全國(guó)版2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第12章概率第3講離散型隨機(jī)變量及其分布列均值與方差試題2理含解析

PAGE第十二章概率第三講離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差1.[2024八省市新高考適應(yīng)性考試]一臺(tái)設(shè)備由三個(gè)部件構(gòu)成,假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中,部件1,2,3須要調(diào)整的概率分別為0.1,0.2,0.3,各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立.(1)求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中,部件1,2中至少有1個(gè)須要調(diào)整的概率;(2)記設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中須要調(diào)整的部件個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.2.[2024惠州四校聯(lián)考(二)]教化部《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)校體育工作的若干看法》中指出:提高學(xué)生的體質(zhì)健康水平應(yīng)作為落實(shí)教化規(guī)劃綱要和辦好人民滿足教化的重要任務(wù).惠州市多所中小學(xué)校主動(dòng)響應(yīng)教化部的號(hào)召,增設(shè)了多項(xiàng)體育課程.為了解全市中小學(xué)生排球和足球這兩項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)的參與狀況,在全市中小學(xué)校中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校(記為A,B,C,…,J),10所學(xué)校的參與人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖如圖12-3-1:(1)若從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查,求選出的2所學(xué)校參與足球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)都超過(guò)40的概率;(2)現(xiàn)有一名排球教練在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所學(xué)校進(jìn)行指導(dǎo),記X為教練選中參與排球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)在30以上的學(xué)校的個(gè)數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.3.[2024四川宜賓一診][情境創(chuàng)新]第七次全國(guó)人口普查登記于2024年11月1日起先,這是在我國(guó)人口發(fā)展進(jìn)入關(guān)鍵期開(kāi)展的一次重大國(guó)情國(guó)力調(diào)查,可以為編制“十四五”規(guī)劃,為推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展,完善人口發(fā)展戰(zhàn)略和政策體系、促進(jìn)人口長(zhǎng)期均衡發(fā)展供應(yīng)重要信息支持,本次普查主要調(diào)查人口和住戶的基本狀況.某校高三一班共有學(xué)生54名,按人口普查要求,全部住校生依據(jù)集體戶進(jìn)行申報(bào),全部非住校生(走讀生及半走讀生)按原家庭申報(bào),已知該班住校生與非住校生人數(shù)的比為7∶2,住校生中男生占47,現(xiàn)從住校生中采納分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生擔(dān)當(dāng)集體戶戶主進(jìn)行人口普查登記(1)應(yīng)從住校的男生、女生中各抽取多少人?(2)若從抽出的7名戶主中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行普查登記培訓(xùn).①求這3人中既有男生又有女生的概率;②用X表示抽取的3人中女生戶主的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.4.[2024石家莊市重點(diǎn)中學(xué)高三摸底測(cè)試]某飲料公司為從A,B兩款新配方飲料中選擇一款進(jìn)行新品推介,對(duì)這兩款飲料進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)查,讓接受調(diào)查的受訪者同時(shí)飲用這兩款飲料,并分別對(duì)其進(jìn)行評(píng)分.現(xiàn)對(duì)接受調(diào)查的100萬(wàn)名受訪者的評(píng)分(單位:分)進(jìn)行整理,得到如圖12-3-2(1)(2)所示的統(tǒng)計(jì)圖.分析調(diào)查數(shù)據(jù)可以得出如下結(jié)論:評(píng)分在[0,60)內(nèi)的受訪者中有20%會(huì)購(gòu)買,評(píng)分在[60,80)內(nèi)的受訪者中有60%會(huì)購(gòu)買,評(píng)分在[80,100]內(nèi)的受訪者中有90%會(huì)購(gòu)買.(1)(2)圖12-3-2(1)在受訪的100萬(wàn)人中,對(duì)A款飲料的評(píng)分在60分以下的有多少萬(wàn)人?(2)用頻率估計(jì)概率,現(xiàn)從受訪者中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查,試估計(jì)該受訪者購(gòu)買A款飲料的可能性高于購(gòu)買B款飲料的可能性的概率.