第五章 第1講 數(shù)列的概念

第五章數(shù)列第1講數(shù)列的概念

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).由an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式2023全國(guó)卷甲T17；2022新高考卷ⅠT17本講為高考命題熱點(diǎn)，主要考查數(shù)列的不同呈現(xiàn)形式及相應(yīng)形式下的通項(xiàng)求解，常見(jiàn)的形式有an與Sn的關(guān)系，不同項(xiàng)間的遞推關(guān)系(常需變形利用累加法、累乘法、構(gòu)造法求解)，題型既有客觀題，也有主觀題，難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定.由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式2020浙江T20數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用2023北京T10；2021北京T10

1.數(shù)列的有關(guān)概念名稱概念數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù).數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù).通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子①

?

(n∈N*)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.an＝f(n)

注意

{

an

}表示數(shù)列

a

1，

a

2，…，

an

，…，是數(shù)列的一種簡(jiǎn)記形式；而

an

只表示

數(shù)列{

an

}的第

n

項(xiàng).辨析比較通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別1.通項(xiàng)公式：可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)

n

的值，直接代入求出

an

.2.遞推公式：可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的值，通過(guò)一次(或多次)賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列

的項(xiàng)，直至求出所需的

an

.也可通過(guò)變形轉(zhuǎn)化，直接求出

an

.(1)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列可以看成一類特殊的函數(shù)

an

＝

f

(

n

)，它的定義域是正整數(shù)集N*或正整數(shù)集N*的

有限子集{1，2，3，4，…，

n

}，所以它的圖象是一系列孤立的點(diǎn)，而不是連續(xù)的

曲線.注意

函數(shù)

an

＝

f

(

n

)定義域?yàn)镹*時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列{

an

}為無(wú)窮數(shù)列.當(dāng)其定義域?yàn)镹*

的有限子集{1，2，3，…，

n

}時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列{

an

}為有窮數(shù)列.2.數(shù)列的函數(shù)特性(2)數(shù)列的性質(zhì)a.單調(diào)性——對(duì)任意的

n

∈N*，若

an

＋1②

an

，則{

an

}為遞增數(shù)列；若

an

＋1

③

an

，則{

an

}為遞減數(shù)列.否則為常數(shù)列或擺動(dòng)數(shù)列.b.周期性——若

an

＋

k

＝

an

(

n

∈N*，

k

為常數(shù)且為正整數(shù))，則{

an

}為周期數(shù)列，

④

為{

an

}的一個(gè)周期.＞＜k

3.數(shù)列的前

n

項(xiàng)和

Sn

與通項(xiàng)

an

的關(guān)系(1)

Sn

＝

a

1＋

a

2＋…＋

an

(

n

∈N*).

1.已知遞增數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)

an

＝

n

2－

kn

(

n

∈N*)，

則實(shí)數(shù)

k

的取值范圍是(

B

)A.(－∞，2]B.(－∞，3)C.(－∞，2)D.(－∞，3][解析]因?yàn)閿?shù)列{

an

}是遞增數(shù)列，所以

an

＜

an

＋1對(duì)任意

n

∈N*都成立，即

n

2－

kn

＜(

n

＋1)2－

k

(

n

＋1)，即

k

＜2

n

＋1對(duì)任意

n

∈N*恒成立，因此

k

＜3.故選B.B12342.[易錯(cuò)題]已知數(shù)列{

an

}的前5項(xiàng)分別為2，－5，10，－17，26，則{

an

}的一個(gè)通項(xiàng)

公式為

?.[解析]由題意易得，數(shù)列{

an

}各項(xiàng)的絕對(duì)值為2，5，10，17，26，…，記為數(shù)列

{

bn

}，則

bn

＝

n

2＋1，考慮到(－1)

n

＋1具有轉(zhuǎn)換正負(fù)號(hào)的作用，所以原數(shù)列{

an

}的

一個(gè)通項(xiàng)公式為

an

＝(－1)

n

＋1(

n

2＋1).an

＝(－1)

n

＋1(

n

2＋1)(答案不唯一)

1234

1234

1234

命題點(diǎn)1

由

an

與

Sn

的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式例1

(1)[全國(guó)卷Ⅰ]記

Sn

為數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和.若

Sn

＝2

an

＋1，則

S

6＝

?.

