北京市石景山區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)第一學(xué)期初三期末數(shù)學(xué)試題含答案解析

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)石景山區(qū)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期初三期末試卷數(shù)學(xué)考生須知1．本試卷共8頁(yè)，共兩部分，28道題．滿分100分．考試時(shí)間120分鐘．2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)學(xué)校名稱、姓名和準(zhǔn)考證號(hào)．3．試卷答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．4．考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1．若，則的值是（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，，，則為（

）A． B． C． D．3．如圖，四邊形內(nèi)接于，是直徑，D是的中點(diǎn)．若，則的大小為（

）A． B． C． D．4．將拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的解析式為（

）A． B． C． D．5．若拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為（

）A．3 B． C． D．6．如圖，“矩”在古代指兩條邊成直角的曲尺，它的兩邊長(zhǎng)分別為．中國(guó)古老的天文和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中簡(jiǎn)明扼要地闡述了“矩”的功能：“平距以正繩，偃矩以望高，覆矩以測(cè)深，臥矩以知遠(yuǎn)，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可測(cè)物體的高度．如圖，從“矩”的一端望向樹(shù)頂端的點(diǎn)，使視線通過(guò)“矩”的另一端，測(cè)得，．若“矩”的邊，邊，則樹(shù)高為（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，在拋物線上，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．8．如圖，在中，于點(diǎn)，給出下面三個(gè)條件：；；．添加上述條件中的一個(gè)，即可證明是直角三角形的條件序號(hào)是（

）A． B． C． D．第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9．如圖，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，連接交對(duì)角線于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為．10．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，則（填“”“”或“”）．11．如圖，正六邊形內(nèi)接于，，則的長(zhǎng)為．12．如圖，，分別與相切于兩點(diǎn)，，，則的半徑為．

13．如圖，線段，分別表示甲、乙建筑物的高，兩座建筑物間的距離為．若在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，點(diǎn)的仰角為，則乙建筑物的高約為（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，）．14．如圖，點(diǎn)，在上，．若為上任一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），則的大小為．15．如圖，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，滿足，連接，若，則長(zhǎng)的最小值為．16．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其部分圖象如圖所示，下面四個(gè)結(jié)論中，；；若點(diǎn)在此拋物線上，則；若點(diǎn)在此拋物線上且，則．所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（共68分，第17-21題，每題5分，第22題6分，第23題5分，第24-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17．計(jì)算：．18．如圖，在四邊形中，平分，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．19．已知二次函數(shù)．(1)將化成的形式，并寫(xiě)出其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求此函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出此函數(shù)的圖象．20．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，，．求的半徑．

