高等數(shù)學(xué)課件

在自變量的不同變化范圍中,

對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).2024/9/23例2解故2024/9/23三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:2024/9/232．函數(shù)的單調(diào)性:xyo2024/9/23xyo2024/9/233．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x2024/9/23奇函數(shù)yxox-x2024/9/234．函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.2024/9/23

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.四、反函數(shù)2024/9/23五、小結(jié)基本概念集合,區(qū)間,鄰域,絕對(duì)值.函數(shù)的概念函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)2024/9/23一、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)2024/9/232.指數(shù)函數(shù)2024/9/233.對(duì)數(shù)函數(shù)2024/9/234.三角函數(shù)正弦函數(shù)2024/9/23余弦函數(shù)2024/9/23正切函數(shù)2024/9/23余切函數(shù)2024/9/23正割函數(shù)2024/9/23余割函數(shù)2024/9/235.反三角函數(shù)2024/9/232024/9/232024/9/23

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).2024/9/23二、復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)定義:2024/9/23注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.2.初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).2024/9/23例1解2024/9/23綜上所述2024/9/23三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)2024/9/23奇函數(shù),有界函數(shù),2024/9/23雙曲函數(shù)常用公式2024/9/232.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),2024/9/232024/9/23奇函數(shù),2024/9/23四、小結(jié)函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))2024/9/23思考題2024/9/23思考題解答不能．2024/9/23一、填空題:練習(xí)題2024/9/232024/9/23練習(xí)題答案2024/9/232024/9/23“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：播放——?jiǎng)⒒找弧⒏拍畹囊?024/9/23正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2024/9/232、截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”2024/9/23二、數(shù)列的定義例如2024/9/23注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)2024/9/23播放三、數(shù)列的極限2024/9/23問(wèn)題:當(dāng)

無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:2024/9/232024/9/23如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：2024/9/23幾何解釋:其中2024/9/23數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：2024/9/23例2證所以,說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.2024/9/23例3證2024/9/23例4證2024/9/23四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性例如,有界無(wú)界2024/9/23定理1收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.2024/9/232.唯一性定理2每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.2024/9/23例5證由定義,區(qū)間長(zhǎng)度為1.不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi).2024/9/233.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a2024/9/23五.小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.2024/9/23思考題證明要使只要使從而由得取當(dāng)時(shí)，必有成立2024/9/23思考題解答~（等價(jià)）證明中所采用的實(shí)際上就是不等式即證明中沒(méi)有采用“適當(dāng)放大”的值2024/9/23從而時(shí)，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為2024/9/23練習(xí)題2024/9/23“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引?024/9/23三、數(shù)列的極限2024/9/23三、數(shù)列的極限2024/9/23三、數(shù)列的極限2024/9/23三、數(shù)列的極限2024/9/23三、數(shù)列的極限2024/9/23三、數(shù)列的極限2024/9/23三、數(shù)列的極限2024/9/23三、數(shù)列的極限2024/9/23三、數(shù)列的極限2024/9/23三、數(shù)列的極限2024/9/23三、數(shù)列的極限2024/9/23三、數(shù)列的極限2024/9/23三、數(shù)列的極限2024/9/232024/9/23播放一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2024/9/23通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近”.2024/9/232024/9/232.另兩種情形:2024/9/233.幾何解釋:2024/9/23例1證2024/9/23二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限2024/9/232024/9/232.幾何解釋:注意：2024/9/23例2證例3證2024/9/23例4證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義.2024/9/23例5證2024/9/233.單側(cè)極限:例如,2024/9/23左極限右極限2024/9/23左右極限存在但不相等,例6證2024/9/23三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性2.唯一性2024/9/23推論3.不等式性質(zhì)定理(保序性)2024/9/23定理(保號(hào)性)推論2024/9/234.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理2024/9/23證2024/9/23例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.2024/9/23例7證2024/9/23二者不相等,2024/9/23過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后2024/9/23思考題2024/9/23思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.2024/9/23一、填空題:練習(xí)題2024/9/232024/9/23練習(xí)題答案2024/9/23一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2024/9/23一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2024/9/23一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2024/9/23一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2024/9/23一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2024/9/23一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2024/9/23一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2024/9/23一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2024/9/23一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2024/9/232024/9/23一、無(wú)窮小1.定義:極限為零的變量稱為無(wú)窮小.2024/9/23例如,注意1.無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).2024/9/232.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性2024/9/23意義1.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理2在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.證2024/9/23注意

