2.1從位移速度力到向量課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第二章平面向量及其應(yīng)用1從位移、速度、力到向量高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解位移、速度和力等向量的實(shí)際背景,初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中向量和數(shù)量的區(qū)別.2.理解平面向量的概念,掌握向量的模、零向量、單位向量、相等向量、平行(共線(xiàn))向量、相反向量等概念.3.掌握平面向量的表示方法.4.了解向量的夾角.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)1.向量的背景及向量的概念(1)位移、速度和力這些物理量都是既有大小又有方向的量.(2)向量:既有大小又有方向的量統(tǒng)稱(chēng)為向量.

向量可平移,為自由向量(3)數(shù)量:那些只有大小沒(méi)有方向的量稱(chēng)為數(shù)量(如年齡、長(zhǎng)度、體重、面積、體積等).(4)有向線(xiàn)段:在物理學(xué)中,位移、速度和力通常用一條帶箭頭的線(xiàn)段表示,箭頭表示這些量的方向,線(xiàn)段長(zhǎng)度表示這些量的大小.在數(shù)學(xué)中,這種具有方向和長(zhǎng)度的線(xiàn)段稱(chēng)為

.(如圖)以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn)的有向線(xiàn)段,記作

.線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度稱(chēng)為有向線(xiàn)段

的長(zhǎng)度,記作

.

有向線(xiàn)段

2.向量的表示方法(1)幾何表示:向量可以用有向線(xiàn)段表示,其中有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的大小,箭頭所指的方向表示向量的方向.(2)字母表示:向量也可以用黑斜體小寫(xiě)字母如a,b,c,…或,…(書(shū)寫(xiě))來(lái)表示.3.有關(guān)概念(1)向量a的大小,記作|a|,又稱(chēng)作

.

(2)長(zhǎng)度為0的向量稱(chēng)為

,記作0或

.任何方向都可以作為零向量的方向.

(3)模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量稱(chēng)為

.

向量的模

零向量

單位向量

名師點(diǎn)睛1.由于向量不僅有大小,而且有方向,故向量不能比較大小,向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),因此向量的?？梢员容^大小.2.零向量的長(zhǎng)度為零,但方向不確定,是任意的.由于零向量的特殊性,解答問(wèn)題時(shí),要看清是零向量還是非零向量.過(guò)關(guān)自診1.[人教A版教材習(xí)題]指出圖中各向量的長(zhǎng)度.(規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為0.5)2.有向線(xiàn)段就是向量,向量就是有向線(xiàn)段嗎?提示

有向線(xiàn)段是一個(gè)幾何圖形,是向量的直觀(guān)表示.因此,有向線(xiàn)段與向量是完全不同的兩個(gè)概念.3.兩個(gè)單位向量的方向相同嗎?提示

兩個(gè)單位向量的方向不一定相同.知識(shí)點(diǎn)二

相等向量與共線(xiàn)向量1.相等向量是指它們的長(zhǎng)度相等且方向相同.向量a與b相等,記作a=b.2.共線(xiàn)向量:若兩個(gè)非零向量a,b的方向相同或相反,則稱(chēng)這兩個(gè)向量為共線(xiàn)向量或平行向量,也稱(chēng)這兩個(gè)向量共線(xiàn)或平行,記作a∥b.

兩種說(shuō)法是一樣的兩個(gè)向量共線(xiàn)或平行,是指表示這兩個(gè)向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)重合或平行.3.相反向量:若兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等、方向相反,則稱(chēng)它們互為相反向量.相反向量是共線(xiàn)向量.若其中一個(gè)向量為a,則它的相反向量記作-a.4.規(guī)定零向量與任一向量共線(xiàn),即對(duì)于任意的向量a,都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量.名師點(diǎn)睛1.共線(xiàn)向量(1)向量共線(xiàn)時(shí),向量所在的直線(xiàn)平行或重合.(2)向量共線(xiàn)中的“共線(xiàn)”的含義不是平面幾何中的“共線(xiàn)”的含義,共線(xiàn)向量有四種情況:方向相同且模相等;方向相同但模不相等;方向相反且模相等;方向相反但模不相等.(3)如果兩個(gè)向量所在的直線(xiàn)平行或重合,則這兩個(gè)向量是共線(xiàn)向量.(4)任一向量都與它本身是共線(xiàn)向量.2.相等向量(1)兩個(gè)向量只有當(dāng)它們的模相等,且方向相同時(shí),才能稱(chēng)它們相等,例如a=b就意味著|a|=|b|,且a與b的方向相同.(2)任意兩個(gè)相等的非零向量都可用同一條有向線(xiàn)段表示,并且與有向線(xiàn)段的起點(diǎn)無(wú)關(guān),只有大小和方向兩個(gè)要素.(3)向量是可以平行移動(dòng)的,用有向線(xiàn)段表示向量時(shí),可任意選擇起點(diǎn),即任意一組平行向量都可以移到同一條直線(xiàn)上.(4)在平面內(nèi),相等的向量有無(wú)數(shù)多個(gè),它們的方向相同且長(zhǎng)度相等.相等向量是共線(xiàn)向量,但共線(xiàn)向量不一定是相等向量.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若a=b,b=c,則a=c.(