21．已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)和．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出函數(shù)值y的取值范圍．22．如圖，在四邊形中，，，，，求的長(zhǎng)．23．已知某蓄電池的電壓為定值，使用此電源時(shí)，用電器的電流（單位：）與電阻（單位：）成反比例函數(shù)關(guān)系，即，其圖象如圖所示．(1)求的值；(2)若用電器的電阻為，則電流為_(kāi)_____；(3)如果以此蓄電池為電源的用電器的電流不得超過(guò)，那么用電器的電阻應(yīng)控制的范圍是______．24．如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．25．投擲實(shí)心球是北京市初中學(xué)業(yè)水平考試體育現(xiàn)場(chǎng)考試的選考項(xiàng)目之一．實(shí)心球被投擲后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，實(shí)心球從出手（點(diǎn)處）到落地的過(guò)程中，其豎直高度（單位：）與水平距離（單位：）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系．小石進(jìn)行了三次訓(xùn)練，每次實(shí)心球的出手點(diǎn)的豎直高度為．記實(shí)心球運(yùn)動(dòng)路線的最高點(diǎn)為，訓(xùn)練成績(jī)（實(shí)心球落地點(diǎn)的水平距離）為（單位：）．訓(xùn)練情況如下：第一次訓(xùn)練第二次訓(xùn)練第三次訓(xùn)練訓(xùn)練成績(jī)最高點(diǎn)滿足的函數(shù)關(guān)系式根據(jù)以上信息，(1)求第二次訓(xùn)練時(shí)滿足的函數(shù)關(guān)系式；(2)小石第二次訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)開(kāi)_____；(3)直接寫(xiě)出訓(xùn)練成績(jī)，，的大小關(guān)系．26．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求該拋物線的對(duì)稱軸；(2)點(diǎn)，在拋物線上，若，求的取值范圍．27．如圖，在中，，．是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合且），將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．(1)求的度數(shù)；(2)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，依題意補(bǔ)全圖形．若，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1．對(duì)于的弦和點(diǎn)C給出如下定義：若點(diǎn)C在弦的垂直平分線上，且點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，則稱點(diǎn)C是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(1)如圖，點(diǎn)，．在點(diǎn)，，，中，弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是______；(2)若點(diǎn)是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)，．對(duì)于線段上一點(diǎn)S，存在的弦，使得點(diǎn)S是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．記的長(zhǎng)為t，當(dāng)點(diǎn)S在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出t的取值范圍．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．B【分析】此題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例性質(zhì)即可求解，解題的關(guān)鍵是正確理解比例的性質(zhì)．【詳解】∵，∴設(shè)，（），∴，故選：．2．C【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出斜邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義即可求出，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴，∴，故選：．3．C【分析】本題主要考查了圓周角定理，連接，由是直徑，得到，再根據(jù)題意得到，則，則．【詳解】解：如圖所示，連接，∵是直徑，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，故選：C．4．A【分析】本題考查了拋物線的平移，根據(jù)平移規(guī)律：左加右減，上加下減，即可求解，掌握拋物線的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，∴平移后拋物線的解析式為，故選：．5．D【分析】本題考查二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)問(wèn)題．二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則；與軸有一個(gè)交點(diǎn)，則；與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則．據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：．解得：，故選：D6．C【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，由已知易證明，得到，代入已知數(shù)據(jù)即可求解，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，，，，∵，∴，∴，即，∴，∴，故選：．7．A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)所給的函數(shù)解析式確定函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸和最小值，再結(jié)合函數(shù)圖象的特點(diǎn)進(jìn)行判定即可，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，函數(shù)有最小值，∵點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為，∴，故選：．8．B【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，由相似三角形的判定方法依次判斷即可，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】若，∵，∴，∴，∴是直角三角形，故添加可以；若，∵，∴，則無(wú)法證明是直角三角形，故添加不一定可以；若，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，故添加可以；綜上可知，添加可證明是直角三角形，故選：．9．【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)矩形可得，從而有，再根據(jù)性質(zhì)即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)的應(yīng)用．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∵是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．10．【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，進(jìn)行判斷即可，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，又∵，∴，故答案為：．11．【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由正六邊形的性質(zhì)得到，得到為等邊三角形，進(jìn)而得到，代入弧長(zhǎng)公式即可求解，作出輔助線，判斷出為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，∵是正六邊形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴的長(zhǎng)，故答案為：．12．【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，連接，證明，得到，利用三角函數(shù)即可求解，由三角形全等得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，

∵，分別與相切于兩點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．13．【分析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問(wèn)題，先證明四邊形是矩形，再根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形即可，解題的關(guān)鍵是借助仰角俯角，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．【詳解】解：由題意得：，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案為：．14．或【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)為上優(yōu)弧或劣弧時(shí)，分情況即可求解，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．【詳解】如圖，∵，∴，∵，∴，故答案為：或．15．##【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理和圓周角定理，根據(jù)題意得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合圓的性質(zhì)得到最小時(shí)的情形，再利用正方形的性質(zhì)和勾股定理求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理和圓周角定理的應(yīng)用．【詳解】如圖，∵，∴點(diǎn)在以中點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上，則長(zhǎng)的最小時(shí)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，∵四邊形是正方形，∴，，在中，，由勾股定理得：，∴，故答案為：．16．【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由拋物線開(kāi)口方向判斷；由對(duì)稱軸可判斷；由函數(shù)的性質(zhì)判斷；由拋物線的對(duì)稱性即可判斷；解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合方法分析問(wèn)題．【詳解】解：∵拋物線開(kāi)口向下，∴，故正確；∵拋物線的頂點(diǎn)為，∴對(duì)稱軸為直線，∴，∴，故錯(cuò)誤；∵對(duì)稱軸為直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴拋物線經(jīng)過(guò)另一個(gè)點(diǎn)∵拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，又∵，∴，故正確；∵拋物線與軸的交點(diǎn)為，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，∴若點(diǎn)在此拋物線上且，則或，故錯(cuò)誤；綜上，正確，故答案為：．17．【分析】此題考查了特殊角三角函數(shù)和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的化簡(jiǎn)和有理數(shù)的乘方分別計(jì)算，然后合并即可得到結(jié)果，熟練運(yùn)用運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，，．18．(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)：（1）先根據(jù)角平分線得出，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，代入即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，即，∴（負(fù)值舍去）．19．(1)，；(2)，；(3)畫(huà)圖見(jiàn)解析．【分析】（）用配方法把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，從而可得出答案；（）令轉(zhuǎn)化成一元二次方程，解出方程即可；（）根據(jù)畫(huà)函數(shù)圖象的步驟，畫(huà)出圖象即可；本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與軸的交點(diǎn)，配方法，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）由，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）令，即，解得：，，∴函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，；（3）列表：描點(diǎn)、連線，如圖，20．【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，連接，設(shè)的半徑為，由垂徑定理可得，由勾股定理可得方程，解方程即可求解，由勾股定理得到方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，設(shè)的半徑為，

