呂梁市重點(diǎn)中學(xué)2025屆八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

呂梁市重點(diǎn)中學(xué)2025屆八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知，在中，，，，作.小亮的作法如下：①作，②在上截取，③以為圓心，以5為半徑畫弧交于點(diǎn)，連結(jié).如圖，給出了小亮的前兩步所畫的圖形.則所作的符合條件的（）A．是不存在的 B．有一個(gè) C．有兩個(gè) D．有三個(gè)及以上2．如圖，正方期ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且為F，則EF的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．3．已知是三角形的三邊長(zhǎng)，如果滿足，則三角形的形狀是()A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形4．如圖，下列圖案是我國(guó)幾家銀行的標(biāo)志，其中軸對(duì)稱圖形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是（）A． B． C． D．6．如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（）A．52 B．68 C．72 D．767．下面的圖案中，不是軸對(duì)稱圖形的是()A． B．C． D．8．在矩形（長(zhǎng)方形）ABCD中，AB=3，BC=4，若在矩形所在的平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PAD都為等腰三角形，則滿足此條件的點(diǎn)P共有（）個(gè)．A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)9．若三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為2：3：7，則這個(gè)三角形一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形10．下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是()A． B．C． D．11．下列命題的逆命題是真命題的是（）A．同位角相等 B．對(duì)頂角相等C．等邊對(duì)等角 D．全等三角形的面積相等12．一組不為零的數(shù)a，b，c，d，滿足，則以下等式不一定成立的是（）A．＝ B．＝C．＝ D．＝二、填空題（每題4分，共24分）13．雙察下列等式：，，，…則第n個(gè)等式為_____．（用含n的式子表示）14．在△ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠B

=

40°，∠ACD

=

120°，則∠A=_________．15．如圖，長(zhǎng)方形臺(tái)球桌面上有兩個(gè)球、．，球連續(xù)撞擊臺(tái)球桌邊，反射后，撞到球．已知點(diǎn)、是球在，邊的撞擊點(diǎn)，，，且點(diǎn)到邊的距離為3，則的長(zhǎng)為__________，四邊形的周長(zhǎng)為________16．如圖：已知AB⊥BC，AE⊥DE，且AB=AE，∠ACD=∠ADC=50°，∠BAD=100°，則∠BAE=_________．17．如圖，點(diǎn)B，A，D，E在同一條直線上，AB＝DE，BC∥EF，請(qǐng)你利用“ASA”添加一個(gè)條件，使△ABC≌△DEF，你添加的條件是_____．18．化簡(jiǎn)：_____________.三、解答題（共78分）19．（8分）分解因式：（1）（2）20．（8分）計(jì)算（1）（2）化簡(jiǎn)，再?gòu)模?，﹣2中選擇合適的x值代入求值．21．（8分）如圖，點(diǎn)在上，和都是等邊三角形．猜想：三條線段之間的關(guān)系，并說明理由．22．（10分）某中學(xué)七班共有45人，該班計(jì)劃為每名學(xué)生購(gòu)買一套學(xué)具，超市現(xiàn)有A、B兩種品牌學(xué)具可供選擇已知1套A學(xué)具和1套B學(xué)具的售價(jià)為45元；2套A學(xué)具和5套B學(xué)具的售價(jià)為150元．、B兩種學(xué)具每套的售價(jià)分別是多少元？現(xiàn)在商店規(guī)定，若一次性購(gòu)買A型學(xué)具超過20套，則超出部分按原價(jià)的6折出售設(shè)購(gòu)買A型學(xué)具a套且不超過30套，購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的學(xué)具共花費(fèi)w元．請(qǐng)寫出w與a的函數(shù)關(guān)系式；請(qǐng)幫忙設(shè)計(jì)最省錢的購(gòu)買方案，并求出所需費(fèi)用．23．（10分）如圖，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，，.(1)求證：；(2)若，求的度數(shù).24．（10分）解二元一次方程組：25．（12分）解方程組：（1）用代入消元法解：（2）用加減消元法解：26．（1）如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AC=AD（2）化簡(jiǎn)：

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)B到AN的距離，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可得．【詳解】如圖，過點(diǎn)B作在中，則因由直線與圓的位置關(guān)系得：以為圓心，以5為半徑畫弧，與會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)即所作的符合條件的有兩個(gè)故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)（直角三角形中，角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半）、直線與圓的位置關(guān)系，理解題意，利用直角三角形的性質(zhì)求出BD的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．2、D【分析】在AF上取FG=EF，連接GE，可得△EFG是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EG=，∠EGF=45°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BAE+∠AEG=∠EGF，然后求出∠BAE=∠AEG=22.5°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AG=EG，再根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出∠ABD=45°，然后求出△BEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BF=EF，設(shè)EF=x，最后根據(jù)AB=AG+FG+BF列方程求解即可．【詳解】解：如圖，在AF上取FG=EF，連接GE，

