第八章立體幾何初步章末總結(jié)提升課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第八章立體幾何初步章末總結(jié)提升人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·歸納整合空間平行、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

專題突破·素養(yǎng)提升專題一空間幾何體的表面積和體積1.主要考查多面體、旋轉(zhuǎn)體的表面積,旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖,柱體、錐體、臺(tái)體的體積,球的表面積和體積,不規(guī)則幾何體常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.2.利用公式求解表面積、體積,提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【例1】

如圖所示,在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中,E,F依次是AB,AC的中點(diǎn),AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D,H,G為垂足.若將△ABC中的四邊形EFGH摳掉后,剩余部分繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)180°,求形成的幾何體的表面積與體積.規(guī)律方法

1.空間幾何體表面積的求法(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用.2.空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.特別地,求三棱錐體積時(shí)經(jīng)常要轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)和底面,從而達(dá)到方便求高的目的.變式訓(xùn)練1(1)[2023深圳羅湖月考]已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為10,高為8,則該圓錐內(nèi)切球的表面積與圓錐的表面積之比為(

)B(2)如圖所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1,且AA1⊥底面ABC,則三棱錐B1-ABC1的體積為(

)A專題二空間中的平行與垂直關(guān)系1.空間中的平行、垂直關(guān)系,主要有線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直).平行關(guān)系中線面平行是重點(diǎn),垂直關(guān)系中線面垂直和線線垂直是重點(diǎn).2.學(xué)習(xí)空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).【例2】

[2023北京順義期末]如圖,在四棱錐A-EFCB中,△AEF為等邊三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=2,EF=a,∠EBC=∠FCB=60°,O為EF的中點(diǎn).(1)求證:BC∥平面AEF;(2)求證:AO⊥BE;(3)若BE⊥平面AOC,求實(shí)數(shù)a的值.(1)證明

由于EF∥BC,又由EF?平面AEF,BC?平面AEF,則有BC∥平面AEF.(2)證明

△AEF為等邊三角形,O為EF的中點(diǎn),則有AO⊥EF.又平面AEF⊥平面EFCB,且平面AEF∩平面EFCB=EF,同時(shí),AO?平面AEF,則有AO⊥平面EFCB,又由BE?平面EFCB,則有AO⊥BE.(3)解

延長(zhǎng)CO交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.如圖:由于BE⊥平面AOC,且OC?平面AOC,則有BE⊥OC,由于BD⊥CD,所以∠EDO=90°.又由∠EBC=∠FCB=60°,EF∥BC,則有BE=CF.同時(shí),∠EBC=∠DEO=60°,則∠FOC=∠DOE=30°,又∠OCF=∠FCB-∠BCD=60°-30°=30°,則有OF=CF.規(guī)律方法

1.空間中的平行關(guān)系有三種:線線平行、線面平行、面面平行.(1)證明線線平行的常用方法有7種:a.利用兩直線平行的定義;b.利用平行線的傳遞性;c.利用三角形中位線定理;d.利用平行四邊形對(duì)邊平行;e.利用線面平行的性質(zhì)定理;f.利用線面垂直的性質(zhì)定理;g.利用面面平行的性質(zhì)定理.(2)證明線面平行的常用方法有3種:a.利用線面平行的定義;b.利用線面平行的判定定理;c.利用面面平行的性質(zhì).(3)證明面面平行的常用方法有3種:a.利用面面平行的定義;b.利用面面平行的判定定理;c.利用面面平行的結(jié)論:垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行.2.空間中的垂直關(guān)系有三種:線線垂直、線面垂直、面面垂直.(1)證明線線垂直的常用方法有4種:a.利用兩直線垂直的定義;b.利用線面垂直的定義;c.利用勾股定理;d.利用等腰三角形三線合一.(2)證明線面垂直的常用方法有3種:a.利用線面垂直的定義;b.利用線面垂直的判定定理;c.利用面面垂直的性質(zhì).(3)證明面面垂直的常用方法有2種:a.利用面面垂直的定義;b.利用面面垂直的判定定理.變式訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn),求證:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.證明

(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,PA?平面PAD,PA⊥AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因?yàn)锳B∥CD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn),所以AB∥DE,且AB=DE.所以四邊形ABED為平行四邊形,所以BE∥AD.又因?yàn)锽E?平面PAD,AD?平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)因?yàn)锳B⊥AD,且四邊形ABED為平行四邊形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.又因?yàn)镻A∩AD=A,PA,AD?平面PAD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn),所以PD∥EF,所以CD⊥EF.又因?yàn)镃D⊥BE,EF∩BE=E,EF,BE?平面BEF,所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.專題三空間角的求解1.空間角包括異面直線所成的角、線面角及二面角,主要考查空間角的定義及求法,求角時(shí)要先找角,再證角,最后在三角形中求角.2.通過(guò)找角、證角、求角,提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【例3】

