第49講　圓的方程

第49講圓的方程【備選理由】例1是求圓的方程的相關(guān)問題;例2是與圓有關(guān)的最值問題;例3考查與圓有關(guān)的軌跡問題;例4是求最值問題.例1[配例1使用](1)已知圓O(O為坐標原點)的直徑為|AB|=4,動點M滿足|MA|=2|MB|,則點M的軌跡與圓O的相交弦長為 (A)A.823 BC.223 D.(2)在平面直角坐標系中,已知第一象限內(nèi)的點A在直線l:y=2x上,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l的另一個交點為D.若AB⊥CD,則圓C的半徑為

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[解析](1)顯然圓O的半徑為2,圓心為O(0,0),所以圓O的方程為x2+y2=4①.令A(yù)(-2,0),B(2,0),設(shè)動點M(x,y).由|MA|=2|MB|,得(x+2)2+y2=2·(x-2)2+y2,化簡得x2+y2-12x+4=0②.由①-②可得相交弦所在直線的方程為(2)方法一:∵以AB為直徑的圓C與直線l的另一個交點為D,∴∠ADB=90°,∴CD是Rt△ADB斜邊AB上的中線,又AB⊥CD,∴△ADB是等腰直角三角形,∴|AD|=|BD|,|AB|=2|BD|,∴|AD|2=|BD|2,|AB|2=2|BD|2.由題意設(shè)A(a,2a),a>0,D(b,2b),∴|AD|2=(a-b)2+(2a-2b)2,|BD|2=(b-5)2+(2b)2,|AB|2=(a-5)2+(2a)2,2|BD|2=2[(b-5)2+(2b)2],∴(a-b)2+(2a-2b)2=(b-5)2+(2b)2,(a-5)2+(2a)2=2[(b-5)2+(2b)2],化簡得(a-b)(b-1)=0.∵a≠b,∴b=1,∴a=3,∴A(3,6),∴圓心C(4,3),∴|BC|2=(5-4)2+(0-3)2=10,∴|BC|=10,即圓C的半徑為10.方法二:由題意設(shè)A(a,2a),a>0,∵B(5,0),∴Ca+52,a,∴圓C的方程為(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,由y=2x,(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,可得D(1,2),∴AB=(5-a,-2a),CD=-a+32,2-a,∴AB·CD=(5-a)×-a+32+(-2a)×(2-a)=12(a2-2例2[配例2使用](多選題)若實數(shù)x,y滿足條件x2+y2=1,則下列判斷正確的是 (BD)A.x+y的取值范圍是[0,2]B.x2-4x+y2的取值范圍是[-3,5]C.xy的最大值為1D.y-2[解析]對于A,1+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2,故(x+y)2=1+2xy≤1+(x+y)22,化簡得(x+y)2≤2,所以-2≤x+y≤2,A錯誤.對于B,x2-4x+y2=1-4x,因為實數(shù)x,y滿足條件x2+y2=1,所以-1≤x≤1,所以-3≤1-4x≤5,B正確.對于C,因為x2+y2=1,所以1+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2,故1+2xy=(x+y)2≥4xy,化簡得xy≤12,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=22時,等號成立,故xy的最大值為12,C錯誤.對于D,當(dāng)過定點(-1,2)的直線的斜率不存在,即x=-1時,直線與圓相切,當(dāng)過定點(-1,2)的直線的斜率存在時,令k=y-2x+1,則k可看作圓x2+y2=1上的動點與定點(-1,2)的連線的斜率,可設(shè)過定點(-1,2)的直線的方程為y-2=k(x+1).若該直線與圓x2+y2=1相切,則圓心到直線的距離為|k+2|例3[配例4使用][2023·安徽皖北協(xié)作體模擬]平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值(不為1)的動點軌跡為圓,后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點A(-1,0)和B(2,1),且該平面內(nèi)的點P滿足|PA|=2|PB|,若點P的軌跡關(guān)于直線mx+ny-2=0(m>0,n>0)對稱,則2m+3n-15A.10+25 B.10+215C.-5+210 D.-7+215[解析]設(shè)點P的坐標為(x,y),因為|PA|=2|PB|,所以|PA|2=2|PB|2,則(x+1)2+y2=2[(x-2)2+(y-1)2],整理得點P的軌跡方程為(x-5)2+(y-2)2=20.因為點P的軌跡關(guān)于直線mx+ny-2=0(m>0,n>0)對稱,所以圓心(5,2)在此直線上,即5m+2n=2,所以2m+3n-15=12(5m+2n)2m+3n-15=-7+124nm+15mn≥-7+12×24nm·15例4[補充使用][2023·成都三模]在平面直角坐標系xOy中,射線OT與直線l:x=9,圓O:x2+y2=9分別相交于A,B兩點,若線段OB上存在點M(m,n)(不含端點),使得對于圓O上任意一點P都滿足|PM||PA|=|BM||[解析]方法一:如圖①,連接OP,BP,因為|PM||PA|=|BM||所以∠MPB=∠APB.因為|OP|=|OB|,所以∠OPB=∠OBP,所以∠OPB-∠MPB=∠OBP-∠APB,即∠OPM=∠OAP,又∠O=∠O,所以△OPM∽△OAP,所以|OP|2=|OM|·|OA|,所以|OM|·|OA|=9.設(shè)直線x=9與x軸交于點C,取點N(1,0),如圖②,那么|ON|·|OC|=9,所以|OM|·|OA|=|ON|·|OC|,所以△OMN∽△OCA,所以MN⊥OA,所以點M的軌跡是以O(shè)N為直徑的圓.所以點M的軌跡方程為m-122+n設(shè)m=12+12cosθ,n=12sinθ,θ所以mn=14sinθ(1+cosθ=sinθ2cos3θ2=333sin2θ當(dāng)且僅當(dāng)3sin2θ2=cos2θ2,即tanθ2=則mn的最大值為33方法二:因為M(m,n)且xA=9,所以|OM|=m2+n2所以由方法一的結(jié)論知9=m2+n則m=m2+n2,不妨令m>0,n>0,所以mn=m3-m4,令f(m)=m3-m4,則f'(m)=3m2-4m3=m2(3-4m),可得當(dāng)0<m<34時,f'(m)>0,當(dāng)34<m<3時,f'(m)所以f(m)在0,34上單調(diào)遞增,在所以f(m)max=f34=3344,則mn的最大值為方法三:設(shè)M(m,km)(m>0),B(x,kx),A(9,9k),則點B關(guān)于原點O的對稱點為B'(-x,-kx),因為|PM||PA|=|BM||BA|,根據(jù)阿氏圓的性質(zhì)和相似,可得|BA||BM|=|B'A||B'M|,則9-xx-m=9+xm+x,整理得-x2+(9-m)x+9m=x2