∵EF⊥AB，

∴△EFG是等腰直角三角形，∴EG=EF，∠EGF=45°，由三角形的外角性質(zhì)得，∠BAE+∠AEG=∠EGF，

∵∠BAE=22.5°，∠EGF=45°，

∴∠BAE=∠AEG=22.5°，

∴AG=EG，

在正方形ABCD中，∠ABD=45°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴BF=EF，

設(shè)EF=x，∵AB=AG+FG+BF，∴4=x+x+x，解得x=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形并根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)AB列出方程．3、C【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可判斷三角形為直角三角形．【詳解】解：∵∴，，，∴，，又∵，故該三角形為直角三角形，故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是解出a，b，c的值，并正確運(yùn)用勾股定理的逆定理．4、C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．據(jù)此可知只有第三個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：第一個(gè)圖形和第二個(gè)圖形有2條對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形，符合題意；第三個(gè)圖形找不到對(duì)稱軸，則不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意．第四個(gè)圖形有1條對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形，符合題意；軸對(duì)稱圖形共有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．5、A【分析】根據(jù)提取公因式和平方差公式進(jìn)行因式分解即可解答.【詳解】解：；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用提取公因式和平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.6、D【分析】先根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，然后利用外圍周長(zhǎng)=即可求解．【詳解】由題意可知∵∴∴風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7、B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故錯(cuò)誤；B、不是軸對(duì)稱圖形，故正確；C、是軸對(duì)稱圖形，故錯(cuò)誤；D、是軸對(duì)稱圖形，故錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．8、C【分析】根據(jù)矩形的對(duì)稱性畫出對(duì)稱軸，然后根據(jù)等腰三角形的定義作圖即可．【詳解】解：作矩形的兩條對(duì)稱軸l1和l2，交于點(diǎn)P1，根據(jù)對(duì)稱性可知此時(shí)P1滿足題意；分別以A、B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作弧，交l1于點(diǎn)P2、P3；分別以A、D為圓心，以AD的長(zhǎng)為半徑作弧，交l2于點(diǎn)P4、P1．根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)可得P1、P2、P3、P4、P1均符合題意這樣的點(diǎn)P共有1個(gè)故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是矩形的性質(zhì)和作等腰三角形，掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的定義是解決此題的關(guān)鍵．9、C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180°來計(jì)算出最大的內(nèi)角度數(shù),然后來判斷三角形的形狀.【詳解】解:三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為2：3：7,三角形最大的內(nèi)角為:.這個(gè)三角形一定為鈍角三角形.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和180°,計(jì)算三角形最大內(nèi)角是解題關(guān)鍵.10、B【分析】計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)兩邊的數(shù)的平方即可估算出的范圍．【詳解】解：∵，，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的估算，屬于基本題型，掌握估算的方法是解題關(guān)鍵．11、C【分析】首先明確各個(gè)命題的逆命題，再分別分析各逆命題的題設(shè)是否能推出結(jié)論，可以利用排除法得出答案．【詳解】A、原命題的逆命題為：相等是同錯(cuò)角，不正確；B、原命題的逆命題為：相等的角為對(duì)頂角，不正確；C、原命題的逆命題為：等角對(duì)等邊，正確；D、原命題的逆命題為：面積相等的三角形全等，不正確；

故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)命題與逆命題的理解及真假命題的判斷能力，對(duì)選項(xiàng)要逐個(gè)驗(yàn)證，判斷命題真假時(shí)可舉反例說明．12、C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行整理，找到不一定正確的選項(xiàng)即可．【詳解】解：一組不為零的數(shù)，，，，滿足，，，即，故A、B一定成立；設(shè)，∴，，∴，，∴，故D一定成立；若則，則需，∵、不一定相等，故不能得出，故D不一定成立．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例性質(zhì)；根據(jù)比例的性質(zhì)靈活變形是解題關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、＝【分析】探究規(guī)律后，寫出第n個(gè)等式即可求解．【詳解】解：…則第n個(gè)等式為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.14、80°【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，知∠ACD=∠A+∠B，從而求出∠A的度數(shù)．【詳解】∵∠ACD=∠A+∠B，