)(2)若非零向量,那么AB∥CD.(

)√×2.如圖,D,E,F分別是△ABC各邊的中點(diǎn),四邊形BCGF是平行四邊形,試分別寫(xiě)出與

共線(xiàn)及相等的向量.知識(shí)點(diǎn)三

向量的夾角1.定義:已知兩個(gè)非零向量a和b,如圖,在平面內(nèi)選一點(diǎn)O,作

,則θ=∠AOB(0°≤θ≤180°)稱(chēng)為向量a與b的夾角.

兩個(gè)向量同起點(diǎn)當(dāng)θ=0°時(shí),a與b同向;當(dāng)θ=180°時(shí),a與b反向;當(dāng)θ=90°時(shí),a與b垂直,記作a⊥b.2.規(guī)定零向量可與任一向量垂直,即對(duì)于任意的向量a,都有0⊥a.

名師點(diǎn)睛對(duì)向量的夾角的理解(1)向量夾角的幾何表示.依據(jù)向量夾角的定義,兩非零向量的夾角是將兩個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn),這樣它們所成的角才是兩個(gè)向量的夾角.如圖①②③④⑤,已知兩向量a,b,作

,則∠AOB為a與b的夾角.(2)注意事項(xiàng).①向量的夾角是針對(duì)非零向量定義的;②向量的夾角和直線(xiàn)的夾角范圍是不同的,它們分別是[0,π]和[0,].過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)兩個(gè)向量的夾角為銳角或直角.(

)(2)在△ABC中,角B為向量

的夾角.(

)(3)零向量與任一向量既平行又垂直.(

)××√2.試指出圖中向量的夾角.θ0°180°θ重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一向量的有關(guān)概念【例1】

給出以下說(shuō)法:①若|a|=0,則a為零向量;②單位向量都相等;③若a與b共線(xiàn),則a與b的方向相同或相反;④向量的模一定是正數(shù);⑤起點(diǎn)不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;⑥向量

是共線(xiàn)向量,則A,B,C,D四點(diǎn)必在同一直線(xiàn)上.其中正確說(shuō)法的序號(hào)是

.

①⑤

解析

①正確,模等于0的向量是零向量;②錯(cuò)誤,單位向量模都相等,但方向不一定相同,因此,單位向量不一定相等;③錯(cuò)誤,由于零向量與任一向量共線(xiàn),且方向是任意的,因此,當(dāng)a與b共線(xiàn)且其中有一個(gè)零向量時(shí),它們的方向不一定相同或相反;④錯(cuò)誤,向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù),可能是零;⑤正確,對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其模的大小和方向,是可以任意移動(dòng)的,因此相等向量可以起點(diǎn)不同;⑥錯(cuò)誤,共線(xiàn)向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求兩個(gè)向量必須在同一直線(xiàn)上.規(guī)律方法

向量及其相關(guān)概念的注意事項(xiàng)(1)區(qū)分向量與數(shù)量.向量既強(qiáng)調(diào)大小,又強(qiáng)調(diào)方向,而數(shù)量只與大小有關(guān).(2)明確向量與有向線(xiàn)段的區(qū)別.有向線(xiàn)段有三要素,即起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度,只要起點(diǎn)不同,另外兩個(gè)要素相同也不是同一條有向線(xiàn)段;但決定向量的要素只有大小和方向,與表示向量的有向線(xiàn)段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).(3)零向量和單位向量都是通過(guò)模的大小來(lái)規(guī)定的.(4)平行向量也叫共線(xiàn)向量,當(dāng)兩個(gè)共線(xiàn)向量的方向相同且模相等時(shí),兩個(gè)向量為相等向量.變式訓(xùn)練1下列說(shuō)法正確的是(

