高中數(shù)學(xué)2輪17 大題規(guī)范練(六)

大題規(guī)范練（六）

1.已知△A3C的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，兒c,且滿足

(a—c)(sinA+sinC)—sinB'(a—b)=Q.

⑴求G

(2)若SZUBC=2由，O為邊43的中點(diǎn)，求CO的最小值.

解：(0△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(a

—c)(sinA+sinC)+(Z>—a)sin3=0.

利用正弦定理得：(a—c)(a+c)+(8-a)》=0,

[2+加一1

整理得a2—c2+Z>2—aZ>=0,即cosC----元^---=],

由于OVCV%

所以C=/

J

(2)因?yàn)镾^ABc=^absinC=^absin^=^ab=2-\[3,

所以解得而=8,

-?—A—?—?—?

又因?yàn)镃0=；(C4+C3),兩邊平方，可得|CD|2=JX(|C4|2+

―?―?―?

|CB|2+2|CA||CB|cosO,

可得|CZ>F=：X12+a2+2a》cos曰|=：X(Z>2+a2+aZ>)^|?Z>,當(dāng)且

僅當(dāng)a—b時(shí)取等號(hào)，

-?3-A

所以|CD|22*X8=6,即|CD|min=而.

2.（2021?湖南省模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)和為S“，ai=2,

當(dāng)〃22時(shí)，彳成是S”與Si的等差中項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛詼｝的通項(xiàng)公式；

（2）記兒=（一1產(chǎn)駕也，求數(shù)列｛瓦｝的前n項(xiàng)和T”.

解：（1）正項(xiàng)數(shù)列｛“"｝的前〃項(xiàng)和為S“，”1=2,當(dāng)時(shí)，:忌是

S”與Si的等差中項(xiàng)，

所以;忌=S”+S”_i,①

當(dāng)〃23時(shí)，|?^-I=5W-I+5W-2,②

①一②得a”-01=2（常數(shù)），

所以斯=2"（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）.

（2）由（1）得S”=2+4H-----｝-2n=n2+n,

..,fln+12〃+1

所以為=（-1），1=（-1產(chǎn)〃（〃+1）,

故北=一(1+;)+停+;)+…+(-1)"4+春)，

,,工“？1〃+2

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)：〃；

/=-1-T〃十71n=+l-F7

]n

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：n=-l+-V7=-^T7.

n-vln+l

3.（2021?武漢市蔡甸區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示的多面體是由一個(gè)直

平行六面體被平面AEFG所截后得到的，其中N3AD=60。，AB=

2AD=2,ZBAE=ZGAD=45°.

(1)求證：平面AOG_L平面ADG；

(2)求直線BG與平面AGFE所成角的正弦值.

(1)證明：在△34。中，因?yàn)锳3=2AD=2,ZBAD=60°.

由余弦定理BD2=AD2+AB2-2ABAZ>cos60°,BD=小,

因?yàn)锳B2=AD2-^DB2,所以AD±DB,

在直平行六面體中，GD_L平面ABC。，D3U平面ABC。,

所以GDA-DB,

又AZ>nGZ>=。，AD,Z>GU平面ADG,

所以平面ADG;

又因?yàn)锽DU平面&)G,所以平面ADGJL平面3DG.

(2)解：如圖以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

因?yàn)镹3AE=/GAZ>=45。，AB=2AD=2,

所以4(1,0,0),B(0,0),E(0,2),G(0,0,1),

-A-A-?

AE=(-1,小,2),AG=(-1,0,1),GB=(0,由，一1),

設(shè)平面AE尸G的法向量〃=(x,y,z),

令x=l,<j=_z=l,所以〃=11,一莖1]

設(shè)直線Gb和平面A￡bG的夾角為0,

-A

所以sin9=|cos(GB,n)|=

所以直線G3與平面AE產(chǎn)G所成角的正弦值為厚.

4.從2020年開始，部分高校實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃，選拔培養(yǎng)有志于服

務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生,越來越

多的學(xué)生通過參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽來證明自己的數(shù)學(xué)實(shí)力.某省舉行的數(shù)學(xué)

聯(lián)賽初賽有10000名學(xué)生參加，成績(jī)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布M80,100),

現(xiàn)隨機(jī)抽取了某市50名參賽學(xué)生的初賽成績(jī)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)他們的

成績(jī)?nèi)课挥趨^(qū)間[50,110]內(nèi).將成績(jī)分成6組：[50,60),[60,

70),[70,80),[80,90),[90,100),[100,110],得到如圖所示的

頻率分布直方圖，該50名學(xué)生成績(jī)的平均分是77分.

(1)求方的值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

(2)(i)若要在全省選拔15.865%的同學(xué)通過初賽進(jìn)入決賽，則分

數(shù)線應(yīng)定為多少？

(ii)若給成績(jī)位于全省前228名的同學(xué)頒發(fā)初賽一等獎(jiǎng)的證書,

現(xiàn)從本市這50名同學(xué)里面能成功進(jìn)入決賽的同學(xué)中任意抽取3人,

記這3人中得到初賽一等獎(jiǎng)的數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：若*?Na,M),貝U尸3—04*式4+0)七0.6827,P(fi-2(7^

*〈"+2。)七0.9545,尸3-3aWXW"+3o)Q0.9973.

5.1-(0.1+0.3+0.16+0.08)

解：(1)由題意可知，a+b=-----------亞-------------=0.036,

又55X0.1+65X106+75X0.3+85X0.16+95X10a+105X

0.08=77,

所以a=0.012,方=0.024.