∴∠A=∠ACD-∠B=120°-40°=80°．

故答案為：80°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．15、61【分析】作PE⊥AB于E，則PE=3，延長(zhǎng)PQ、MN交于點(diǎn)Q，證出Q與Q'關(guān)于BC對(duì)稱，MP=2PE=6，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出NQ'=NQ，證出∠Q'=30°=∠MPQ，得出MQ'=MP=6，即可得出答案．【詳解】解：作PE⊥AB于E，則PE=3，延長(zhǎng)PQ、MN交于點(diǎn)Q，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AB⊥BC，∵PQ//AB，∴PQ⊥BC，∠EMP=∠MPQ=30°，∠Q'=∠BMN，∴Q與Q'關(guān)于BC對(duì)稱，MP=2PE=6，∴NQ'=NQ，由題意得：∠BMN=∠EMP=30°，∴∠Q'=30°=∠MPQ，∴MQ'=MP=6，∴四邊形PMNQ的周長(zhǎng)=MP+PQ+NQ+MN=MP+PQ+NQ'+MN=MP+PQ+MQ'=6+4+6=1；故答案為：6，1．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16、120°【分析】先由題意求得∠CAD，再證明△ABC與△AED全等即可求解．【詳解】解：∵∠ACD=∠ADC=50°，∴∠CAD=180°-50°-50°=80°，AC=AD，又AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B=∠E=90°，∵AB=AE，∴Rt△ABCRt△AED，∴∠BAC=∠EAD，∴∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠EAD=2∠BAC+∠CAD，∵∠BAD=100°，∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=20°，∴∠BAE=120°；故答案為：120°．【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)，難度一般．17、【分析】由平行線的性質(zhì)得出∠B＝∠E，由ASA即可得出△ABC≌△DEF．【詳解】解：添加條件：,理由如下：∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）；故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用ASA判定三角形全等，找到另外一組相等角是解題的關(guān)鍵.18、【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】原式=.故答案為：.【點(diǎn)睛】此題主要考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知分式的運(yùn)算法則.三、解答題（共78分）19、（1）n（m+2）（m﹣2）；（2）【分析】（1）通過提公因式及平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）通過提公因式及完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）原式==n（m+2）（m﹣2）（2）原式=【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握提公因式法及公式法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.20、（1）；（2），【分析】（1）先將乘方進(jìn)行計(jì)算，在根據(jù)分式的乘除運(yùn)算法則依次進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和法則將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再考慮到分式的分母不可為零，代入x=1得到最后的值．【詳解】（1）故本題最后化簡(jiǎn)為．（2）因?yàn)榉质降姆帜覆豢蔀榱悖詘不能取-1，-2，即x只能取1，將x=1帶入化簡(jiǎn)后的式子有故本題化簡(jiǎn)后的式子為，最后的值為．【點(diǎn)睛】（1）本題考查了分式的乘方以及分式的乘除，熟練掌握分式乘除法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；（2）本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值；分式的混合運(yùn)算需要特別注意運(yùn)算順序以及符號(hào)的處理，其中在代值時(shí)要格外注意分式的分母不可為零，取合適的數(shù)字代入．21、AD=BD+CD．理由見解析【分析】首先證明△ABE≌△CBD，進(jìn)而得到DC=AE，再由AD=AE+ED利用等量代換AD=BD+CD．【詳解】解：BD+CD=AD；

∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，

∴AB=AC，EB=DB=ED，∠ABC=∠EBD=60°，

∴∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC，

即∠ABE=∠CBD，

在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），

∴DC=AE，

∵AD=AE+ED，

∴AD=BD+CD．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．22、(1)A、B兩種學(xué)具每套的售價(jià)分別是25和20元；(2)，；購(gòu)買45套B型學(xué)具所需費(fèi)用最省錢，所需費(fèi)用為900元.【解析】(1)設(shè)A種品牌的學(xué)具售價(jià)為x元，B種品牌的學(xué)具售價(jià)為y元，根據(jù)1套A學(xué)具和1套B學(xué)具的售價(jià)為45元，2套A學(xué)具和5套B學(xué)具的售價(jià)為150元，列出二元一次方程組解答即可；(2)①根據(jù)總花費(fèi)=購(gòu)買A型學(xué)具的費(fèi)用+購(gòu)買B型學(xué)具的費(fèi)用，列出函數(shù)關(guān)系式即可；②分兩種情況進(jìn)行比較即可，第一種情況：由函數(shù)關(guān)系式可知a=30時(shí)花費(fèi)已經(jīng)最低，需要費(fèi)用950元；第二種情況：購(gòu)買45套B型學(xué)具需要900元.【詳解】解：設(shè)A種品牌的學(xué)具售價(jià)為x元，B種品牌的學(xué)具售價(jià)為y元，根據(jù)題意有，，解之可得，所以A、B兩種學(xué)具每套的售價(jià)分別是25和20元；因?yàn)椋渲匈?gòu)買A型學(xué)具的數(shù)量為a，則購(gòu)買費(fèi)用，即函數(shù)關(guān)系式為：，；符合題意的還有以下情況：Ⅰ、以的方案購(gòu)買，因?yàn)?5＜0，所以時(shí)，w為最小值，即元；Ⅱ、由于受到購(gòu)買A型學(xué)具數(shù)量的限制，購(gòu)買A型學(xué)具30套w已是最小，所以全部購(gòu)買B型學(xué)具45套，此時(shí)元元，綜上所述，購(gòu)買45套B型學(xué)具所需費(fèi)用最省錢，所需費(fèi)用為：900元．故答案為(1)A、B兩種學(xué)具每套的售價(jià)分別是25和20元；(2)①w=-5a+1100，(20<a≤30)；②購(gòu)買4