量子力學(xué)-1.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋

第1章波函數(shù)與Schr?dinger方程(fāngchéng)共四十四頁(yè)并稱(chēng)之為物質(zhì)波.與動(dòng)量為和能量為的粒子相應(yīng)的波的波長(zhǎng)和頻率為1.1.1實(shí)物(shíwù)粒子的波動(dòng)性在Planck-Einstein的光量子論（光具有波粒二象性）的啟發(fā)下，面對(duì)Bohr的原子的量子論取得的成功和碰到的困難，deBroglie(1923)提出了實(shí)物粒子（靜質(zhì)量的粒子，例如電子），也具有波粒二象性（wave-particleduality）的假設(shè).即共四十四頁(yè)為了更好地理解微觀粒子在雙縫干涉中呈現(xiàn)的量子特征，先對(duì)比一下用經(jīng)典粒子（例如子彈）與經(jīng)典波（例如聲波）來(lái)做類(lèi)似(lèisì)的雙縫實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。粒子的雙縫干涉是最直觀地展現(xiàn)波粒二象性的實(shí)驗(yàn)(shíyàn),也是量子力學(xué)中最難理解的現(xiàn)象.Wecannotexplainhowitworks;

Wewilljusttellyouhowitworks.共四十四頁(yè)1.3(a)圖中，一挺機(jī)槍從遠(yuǎn)處向靶子進(jìn)行點(diǎn)射，機(jī)槍與靶子之間有一堵子彈不能穿透的墻，墻上有兩條縫.當(dāng)只開(kāi)縫時(shí)，靶子上子彈的密度分布為.共四十四頁(yè)當(dāng)雙縫齊開(kāi)時(shí)，經(jīng)過(guò)縫的子彈與經(jīng)過(guò)縫的子彈，各不相干地一粒一粒地達(dá)到靶上，所以靶上子彈密度的分布簡(jiǎn)單地等于兩個(gè)密度和子彈經(jīng)過(guò)縫的運(yùn)動(dòng)軌道,與縫存在與否，并無(wú)關(guān)系.當(dāng)只開(kāi)縫時(shí),靶上子彈(zǐdàn)的密度分布為；結(jié)論(jiélùn)共四十四頁(yè)1.3(b)圖給出聲波的雙縫干涉圖像(túxiànɡ).表示一個(gè)具有穩(wěn)定頻率的聲源,聲波經(jīng)過(guò)一個(gè)具有雙縫的隔音板,在它后面有一個(gè)“吸音板”,到達(dá)板上的聲波將被吸收,并把聲波強(qiáng)度分布表示出來(lái).共四十四頁(yè)當(dāng)只開(kāi)縫時(shí)，顯示出聲波(shēnɡbō)強(qiáng)度分布用描述.當(dāng)只開(kāi)縫時(shí),強(qiáng)度分布用描述.當(dāng)雙縫齊開(kāi)時(shí)，強(qiáng)度分布用描述.當(dāng)只開(kāi)一條縫時(shí)聲音很強(qiáng)的地方（例如點(diǎn)和點(diǎn)）,在雙縫齊開(kāi)時(shí),聲音可能變得很弱.實(shí)驗(yàn)(shíyàn)表明原因是由于出現(xiàn)了聲波的干涉現(xiàn)象.下面通過(guò)對(duì)其干涉項(xiàng)的研究,來(lái)具體找出經(jīng)典和量子的區(qū)別!共四十四頁(yè)由于干涉項(xiàng)的影響，經(jīng)典波的強(qiáng)度分布與經(jīng)典粒子(lìzǐ)的密度分布大不相同.設(shè)分別打開(kāi)縫和縫時(shí)的聲波用和描述，雙縫齊開(kāi)時(shí)的聲音則用描述，因此聲波強(qiáng)度分布為波的相干疊加性共四十四頁(yè)人們可以設(shè)想，如在圖所示實(shí)驗(yàn)中，用分子束來(lái)代替聲波，則觀測(cè)到的雙縫干涉圖像應(yīng)該沒(méi)有什么差異.但此時(shí)波的強(qiáng)度是代表被測(cè)到的

