2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷文科新課標(biāo)

絕密★啟用前2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷〔文科〕〔新課標(biāo)Ⅰ〕試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分考前須知：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息$2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷〔選擇題〕請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單項選擇題1．集合那么〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到結(jié)果.【詳解】由解得，所以，又因為，所以，應(yīng)選：D.【點睛】此題考查的是有關(guān)集合的問題，涉及到的知識點有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交運算，屬于根底題目.2．假設(shè)，那么〔〕A．0B．1C．D．2【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)將化簡，再根據(jù)向量的模的計算公式即可求出．【詳解】因為，所以．應(yīng)選：C．【點睛】此題主要考查向量的模的計算公式的應(yīng)用，屬于容易題．3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，那么其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)，那么，由題意，即，化簡得，解得〔負值舍去〕.應(yīng)選：C.【點晴】此題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力，是一道容易題.4．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，那么取到的3點共線的概率為〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】列出從5個點選3個點的所有情況，再列出3點共線的情況，用古典概型的概率計算公式運算即可.【詳解】如圖，從5個點中任取3個有共種不同取法，3點共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計算公式知，取到3點共線的概率為.應(yīng)選：A【點晴】此題主要考查古典概型的概率計算問題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.5．某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x〔單位：°C〕的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)散點圖的分布可選擇適宜的函數(shù)模型.【詳解】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是.應(yīng)選：D.【點睛】此題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點圖的分布，屬于根底題.6．圓，過點〔1，2〕的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為〔〕A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】當(dāng)直線和圓心與點的連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結(jié)論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過點的直線和直線垂直時，圓心到過點的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時根據(jù)弦長公式得最小值為.應(yīng)選：B.【點睛】此題考查圓的簡單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長，屬于根底題.7．設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下列圖，那么f(x)的最小正周期為〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由圖可得：函數(shù)圖象過點，即可得到，結(jié)合是函數(shù)圖象與軸負半軸的第一個交點即可得到，即可求得，再利用三角函數(shù)周期公式即可得解.【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過點，將它代入函數(shù)可得：又是函數(shù)圖象與軸負半軸的第一個交點，所以，解得：所以函數(shù)的最小正周期為應(yīng)選：C【點睛】此題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.8．設(shè)，那么〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等式，利用指數(shù)對數(shù)運算性質(zhì)即可得解【詳解】由可得，所以，所以有，應(yīng)選：B.【點睛】此題考查的是有關(guān)指對式的運算的問題，涉及到的知識點有對數(shù)的運算法那么，指數(shù)的運算法那么，屬于根底題目.9．執(zhí)行下面的程序框圖，那么輸出的n=〔〕A．17B．19C．21D．23【答案】C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖的算法功能可知，要計算滿足的最小正奇數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求出．【詳解】依據(jù)程序框圖的算法功能可知，輸出的是滿足的最小正奇數(shù)，因為，解得，所以輸出的．應(yīng)選：C.【點睛】此題主要考查程序框圖的算法功能的理解，以及等差數(shù)列前項和公式的應(yīng)用，屬于根底題．10．設(shè)是等比數(shù)列，且，，那么〔〕A．12B．24C．30D．32【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，那么，，因此，.應(yīng)選：D.【點睛】此題主要考查等比數(shù)列根本量的計算，屬于根底題．11．設(shè)是雙曲線的兩個焦點，為坐標(biāo)原點，點在上且，那么的面積為〔〕A．B．3C．D．2【答案】B【解析】【分析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計算即可.【詳解】由，不妨設(shè)，那么，因為，所以點在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以應(yīng)選：B【點晴】此題考查雙曲線中焦點三角形面積的計算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題.12．為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，假設(shè)⊙的面積為，，那么球的外表積為〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由可得等邊的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的外表積.應(yīng)選：A【點睛】此題考查球的外表積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于根底題.第II卷〔非選擇題〕請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題13．假設(shè)x，y滿足約束條件那么z=x+7y的最大值為______________.【答案】1【解析】【分析】首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如下圖，目標(biāo)函數(shù)即：，其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.故答案為：1．【點睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當(dāng)b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.14．設(shè)向量，假設(shè)，那么______________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.【詳解】由可得，又因為，所以，即，故答案為：5.【點睛】此題考查有關(guān)向量運算問題，涉及到的知識點有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于根底題目.15．