高中數(shù)學(xué)選修45知識點

高中數(shù)學(xué)選修4?.5學(xué)問點

1、不等式的根本性質(zhì)

①（對稱性）a>b<^>b>a

②（傳遞性）a>b,b>c=>a>c

③（可加性）a>b<^a+c>b+c

（同向可加性）a>b,c>d=a+c>b+d

（異向可減性）a>b,c<dna-c>b-d

④（可積性）a>b、c>Qnac>be

⑤（同向正數(shù)可乘性）a>b>O,c>d>O^ac>bd

（異向正數(shù)可除性）""aoqvc""/

cd

⑥（平方法則）〃>>>0=>能且〃>1）

⑦（開方法則）?>Z?>0=>y[a>y/b（ne.N,S,n>1）

⑧（倒數(shù)法則）?>Z?>0=>-<-;a<Z?<0=>->-

abab

2、幾個重要不等式

①片+》222他（a,丘R）,（當(dāng)且僅當(dāng)a=人時取"="號）.變形公式：

②（根本不等式）NJ茄,，〃eR+）,（當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時取到等號）.

變形公式：a+bN2y[^ab<j-

用根本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大）,要留意滿意三個條件“一正、二定、三相等”.

③（三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式）空F￡N疝'（a、b、ceR+）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取到等號）.

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取到等號）.

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取到等號）.

⑥若仍>0,則2+@22（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

ab

若ab<0,則2+色4-2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

ab

-bb+m1a+na_,.八八八、

⑦一<-----<I<-----<—,（z其中Q>Z?>0,m>Q,〃>0）

aa+mb+nb

規(guī)律：小于l同加則變大，大于I同加則變小.

⑨肯定值三角不等式時—四W\a±b\<\a\+\b\.

3、幾個聞名不等式

①平均不等式：2<7^<—,（a,beR+,當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時取"="號）.

?-l+b-l2V2

（即調(diào)和平均W幾何平均W算術(shù)平均W平方平均）.

變形公式：

②幕平均不等式：

③二維形式的三角不等式：

④二維形式的柯西不等式：

（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bdf（a,b,c,deR）.當(dāng)且僅當(dāng)加=A時，等號成立.

⑤三維形式的柯西不等式：

⑥一般形式的柯西不等式：

⑦向量形式的柯西不等式：

設(shè)￡,萬是兩個向量，貝啊?同平憫，當(dāng)且僅當(dāng)方是零向量，或存在實數(shù)左，使2="時，等號成立.

⑧排序不等式（排序原理）

1

設(shè)％<：.<an,bx</?2為兩組實數(shù).eq，…,c”是仇也，…，仇的任一排列，貝J

01bH+a2brl_l+...+anb1<axcx+a2c2+...+ancn<afy+a2b2+...+a也.(反序和W亂序和W依次和),當(dāng)且僅當(dāng)

=%=“?=。”或4=d=".=6”時，反序和等于依次和.

⑨琴生不等式:（特例：凸函數(shù)、凹函數(shù)）

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)/（x）,對于定義域中隨意兩點占,尤式占K多）,有

f（Xl+X2）i，（Xl）+（（X2）或f盧+三）3/（占）+（（馬）則稱f（.X）為凸（或凹）函數(shù).

2222

4、不等式證明的幾種常用方法

常用方法有：比擬法（作差，作商法）、綜合法、分析法；

其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.

常見不等式的放縮方法：

131

①舍去或加上一些項，如（a+；）2+：>（a+；）2；

②將分子或分母放大（縮?。?/p>

11112212

如--<---------->------------=---------=>---<--------=

k~k{k—1）k~k{k+1）2>Jkyfk+y/kyfkyfk+\]k-1

12

(keN*,k〉l等.

4k4k+〃+1

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）

(aw0,A="-4ac>0)解集的步驟:

一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).

二判：推斷對應(yīng)方程的根.

三求：求對應(yīng)方程的根.

四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象.

五解集：依據(jù)圖象寫出不等式的解集.

規(guī)律：當(dāng)二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.

6、高次不等式的解法：穿根法.

分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切）,結(jié)合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.

7、分式不等式的解法:先移項通分標(biāo)準化,則

〉0=，g(x)〉0

g(x)

（“<或K”時同理）

------2U=<

g(x)[g(x)w0

規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.

8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，竅門在于從“小”的一邊分析求解.

9、指數(shù)不等式的解法：

⑴當(dāng)a>l時，>agM<=>/(x)〉g(x)

⑵當(dāng)0<a<1時，afM>as(x)of(x)<g(x)

規(guī)律：依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.

10、對數(shù)不等式的解法

7w>o

⑴當(dāng)a>1時，log/(x)〉log,,g(x)o<g(x)〉0

J(x)〉g(x)

7(x)>0

⑵當(dāng)0<a<l時，loga/COAlogogOOo,g(x)〉0.

J(x)<g(x)

規(guī)律：依據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.

11、含肯定值不等式的解法：

,,,\a(a>0)

⑴定義法：a=4.

[-a(a<0)

⑵平方法：|/(刈<|g(x)|of2(x)<g2(x).

⑶同解變形法，其同解定理有：

規(guī)律：關(guān)鍵是去掉肯定值的符號.

12、含有兩個(或兩個以上)肯定值的不等式的解法：

規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段探討去肯定值、每段中取交集，最終取各段的并集.

13、含參數(shù)的不等式的解法

解形如依2+法+c>0且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進展分類探討，分類探討的標(biāo)準有:

⑴探討a及。的大?。?/p>

⑵探討△及0的大??；

⑶探討兩根的大小.

14、恒成立問題

⑴不等式依2+公+。>。的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：

①當(dāng)a=0時=^>Z?=0,c>0;

…[a>0

②當(dāng)a#0時=><

A<0.

⑵不等式改2+公+c<0的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：

①當(dāng)a=0時=b=0,cv0;

_,<0

②當(dāng)時

A<0.

⑶/(x)<a恒成立O/(X)max<a；

于(X)<a恒成立o/(%)max<a;

⑷/(%)>a恒成立o/(x)min>a;

f(x)>a恒成立o/(x)min>a.

15、線性規(guī)劃問題

⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的推斷：

法一：取點定域法：

由于直線Ac+為+C=0的同一側(cè)的全部點的坐標(biāo)代入Ac+為+C后所得的實數(shù)的符號一樣.所以，在實際推斷

時，往往只需在直線某一側(cè)任取一特別點(%,%)(如原點)，由何+3%+。的正負即可推斷出—+為+。>。(或

<0)表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.

即：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點.

法二：依據(jù)—+互y+C>0(或<0),視察6的符號及不等式開口的符號，若同號，—+為+。>0(或<0)表

示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.

即：同號上方，異號下方.

⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：

不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共局部.

⑶利用線性規(guī)劃求目的函數(shù)z=Ax+By(A,B為常數(shù))的最值：

法一：角點法：

假如目的函數(shù)z=/k+5y(x、y即為公共區(qū)域中點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo))的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)

域的邊界角點處獲得，將這些角點的坐標(biāo)代入目的函數(shù)，得到一組對應(yīng)z值，最大的那個數(shù)為目的函數(shù)z的最大值，最

小的那個數(shù)為目的函數(shù)z的最小值

法二：畫一一移一一定一一求：

第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線/o：Ax+3y=O,平移直線(據(jù)可行域，將直線％平

行挪動)確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解(x,y)；第四步，將最優(yōu)解(x,y)代入目的函數(shù)2=