人們應(yīng)如何理解在干涉實(shí)驗(yàn)中分子所展現(xiàn)出的這種波粒二象性呢？共四十四頁(yè)人們對(duì)物質(zhì)粒子波動(dòng)性的理解，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)一場(chǎng)激烈的爭(zhēng)論，包括波動(dòng)力學(xué)創(chuàng)始人Schr?dinger,deBroglie等在內(nèi)的一些人，對(duì)于(duìyú)物質(zhì)粒子波動(dòng)性的見(jiàn)解，都曾經(jīng)深受經(jīng)典概念的影響，他們?cè)?jīng)把電子波理解為電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，即看成三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包，因而呈現(xiàn)出干涉與衍射等現(xiàn)象，波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度.1.1.2波粒二象性的分析(fēnxī)共四十四頁(yè)稍加分析，這種看法就碰到了難以克服的困難。例如，在非相對(duì)論情況下，自由粒子能量利用deBroglie關(guān)系，可得所以波包的群速度（見(jiàn)附錄）為即經(jīng)典例子的速度(sùdù).但由于依賴(lài)于共四十四頁(yè)自由粒子的物質(zhì)波包必然要擴(kuò)散,即使原來(lái)的波包很窄,在經(jīng)歷一段時(shí)間后,也會(huì)擴(kuò)散到很大的空間中去;或者(huòzhě)形象地說(shuō),隨時(shí)間的推移,粒子將越來(lái)越“胖”.這與實(shí)驗(yàn)是矛盾的.物質(zhì)(wùzhì)波包的觀點(diǎn)顯然夸大了波動(dòng)性一面,而實(shí)際上抹殺了粒子性的一面,是帶有片面性的。與物質(zhì)波相反的另一種看法是:波動(dòng)性是由于大量電子分布于空間形成的疏密波.它類(lèi)似于空氣振動(dòng)出現(xiàn)的縱波,即由于分子密度疏密相間而形成的一種分布.這種看法也與實(shí)驗(yàn)矛盾.共四十四頁(yè)實(shí)際上可以通過(guò)做這樣的電子衍射實(shí)驗(yàn),讓入射電子流極其微弱.電子幾乎一個(gè)一個(gè)地通過(guò)儀器.但只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，底片上仍將出現(xiàn)衍射花樣.這表明電子的波動(dòng)性并不是很多電子在空間聚集在一起時(shí)才呈現(xiàn)的現(xiàn)象.單個(gè)電子就具有波動(dòng)性.事實(shí)上,正是由于單個(gè)點(diǎn)在具有波動(dòng)性,才能理解氫原子（只含一個(gè)電子?。┲须娮舆\(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象.因此,把波動(dòng)性看成大量電子分布于空間所形成的疏密波的看法也是不正確的,它夸大了粒子性的一面,而實(shí)際上抹殺了粒子波動(dòng)性一面,也帶有片面性.共四十四頁(yè)然而電子究竟(jiūjìng)是什么東西？是粒子？還是波？“電子既不是粒子,也不是波”.更確切地說(shuō),它既不是經(jīng)典例子,也不是經(jīng)典的波.我們也可以說(shuō),電子既是粒子,也是波,它是粒子性和波動(dòng)性?xún)芍匦悦艿慕y(tǒng)一.但這個(gè)波不再是經(jīng)典概念下的波,粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子.在經(jīng)典(jīngdiǎn)概念下,粒子與波的確是難以統(tǒng)一到同一客體上去然而究竟應(yīng)該怎樣理解波粒二象性呢？共四十四頁(yè)