.…，,“1-0.6827

(2)(1)因?yàn)?+b=80+10=90,所以P(X>90)比—刀——

0.15865,

所以分?jǐn)?shù)線應(yīng)該定為90.

1—09545

(ii)因?yàn)椤?20=80+20=100,所以P(X>100)=-------------

0.02275,

10000X0.02275=228,故初賽一等獎(jiǎng)成績(jī)應(yīng)該在100分及以上,

根據(jù)頻率分布直方圖，這50人中能進(jìn)入決賽，即成績(jī)?cè)?0分以

及以上的有50X(0.12+0.08)=10(A),

而其中得初賽一等獎(jiǎng)，即成績(jī)?cè)?00分及以上的有50X0.08=

4(A),

故隨機(jī)變量鼠的所有可能取值為0,1,2,3,

Cl1

所以°（牙=0）=瓦=歹

四一

P2（XT1）L—a。一12,

22)_姆_且

尸迷一2)-竹-10,

Ci1

"=3)=①=濟(jì)

所以X的分布列為:

X0123

1131

P

621030

1131

故E(X)=OX-+1X-+2X—+3X—=1.2.

O乙JLU

5.(2021?合肥市廬陽區(qū)校級(jí)模擬)已知圓C：。+￡=1(a＞。＞0)

的短軸長(zhǎng)為2,且離心率為平.

(1)求橢圓。的方程；

(2)若過P(0,1)作斜率分別為抬，心的兩條直線B4,PB,分別

交橢圓于點(diǎn)A,B,且依+后=1,證明：直線A3經(jīng)過定點(diǎn).

(1)解：由題意得，2b=2,解得力=1,

由離心率為:=￥，又由，一方2=。2,解得a=3,

所求橢圓方程為］+y2=1.

(2)證明：當(dāng)直線A3斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=Ax+m,A(xi,

yi),3(X2,J2),

聯(lián)立方程組得(942+1優(yōu)+18心〃*+9旭2—9=0,由/>0,

_18km9m2—9

則*1+*2=~9k2+VXlX2=^p(*)

Ji-1J2-1xiy\+x\yi—(xi+x2)

則ki+k2=十=

X\X2

2AxiX2+(m-1)(xi+xi)

X\X1

將*式代入化簡(jiǎn)可得：2A:+(/w—1)---2_i=1,#m—2k—l,

\m17

代入直線AB方程為y—kx-\-2k—1,

即y=k(x+2)—1,恒過定點(diǎn)(一2,—1).

當(dāng)直線Ab斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為x=f,則s),B(t,

—s)

1—s1+s..,,1—s,1+s2

則kl=42=所以芯+42=~+~~―"=1,解

得￡=一2,此時(shí)直線A3也過(一2,-1).

綜上，直線A3過定點(diǎn)(-2,-1).

6.(2021?南京市鼓樓區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)f(x)=Inx-

m(x—1)

i-:機(jī)￡R.

x+19

⑴討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

⑵若A")有兩個(gè)極值點(diǎn)XI,X2,且證明：.空［，三：肛)

31n3

、丁

m(X-1)一

(1)解：函數(shù)/(x)=lnx——不打一的定義域是(0,+°°),且/(x)=

12nl%2+(2—2/〃)x+1

x(x+1)2X(x+1)2

令g(x)=F+(2—2/〃)x+l,則機(jī)<1時(shí)，因?yàn)閤￡(0,+°°),所

以g(x)=x2+(2—2m)x+l>0,

所以尸(x)>0,Ax)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

又AD=o,所以A*)有且只有1個(gè)零點(diǎn)；

l</n^2時(shí)，J=4m2—8/w=4/n(m—2)^0,

所以尸(x)>0,{x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

又_/U)=o,所以A*)有且只有1個(gè)零點(diǎn)；

m>2時(shí)，x2+(2-2/?)x+l=0有2個(gè)正根，解得x\—m—1—

ylm2—2n,x2=/?—2n,

因?yàn)閄1X2=1,所以O(shè)VxiVl,X2>1.

當(dāng)OVxVxi時(shí)，g(x)>0,/(x)>0,Ax)單調(diào)遞增；

當(dāng)xiVxVxz時(shí)，g(*)vo,yT(x)<o,單調(diào)遞減；

當(dāng)X>X2時(shí),g(x)>0,/(x)>0,Ax)單調(diào)遞增；

因?yàn)閕e(Xl,X2),7U)=O,所以｛X)在(XI,X2)上有1個(gè)零點(diǎn),

且式xi)>0,AM)VO,

_m(e,w—1)2m

又OVe'"Vl,且｛e"')=機(jī)一—=^q>0,

m(e-ff,—1)—2m

f(e~m)=-m------------------=-------V0

e-,w4-lew,+l*

所以Hx)在(0,Xl)和(X2,+8)上各有1個(gè)零點(diǎn)；

綜上知，當(dāng)m^2時(shí)，Ax)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)m>2時(shí)，f(x)

有3個(gè)零點(diǎn).

(2)證明：由(1)知，犬幻有兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)>2;

由大幻的兩個(gè)極值點(diǎn)xi,*2滿足x2+(2/n—2)x+l=0,所以xi+

X2=lm—1,x\xi=l,

1in

不妨設(shè)X1V%2,則—+x2=2/〃-22二，解得X223；

X2_ixi_r

，/、,/、-x\~m-

.W(”2)ra