曲線的一條切線的斜率為2，那么該切線的方程為______________.【答案】【解析】【分析】設(shè)切線的切點坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)，利用，求出，代入曲線方程求出，得到切線的點斜式方程，化簡即可.【詳解】設(shè)切線的切點坐標(biāo)為，，所以切點坐標(biāo)為，所求的切線方程為，即.故答案為：.【點睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于根底題.16．?dāng)?shù)列滿足，前16項和為540，那么______________.【答案】【解析】【分析】對為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項、偶數(shù)項的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項遞推公式將奇數(shù)項用表示，由偶數(shù)項遞推公式得出偶數(shù)項的和，建立方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.設(shè)數(shù)列的前項和為，，.故答案為：.【點睛】此題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項求和，考查分類討論思想和數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.評卷人得分三、解答題17．某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工本錢費為25元/件，乙分廠加工本錢費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421〔1〕分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；〔2〕分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)?【答案】〔1〕甲分廠加工出來的級品的概率為，乙分廠加工出來的級品的概率為；〔2〕選甲分廠，理由見解析.【解析】【分析】〔1〕根據(jù)兩個頻數(shù)分布表即可求出；〔2〕根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工件產(chǎn)品的總利潤，即可求出平均利潤，由此作出選擇．【詳解】〔1〕由表可知，甲廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率為，乙廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率為；〔2〕甲分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為元，所以甲分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件；乙分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為元，所以乙分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件．故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù)．【點睛】此題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出決策，屬于根底題．18．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.B=150°.〔1〕假設(shè)a=c，b=2，求的面積；〔2〕假設(shè)sinA+sinC=，求C.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕角和邊，結(jié)合關(guān)系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面積公式，即可得出結(jié)論；〔2〕將代入等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡得出有關(guān)角的三角函數(shù)值，結(jié)合的范圍，即可求解.【詳解】〔1〕由余弦定理可得，的面積；〔2〕，，，.【點睛】此題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于根底題.19．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，∠APC=90°．〔1〕證明：平面PAB⊥平面PAC；〔2〕設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕根據(jù)可得，進而有≌，可得，即，從而證得平面，即可證得結(jié)論；〔2〕將條件轉(zhuǎn)化為母線和底面半徑的關(guān)系，進而求出底面半徑，由正弦定理，求出正三角形邊長，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出結(jié)論.【詳解】〔1〕連接，為圓錐頂點，為底面圓心，平面，在上，，是圓內(nèi)接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；〔2〕設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱錐的體積為.【點睛】此題考查空間線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，求錐體的體積，注意空間垂直間的相互轉(zhuǎn)化，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.20．函數(shù).〔1〕當(dāng)時，討論的單調(diào)性；〔2〕假設(shè)有兩個零點，求的取值范圍.【答案】〔1〕的減區(qū)間為，增區(qū)間為；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，分別令導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；〔2〕假設(shè)有兩個零點，即有兩個解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個解，令，求導(dǎo)研究函數(shù)圖象的走向，從而求得結(jié)果.【詳解】〔1〕當(dāng)時，，，令，解得，令，解得，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；〔2〕假設(shè)有兩個零點，即有兩個解，從方程可知，不成立，即有兩個解，令，那么有，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，而時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)有兩個解時，有，所以滿足條件的的取值范圍是：.【點睛】此題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，也可以利用數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為曲線和直線有兩個交點，利用過點的曲線的切線斜率，結(jié)合圖形求得結(jié)果.21．A、B分別為橢圓E：〔a>1〕的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．〔1〕求E的方程；〔2〕證明：直線CD過定點.【答案】〔1〕；〔2〕證明詳見解析.【解析】【分析】〔1〕由可得：，，，即可求得，結(jié)合即可求得：，問題得解.〔2〕設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點的坐標(biāo)為，同理可得點的坐標(biāo)為，當(dāng)時，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點，當(dāng)時，直線：，直線過點，命題得證.【詳解】〔1〕依據(jù)題意作出如下列圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：〔2〕證明：設(shè)，那么直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點的坐標(biāo)為.同理可得：點的坐標(biāo)為當(dāng)時，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點．當(dāng)時，直線：，直線過點．故直線CD過定點．【點睛】此題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)．以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