國(guó)車(chē)企在政策引導(dǎo)和支持下，瞄準(zhǔn)純電、混動(dòng)和氫燃料等多元技術(shù)路線，加大研發(fā)投入形成了領(lǐng)先的技術(shù)優(yōu)勢(shì).2023年，中國(guó)新能汽車(chē)產(chǎn)銷(xiāo)量均突破900萬(wàn)輛，連續(xù)9年位居全球第一．在某次汽車(chē)展覽會(huì)上，工作人員隨機(jī)抽取了部分參展人員進(jìn)行了“我最喜歡的汽車(chē)類(lèi)型”的調(diào)查活動(dòng)（每人限選其中一種類(lèi)型），并將數(shù)據(jù)整理后，繪制成下面有待完成的統(tǒng)計(jì)表、條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．類(lèi)型人數(shù)百分比純電m54%混動(dòng)na%%氫燃料3b%油車(chē)5c%請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查活動(dòng)隨機(jī)抽取了人；表中a＝，b＝；（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：（3）請(qǐng)計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“混動(dòng)”類(lèi)所在扇形的圓心角的度數(shù)；（4）若此次汽車(chē)展覽會(huì)的參展人員共有4000人，請(qǐng)你估計(jì)喜歡新能（純電、混動(dòng)、氫燃料）汽車(chē)的有多少人？21．（8分）如圖，點(diǎn)C在線段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度數(shù)．22．（9分）刺繡是我國(guó)民間傳統(tǒng)手工藝，湘繡作為中國(guó)四大刺繡之一，聞名中外，在巴黎奧運(yùn)會(huì)倒計(jì)時(shí)50天之際，某國(guó)際旅游公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A、B兩種奧運(yùn)主題的湘繡作品作為紀(jì)念品．已知購(gòu)買(mǎi)1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購(gòu)買(mǎi)2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元．（1）求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價(jià)分別為多少元？（2）該國(guó)際旅游公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件，總費(fèi)用不超過(guò)50000元，那么最多能購(gòu)買(mǎi)A種湘繡作品多少件？23．（9分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝90°．（1）求證：AC＝BD；（2）點(diǎn)E在BC邊上，滿足∠CEO＝∠COE．若AB＝6，BC＝8，求CE的長(zhǎng)及tan∠CEO的值．24．（10分）對(duì)于凸四邊形，根據(jù)它有無(wú)外接圓（四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個(gè)圓相切），可分為四種類(lèi)型，我們不妨約定：既無(wú)外接圓，又無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱(chēng)為“平凡型無(wú)圓”四邊形：只有外接圓，而無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱(chēng)為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)切圓，而無(wú)外接圓的四邊形稱(chēng)為“內(nèi)切型單圓”四邊形：既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱(chēng)為“完美型雙圓”四邊形．請(qǐng)你根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)你判斷下列說(shuō)法是否正確（在題后相應(yīng)的括號(hào)中，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）．①平行四邊形一定不是“平凡型無(wú)圓”四邊形；②內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有R=2r．（2）如圖1，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，四條邊長(zhǎng)滿足：AB+CD≠BC+AD．①該四邊形ABCD是“”四邊形（從約定的四種類(lèi)型中選一種填入）；②若∠BAD的平分線AE交⊙O于點(diǎn)E，∠BCD的平分線CF交⊙O于點(diǎn)F，連接EF．求證：EF是⊙O的直徑．（3）已知四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CD，AD分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．①如圖2，連接EG，F(xiàn)H交于點(diǎn)P．求證：EG⊥FH；②如圖3，連接OA，OB，OC，OD，若OA＝2，OB＝6，OC＝3，求內(nèi)切圓⊙O的半徑r及OD的長(zhǎng)．25．（10分）已知四個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在關(guān)于x的函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣1，﹣4），（3，4）時(shí)，求代數(shù)式2024a+1012b+3（2）當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0時(shí)，請(qǐng)你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)a＞0時(shí)，該函數(shù)圖象與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：2a2+2（y1+y2）a+y12+y22=0，2a2﹣2（y3+y4）a+y32+y42=0．請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)（m＞1），使得AB，CD，m?EF這三條線段組成一個(gè)三角形，且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為