－63

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3方法技巧1.已知

Sn

與

an

的關(guān)系求

an

的思路(1)利用

an

＝

Sn

－

Sn

－1(

n

≥2)轉(zhuǎn)化為只含

Sn

，

Sn

－1的關(guān)系式，再求解.(2)利用

Sn

－

Sn

－1＝

an

(

n

≥2)轉(zhuǎn)化為只含

an

，

an

－1的關(guān)系式，再求解.2.已知

Sn

＝

f

(

n

)求

an

的一般步驟(1)先利用

a

1＝

S

1求出

a

1；(2)用

n

－1替換

Sn

中的

n

得到一個(gè)新的關(guān)系，利用

Sn

－

Sn

－1＝

an

(

n

≥2)便可求出當(dāng)

n

≥2時(shí)

an

的表達(dá)式；(3)檢驗(yàn)

a

1是否滿足

n

≥2時(shí)

an

的表達(dá)式并得出結(jié)論.例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3

②若

a

1＝1.例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3(2)已知數(shù)列{

an

}滿足

a

1＋2

a

2＋3

a

3＋…＋

nan

＝(2

n

－1)×3

n

，

n

∈N*，則

an

＝

?.

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3命題點(diǎn)2

由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式角度1

累加法

A.2＋lnnB.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnnD.1＋n＋lnn

A例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3角度2

累乘法例3

已知數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，

a

1＝1，

Sn

＝

n

2

an

(

n

∈N*)，則數(shù)列{

an

}的通

項(xiàng)公式為

?.

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3方法技巧1.形如

an

＋1－

an

＝

f

(

n

)的遞推公式，用累加法求通項(xiàng)，即利用恒等式

an

＝

a

1＋(

a

2－

a

1)＋(

a

3－

a

2)＋…＋(

an

－

an

－1)(

n

≥2)求解.

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3

(1)若{

bn

}為等比數(shù)列，公比

q

＞0，且

b

1＋

b

2＝6

b

3，求

q

的值及數(shù)列{

an

}

的通項(xiàng)公式.

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3命題點(diǎn)3

數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1

數(shù)列的周期性例4若非零數(shù)列{

an

}滿足

anan

＋2＝

an

＋1(

n

∈N*)，則稱數(shù)列{

an

}為“等積數(shù)列”.若

等積數(shù)列{

an

}中

a

1＝4，

a

2＝5，則

a

2025＝

?.

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3角度2

數(shù)列的單調(diào)性與最大(小)項(xiàng)問(wèn)題

A.當(dāng)a1＝3時(shí)，{an}為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M≤0，使得an＞M恒成立B.當(dāng)a1＝5時(shí)，{an}為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M≤6，使得an＜M恒成立C.當(dāng)a1＝7時(shí)，{an}為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M＞6，使得an＞M恒成立D.當(dāng)a1＝9時(shí)，{an}為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M＞0，使得an＜M恒成立B例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3

C.2C例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3方法技巧1.解決數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題的3種常用方法作差比較法an＋1－an＞0?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；an＋1－an＜0?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；an＋1－an＝0?數(shù)列{an}是常數(shù)列.作商比較法數(shù)形結(jié)合法利用數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象直觀判斷.注意“函數(shù)”的自變量為正整數(shù).例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練32.求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)的方法

(2)結(jié)合數(shù)列單調(diào)性判斷數(shù)列的最大(小)項(xiàng).3.解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3

－52

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3

3

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3(3)已知數(shù)列{

an

}的首項(xiàng)

a

1＝

m

，其前

n

項(xiàng)和為

Sn

，且滿足

Sn

＋

Sn

＋1＝2

n

2＋3

n

，

若數(shù)列{

an

}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍是

?.