把粒子性與波動(dòng)性統(tǒng)一起來(lái)，更確切地說(shuō)，把微觀粒子的“原子性”與波的“相干疊加性”統(tǒng)一起來(lái)的是M.Born(1926)提出的概率波.仔細(xì)分析一下實(shí)驗(yàn)可以看出，電子所呈現(xiàn)的粒子性，只是經(jīng)典粒子概念中的“原子性”或“顆粒型”，即總是以具有一定質(zhì)量和電荷等屬性的客體出現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)中，但并不與“粒子有確切的軌道”的概念有必然的聯(lián)系.而電子呈現(xiàn)的波動(dòng)性，也只不過(guò)是波動(dòng)最本質(zhì)的東西——波的相干疊加性，但并不一定與某種實(shí)在的物理量在空間的波動(dòng)聯(lián)系在一起.§1.1.3概率波，多粒子(lìzǐ)體系的波函數(shù)共四十四頁(yè)現(xiàn)在來(lái)分析電子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，設(shè)入射電子流很微弱，電子幾乎是一個(gè)一個(gè)地經(jīng)過(guò)雙縫，然后在感光底片上被記錄下來(lái).起初，當(dāng)感光時(shí)間較短時(shí)，底片上出現(xiàn)一些點(diǎn)子，它們(tāmen)的分布看起來(lái)沒(méi)有什么規(guī)律.當(dāng)感光時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，底片上感光點(diǎn)子愈來(lái)愈多，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有些地方點(diǎn)子很密，有些地方幾乎沒(méi)與點(diǎn)子.最后，底片上的感光點(diǎn)子的密度分布將構(gòu)成一個(gè)有規(guī)律的花樣，與X光衍射中出現(xiàn)的花樣完全相似，就強(qiáng)度分布來(lái)講，與經(jīng)典波（例如聲波、壓強(qiáng)波）是相似的，而與機(jī)槍子彈上的密度分布完全不同.這種現(xiàn)象應(yīng)怎樣理解呢？共四十四頁(yè)原來(lái)，在底片點(diǎn)附近干涉花樣的強(qiáng)度在點(diǎn)附近感光點(diǎn)子的數(shù)目在點(diǎn)附近出現(xiàn)電子的數(shù)目設(shè)干涉波波幅用描述，與光學(xué)中相似，干涉花樣的強(qiáng)度在空間的分布則用來(lái)描述.但這里干涉強(qiáng)度的意義與經(jīng)典波根本不同，它是刻畫(huà)電子出現(xiàn)(chūxiàn)在附近的概率大小的一個(gè)量.電子出現(xiàn)在附近的概率共四十四頁(yè)更確切的說(shuō)，表示在點(diǎn)處的體積元中找到粒子(lìzǐ)的概率.這就是Born提出的波函數(shù)的概率詮釋.這稱(chēng)為(chēnɡwéi)波函數(shù)的歸一化條件.但應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，對(duì)于概率分布來(lái)說(shuō)，重要的是相對(duì)概率分布.根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋?zhuān)茏匀灰笤摿Ｗ樱ú划a(chǎn)生，不湮沒(méi)）在空間各點(diǎn)的概率之總和為，即要求波函數(shù)滿足下列條件.共四十四頁(yè)不難看出，與（為常數(shù)）所描述的相對(duì)概率分布是完全相同的。因此在空間(kōngjiān)任意兩點(diǎn)和處，描述的粒子相對(duì)概率為與描述的相對(duì)概率完全相同.換言之，與描述的是同一個(gè)概率波.所以，波函數(shù)有一個(gè)常數(shù)因子不定性(dìngxìng).在這一點(diǎn)上，概率波與經(jīng)典波有本質(zhì)的差別.一個(gè)經(jīng)典波的波幅若增大一倍，則相應(yīng)的波動(dòng)的能量將為原來(lái)的4倍，因而代表完全共四十四頁(yè)不同的波動(dòng)狀態(tài).正因?yàn)槿绱?rúcǐ)，經(jīng)典波根本談不上“歸一化”，而概率波則可以進(jìn)行歸一化.因?yàn)?，假設(shè)則顯然(xiǎnrán)有但與描述的同一個(gè)概率波.沒(méi)有歸一化，而是歸一化的.稱(chēng)為歸一化因子.共四十四頁(yè)波函數(shù)歸一化與否，并不影響(yǐngxiǎng)概率分布有何變化.還應(yīng)提到，即使加上歸一化條件，波函數(shù)仍然有一個(gè)(yīɡè)模為1的相因子的不定性，或者說(shuō)，相位不定性.因?yàn)?，假設(shè)是歸一化的波函數(shù)，則（為常實(shí)數(shù)）也是歸一化的，而與描述的是同一概率波.以上討論的是單個(gè)粒子的波函數(shù).設(shè)一個(gè)體系包含兩個(gè)粒子，波函數(shù)用表示，其物理意義是共四十四頁(yè)注意(zhùyì)表示測(cè)得粒子1

在空間體積元中、同時(shí)粒子

2

在空間體積元中的概率.描述的不是維空間中某種實(shí)在物理量的波動(dòng)(bōdòng)，而是維空間中的概率波.這個(gè)維空間只不過(guò)是標(biāo)記一個(gè)具有個(gè)自由度的體系的坐標(biāo)的抽象空間.