參考答案一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)。本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．B2．C3．D4．A5．B6．D7．A8．C9．B10．C二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．甲12．1513．x≠1914．4π15．2416．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（6分）解：（14）﹣1+|-3|﹣2cos30°﹣（π﹣6.8＝4+3-2＝4+3＝3．18．（6分）解：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3）＝2m﹣m2+2m+m2﹣9＝4m﹣9，當(dāng)m=52時(shí)，原式＝4×52-9＝1019．（6分）解：（1）由作圖過(guò)程可知，直線MN為線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴CD=1（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=AB∵直線MN為線段AB的垂直平分線，∴EA＝EB．∴△ACE的周長(zhǎng)為AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+BC＝2+4＝6．20．（8分）解：（1）本次調(diào)查活動(dòng)隨機(jī)抽取了27÷54%＝50（人），∴n＝50﹣27﹣3﹣5＝15，∴a%=1550×100%＝30%，b%=3∴a＝30，b＝6；故答案為：50，30，6；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（3）360°×30%＝108°，答：扇形統(tǒng)計(jì)圖中“混動(dòng)”類(lèi)所在扇形的圓心角的度數(shù)為108°；（4）4000×（54%+30%+6%）＝3600（人），答：估計(jì)喜歡新能（純電、混動(dòng)、氫燃料）汽車(chē)的有3600人．21．（8分）（1）證明：在△ABC和△ADE中，BC=DE∠B=∠D∴△ABC≌△ADE（SAS）．（2）解：由（1）得△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠AEC＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝180°﹣∠DAE＝120°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACE的度數(shù)是60°．22．（9分）解：（1）設(shè)A種湘繡作品的單價(jià)為x元，B種湘繡作品的單價(jià)為y元，根據(jù)題意得：x+2y=7002x+3y=1200解得：x=300y=200答：A種湘繡作品的單價(jià)為300元，B種湘繡作品的單價(jià)為200元；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種湘繡作品m件，則購(gòu)買(mǎi)B種湘繡作品（200﹣m）件，根據(jù)題意得：300m+200（200﹣m）≤50000，解得：m≤100，∴m的最大值為100．答：最多能購(gòu)買(mǎi)100件A種湘繡作品．23．（9分）（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD．（2）作OH⊥BC于點(diǎn)H，則∠OHE＝∠OHC＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=AB∴OC＝OA=12AC＝∵∠CEO＝∠COE，∴CE＝OC＝5，∵OC＝OA=12AC，OB＝OD=12BD，且∴OC＝OB，∴HC＝HB=12BC＝∴EH＝CE﹣HC＝5﹣4＝1，∵OHHC=ABBC∴OH=ABBC?HC=68∴tan∠CEO=OHEH∴CE的長(zhǎng)為5，tan∠CEO的值為3．24．（10分）解：（1）①∵平行四邊形對(duì)角不互補(bǔ)，∴平行四邊形無(wú)外接圓，∵平行四邊形對(duì)邊之和也不相等，∴平行四邊形無(wú)內(nèi)切圓．∴平行四邊形是“平凡型無(wú)圓”四邊形，故①錯(cuò)誤；②∵內(nèi)角不等于90°的菱形對(duì)角不互補(bǔ)，但是對(duì)邊之和相等，∴菱形是“內(nèi)切型單圓”四邊形，故②正確；③由題可知外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合的“完美型雙圓”四邊形是正方形，如圖，此時(shí)OM＝r，ON＝R，∵△OMN是等腰直角三角形，∴ON=2OM∴R=2r故③正確．故答案為：①（×）；②（√），③（√）．（2）①該四邊形ABCD是“外接型單圓”四邊形；理由：∵AB+CD≠BC+AD，∴四邊形ABCD無(wú)內(nèi)切圓．∴四邊形ABCD是“外接型單圓”四邊形；②證法1：如圖1，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴BE=DE，∴BE+BF=∴EBF與EDF均為半圓，∴EF是⊙O的直徑．證法2：如圖1，連接AF．∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠1=12∠BAD∴∠1+∠2＝90°，由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠2＝∠3，∴∠1+∠3＝90°，即∠EAF＝90°．∴EF是⊙O的直徑證法3：如圖2，連接FD，ED．∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，由題意，得∠1=12∠BAD∵由同弧所對(duì)的圓周角相等可得：∠EFD＝∠1，∠FED＝∠2，∴∠EFD+∠FED=1∴∠FDE＝90°．∴EF是⊙O的直徑．（3）①證明：如圖3，連接OE，OF，OG，OH，HG．∵⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD．∴∠OEA＝∠OHA＝90°．∴在四邊形EAHO中，∠A+∠EOH＝360°﹣90°﹣90°＝180°．同理可證∠FOG+∠C＝180°，∵四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，∴四邊形ABCD有外接圓，∴∠A+∠C＝180°，∴∠EOH＝∠C．∴∠FOG+∠EOH＝180°又∵∠FHG=12∠FOG，∴∠FHG+∠EGH＝90°．∴∠HPG＝90°，即EG⊥FH．②方法1：如圖4，連接OE，OF，OG，OH．∵四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，∴∠OAH+∠OAE+∠OCG+∠OCF＝180°．∵⊙O與AB，BC，CD，AD分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，∴∠OAH＝∠OAE，∠OCG＝∠OCF．∴∠OAH+∠OCG＝90°．∵∠COG+∠OCG＝90°，∴∠OAH＝∠COG．∵∠AHO＝∠OGC＝90°，∴△AOH∽△OCG．∴AOOC=OH解得CG=3在Rt△OGC中，有OG2+CG2＝OC2，即r2解得r=6在Rt△OBE中，BE=同理可證△BEO∽△OHD，所以BEOH=OB解得OD=3方法2：如圖4，由△AOH∽△OCG，得AOOC=OH解得r=6由△BEO∽△OHD，得BEOH=OB解得OD=325．（10分）解：（1）將A（﹣1，﹣4），B（3，4）代入y＝ax2+bx+c得a-b+c=-4，②﹣①得8a+4b＝8，即2a+b＝2．∴2024a+1012b+3（2）此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè)．方法1：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，得（a+2y1）（a+2y2）＝0，∴y1=-a①當(dāng)a＞0時(shí)，-a2＜0，此拋物線開(kāi)口向上，而A，∴此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；②當(dāng)a＜0時(shí)，-a2＞0，此拋物線開(kāi)口向下，而A，∴此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸也有兩個(gè)公共點(diǎn)．綜上所述，此函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．方法2：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，得（a+2y1）（a+2y2）＝0，∴y1=-a∴拋物線上存在縱坐標(biāo)為-a2的點(diǎn)，即一元二次方程∴該方程根的判別式Δ=b2-4a(c+a2)≥0，即b2﹣4∵a≠0，所以b2﹣4ac＞0．∴原函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．方法3：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，可得y1