∵是的直徑，，∴，在中，，

由勾股定理，得，即，解得，∴的半徑為．21．(1)(2)【分析】本題考查二次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．（1）把點(diǎn)和代入二次函數(shù)，求出，，即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的的性質(zhì)，可以求出時(shí)，函數(shù)值的取值范圍．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)和，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為：．（2）如下圖：由（1）得，二次函數(shù)的解析式為：，∴對(duì)稱軸為：，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值，；∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的取值范圍為：．22．．【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理和通過(guò)余弦值求邊長(zhǎng)，過(guò)作于點(diǎn)，證明四邊形是矩形，根據(jù)性質(zhì)得出，由求出，最后通過(guò)勾股定理即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及正確添加輔助線．【詳解】過(guò)作于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，由勾股定理得：，∴．23．(1)；(2)；(3)．【分析】此題考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（）代入函數(shù)求值即可；（）當(dāng)時(shí)，代入求出，再根據(jù)圖象即可求解．【詳解】（1）∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得：；（2）由（）得：，∴，當(dāng)時(shí)，，故答案為：；（3）當(dāng)電流，，解得：，根據(jù)圖象電流不得超過(guò)，則，故答案為：．24．(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（）連接，由為的直徑得到，又由，，得到，進(jìn)而得到，即可求證；（）連接，由，得到，設(shè)，，由，得到，證明，即可求解；本題考查了切線的判定，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，又∵為的直徑，∴是的切線；（2）解：連接，∵，，∴在中，，設(shè)，，則，∴，∴，，∵四邊形內(nèi)接于，∴，又∵，∴，∴，即，∴．25．(1)；(2)；(3)．【分析】（）利用待定系數(shù)法求解即可；（）令，求出的值即可；（）根據(jù)函數(shù)解析式分別求出三個(gè)距離，根據(jù)大小即可比較；此題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用．【詳解】（1）由題意得：，∵當(dāng)時(shí)，，∴，解得：，∴第二次訓(xùn)練時(shí)滿足的函數(shù)關(guān)系式為；（2）當(dāng)時(shí)，，解得：，（不符合題意，舍去），小石第二次訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)?，故答案為：；?）根據(jù)表格可知：，由（）得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，（不符合題意，舍去）∴，∴．26．(1)，(2)．【分析】（）把代入解析式，則有，利用對(duì)稱軸即可求解；（）根據(jù)，中橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸的距離結(jié)合即可求解；此題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，整理得：，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線；（2）由（）得：拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵，∴在對(duì)稱軸的左側(cè)且距離為，在對(duì)稱軸的右側(cè)且距離為，當(dāng)時(shí)，，∵，∴根據(jù)圖象可知，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離比到對(duì)稱軸距離大，∴，解得：，∴的取值范圍為．27．(1)(2)圖形見(jiàn)解析；；證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；（1）取的中點(diǎn)，連接，構(gòu)造即可解決問(wèn)題；（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，構(gòu)造即可解決問(wèn)題；正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，在中，是等邊三角形線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段即是等邊三角形，即（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）可知：，是的中點(diǎn)，28．(1)，(2)或(3)【分析】（1）由點(diǎn)坐標(biāo)可知弦的垂直平分線為軸，根據(jù)新定義求出各點(diǎn)關(guān)于弦對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)是否在上