對(duì)于個(gè)粒子組成的體系，它的波函數(shù)表示為共四十四頁(yè)其中分別表示各粒子的空間坐標(biāo).此時(shí)表示(biǎoshì)粒子(lìzǐ)1出現(xiàn)在中，同時(shí)粒子2出現(xiàn)在中，同時(shí)粒子N出現(xiàn)在中，共四十四頁(yè)歸一化條件(tiáojiàn)表示為以后，為了(wèile)表述方便，引進(jìn)符號(hào)其中代表對(duì)體系的全部坐標(biāo)空間進(jìn)行積分.所以描述的是抽象的維位形空間（configurationspace)中的概率波.共四十四頁(yè)這樣，歸一化條件就可以簡(jiǎn)單(jiǎndān)表示為對(duì)于(duìyú)一維粒子對(duì)于三維粒子對(duì)于N維粒子組成的體系共四十四頁(yè)按照已為衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)的deBroglie關(guān)系，若為一個(gè)平面單色波（波長(zhǎng)(bōcháng)，頻率），則相應(yīng)的粒子動(dòng)量為，能量為.在一般情況下，是一個(gè)波包，有許多平面單色波疊加而成，即含有各種波長(zhǎng)（頻率）的分波.因而相應(yīng)的粒子動(dòng)量（能量）有一個(gè)分布，與測(cè)量的位置相似，也可以設(shè)計(jì)某種實(shí)驗(yàn)裝置來(lái)測(cè)量粒子的動(dòng)量，晶體衍射實(shí)驗(yàn)就是其中的一種.不難想象，與表示粒子在坐標(biāo)(zuòbiāo)空間中的概率密度相似，表示粒子的動(dòng)量分布的概率密度.1.1.4動(dòng)量分布概率共四十四頁(yè)這里是按平面波展開(kāi)(zhǎnkāi)（Fourier展開(kāi)）的波幅，即其逆表示(biǎoshì)為注意代表中含有平面波的成分，所以粒子動(dòng)量為的概率與成比例是自然的，即粒子動(dòng)量在范圍中的概率為.共四十四頁(yè)不難證明(zhèngmíng)因?yàn)槔霉郊癋ourier積分公式，可得共四十四頁(yè)下面來(lái)分析電子衍射實(shí)驗(yàn)（圖）.設(shè)電子（動(dòng)量為）沿垂直方向射到單晶表面，即入射波具有一定波長(zhǎng)的平面波，則衍射波將沿一定的角度出射，由下式（Bragg公式）決定式給出了衍射角（特別是）與入射粒子動(dòng)量的確定關(guān)系.如果入射波是一個(gè)波包，它的每一個(gè)Fourier分波（平面波）將各自按照一定的角分布出射.共四十四頁(yè)沿角出射的波的幅度正比(zhèngbǐ)于入射波包中相應(yīng)的Fourier分波的幅度，因而沿方向的衍射波強(qiáng)度.在衍射過(guò)程中，波長(zhǎng)未改變，即粒子動(dòng)量的值未改變（雖然方向改變了）.所以，對(duì)于一個(gè)例子，它在方向被測(cè)到的概率，即粒子動(dòng)量為的概率

共四十四頁(yè)