無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.2024/9/23定理3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.證2024/9/23推論1在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.都是無(wú)窮小2024/9/23二、無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.2024/9/23特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大．注意1.無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.2024/9/23不是無(wú)窮大．無(wú)界，2024/9/23證2024/9/23三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理4在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.證2024/9/23意義

關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.2024/9/23四、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意:無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.（1）無(wú)窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小.（3）無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.2024/9/23思考題2024/9/23思考題解答不能保證.例有2024/9/23一、填空題:練習(xí)題2024/9/232024/9/23練習(xí)題答案2024/9/232024/9/23一、極限運(yùn)算法則定理證由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得2024/9/232024/9/23推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2有界，2024/9/23二、求極限方法舉例例1解2024/9/23小結(jié):2024/9/23解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得例22024/9/23解例3(消去零因子法)2024/9/23例4解(無(wú)窮小因子分出法)2024/9/23小結(jié):無(wú)窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無(wú)窮小,然后再求極限.2024/9/23例5解先變形再求極限.2024/9/23例6解2024/9/23例7解左右極限存在且相等,2024/9/23三、小結(jié)1.極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2.極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.2024/9/23思考題

在某個(gè)過(guò)程中，若有極限，無(wú)極限，那么是否有極限？為什么？2024/9/23思考題解答沒(méi)有極限．假設(shè)有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．2024/9/23一、填空題:練習(xí)題2024/9/23二、求下列各極限:2024/9/232024/9/23練習(xí)題答案2024/9/232024/9/23一、無(wú)窮小的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限2024/9/23定義:2024/9/23例1解例2解2024/9/23常用等價(jià)無(wú)窮小:用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:例如,2024/9/23二、等價(jià)無(wú)窮小替換定理(等價(jià)無(wú)窮小替換定理)證2024/9/23例3解不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換.注意2024/9/23例4解解錯(cuò)2024/9/23例5解2024/9/23三、小結(jié)1.無(wú)窮小的比較:反映了同一過(guò)程中,兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.2.等價(jià)無(wú)窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無(wú)窮小;等價(jià)無(wú)窮小;無(wú)窮小的階.2024/9/23思考題任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以比較嗎？2024/9/23思考題解答不能．例當(dāng)時(shí)都是無(wú)窮小量但不存在且不為無(wú)窮大故當(dāng)時(shí)2024/9/23練習(xí)題2024/9/232024/9/232024/9/23練習(xí)題答案2024/9/232024/9/232024/9/23一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量2024/9/232.連續(xù)的定義2024/9/232024/9/23例1證由定義2知2024/9/233.單側(cè)連續(xù)定理2024/9/23例2解右連續(xù)但不左連續(xù),2024/9/234.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,2024/9/23例3證2024/9/23二、函數(shù)的間斷點(diǎn)2024/9/231.跳躍間斷點(diǎn)例4解2024/9/232.可去間斷點(diǎn)例52024/9/23解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).2024/9/23如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)2024/9/233.第二類間斷點(diǎn)例6解2024/9/23例7解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).2024/9/23狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.★★2024/9/23在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).★判斷下列間斷點(diǎn)類型:2024/9/23例8解2024/9/23三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)(見(jiàn)下圖)2024/9/23可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無(wú)窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx2024/9/23思考題2024/9/23思考題解答且2024/9/23但反之不成立.例但2024/9/23練習(xí)題2024/9/232024/9/23練習(xí)題答案2024/9/232024/9/232024/9/23一、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理1例如,2024/9/23二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).2024/9/23定理3證2024/9/23將上兩步合起來(lái):2024/9/23意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;例1解2024/9/23例2解同理可得2024/9/23定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,2024/9/23三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★2024/9/23定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.2024/9/231.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.注意注意2