(3)假如你是決策者,新品推介你會(huì)主推哪一款飲料,并說(shuō)明你的理由.5.[2024濟(jì)南重點(diǎn)中學(xué)一檢]甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行競(jìng)賽,約定先勝3局者贏得競(jìng)賽,競(jìng)賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是12外,其余每局競(jìng)賽甲隊(duì)獲勝的概率都是23.假設(shè)各局競(jìng)賽結(jié)果相互(1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2成功的概率.(2)若競(jìng)賽結(jié)果為3∶0或3∶1,則成功方得3分,對(duì)方得0分;若競(jìng)賽結(jié)果為3∶2,則成功方得2分,對(duì)方得1分.求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.6.[2024河南八市聯(lián)考]有一名中學(xué)學(xué)生盼望2024年進(jìn)入某高校學(xué)習(xí),假設(shè)具備以下條件之一均可被該高校錄用:①2024年年初通過(guò)M考試進(jìn)入國(guó)家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)(M考試資格須要通過(guò)參與N競(jìng)賽獲得);②2024年3月參與自主招生考試,考試通過(guò),參與2024年6月高考且高考分?jǐn)?shù)達(dá)到本科一批分?jǐn)?shù)線;③2024年6月參與高考且分?jǐn)?shù)達(dá)到該校錄用分?jǐn)?shù)線(該校錄用分?jǐn)?shù)線高于本科一批分?jǐn)?shù)線).已知該學(xué)生具備參與N競(jìng)賽、自主招生考試和高考的資格,且該學(xué)生估計(jì)自己通過(guò)各種考試的概率如下表:獲得M考試資格通過(guò)自主招生考試高考分?jǐn)?shù)達(dá)到本科一批分?jǐn)?shù)線高考分?jǐn)?shù)達(dá)到該校錄用分?jǐn)?shù)線0.50.60.90.7若該學(xué)生獲得M考試資格,則該學(xué)生估計(jì)自己進(jìn)入國(guó)家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)的概率是0.2,若進(jìn)入國(guó)家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì),則提前錄用,若未被錄用,則按②③的依次依次嘗試.若該學(xué)生因具備某一條件被錄用后,不再考慮是否具備后面的條件.(1)求該學(xué)生參與自主招生考試的概率;(2)求該學(xué)生參與考試的次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)求該學(xué)生被該校錄用的概率.7.[2024武漢市部分學(xué)校質(zhì)量監(jiān)測(cè)]武漢又稱江城,是湖北省省會(huì),中國(guó)中部地區(qū)中心城市,它不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化,更有著眾多旅游景點(diǎn),每年來(lái)武漢參觀旅游的人數(shù)不勝數(shù),其中黃鶴樓與東湖被稱為武漢的兩張名片.為合理配置旅游資源,現(xiàn)對(duì)已巡游黃鶴樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查,若不游玩東湖記1分,接著游玩東湖記2分,每位游客選擇是否巡游東湖景點(diǎn)的概率均為12,游客之間選擇意愿相互獨(dú)立(1)從游客中隨機(jī)抽取3人,記總得分為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(2)(i)若從游客中隨機(jī)抽取m人,記總得分恰為m的概率為Am,求數(shù)列{Am}的前10項(xiàng)和;(ii)在對(duì)全部游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查的過(guò)程中,記已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分恰為n的概率為Bn,探討B(tài)n與Bn-1之間的關(guān)系,并求數(shù)列{Bn}的通項(xiàng)公式.8.[2024重慶巴蜀中學(xué)模擬][角度創(chuàng)新]為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效果,某中學(xué)提出了兩種學(xué)習(xí)激勵(lì)方案,其中甲方案:課前預(yù)習(xí)并完成同步小練習(xí)可以獲得70分,課前預(yù)習(xí)但沒(méi)有完成同步小練習(xí)可以獲得10分,沒(méi)有課前預(yù)習(xí)也沒(méi)有完成同步小練習(xí)則扣除20分(即獲得-20分),調(diào)查發(fā)覺(jué)甲方案中三種狀況出現(xiàn)的概率分別為16,13,12.乙方案:每天多做一套試題則獲得80分,若沒(méi)有多做一套試題則扣除20分(即獲得-20分),每天多做一套試題的概率為p(0<p<1).每位同學(xué)可以參與兩次甲方案或乙方案(甲、乙兩種方案不能都參與,只能選擇其一),且兩次方案互不影響.規(guī)定參與兩次方案后獲得的分?jǐn)?shù)為正,則獲得學(xué)校的嘉獎(jiǎng);獲得的分?jǐn)?shù)為負(fù)(1)若p=14,試問(wèn)學(xué)生選擇哪種方案更簡(jiǎn)單獲得嘉獎(jiǎng)?請(qǐng)說(shuō)明理由(2)當(dāng)p在什么范圍內(nèi)取值時(shí),學(xué)生參與兩次乙方案后取得的平均分更高?