第48講　兩直線的位置關(guān)系

第48講兩直線的位置關(guān)系【備選理由】例1、例2考查兩條直線位置關(guān)系的應(yīng)用;例3考查對稱問題的應(yīng)用;例4考查直線系問題,綜合性較強(qiáng);例5考查直線與其他知識的結(jié)合,有一定的綜合性.例1[配例1使用]美術(shù)繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭:將整個臉部按照發(fā)際線至眉骨,眉骨至鼻翼下緣,鼻翼下緣至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭,各占臉長的13,五眼:指臉的寬度比例,以眼形長度為單位,把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖,某人像三庭中一庭的高度為2cm,五眼中一眼的寬度為1cm,若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣,且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中線上,則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為(2≈1.414)A.1.8cm B.2.5cmC.3.2cm D.3.9cm[解析]如圖,以鼻尖所在位置為原點(diǎn)O,中庭下邊界所在直線為x軸,垂直于中庭下邊界的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A12,4,B-32,2,所以kAB=4-212--32=1,則直線AB的方程為y-2=x+32,整理得2x-2y+7=例2[配例1使用]已知a>0,b>0,直線l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,則1a+1+1A.2 B.4C.25 D.45[解析]因為a>0,b>0,直線l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,所以2b+a-4=0,即a+2b=4,所以(a+1)+2b=5,所以1a+1+12b=15[(a+1)+2b]1a+1+12b=152+a+12b+2ba+1≥152+2a+1例3[配例3使用]若點(diǎn)P(0,1)在直線l1:ax+y-b=0上的投影是點(diǎn)Q(1,0),則直線l2:ax-y+b=0關(guān)于直線l:x+y-1=0對稱的直線l3的方程為x+y-3=0.

[解析]由已知得a×1+0-b=0,-a×0-11-0=-1,解得a=-1,b=-1,則直線l2的方程為x+y+1=0.設(shè)直線l3上任意一點(diǎn)M(x,y)關(guān)于直線l:x+y-1=0的對稱點(diǎn)為M1(x0,y0),可得y-y0x-x0例4[補(bǔ)充使用](多選題)[2023·深圳中學(xué)模擬]設(shè)直線系M:xcosθ+ysinθ=1+2sinθ(0≤θ≤2π),下列說法中正確的有 (BC)A.M中所有直線均經(jīng)過一個定點(diǎn)B.存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上C.對于任意整數(shù)n(n≥3),存在正n邊形,其所有邊均在M中的直線上D.M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等[解析]由題知,點(diǎn)P(0,2)到直線xcosθ+(y-2)sinθ=1的距離d=1cos2θ+sin2θ=1,即M為圓C:x2+(y-2)2=1的全體切線組成的集合,從而M中存在平行的直線,故A錯誤;點(diǎn)(0,2)不在M中的任一條直線上,故B正確;對任意n≥3,存在正n邊形使其內(nèi)切圓為圓C,故C正確;如圖,M中的直線能組成兩種大小不同的正三角形例5[補(bǔ)充使用]如圖,將一塊直角三角形木板ABO置于平面直角坐標(biāo)系中,已知|AB|=|OB|=1,AB⊥OB,點(diǎn)P12,14是三角形木板內(nèi)一點(diǎn),現(xiàn)因三角形木板中陰影部分受到損壞,要把損壞部分鋸掉,可沿經(jīng)過點(diǎn)P的任一直線MN將三角形木板鋸成△AMN(M,N分別在邊AO,AB上),(1)求直線MN的斜率k的取值范圍;(2)設(shè)△AMN的面積為S,試求S的取值范圍.解:(1)由題可知B(1,0),易得kOP=14-012-0=12所以-12≤k≤1所以k∈-1(2)設(shè)直線MN的方程為y=kx+b,因為直線MN過點(diǎn)P12所以14=k·12+b,得b=14所以直線MN的方程為y=kx+14-k因為A(1,1),B(1,0),所以直線OA的方程為y=x,直線AB的方程為x=1,所以M2k-14|AN|=1-2k+14設(shè)點(diǎn)M到直線AN的距離為d,則d=1-2k-14(k-1)=2k-34(k-1),因為-12≤k≤12,所以