Born對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋(quánshì)，把波粒二象性統(tǒng)一到概率波的概念上.在此概念中，經(jīng)典波的概念只是部分地（波的疊加性）被保留下來(lái)，而另一部分內(nèi)容則被摒棄.所以經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)的圖像和概念對(duì)于微觀粒子不可能全盤(pán)適.Heisenberg的不確定關(guān)系（uncertaintyrelation）對(duì)此做了做集中和最形象的概括.不確定關(guān)系Heisenberg于1927年根據(jù)逆向思維，并對(duì)一些理想實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析和利用De-Broglie關(guān)系而得出的.1.1.5不確定(quèdìng)關(guān)系共四十四頁(yè)不確定關(guān)系表明，微觀粒子的位置（坐標(biāo)）和動(dòng)量不能同時(shí)具有完全確定的值，這是波粒二象性的反映，在物理上可以如下理解：按照deBroglie關(guān)系，由于波長(zhǎng)是描述波在空間變化快慢的量，是與整個(gè)波動(dòng)關(guān)系聯(lián)系的量，因此正如“在空間某一點(diǎn)的波長(zhǎng)”的提法是沒(méi)有意義一樣，“微粒子在空間某一點(diǎn)的動(dòng)量”的提法也同樣沒(méi)有意義.這樣，粒子運(yùn)動(dòng)軌道的概念就沒(méi)有意義.

與經(jīng)典(jīngdiǎn)不同??！共四十四頁(yè)粒子(lìzǐ)處于波函數(shù)所描述的狀態(tài)下，雖然不是所有力學(xué)量都具有確定的值，但它們都有確定的分布，因而有確定的平均值.例如位置的平均值為這里假定了波函數(shù)已歸一化.又例如(lìrú)勢(shì)能的平均值為1.1.6力學(xué)量的平均值與算符的引進(jìn)共四十四頁(yè)前面已提到，由于波粒二象性，“粒子在空間某一點(diǎn)的動(dòng)量”的提法是沒(méi)有(méiyǒu)意義的.因此不能像求勢(shì)能平均值那樣來(lái)求動(dòng)量平均值，即我們必須(bìxū)換一種方法來(lái)處理這問(wèn)題.按前面所述，給定波函數(shù)之后，測(cè)得粒子動(dòng)量在中的概率為，其中共四十四頁(yè)注意(zhùyì)因此(yīncǐ)可以借助來(lái)間接計(jì)算動(dòng)量的平均值（利用式（13）和（14））共四十四頁(yè)這樣，我們就找到了用來(lái)直接計(jì)算動(dòng)量平均值的公式，而不必借助于的Fourier變換(biànhuàn)來(lái)間接計(jì)算（見(jiàn)式，）.但只是就出現(xiàn)了一種新的數(shù)學(xué)工具——.算符令則式可表成稱(chēng)為動(dòng)量算符.共四十四頁(yè)上式表明，動(dòng)量平均值與波函數(shù)的梯度密切相關(guān).這是可以理解的，因?yàn)榘凑誨eBroglie關(guān)系，動(dòng)量與波長(zhǎng)的倒數(shù)（波數(shù)）成比例，所以波函數(shù)的梯度愈大，即波長(zhǎng)愈短（波數(shù)愈大），動(dòng)量平均值也就愈大.（動(dòng)能算符）動(dòng)能和角動(dòng)量的平均值也可類(lèi)似求出（角動(dòng)量算符）共四十四頁(yè)是一個(gè)矢量算符，它的三個(gè)分量可以表示為共四十四頁(yè)一般來(lái)說(shuō)，粒子的力學(xué)(lìxué)量的平均值可如下求出:是力學(xué)量相應(yīng)的算符.如波函數(shù)未歸一化，則共四十四頁(yè)

統(tǒng)計(jì)詮釋賦予了波函數(shù)確切(quèqiè)的物理含義.根據(jù)統(tǒng)計(jì)詮釋?zhuān)╝）根據(jù)統(tǒng)計(jì)詮釋?zhuān)笕∮邢?yǒuxiàn)值似乎是必要的，即要求取有限(yǒuxiàn)值，但應(yīng)注意，只是表示概率密度，而在物理上只要求空間任何有限(yǒuxiàn)體積中找到粒子的概率為有限(yǒuxiàn)值即可.因此，并不排除在空間某些孤立奇點(diǎn)處.例如，是的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，是包圍點(diǎn)在內(nèi)的任何體積，則按統(tǒng)計(jì)詮釋只要1.1.7統(tǒng)計(jì)詮釋對(duì)波函數(shù)提出的要求共四十四頁(yè)就是物理上可以接受的.如?。ㄗ鴺?biāo)(zuòbiāo)原點(diǎn)），是半徑為的小球，顯然，當(dāng)