答案第三講離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差1.(1)部件1,2中至少有1個(gè)須要調(diào)整的概率為1-(1-0.1)×(1-0.2)=0.28.(2)由題意可知,部件1,2,3不須要調(diào)整的概率分別為0.9,0.8,0.7,P(X=0)=0.9×0.8×0.7=0.504,P(X=1)=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7=0.398,P(X=2)=0.9×0.2×0.3+0.1×0.8×0.3+0.1×0.2×0.7=0.092,P(X=3)=0.1×0.2×0.3=0.006,則X的分布列為X0123P0.5040.3980.0920.006則E(X)=0×0.504+1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6,即X的數(shù)學(xué)期望為0.6.2.(1)由統(tǒng)計(jì)圖知,參與足球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)超過(guò)40的學(xué)校共4所,記“選出的2所學(xué)校參與足球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)都超過(guò)40”為事務(wù)S,從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校,可得基本領(lǐng)件總數(shù)為C10其中事務(wù)S所包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為C4所以P(S)=645所以選出的2所學(xué)校參與足球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)都超過(guò)40的概率為215(2)由統(tǒng)計(jì)圖知,參與排球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)在30以上的學(xué)校共4所,則X的全部可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=C40·C63CP(X=2)=C42·C61C所以X的分布列為X0123P1131E(X)=0×16+1×12+2×310所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為653.(1)由已知,住校生中男生占47,由于采納分層抽樣的方法從中抽取7人,因此男生、女生就分別抽取4人,3人(2)①設(shè)事務(wù)A為“抽取的3名戶主中既有男生,又有女生”,設(shè)事務(wù)B為“抽取的3名戶主中男生有1人,女生有2人”;事務(wù)C為“抽取的3名戶主中男生有2人,女生有1人”,則A=B∪C,且B與C互斥,P(B)=C41C32C7故P(A)=P(B)+P(C)=67所以事務(wù)A發(fā)生的概率為67②隨機(jī)變量X的全部可能取值為0,1,2,3,P(x=k)=Ck3C隨機(jī)變量X的分布列為X0123P418121隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×435+1×1835+2×12354.(1)由A款飲料的評(píng)分餅狀圖,得對(duì)A款飲料的評(píng)分在60分以下的頻率為0.05+0.15=0.2,∴對(duì)A款飲料的評(píng)分在60分以下的有100×0.2=20(萬(wàn)人).(2)設(shè)“受訪者購(gòu)買A款飲料的可能性高于購(gòu)買B款飲料的可能性”為事務(wù)C.記“受訪者購(gòu)買A款飲料的可能性是20%”為事務(wù)A1;“受訪者購(gòu)買A款飲料的可能性是60%”為事務(wù)A2;“受訪者購(gòu)買A款飲料的可能性是90%”為事務(wù)A3;“受訪者購(gòu)買B款飲料的可能性是20%”為事務(wù)B1;“受訪者購(gòu)買B款飲料的可能性是60%”為事務(wù)B2;“受訪者購(gòu)買B款飲料的可能性是90%”為事務(wù)B3.則P(A1)=0.05+0.15=0.2,P(A2)=0.1+0.2=0.3,P(A3)=0.15+0.35=0.5,P(B1)=5+5100=0.1,P(B2)=15+20100=0.35,P(B3)=15+40100=0∵事務(wù)Ai與Bj相互獨(dú)立,其中i,j=1,2,3,∴P(C)=P(A2B1+A3B1+A3B2)=P(A2)P(B1)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2)=0.3×0.1+0.5×0.1+0.5×0.35=0.255,∴該受訪者購(gòu)買A款飲料的可能性高于購(gòu)買B款飲料的可能性的概率約為0.255.(3)從受訪者購(gòu)買A,B兩款飲料的可能性的期望的角度看,記受訪者購(gòu)買A,B兩款飲料的可能性分別為X,Y,則X的全部可能取值為20%,60%,90%,則P(X=20%)=0.2,P(X=60%)=0.3,P(X=90%)=0.5,∴X的分布列為X20%60%90%P0.20.30.5同理可得Y的分布列為Y20%60%90%P0.10.350.55∴E(X)=20%×0.2+60%×0.3+90%×0.5=0.67,E(Y)=20%×0.1+60%×0.35+90%×0.55=0.725,∵E(X)<E(Y),故新品推介應(yīng)當(dāng)主推B款飲料.5.(1)記“甲隊(duì)以3∶0成功”為事務(wù)A1,“甲隊(duì)以3∶1成功”為事務(wù)A2,“甲隊(duì)以3∶2成功”為事務(wù)A3.由題意,各局競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立,故P(A1)=(23)3=827,P(A2)=C32×(23)2×(1-23)×23=827,P(A3)=C4所以甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2成功的概率分別為827,8