)A.數(shù)量可以比較大小,向量也可以比較大小B.向量的模可以比較大小C.模為1的向量都是相等向量D.由于零向量的方向不確定,因此零向量不能與任意向量平行B解析

向量不能比較大小,故A錯(cuò)誤;向量的模是一個(gè)數(shù)量,可以比較大小,故B正確;相等向量不但模相等,方向也相同,故C錯(cuò)誤;規(guī)定零向量與任意向量平行,故D錯(cuò)誤.探究點(diǎn)二向量的表示【例2】

一輛汽車(chē)從點(diǎn)A出發(fā)向正西方向行駛了100km到達(dá)點(diǎn)B,然后又改變方向向北偏西40°行駛了200km到達(dá)點(diǎn)C,最后又改變方向,向正東行駛了100km到達(dá)點(diǎn)D.解

(1)所作向量如圖所示.規(guī)律方法

1.作平面向量時(shí)既要考慮向量的大小,又要考慮其方向和起點(diǎn),必要時(shí)可以建立坐標(biāo)系輔助作圖.2.準(zhǔn)確畫(huà)出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn),再確定向量的方向,然后根據(jù)向量的模的大小確定向量的終點(diǎn).變式訓(xùn)練2在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1),用直尺畫(huà)出下列向量:探究點(diǎn)三相等向量與共線(xiàn)(平行)向量【例3】

(1)如圖,D,E,F分別是△ABC各邊上的中點(diǎn),四邊形BCMF是平行四邊形,則與向量

模相等且共線(xiàn)的向量的個(gè)數(shù)是

.

7(2)O是正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),四邊形OAED,OCFB都是正方形,在如圖所示的向量中:規(guī)律方法

相等向量與共線(xiàn)向量的探求方法(1)尋找相等向量:先找與表示已知向量的有向線(xiàn)段長(zhǎng)度相等的向量,再確定哪些是與已知向量方向相同的向量.(2)尋找共線(xiàn)向量:先找與表示已知向量的有向線(xiàn)段平行或共線(xiàn)的線(xiàn)段,再構(gòu)造同向與反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)為起點(diǎn),起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.變式訓(xùn)練3如圖,已知四邊形ABCD中,M,N分別是BC,AD的中點(diǎn),.求證:CNMA.所以AN=MC,且AN∥MC,所以四邊形AMCN是平行四邊形,從而CN=MA,且CN∥MA,即CNMA.探究點(diǎn)四向量的夾角【例4】

如圖所示,O是正六邊形ABCDEF的中心.規(guī)律方法

求兩個(gè)向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合,作兩個(gè)向量的夾角,按照“一作二證三算”的步驟求出.A.30°

B.60°

C.120°

D.150°C探究點(diǎn)五用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)【例5】

規(guī)律方法

利用向量關(guān)系證明或判斷線(xiàn)段平行或相等的方法(1)證明或判斷線(xiàn)段相等,只需證明或判斷相應(yīng)向量的長(zhǎng)度(模)相等.(2)證明線(xiàn)段平行,先證明相應(yīng)的向量共線(xiàn),再說(shuō)明線(xiàn)段不重合.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)向量的概念及表示;(2)向量的相關(guān)概念:零向量、單位向量、相等向量、共線(xiàn)向量(平行向量),向量的夾角.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合.3.常見(jiàn)誤區(qū):零向量和單位向量的方向容易混淆;容易忽視兩個(gè)向量夾角定義中的同起點(diǎn).成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)123456A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.(多選)下列說(shuō)法正確的是(

)A.長(zhǎng)度相等的向量是相等向量B.零向量的長(zhǎng)度等于0C.共線(xiàn)向量是在同一條直線(xiàn)上的向量BD1234561234562.設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,下列四個(gè)條件中,使

成立的充分條件是(

)A.|a|=|b|且a∥b B.a=-bC.a