如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分別是棱AD,PC的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面PAB.(2)若二面角P-AD-B的平面角為60°.①求證:平面PBC⊥平面ABCD;②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.(1)證明

如圖所示,取PB的中點(diǎn)M,連接MF,AM.因?yàn)镕為PC的中點(diǎn),所以MF∥BC,且MF=BC.由已知有BC∥AD,且BC=AD,又由于E為AD的中點(diǎn),因而MF∥AE,且MF=AE,故四邊形AMFE為平行四邊形,所以EF∥AM.又AM?平面PAB,而EF?平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)①證明

連接PE,BE.因?yàn)镻A=PD,BA=BD,且E為AD的中點(diǎn),所以PE⊥AD,BE⊥AD,所以∠PEB為二面角P-AD-B的平面角.在△PAD中,由PA=PD=,AD=2,可解得PE=2.在△ABD中,由BA=BD=,AD=2,可解得BE=1.在△PEB中,PE=2,BE=1,∠PEB=60°,故可得∠PBE=90°,即BE⊥PB.又BC∥AD,BE⊥AD,從而B(niǎo)E⊥BC,又BC∩PB=B,BC,PB?平面PBC,因此BE⊥平面PBC.又BE?平面ABCD,所以平面PBC⊥平面ABCD.規(guī)律方法

1.求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角).2.求直線與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線、找射影).3.二面角的平面角的作法常有三種:(1)定義法;(2)垂線法;(3)垂面法.變式訓(xùn)練3如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,B'C∩BC'=O.求:(1)AO與A'C'所成角的大小;(2)AO與平面ABCD所成角的正切值;(3)平面AOB與平面AOC所成二面角的大小.解

(1)∵A'C'∥AC,∴AO與A'C'所成的角是∠OAC.∵AB⊥平面BC',OC?平面BC',∴OC⊥AB.又OC⊥BO,AB∩BO=B,∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO,∴OC⊥OA.∴∠OAC=30°.即AO與A'C'所成角為30°.(2)如圖,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E,連接AE.∵平面BC'⊥平面ABCD,∴OE⊥平面ABCD,∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角.(3)由(1)知OC⊥平面AOB.又OC?平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成的二面角為90°.專題四空間翻折問(wèn)題1.翻折問(wèn)題是立體幾何中的熱點(diǎn)問(wèn)題,其價(jià)值在于能夠很好地體現(xiàn)平面圖形與空間圖形之間的位置關(guān)系的變與不變,數(shù)量關(guān)系的變與不變.2.通過(guò)翻折問(wèn)題,提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).【例4】

如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=CD=1.現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF,然后沿邊AD將正方形ADEF折疊,使ED⊥DC,M為ED的中點(diǎn),如圖2.圖1圖2(1)求證:AM∥平面BEC;(2)求證:BC⊥平面BDE;(3)求點(diǎn)D到平面BEC的距離.(1)證明

取EC的中點(diǎn)N,連接MN,BN,在△EDC中,M,N分別為ED,EC的中點(diǎn),所以MN∥CD,且MN=CD.由已知AB∥CD,AB=CD,所以MN∥AB,且MN=AB,所以四邊形ABNM為平行四邊形,所以BN∥AM.又因?yàn)锽N?平面BEC,且AM?平面BEC,所以AM∥平面BEC.(2)證明

在正方形ADEF中,ED⊥AD.因?yàn)镋D⊥DC,AD∩DC=D,AD,DC?平面ABCD,所以ED⊥平面ABCD,因?yàn)锽C?平面ABCD,所以ED⊥BC.又在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,故BD=,∠BDC=45°,由余弦定理,得BC2=BD2+DC2-2BD·DCcos

45°=2,所以BC=.在△BCD中,BD=BC=,CD=2,所以BD2+BC2=CD2,故BC⊥BD.因?yàn)镋D∩BD=D,ED,BD?平面BDE,所以BC⊥平面BDE.規(guī)律方法

變式訓(xùn)練4如圖1,等腰三角形AFA1中,FA=FA1=5,AA1=8,點(diǎn)B,C,D為線段AA1的四等分點(diǎn),且BE∥CF∥DG.現(xiàn)沿BE,CF,DG折疊成圖2所示的幾何體,使∠BCD=60°.圖1圖2(1)證明:AE∥平面DCFG;(2)求幾何體BCD-EFG