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2例4例5訓(xùn)練3

1.[命題點(diǎn)1/2023山東菏澤鄄城一中三模]已知數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，且滿足

Sn

＝4

an

－3，則

Sn

＝(

C

)D.4(3n－1)C123

1232.[命題點(diǎn)2角度1/2023山東濟(jì)南歷城二中模擬]數(shù)列{

an

}中，

a

1＝2，

an

＋1＝

an

＋

n

＋1.(1)求數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式；

123

123

A123

123

A.1B.5C.7D.9

A123456789101112131415162.[2023安徽淮南第五次聯(lián)考]若數(shù)列{

an

}滿足

a

1＋2

a

2＋3

a

3＋…＋

nan

＝(

n

－1)·2

n

＋1，則

a

7＝(

A

)A.64B.128C.256D.512[解析]由

a

1＋2

a

2＋3

a

3＋…＋

nan

＝(

n

－1)·2

n

＋1

①，得

a

1＋2

a

2＋3

a

3＋…＋

(

n

－1)

an

－1＝(

n

－2)·2

n

－1＋1(

n

≥2)

②，①－②，得

nan

＝[(

n

－1)·2

n

＋1]－[(

n

－2)·2

n

－1＋1]＝

n

·2

n

－1(

n

≥2)，所以

an

＝2

n

－1(

n

≥2)，則

a

7＝64.故選A.A123456789101112131415163.已知數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式為

an

＝3

n

(2

n

－13)，

n

∈N*，則數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和

Sn

取最小值時(shí)，

n

的值是(

A

)A.6B.7C.8D.5

A12345678910111213141516

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A12345678910111213141516

A.98B.99C.100D.101B12345678910111213141516

123456789101112131415166.[2023上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬中學(xué)模擬]若數(shù)列{

an

}滿足

a

1＝2，

an

＋1＝3

an

＋2(

n

∈N*)，則數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和

Sn

＝

?.

123456789101112131415167.[2023重慶市三檢]已知數(shù)列{

an

}滿足：對(duì)任意的正整數(shù)

m

，

n

，都有

aman

＝

am

＋

n

，且

a

2＝3，則

a

10＝

?.

243

解法二由題意，令

m

＝

n

＝2，得

a

4＝

a

2·

a

2＝32.令

m

＝

n

＝4，得

a

8＝

a

4·

a

4＝34.

令

m

＝2，

n

＝8，得

a

10＝

a

8·

a

2＝34×3＝35＝243.12345678910111213141516

12345678910111213141516

123456789101112131415169.[2023山東泰安肥城5月適應(yīng)性訓(xùn)練]數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，滿足

Sn

＋1－2

Sn

＝

1－

n

，且

S

1＝3，則數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式是

?.

1234567891011121314151610.[2023安徽合肥一六八中學(xué)最后一卷]如圖所示的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著

的《詳解九章算法》中，后人稱之為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第

二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球.根據(jù)以上規(guī)律引入一個(gè)數(shù)列{

an

}，滿足

a

1＝1，

an

＝

an

－1＋

n

，

n

＞1且

n

∈N*.(1)求數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

C1234567891011121314151612.[多選/2023高三名校聯(lián)考]大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”

的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太

極衍生過(guò)程中曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，該數(shù)列從第一項(xiàng)起為0，2，4，8，12，

18，24，32，40，50，….按此規(guī)律得到的數(shù)列記為{

an

}，其前

n

項(xiàng)和為

Sn

，則以下

說(shuō)法正確的是(

AD

)A.a2n－1＝2n2－2nB.182是數(shù)列{an}中的項(xiàng)C.a21＝210D.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝n＋2AD12345678910111213141516

1234567891011121314151613.[2023河南名校摸底考試]已知數(shù)列{

an

}滿足：

a

1＝1，(2

n

＋1)2

an

＝(2

n

－1)2

an

＋1(